７ . 位相空間についてあれこれ
科目： 数学演習IIA（ f組）
担当： 相木
前回定義した位相空間について，すでに扱った概念の再定義を続ける．
閉包
(X,O)を位相空間とし，A⊂Xとする．このとき，以下で定める集合AをAの閉包 という．
A= ∩
Mc∈O,A⊂M
M
ここで，右辺の共通部分は「Mc∈ OかつA⊂Mであるような集合M全ての共通部 分」である．言い換えれば「Aを含むような閉集合全ての共通部分」と同じである．
また，前回の演習問題の結果を踏まえるとAが何であってもAは閉集合である．
様々な用語
(X,O)を位相空間とし，A⊂Xとする．
（内点） A◦に属す点をAの内点という．
（触点） Aに属す点をAの触点という．
（外部・外点） (Ac)◦ をAの外部といい，Aの外部に属す点をAの外点という．以 後，Aの外部をAeと表す．
（境界・境界点） A\A◦をAの境界といい，Af で表す．Af に属す点をAの境界点 という．
注意：前回のプリントで再定義した開核，および上で再定義した点や集合は今までに扱っ たものと同じ点・集合を表しているのだが，定義の仕方が少し違うことに注意．
距離空間においては距離関数を使って内点や外点を定義し，それらを全て集めた集合 として開核と外部を定義したのに対し，一般の位相空間においては開核や外部などの集合 が先に定義され，それらに属す点として内点や外点が定義されている．
これは，距離空間においては距離関数を使って内点や外点を直接定義できるのに対し，
位相空間においてはそれができないことに起因する．したがって，例えばある点xがAの 内点であるかを調べるためには，まずA◦がどのような集合かを求めた上でxがA◦に属
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すかを議論しなければならない．
これまでに扱わなかった用語を２つ新たに導入する．
集積点・孤立点
(X,O)を位相空間，A⊂Xとし，x∈Xとする．
（集積点） x∈A\ {x}のとき，xはAの集積点であるという．
（孤立点） x∈ Aであり，かつxはAの集積点ではないときにxはAの孤立点であ るという．
距離空間再訪
距離空間(S, d)においては，距離関数を用いて開集合などを直接定義したが，一見す
ると一般の位相空間の定義の仕方と合わないように見える．そこで，もう一度距離空間に おける位相がどのように定義されているのかを復習してみよう．
位相空間の定義においては台集合の部分集合系Oで(O1)〜(O3)を満たすものを位相 と呼ぶのであった（前回のプリント参照）．したがって，距離空間(S, d)が与えられたと き，位相を定めるためにはSの部分集合系で(O1)〜(O3)を満たすものを構成しなくては ならない．そこで，Sの部分集合系Od(S)を以下のように定める．
Od(S) ={A⊂S | ∀x∈A, ∃ε >0, B(x;ε)⊂A} ∪ {∅}
(1)
なお，距離関数dから定まる開球を今までどおりB(x;ε)と表している．上のように定め ると，これまでの演習問題で見てきたようにOd(S)は(O1)〜(O3)を満たすのでOd(S)は Sに位相を定める．(1)を見てみるとOd(S)に属す集合はまさに我々がいままで「開集合」
と呼んでいた集合の集まりであることが分かる．
このようにして，距離空間に対しては距離関数を用いて上のような位相が自然と定め られる．距離関数を用いて定められたこのような位相を距離位相とよぶ．
注意：一般には距離空間に距離位相以外の位相を定めることも可能である．しかし，実用 上は距離空間においては距離位相を入れて考えることが多い．
閉集合系
ここまで，一般の集合Xに対してどのようにすれば「開集合」という概念を定義でき るかを考えて，位相空間を導入した．開集合を定義した上で補集合が開集合になる集合 を閉集合と定義した．ここで，最初に閉集合を定義することは可能か？という疑問が生じ る．答えは Yes である．
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閉集合系
Xを空でない集合とする．Xの部分集合系Aが以下の３つを満たすとき，AはXの 閉集合系であるという．
(A1) ∅, X ∈ A
(A2) A1, A2 ∈ AならばA1∪A2 ∈ A
(A3) Aの要素からなる任意の集合族{Aλ}λ∈Λ に対して ∩
λ∈Λ
Aλ ∈ A
閉集合の定義(A1)〜(A3)は，これまでの演習問題で扱ったRnや一般の距離空間にお ける閉集合の性質そのものである．実は，空でない集合Xに対して位相（つまり開集合 系）を定めることと閉集合系を定めることは同等である（演習問題参照）．
以下では，特に断らない限りXは空でない任意の集合とする．
予約制問題
(7-1) (X,O)を位相空間とする．A⊂Xに対して，AはAを含む最小の閉集合であるこ とを示せ．つまり，以下が成り立つことを示せばよい．
A⊂M, Mc∈ O ⇒ A⊂M
(7-2) 位相空間(X,O)とA⊂Xに対してx∈XがAの孤立点であるとはどのような状 況か．R2における具体例を用いて図を使って説明せよ．
(7-3) Xの開集合系と閉集合系は一対一に対応することを示せ．これによって開集合系
を定めることと閉集合系を定めることが同等であることが分かる．
早いもの勝ち制問題
(7-4) (X,O)を位相空間とする．A⊂Xとx∈Xに対して以下の２つが同値であること を示せ．
(i) xはAの集積点である．
(ii) xはAの触点である．
(7-5) X ={a, b, c, d}に対して「{a}は開集合」，「{a, b}は閉集合でない」が満たされる 3
ように位相を定めよ．
(7-6) X ={a, b, c, d, e}に対して位相OをO ={∅,{a},{a, c}, X}によって定める（こ れが位相を定めていることは認めてよい）．このとき，A ={c, e}に対してA◦と Aを求めよ．
(7-7) R2の部分集合系Oを以下のように定める．まず，∀ε >0と∀x∈R2 に対して集 合K(x;ε)を
K(x;ε) = {(y1, y2)∈R2 |x1−ε < y1 < x1 +ε, x2−ε < y2 < x2+ε} によって定める．K(x;ε)を用いてOを
O ={A⊂R2 | ∀x∈A, ∃ε >0, K(x;ε)⊂A} ∪ {∅}
によって定めるとOはR2の位相であることを示せ．
(7-8) R2に対して以下の位相を考える．
O1 ={A⊂R2 | ∀x∈A, ∃ε >0, K(x;ε)⊂A} ∪ {∅}
O2 ={A⊂R2 | ∀x∈A, ∃ε >0, B(2)(x;ε)⊂A} ∪ {∅}
ただし，K(x;ε)は問題(7-7)で定義した集合で，B(2)(x;ε)はユークリッド距離を 用いて定義したR2における開球である．このとき，O1 =O2 であることを示せ．
このことから，一見定義の仕方が違っても定める位相が同じになることもあること が分かる．
(7-9) Rの部分集合系Aを以下のように定める．
A={[a, b]⊂R | a, b∈R} ∪ {∅,R}
ただし，[a, a] ={a}と解釈することにする．このとき，閉集合系の定義(A1)〜(A3) についてAが満たしているものと満たしていないものを判別し，それを証明せよ．
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