6 部分ベクトル空間 一次独立・一次従属 - 東京理科大学

６ . ^{部分ベクトル空間} 一次独立・一次従属

科目： 線形代数学IB及び演習（１‐１組）

担当： 相木

部分ベクトル空間

K-ベクトル空間V に対して，W ⊂V が部分ベクトル空間であることを定義する．

部分ベクトル空間

V をK-ベクトル空間とする．W ⊂V が空でなく，

(i) ∀x,y∈W, x+y∈W (ii) ∀x∈W, ∀α∈K, αx∈W

を満たすとき，W はV の部分ベクトル空間であるという．省略して部分空間という ときもある．

K-ベクトル空間V の部分ベクトル空間W はそれ自身K-ベクトル空間である．つまり，

W がV の部分ベクトル空間のとき，W はK-ベクトル空間の定義を満たす（演習問題）．

一次独立・一次従属

Rⁿにおいて導入した一次独立，一次従属という概念を一般のK-ベクトル空間におい ても定義する．

一次独立

V をK-ベクトル空間とする．m個のベクトルa₁,a₂, . . . ,a_m ∈ V が一次独立である とは，以下が成り立つことである．

∀c1, c2, . . . cm ∈K, (∑^m

i=1

ciai =0 ⇒ c1 =c2 =· · ·=cm = 0)

1

一次従属

V をK-ベクトル空間とする．m個のベクトルa₁,a₂, . . . ,a_m ∈V が一次独立でない とき，一次従属であるという．つまり，a₁,a₂, . . . ,a_m ∈V が一次従属であるとは，以 下が成り立つことである．

∃c₁, c₂, . . . , c_m ∈K, (

(c₁, c₂, . . . , c_m)̸= (0,0, . . . ,0))

∧(∑^m

i=1

c_ia_i =0)

以下の問題においては特に断りがない限り，RⁿのスカラーはRであるとする．

予約制問題

(6-1)K-ベクトル空間の部分空間はK-ベクトル空間であることを示せ．

(6-2) 以下の集合がR³の部分空間であるか判定せよ．

(i) {^t(x, y, z)∈R³ | x+y+z = 1} (ii) {^t(x, y, z)∈R³ | z = 0}

(6-3) W₁, W₂をK-ベクトル空間V の部分空間とする．このとき，以下の集合がV の部    分空間であるか判定せよ．

(i) W₁∩W₂ (ii) W₁∪W₂

(6-4) Aをm×n実行列とする．このとき，

V₁ ={x∈Rⁿ | Ax=0}    としたとき，V₁はRⁿの部分空間であることを示せ．

(6-5) R-ベクトル空間Cにおいて1と√

3は一次独立であるか判定せよ．

2

早いもの勝ち制問題

(6-6) 以下の集合がR³の部分空間であるか判定せよ．

(i) {^t(x, y, z)∈R³ |x+y+z = 0} (ii) {^t(x, y, z)∈R³ | xy= 0}

(6-7) Aをm×n実行列とする．このとき，

V₂ ={Ax∈R^m |x∈Rⁿ}    としたとき，V₂はR^mの部分空間であることを示せ．

(6-8) Qベクトル空間Cにおいて1と√

2は一次独立であるか判定せよ．

(6-9) V をK-ベクトル空間とし，a₁,a₂, . . . ,a_m ∈V とする．このとき，a₁,a₂, . . . ,a_m    が一次独立ならば，任意の1≤i₁ < i₂ <· · ·< i_n≤mに対してa_i1,a_i2, . . . ,a_inも    一次独立であることを示せ．ただし，(6-10)の結果は使わず示せ．

(6-10) V をK-ベクトル空間とし，a₁,a₂, . . . ,a_m ∈V とする．ある1≤i₁ < i₂ <· · ·<

i_n ≤ mに対してa_i1,a_i2, . . . ,a_inが一次従属であればa₁,a₂, . . . ,a_mも一次従属     であることを示せ．ただし，(6-9)の結果は使わずに示せ．

3