復習 No - 東京理科大学

情報数学 I-A ^{講義のポイント} No.5

復習 No.4

定理1 (1.2) １）直積集合とべき集合

添え字の集合 J の各要素αにJ ∋α 7→ x_α ∈X_α を対応させる写 像f（すなわち，f(α) = xα (∀α∈J)）の全体を ∏

α∈J

Xαとかき，集合族 A ≡ {Xα; α∈J}の直積集合という。このf は，直積集合の要素

∏

α∈J

x_α または (x_α)_α∈J

で表せる（すなわち，同一視できる）。x_αをf のα−座標という。直積集 合 ∏

α∈J

Xα に対して，Xα =X (∀α∈J) のとき，∏

α∈J

Xα を X^J と表し，X を底とし，J を指標とするべき集合（あるいは配置集合）とい う。とくに，Xを２元集合とし，J =Aとすると，2^Aは，Aのすべての部 分集合からなる集合族と考えることができる。さらに，より一般に，B^Aは，

B^A≡ {f | f :A→B への写像の全体}

で与えられる。

２）X上の関係R⊂X×X ≡ {(x, y) | x∈X, y∈X} RはX×X の部分集合

３）X上の同値関係R

i) 反射律 ∀x∈X に対して，(x, x)∈R ii) 対称律 (x, y)∈R ⇒ (y, x)∈R

iii) 推移律(x, y)∈R，(y, z)∈R ⇒ (x, z)∈R

上記のi)ii)iii)を満たす関係Rを同値関係という。

４）X上の同値関係Rの同値類

[x]≡ {y∈X | (x, y)∈R}

[x]の要素xを代表元という。

５）X上の同値関係Rによる商集合

X/R≡ {[x] | x∈X}

X = ∪

x∈X

[x]

講義 (No.5) ^の内容

１）X上の同値関係Rの例 ２）X上の関係Rの逆関係R⁻¹

R⁻¹≡ {(y, x) | (x, y)∈R}

３）X上の同値関係Rの同値類[x]の性質

定理2 1. ∀x∈X に対して，x∈[x] よって，[x]̸=∅ 2. (x, y)∈R ⇔ [x] = [y]

3. (x, y)∈/ R ⇔ [x]∩[y] =∅

４）X上の同値関係Rによる商集合XRの性質

1. ∀x∈X に対して，[x]̸=∅ 2. [x]̸= [y] ⇔ [x]∩[y] =∅ 3. X= ∪

x∈X

[x]

上記の１.〜３.を満たすものを類別という。

５）Xの直和分割A ≡ {A_i⊂X; i∈J}

Ai̸=∅ (∀i∈J) Ai∩Ak=∅ (i̸=k)

X= ∪

i∈J

Ai

６）X上の同値関係RとXの直和分割Aの関係について 定理 3 Xの直和分割Aに対して，X上の関係Rを

(x, y)∈R ^def⇔ ∃i∈J s.t. x, y∈Ai

で定めると，Rは，X上の同値関係である。

情報数学 I-A No.5 ^補足資料

V を空でない集合とする。このとき，V が係数体K（RまたはC）上のベ クトル空間であるとは，任意の元x,y ∈V に対して，xとyの和x+y ∈V および，任意のα∈Kと任意の元x∈V に対して，xのα倍αx∈V が定 義されて，以下の１〜8を満たす：

1. 任意のx,y∈V に対して，x+y=y+x

2. 任意のx,y,z∈V に対して，(x+y) +z=x+ (y+z) 3. x+ 0 =x (∀x∈V) を満たす零元0がV に存在する。

4. 任意のx∈V に対して，x+x^′ = 0を満たすxの逆元x^′がV に存在 する。

5. 任意のα∈Kと任意のx,y∈V に対して，α(x+y) =αx+αy 6. 任意のα, β∈Kと任意のx∈V に対して，(α+β)x=αx+βx 7. 任意のα, β∈Kと任意のx∈V に対して，(αβ)x=α(βx) 8. ∃1∈K s.t. 1·x=x (∀x∈V)

また，V の部分集合W がV の部分空間であるとは，以下の２つが成り立 つことをいう：

1. 任意のx,y∈W に対して，x+y∈W

2. 任意のα∈Kと任意のx∈Wに対して，αx∈W