９ . 完備距離空間
科目： 数学演習IIB（ d組）
担当： 相木
距離空間
前期でも扱ったが，まず距離空間を復習する．
距離関数
Sを空でない集合とする．関数dをS ×S上で定義された実数値関数（つまり，d : S×S→R）で以下の４つを満たすとする．
(D1) ∀x, y ∈S, d(x, y)≥0.
(D2) x, y ∈Sに対して以下の同値性が成り立つ．
d(x, y) = 0 ⇔ x=y
(D3) ∀x, y ∈Sに対してd(x, y) =d(y, x).
(D4) dは以下の三角不等式を満たす．
∀x, y, z∈S, d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z).
このとき，dをS上の距離関数という．
距離空間
Sを空でない集合とし，dをS上の距離関数とする．このとき，２つを合わせた組，
(S, d)を距離空間という．
また，距離空間(S, d)において，x, y ∈Sに対して実数d(x, y)を２点x, yの間の距離 という．
距離空間の典型例はユークリッド距離を定めたユークリッド空間(Rn, d(n))である．
注意：同じ集合Sに対して複数の距離関数を定義することが出来るときもある．例えば R2に対してユークリッド距離d(2)以外にも，x∈R2をx= (x1, x2)と表したとき，
d(2)∞(x,y) = max{|xi−yi| | i= 1,2}
ある（つまり，x,y∈R2に対して一般にはd(2)(x,y)̸=d(2)∞(x,y)である）．
したがって，距離空間の議論をする際には，台集合と共に距離関数を明確にする必要 がある．
距離空間(S, d)が与えられたとき，M ⊂Sに対して，自然とMに距離関数を定義し，
距離空間を作ることができる．
部分距離空間
(S, d)を距離空間とし，M ⊂Sとする．M ×M上の関数dM をx, y ∈Mに対して dM(x, y) =d(x, y)
によって定めるとdM はM上の距離関数となり，(M, dM)は距離空間になる．このよ うにして構成された距離空間(M, dM)を(S, d)の部分距離空間という．
つまり，元の距離関数dの定義域を縮小すれば部分集合M 上の距離関数が定まるのであ る．感覚的にも当然そうなるであろうと感じると思う．また，特に区別する必要がないと きはdM といちいち書かず，元の距離関数の記号dをそのまま使うことも多い．
距離位相
距離空間(S, d) においては距離関数を用いて距離位相O(d)が導入されたことを思い
出そう．それは
O(d) ={O ⊂S | ∀x∈O, ∃ε >0 s.t. Bd(x;ε)⊂O} ∪ {∅}
で定義されるものであった．ただし，Bd(x;ε)は距離dを用いて定まる開球で Bd(x;ε) ={y ∈S | d(x, y)< ε}
である．
距離空間における閉集合の特徴付け
(S, d)を距離空間とし，M ⊂SはM ̸=∅とする．位相空間(S,O(d))において以下の ２つは同値である．
(i) M は閉集合である．
(ii) ∀ε >0, Bd(x;ε)∩M ̸=∅.
距離空間上の連続写像
(S1, d1)と(S2, d2)を距離空間とする．写像f :S1 →S2に対して以下は同値である．
(i) fは位相空間(S1,O(d1))から(S2,O(d2))への連続写像である．
(ii) ∀a ∈S1, ∀ε >0, ∃δ >0 s.t.∀x∈S1 (
d1(a, x)< δ ⇒ d2(f(a), f(x))< ε)
距離関数の同値性
Sを空でない集合とし，d1とd2を共にS上の距離関数とする．
O(d1) = O(d2)
が成り立つとき，d1とd2は同値な距離関数であるという．
注意：d1とd2が異なる距離関数（つまり，x, y ∈ Sでd1(x, y)̸=d2(x, y)となるもの がある）であってもO(d1) =O(d2)となることはある（演習問題）．つまり，距離位 相が一致することと距離関数が一致することは同値ではない．
完備距離空間
ここから本題に入る．距離空間に対して「完備性」という概念を導入する．そのため にいくつか復習をする．
距離空間における点列の収束
(S, d)を距離空間とし，{an}∞n=1 をS内の点列とする（つまり，∀n ∈N, an∈S）．こ のとき，点列{an}∞n=1がα∈Sに収束するとは
∀ε >0, ∃N0 ∈N s.t.∀n≥N0, d(an, α)< ε
が成り立つことである．このとき，αを点列{an}∞n=1の極限といい，{an}∞n=1がαに 収束することを
nlim→∞an =α
などと書く．極限を持つような点列を収束点列という．
距離空間におけるコーシー点列
(S, d)を距離空間とし，{an}∞n=1をS内の点列とする．点列{an}∞n=1が以下を満たす とき，{an}∞n=1はコーシー点列（あるいは基本点列）であるという．
∀ε >0, ∃N0 ∈N s.t.∀n, m≥N0, d(an, am)< ε
これらはいずれも１年生のときに学んだRにおける収束列・コーシー列を一般の距離空 間の場合に言い換えたものになっている．ここで，Rにおいては数列がコーシー列である ことと収束列であることが同値であったことを思い出そう．実は，これがまさに完備性な のである．
距離空間の完備性
(S, d)を距離空間とする．S内の任意のコーシー点列がS内に極限を持つとき，(S, d)
は完備距離空間である，あるいは距離空間(S, d)は完備であるなどと言う．
一般には距離空間(S, d)のコーシー点列がS内に極限を持つとは限らない．実際，開区間
S = (0,2)はユークリッド距離d(1)を距離関数として距離空間になる．しかし，an = n1 に
よって定まる点列はS内のコーシー点列であるが，その極限である0は0̸∈Sなのでこの 距離空間は完備ではない．
例えば(R, d(1))は完備距離空間である．更に言えば(Rn, d(n))も完備距離空間である．
以下の問題においては特に断らない限り，距離空間(S, d)に対してO(d)は距離関数dか ら定まる距離位相を表すものとする．
予約制問題
♣ (S, d)を完備距離空間とし，M ⊂Sとする．以下の２つは同値である．
(i) 部分距離空間(M, dM)は完備である．
(ii) M は位相空間(S,O(d))の閉集合である．
(9-1) ♣の (i)⇒ (ii) を示せ．
(9-2) ♣の (ii) ⇒ (i)を示せ．
(9-3) R2においてユークリッド距離d(2)と解説部分で定義した距離関数d(2)∞ は同値な距 離関数であることを示せ．
(9-4) 「距離空間上の連続写像」の (i) ⇒ (ii) を示せ．
早いもの勝ち制問題
♠ 空でない集合SとS上の距離関数d1, d2に対して以下は同値である．
(i) d1とd2は同値な距離関数である．
(ii) S内の任意の点列{an}∞n=1とa∈Sに対して
nlim→∞d1(an, a) = 0 ⇔ lim
n→∞d2(an, a) = 0 が成り立つ．
(9-5) ♠の (i)⇒ (ii) を示せ．
(9-6) ♠の (ii) ⇒ (i)を示せ．
(9-7) 「距離空間上の連続写像」の (ii) ⇒ (i)を示せ．
