８ . 近傍系・基底
科目： 数学演習IIA（ f組）
担当： 相木
近傍系
位相空間において「近傍」という概念を導入する．
近傍・開近傍
(X,O)を位相空間とする．x∈XとV ⊂Xに対して x∈V◦
が成り立つとき，V はxの近傍であるという．
上の定義から，x∈O, O ∈ OであればOはxの近傍である．つまり，xを含む開集 合はxの近傍である．そこで，xを含む開集合のことをxの開近傍という．
注意：V がxの近傍であってもV は開集合であるとは限らないことに注意．
位相空間における近傍系
(X,O)を位相空間とする．x∈Xに対して
V(x) ={V ⊂X | V はxの近傍}
によって定まるXの部分集合系V(x)をxの近傍系という．つまり，近傍系V(x)は xの近傍を全て集めたXの部分集合系である．
近傍系の性質
(X,O)を位相空間とする．x∈Xの近傍系V(x)に対して以下が成り立つ．
(V1) ∀V ∈V(x)に対してx∈V
(V2) V ∈V(x)，V′ ⊂Xに対してV ⊂V′ならばV′ ∈V(x) (V3) V1, V2 ∈V(x)ならばV1∩V2 ∈V(x)
(V4) ∀V ∈V(x)に対して以下を満たすW ∈V(x)が存在する．
∀y∈W, V ∈V(y)
基本近傍系
(X,O)を位相空間，x ∈ Xに対してV(x)をxの近傍系とする．V(x)の部分集合 V∗(x)が
∀V ∈V(x), ∃U ⊂V s.t.U ∈V∗(x) を満たすとき，V∗(x)はxの基本近傍系であるという．
位相空間(X,O)とx∈Xに対してxの基本近傍系は１つとは限らないことに注意（演習 問題参照）．
上では，位相空間(X,O)が与えられたときに近傍系を定義したが，(V1)〜(V4)を満 たす部分集合系を用いてXの位相を定めることができる．
近傍系
Xを空でない集合とし，任意のx∈Xに対して(V1)〜(V4)を満たす部分集合系V(x) が与えられるているとする．このとき，Xの位相Oで任意のxに対してV(x)がxの 近傍系となるものがただ一つ存在する．
このことから，Xに位相を定めることと，全てのx∈Xに対して(V1)〜(V4)を満たすX の部分集合系V(x)を定めることが同等であることが分かる．
基底
基底の定義をするためにいくつか準備をする．
Xを空でない集合とするとき，一般にXには複数の位相を定めることができたことを 思い出そう．そこで，T(X)をXの位相全体の集合とし，Xの位相（つまりT(X)の要 素）の間に「強弱」という概念を定義することができる．
位相の強弱
Xを空でない集合とし，O1,O2をXの位相とする（つまり，O1,O2 ∈ T(X)）．
O1 ⊂ O2
位相の生成
Xを空でない集合とし，M ⊂ P(X)とする．以下で定義されるXの部分集合系O(M) をMで生成される位相という．
O(M) = ∩
O∈T(X), M⊂O
O
復習：P(X)はXのべき集合，つまりP(X)はXの部分集合全体の集合であった．し たがってM ⊂ P(X)とはMはXの部分集合系であることを言っている．
上で定義したO(M)が位相を定めることは自明ではないが，ちゃんとXの位相になって いる（演習問題参照）．強弱の概念を用いればO(M)は「Mを含む最弱の位相」である と言える．
これらの用語を準備して準基底と基底を定義する．
準基底
(X,O)を位相空間とし，B ⊂ Oとする．
O(B) = O が成り立つとき，BはOの準基底であるという．
注意：BはXの位相であるとは限らないことに注意．
基底
(X,O)を位相空間とし，B ⊂ Oとする．任意のO ∈ Oに対してBの集合族{Wλ}λ∈Λ
が存在し，
O = ∪
λ∈Λ
Wλ
と表せるとき，BはOの基底であるという．
名前から推測できるようにBが基底であれば準基底である（演習問題参照）．
予約制問題
(8-1) Rに対してユークリッド距離d(1)を用いて定義された距離位相をOd(1)とする（プ リント７参照）．以下について，0∈Rの位相空間(R,Od(1))における基本近傍系 になっているか判定し，それを示せ．
(i) {
(−m, m) | m∈N}
(ii) { (−1
x,1
x) | x∈R, x >0} (iii) {
[0, 1
x] |x∈R, x > 0}
(8-2) (X,O)を位相空間とする．B ⊂ OがOの基底であればOの準基底であることを 示せ．
(8-3) 位相空間(R,Od(1))においてV ⊂ Od(1) を
V ={(−∞, a) | a∈R} ∪ {(b,∞) | b∈R}
で定めるとVはOd(1)の準基底であることを示せ．ただし，(8-2)と(8-6)の結果を 用いてよい．
(8-4) (X,O)を位相空間とし，x ∈Xに対してV∗(x) をxの基本近傍系とする．また，
M ⊂Xとする．以下の２つが同値であることを示せ．
(i) x∈M◦
(ii) ∃V ∈V∗(x), V ⊂M
早いもの勝ち制問題
(8-5) (X,O)を位相空間とする．M ⊂ P(X) に対してO(M)はXの位相であることを 示せ．
(8-7) (X,O)を位相空間とし，B ⊂ Oとする．以下の２つが同値であることを示せ．
(i) BはOの基底である．
(ii) ∀O ∈ O, ∀x∈Oに対して∃W ∈ B s.t. x∈W, W ⊂O
(8-8) Xを空でない集合とし，O1,O2をXの位相とする．さらに，B1,B2をそれぞれ O1,O2の基底とする．以下が成り立つとき，O2はO1より強い位相であることを 示せ．
∀U ∈ B1, ∀x∈U, ∃V ∈ B2 s.t. x∈V, V ⊂U
(8-9) (X,O)を位相空間とし，x ∈Xに対してV∗(x) をxの基本近傍系とする．また，
M ⊂Xとする．以下の２つが同値であることを示せ．
(i) xはMの触点
(ii) ∀V ∈V∗(x), V ∩M ̸=∅
