Nitecki は、この定理を [Nit] で (Smale-Birkhoff) Theorem として記述しています。 4) ほぼ同じ証明によって、すべての n に対して、ある m に対して fm|Λ が位相的に σ と共役となるような不変集合 x∈Λ が存在することも示すことができます: Σn→Σn。特に、L が双曲線である場合、 f :Tn→Tn は双曲線トーラル自己同型と呼ばれます。点 Tn ⊃π(Qn) は f :Tn →Tn の周期点であることがわかります。これらは Tn 内で密であるため、周期点のセット全体が密です。スメールの蹄鉄（周期点が無数にあり、構造的に安定している）の話を聞いたとき、...
さらに、Hn が開集合であることを示した議論から、 ∀g∈ U の場合、Pn(g) のすべての周期点は f の周期点に近く、Pn(g) には他の点が存在します。存在しないもの。 。
Closing Lemma
Ws(ρ, p) と Wu(ρ, q) は固定の大きさを持ち、(不安定) 多様体は の断面積の影響を受けることが予想されます。 。
C 1 -Closing Lemma: C.Pugh (1967))
General Density Theorem
C 1 -General Density Theorem: C.Pugh (1967))
C 1 -Connecting Lemma
林 [Hay2] は、次の C1 接続補題を証明することにより、流れの場合の C1 構造安定性定数を確立しました。
C 1 -Connecting Lemma: 林修平 (1997))
10 双曲群の多重安定定理 1960 年代初頭、馬蹄写像やトーラル双曲自己同型などの例により、構造の安定性と非可換群 Ω(f) の双曲性が密接に関連していることが示されました。このような Axiom B というものもありますが、現在は廃止され、Axiom と呼ばれています。
この公理 A を満たす力学系は非常に優れた特性を持ち、双曲力学系の理論は 1960 年代後半に開発されました。これには、その力学構造が記号力学系によってほぼ完全に記述できるという事実も含まれます (カリフォルニア大学バークレー校)。 1960 年から 1961 年まで、主にプリンストン高等研究所で勤務。 1964年にバークレーに戻り、その後30年間バークレーで活動しましたが、特に初期の数年間は、後の力学系理論の発展において中心的な役割を果たした研究者を育成しました。例えば。
以下では，双曲力学系理論の土台となる，双曲型集合の（不）安定多様体定理について述べる．. Λ⊂M を f のコンパクト双曲型集合とし，それに対応する分解を TΛM =Es⊕Eu とする．. これは収束し，各 x∈Λ に対してExs 上のノルムを定義する．なぜなら X∞.
双曲型集合に関する（不）安定多様体定理 )
定理 20 の証明の非常に大まかなアイデア
ここで、σ が supx∈Λd(x, σ(x))<∞ として制限されていると仮定します。 σ は単なるマップであり必ずしも連続的ではなく、M はコンパクトであるとは想定されていないため、マップ σ は一般に必ずしも有界であるとは限りません。 .F(incΛ) =b incΛ なので、incΛ は Fb の固定点です。 B(Λ, M) は、和やスカラー倍が定義されていないため、バナハ空間ではありませんが、局所的にはバナハ空間です。
それは空間構造を持っているので、つまり。バナッハ空間のローカル座標が含まれているため、DFb を定義できます。 incΛ が Fb の双曲固定点である場合、バナッハ空間上の局所微分写像の双曲固定点に対する (不安定) 安定多様体定理から、Fb に関して incΛ に局所 (不安定) 安定多様体が得られます。 。
Wϵs(incΛ,Fb)⊂B(Λ,M)を固定小数点incΛの局所安定多様体とする。その理由は、y∈Wx の場合、y=h(x) となる特定の h∈Wϵs(incΛ,Fb) が存在するためです。これは y∈Λ を意味するものではないことに注意してください。以下のような問題が生じる。 1) バナッハ空間のローカル座標を B(Λ, M) に入れるにはどうすればよいですか? 。
わたしは決心する。ここで、expx は expx:TxM →M の指数マップです。 。
11 Axiom A
- Anosov 微分同相写像
- スペクトル分解定理 )
- ここで，D s が B s に C 1 -距離で ϵ 以内とは，R s 内のある s-次元円盤 D があって，
- 局所積構造
- 局所積構造 (Local product structure))
- スペクトル分解定理の証明
- 基本集合の（不）安定多様体
- 擬軌道追跡性
- 孤立不変集合
このことから、スメールは多様体全体が双曲集合アノソフ流となる場合をアノソフ微分同相写像と名付けたのかもしれない。 X がコンパクト計量空間であり、位相同型写像 h: X →X が位相推移的である場合、その逆も当てはまります。言い換えれば、h が位相推移的であるという事実は、X の任意の開集合 U, V に対して、 hn(U)∩V 6=∅． となるような明確な n∈Z が存在するという事実に対応します。双曲集合の（非）安定多様体定理から、ϵ >0 が存在し、Wϵs(x)、Wϵu(x) は任意の x∈Ω(f) に対して定義されます。 。
Xp を閉集合とし、p の周期を ℓ とすると、fℓ(Xp) =Xp となります。 Per(f) は Ω(f) の密度を持ち、Xp は閉集合であるため、Bη(x) に含まれる周期点も Xp に含まれると単純に言えます。 x∈Wu(p) であるため、Wu(x) = Wu(p) であることに注意してください。 Xp は開集合であるため、特定の δ > 0 が存在し、以下が成り立ちます。 。
Xp∩Xq 6=∅ の場合、Xp,Xq は開集合であるため、Xp∩Xq は開集合です。命題 14 の証明: コンパクト多様体は可算開集合基底を持つため、{Uj}j∈Z を Ωi の開集合基底とします。 S. 基本集合の（不安定）多様体については、次のことが当てはまります。 。
トレース補題は、δ 擬軌道 ϵ が双曲群の近傍をトレースすることを述べていますが、一般に、双曲集合に関するトレース補題は次のように述べています (次の一見自然な性質は、不安定多様体に対して示すことができます。
