: 2005 ( ρ t +dv j =0 r m m r = e E( r +e r B( r T 208 T = d E j 207 ρ t = = = e t δ( r r (t e r r δ( r r (t e r ( r δ( r r (t dv j =
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(2) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 173. となる。なお、これらは次の電荷の保存則をみたす。207. ∂ρ + div j = 0 ∂t この系のもう一つの基本方程式として r i にある粒子に対して以下のローレンン ツ力にしたがう運動方程式を仮定する。ただし mi を粒子の質量とする。. ri ) ri ) + ei r˙i × B( mi r¨i = ei E( ここで粒子の運動エネルギー T の時間変化を考えると208. ˙ · j T = dV E. 207. ∂ρ ∂t. =. . ei. i. =. . ∂ δ( r − ri (t)) ∂t. ri δ( r − ri (t)) ei r˙i · ∇. i. =. . r δ( r − ri (t)) ei r˙i · (−1)∇. i. また. div j =. . r δ( r − ri (t)) ei r˙i · ∇. i 208. d 1 ˙2 mi ri dt i 2. =. . mi r˙i · r¨i =. i. =. . . i = ei r˙i · E. i + r˙i × B. i) ei r˙i · (E. i. · j dV E. i. Ei = E( ri ), Bi = B( ri ).
(3) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 174. となる。ここで V は ri を含む任意の領域である。一方 Maxwell の方程式から209. ×H. P = E Eem = dV Eem Eem = として. 1 2 2) (0 E + μ0 H 2. d T + Eem ) + dt. · P = 0 dS ∂V. これより、 P は電磁場の運動量、Eem は電磁場のエネルギーであることがわかる。 ( P はポインティングベクトルといわれる。). 209. Maxwell の方程式より. · rot E. + μ0 H. ·H. ˙ H. · rot H. − 0 E. ·E. ˙ E. 差をとって. = 0. · j = E. 2 + μ0 H. 2) = E. × H). − 1 d (0 E. · j −div (E 2 dt dHem. · j = 0 +E div P + dt. ここで. × B). div (A. = ∂i ijk Aj Bk = ijk (∂i Aj )Bk + ijk Aj (∂i )Bk = kij (∂i Aj )Bk − jik Aj (∂i )Bk. ·B. −A. · rot B. = rot A.
(4) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 11.2. 175. ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャル. = 0 より210 まず div B. 211 212. = rot A. B 210. は 任意のベクトル場 X. =X. T + X. L X. div XT = 0. L = 0 rot X. L、 X. T はそれぞれ縦成分 (longitude)、横成分 (transverse) という。空間の とかける。ここで X 全領域でこのベクトル場が定義できるとき、. T X. L X. =. rot A. =. grad φ. とポテンシャルで表現できる。 211 これらは任意のベクトル場を. r) = X(. . . Xk eik·r. k. とフーリエ展開したとき、. div X. =. . eik·r i k · X k. k. rot X. =. . eik·r i k × X k. k. となることより、. ekσ=0 =. k , ekσ=1 , ekσ=2 k. を右手系の規格直交系として. L X. =. · k) k (X k. · e ) e eik·r = (X eik·r k k,0 k,0 k2 k. L )α (X. =. kα kβ k. T X. =. k2. . k. Xβ e. i k· r. · e ) e eik·r = (X k kσ kσ. k σ=1,2. T )α (X. =. · k) k (X k. Xk − eik·r k2 k. kα kβ (δαβ − 2 )Xβ eik·r = ( ( ekσ )α ( ekσ )β )Xβ eik·r k σ=1,2 k. k. なお完全系の条件より. . ( ekσ )α ( ekσ )β =. σ. よって. σ=1,2. kα kβ + ( ekσ )α ( ekσ )β = δαβ 2 k σ=1,2. ( ekσ )α ( ekσ )β = δαβ −. kα kβ k2.
(5) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ) よって. ∂A. rot E + =0 ∂t. となる。これは次の議論からしたがう。任意のベクトル v に関して. v vα. ( v · eσ ) eσ vβ ( eσ )β ( eσ )α. = =. より. ( eσ )β ( eσ )α = δαβ 関数展開における類似の公式は. . ψj∗ (x)ψj (x ) = δ(x − x ). j 212. 微分形式とベクトル解析の公式の関係をまとめてみよう。. Ω0 dΩ0. = =. f ∂i f dxi. d Ω0. =. Ω1. =. ∂j ∂i f dxj ∧ dxi = 0. Ai dxi : A. dΩ1. =. ∂j Ai dxj ∧ dxi. d2 Ω1. =. ∂k ∂j Ai dxk ∧ dxj ∧ dxi = 0. Ω2. =. Ai ∗ dxi = ijk Ai dxj ∧ dxk. dΩ2 d2 Ω2. = =. ∂ Ai dx ∗ dxi = ∂i Ai dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 0. 2. : grad f : rot grad f = 0. : rot A. =0 : div rot A. :A. : div A. ここで. ∗1 = ∗dx1 = ∗(dx1 ∧ dx2 ) = ∗(dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ) =. dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 dx2 ∧ dx3 , ∗dx2 = dx3 ∧ dx1 , ∗dx3 = dx1 ∧ dx2 , dx3 , ∗(dx2 ∧ dx3 ) = dx1 , ∗(dx3 ∧ dx1 ) = dx2 , 1. として. A = Ai dxi ∗dA = rot A = (rot A)i dxi ∗d ∗ A = div A dφ ∗d ∗ dφ. = grad φ = ∇φ = Δφ. = div rot A rot grad f =. ∗d ∗ (∗dA) = d(dA) = 0 ∗d(df ) = 0. 176.
(6) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 177. これから. = − ∂ A − ∇φ. E ∂t 、スカラーポテンシャル φ を用いて、物理量は書きな とベクトルポテンシャル A おせる。 ここで χ( r, t) を任意の時空間の関数としてつぎのゲージ変換 + ∇χ. → A = A A ∂χ φ → φ = φ − ∂t B は不変であることに注意する。 をおこなっても対応する物理量 E, = E,. E. = B. B. つまり、ポテンシャルによる記述には自由度が残っていることに注意しよう。以下 Maxwell の方程式をこのポテンシャルで書き直そう。 −D ˙ = j より213 まず rot H. 1 ¨ ˙ + μ0 j = −∇(div. + 1 φ) A − ΔA A 2 c c2 1 = 0 μ0. ≡ −2A c2 = ρ より また div D. ˙ + 1 ρ −Δφ = div A 0. ここで特定のクーロンゲージ. =0 div A をとると Maxwell 方程式は次の 2 つの関係式となる。. = = μ0 J −2A 1 −Δφ = ρ 0 積分公式については. dΩ2. =. V. dΩ1. Ω1. = ∂L. ∂V. · d r A. · dS. = rot A. S. Ω0. · dS. A. V. :. ∂S. dΩ0. 213 1. μ0 rot rot A. =. dV = div A. :. ∂V. S. L. Ω2. : L. ∂S. r=r grad f · d r = f ( r)r=rf in. ¨ − ∇φ). − ΔA. + = j よって ∇div A − 0 (−A. ini. 1 c2. . ¨ + ∇φ˙ = μ0 j A.
(7) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 178. ここで. φ˙ J = j − 0 ∇ このスカラーポテンシャルに関する方程式はすぐ積分できて214. φ( r) = よって. J =. i. なお. 1 ei 4π0 i | r − ri |. ei ∂ ˙i r − ri ) + ei rδ( − ∇ ∂t 4π| r − ri |. . 215. div J = 0 ここで系が一辺体積 の なかにあるとして周期的境界条件のもとで A をフーリエ 変換しよう。216. = √1 eik·r A A k V k. k = 2π (nx , ny , nz ), ni = · · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · L = 0 よってベクトルポテンシャルを次の形に書こう。 = 0 より k · A ここで div A k 217. kˆ · ekσ=1 = 0, kˆ · ekσ=2 = 0, ek1 · ek2 = 0 として、. r, t) = √ 1 A( 0 V. . . ekσ qkσ (t)eik·r. σ=1,2. k. 214. −Δf ( r) = δ( r) の解は. f ( r) =. 1 4πr. 215. ∂ ∂ div J = − 0 Δφ + div j = ρ + div j = 0 ∂t ∂t 216. 1 Ak = √ V 217. . r )e−ik·r dV A(. . = √1 A. e q (t) k 0 σ=1,2 kσ kσ.
(8) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 179. =A ∗ よって また A が実であることより、 e−kσ = ekσ ととると、A k −k ∗ qkσ (t) = q−kσ (t). と書ける。同様に. 1 φ( r, t) = √ φk (t)eik·r V k. j( r, t) = √1 j (t)eik·r k V k. = μ0 J について議論しよう。まず縦成分 ( k 方向の成分 ) に関しては と書き 2A = 0 より div A 0 ik 2 φ˙ k − k · jk = 0 しかし一方ポアソン方程式を時間微分し連続の方程式をつかって. 0 Δφ˙ = −ρ˙ = ∇r · j これからフーリエ成分については −k 2 φ˙ k = i k · jk よって縦成分の関係式は自動的 に満たされている。次に横成分に関しては218. 1 2 ekσ · dV j( r)e−ik·r q¨kσ + ωk qkσ = √ 0 V 1 = √ ei ( ekσ · r˙i )e−ik·ri (ω = ck) 0 V i これが ベクトルポテンシャルの満たすべき方程式で Maxwell の方程式と同値な方 程式である。これは偏光 ekσ ごとの強制振動の方程式である。. 218. . ekσ ·. . − 2A( r). 1
(9)
(10) 1 1 1 = ekσ · √. ekσ 2 q¨kσ + k 2 qkσ eik·r = √ q¨kσ + k 2 qkσ eik·r 2 c 0 V σ=1,2 0 V c k. r). ekσ · μ0 J(. = ekσ. 1. j eik·r · j( r) = μ0 √ ekσ · k V k. より. 1 q¨ + k 2 qkσ c2 kσ. =. √ μ0 0 √ μ0 0 ekσ jk = √ dV ekσ j( r)e−ik·r V. k.
(11) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 11.3. 180. 古典場の方程式. まず電磁場のエネルギーを考え２つの部分に分けよう。219 220 . 1 1 ˙ 2 2. Eem = dV 0 (A + ∇φ) + (rot A) 2 μ0 = Erad + Ecoulomb . 1 1 ˙2 2. Erad = dV 0 A + (rot A) 2 μ0 . 1 ˙ · ∇φ. dV 2A∇φ + ∇φ Ecoulomb = 0 2 . 1 ˙ = −0 dV 2φ div A + φΔφ 2. 1 = dV ρφ 2 ei ej 1 = 2 ij 4π0 | ri − rj | ei ej + (自己相互作用の発散項) = 4π | r −. r | 0 i j i<j ここで Ecoulomb はクーロン相互作用であり (自己相互作用の発散項はここでは考え ないこととする) Erad は輻射場のエネルギーである。 ここで pkσ (t) = q˙−kσ (t) とすると. r , t) = √ 1 A( 0 V ˙ r , t) = √ 1 A( 0 V 219. k. σ=1,2. k. . ekσ pkσ (t)e−ik·r. σ=1,2. = dV div (f ∇g). . ekσ qkσ (t)eik·r. · ∇g. + dV ∇f. · f ∇g. dS. dV f Δg = ∂V. より、境界項が周期的境界条件できえるため. dV ∇f · ∇g = − dV f Δg = − dV (Δf )g 220. ˙ = div (φA). ˙ = 0. · φA dS ∂V. から. ˙ = − dV φdiv A. · ∇φ. dV A.
(12) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 181. これを Erad に代入して221. Erad. 1 2 2 = pkσ p−kσ + c k qkσ q−kσ 2 σ=1,2 k. よって運動エネルギー T =. 1 2. ¨2 r を加えて古典的エネルギーとしては i. H = T + Erad + Ecoulomb となる。そこで正準変数としては 輻射場の qkσ , pkσ , 粒子系の ri , その共役運動量 として ri ) = mi r˙i + ei A i P i = mi r˙i + ei A( をとりハミルトニアンとして以下のものをとると. H = Hpart + Hrad + Hcoulomb 1 ri ))2 Hpart = (P i − ei A( 2m i i 2 1 1 k· i r P i − ei √ = ekσ qkσ e i 2m V i 0 i kσ 1 2 2 pkσ p−kσ + c k qkσ q−kσ Hrad = + 2 k σ=1,2 ei ej Hcoulomb = 4π0 | ri − rj | i<j 以下の正準方程式から. ∂H ∂qkσ ∂H ∂pkσ ∂H α ∂rkσ ∂H α ∂Pkσ 221. = −p˙kσ = q˙kσ α = −P˙kσ α = r˙kσ. 磁場のエネルギーに関しては. × rot A). = div (A =. · rot A. −A. · rot rot A,. · (A. × B). =∇. ×A. ·B. −A. ·∇. × B). rot A (∇. · rot A. −A. · grad div A + A. · ΔA. rot A. = 0 を使って より表面項が消えることおよび div A. · rot A. = − dV A. · ΔA. dV rot A.
(13) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ) 粒子の運動方程式222. ri ) + r˙i × B( ri )) mi r¨i = ei (E( と Maxwell の方程式 222. 粒子系に対しては. r˙iα. = =. −P˙iα. = = =. ∂H ∂Piα 1 (P α − ei Aα ( ri )) mi i ∂H ∂riα 1. ri )) · (−ei )∂α A(. ri ) + ei ∂α φ( ri ) (Pi − ei A(. mi −ei r˙iβ ∂α Aβ ( ri ) + ei ∂α φ( ri ). ここで. ∂ Hcoulomb ∂riα. = =. 1 1 ∂ α ∂ri 4π0 | ra − rb | a<b ∂ 1 1 ∂riα 4π0. j(=i). | ra − rb |. = ∂α ei φ( ri ) = ∂α ei φi. i A d. Ai dt. ri ) = A(. . r) dA(. = dt . r= ri. i. r A + ˙ri · ∇ i. に注意する。よって. mi r¨iα. =. i Aα P˙iα − ei A˙ α ri ) − ei ˙ri · ∇ ri ) i (. i (. =. ei r˙iβ ∂α Aβ ( ri ) − ei ∂α φ( ri ) ˙ −ei A˙ α ri ) − ei riβ ∂β Aα ri ) i (. i (.
(14) ˙ ri ) + r˙iβ ∂α Aβ ( ri ) − riβ ∂β Aα ri ) ei − ∂α φ( ri ) − A˙ α i (. i (. = ここで. α ( r˙ × rot A). = αβγ r˙ β γηξ ∂η Aξ = (δαη δβξ − δαξ δβη )r˙ β ∂η Ax i = r˙ β ∂α Aβ − r˙ β ∂β Aα. より. ri ) + r˙i × B( ri )) mi r¨i = ei (E(. 182.
(15) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 183. 223. q¨−kσ + c2 k 2 q−kσ = √. 1 ˙ ei ( ri · ekσ )eik·ri 0 V i. がでる。 なおゲージ不変な粒子の速度は.
(16) 1 ri ) Pi − ei A( r˙i = mi となることに注意しよう。 最後に場の量を正準変数で書いておこう。. =−A ˙ − ∇φ. E 1 . ekσ pkσ e−ik·r − ∇φ =− √ 0 V kσ. =rot A. B i =√ k × ekσ qkσ eik·r b 0 V kσ. 場の運動量. 11.4. em はポインティングベクトルから次のように計算される。 また電磁場の運動量 G. 223. 輻射場については. −p˙kσ. =. ∂H ∂qkσ. =. c2 k 2 q−kσ +. 1 . 1 1
(17) P i − ei √. ekσ qkσ eik·ri · − ei √. ekσ eik·ri mi 0 V 0 V i kσ. = = q˙kσ. =. q¨−kσ. = =. 1
(18). i ) · − ei √ 1 e eik·ri (P i − ei A c2 k 2 q−kσ + kσ mi 0 V i 1 c2 k 2 q−kσ − √ ei ( r˙i · ekσ )eik·ri 0 V i ∂H = p−kσ ∂pkσ p˙ −kσ. 1 −c2 k 2 q−kσ + √ ei ( r˙i · ekσ )eik·ri 0 V i.
(19) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 184. 1. ×H. dV P = 2 dV E c. ˙
(20) 1 1 + ∇φ. dV A × rot A − 2 c μ0 0 + G G em em 1 1 ˙ × rot A. − 2 dV A c μ0. 1 1 × rot A. − 2 dV ∇φ c μ0 1 c2. = G = = 0 = G em em = G. 0em は正準変数で次のように書ける。224 まず、純輻射場の運動量 G 0 = −i G em. . k p q kσ kσ. kσ. さらに粒子の存在からくる項を次のように変形しよう (部分積分ならびに周期的境 界条件から境界項がきえることとクローンゲージの条件に注意). 1 1 × (φ rot A) − φ rot rot A. dV ∇ Gem = − 2 c μ0. 1 1 1 1. = − 2 dV φ ΔA = − 2 dV (Δφ) A c μ0 c μ0. 1 1 j = ej A = 2 dV ρA c 0 μ0 j. T を粒子系の運動量と輻射場の運動量の和として よって全運動量 G T = em G mj r˙j + G j. =. . 0 P j + G em. j 224. 0em G. 1 1. ˙ × rot A. = − 2 dV A c μ0 1 1 1 1 = − 2. ekσ qkσ ) √ √ ekσ pkσ × (i k × c μ0 0 0 σ σ k = −i pkσ qkσ ekσ × ( k × ekσ ) k. = −i. . σσ. k p q kσ kσ. kσ. e × ( k × e) = k, (| e| = 1).
(21) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ) となる。. 11.5. 場の角運動量. 次に電磁場の角運動量 J em を計算しておこう。. J em = = = 0 = J em = J em. 1. × H). dV r × P = 2 dV r × (E c. ˙
(22) 1 1 + ∇φ. dV r × A × rot A − 2 c μ0 0 J em + Jem. 1 1 ˙ × rot A). − 2 dV r × (A c μ0. 1 1 × rot A). − 2 dV r × (∇φ c μ0 1 c2. 0 まず、純輻射場の角運動量 J em を次のように２つの部分に分ける。225. s J em = J em + Jem. 1 . Jem = − d3 r A˙ j Aj μ 0 c2 V. 1 s ˙ × A. Jem = − d3 r A 2 μ0 c V =− ( ekσ × ekσ )pkσ qkσ k,σσ 225. i =ijk A˙ j klm ∂l Am = (δil δjm − δim δjl )A˙ j ∂l Am (A˙ × rot A) ∂ =A˙ j ∂i Aj − A˙ j ∂j Ai = A˙ j ∂i Aj − ∂j (A˙ j Ai ) + (∂j Aj )Ai ∂t =A˙ j ∂i Aj − ∂j (A˙ j Ai ). a =abc rb A˙ j ∂c Aj − abc rb ∂j (A˙ j Ai ) ( r × (A˙ × rot A)) =abc rb A˙ j ∂c Aj − ∂j (abc rb A˙ j Ai ) + abc ∂j (rb )∂j (A˙ j Ac ) = abc rb A˙ j ∂c Aj − ∂j (abc rb A˙ j Ac ) + abc A˙ b Ac = A˙ j (
(23) Aj )a − ∂j (abc rb A˙ j Ac ) + abc A˙ b Ac. 境界項を落として. V. = d3 r r × (A˙ × rot A). V. d3 r A˙ j
(24) Aj +. V. ˙ × A. d3 r A. 185.
(25) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 186. さらに粒子の存在からくる項を数回部分積分して変形すると次のようになる。226. . j ). = Jem = − 0 dV Δφ r × A = dV ρ r × A rj × (ej A j. よって全角運動量 J T を粒子系の角運動量と輻射場の角運動量の和として j + J 0 J T = L rj × (mj r˙ )j + J em = em. j. j. j = rj × (m r˙j + ej Aj ) = rj × P j L となる。. 12 12.1. 場の量としての電磁場と相互作用する粒子系 ラグランジアン密度と運動方程式. 前節の議論から Maxwell 方程式は. ˙ − μ0 j = ∇(div. + 1 φ) 2A A c2 1 1∂ − μ0 cρ Δφ = − div A c c ∂t 226. × rot A. =∇. × (φrot A). − φrot rot A. =∇. × (φrot A). + φΔA. ∇φ. × rot A). = r × (∇. × (φrot A)). + r × φΔA. r × (∇φ. × (φrot A))]. m = (δil δjm − δim δjl )rj ∂l (φrot A). m [ r × (∇ =ijk rj klm ∂l (φrot A) i. j − rj ∂j (φrot A). i =rj ∂i (φrot A). j ) − φ(rot A). i − ∂j (rj φ(rot A). i ) + 3φ(rot A). i =∂i (rj φ(rot A). j ) − ∂j (rj φ(rot A). i ) + 2φ(rot A). i =∂i (rj φ(rot A). =ijk rj φ∂l ∂l Ak [ r × φΔA] i =∂l (ijk rj φ∂l Ak ) − ijk φ∂j Ak − ijk rj (∂l φ)∂l Ak.
(26) =∂l (ijk rj φ∂l Ak ) − ijk φ∂j Ak − ∂l ijk rj (∂l φ)Ak + ijk (∂j φ)Ak + ijk rj (∂l ∂l φ)Ak.
(27) =∂l (ijk rj φ∂l Ak ) − ijk φ∂j Ak − ∂l ijk rj (∂l φ)Ak + ∂j (ijk φAk ) − ijk φ(∂j Ak ) + ijk rj (∂l ∂l φ)Ak.
(28). i + (Δφ)( r × A). i =∂l (ijk rj φ∂l Ak ) − ∂l ijk rj (∂l φ)Ak + ∂j (ijk φAk ) − 2φ(rot A) J em = − 0. = dV Δφ r × A. = dV ρ r × A. j. rj (ej × Aj ).
(29) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 187. となる。227 これらをまとめてローレンツ変換に対して共変な形で Maxwell 方程 式は次のように書ける。. ∂μ (∂ μ Aν − ∂ ν Aμ ) = μ0 j ν ∂μ f μν = μ0 j ν ここで前に述べたように. 1 A0 = φ c A1 = −A1 = −Ax A2 = −A2 = −Ay A3 = −A3 = −Az f μν = ∂ μ Aν − ∂ ν Aμ j 0 = cρ j i = ( j)i である。 これを最小作用の原理から導く作用は粒子系のものを含めて次のように与えら " れる。(τ(i) は i 番目の粒子の固有時間である。dτ(i) = dt. 1−. 227. ˙ − μ0 j. = ∇(div. + 1 φ) 2A A c2 1 ∂ 1. − μ0 cρ Δφ = − div A c c ∂t まず. + 1 ∂φ = ∂μ Aμ div A c2 ∂t に注意して第１式は. −∂μ ∂ μ Ai = −∂ i ∂μ Aμ − μ0 j i 第 2 式は次のように書きなおせるから. 1 ∂φ 1 ∂ 1 1 ∂ μ =− 2 φ+ 3 ∂μ A − 2 φ − μ0 cρ c c ∂t c ∂t c ∂t −∂μ ∂ μ A0 = −∂ 0 ∂μ Aμ − μ0 j 0 これらをまとめて Maxwell 方程式は次のように書ける。. ∂μ (∂ μ Aν − ∂ ν Aμ ) = μ0 j ν ∂μ f μν = μ0 j ν. vi2 ) c2.
(30) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 188.
(31) d4 x L0 (x) + Lrad (x) + Lel (x). Sem = S0 + Srad + Sel =. (d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 = cdtd3 r) . dxμ(i) dxν(i) 4 L0 (x) = − mi c dτ(i) gμν δ (x − x(i) ) dτ dτ (i) (i) i . " dxμ(i) dxν(i) S0 = − mi c dτ(i) gμν =− mi c dt gμν x˙ μ(i) x˙ ν(i) dτ(i) dτ(i) i i 1 fμν f μν 4μ0 c. 1 Srad = − dtd3 r fμν f μν 4μ0 Lel (x) = −j μ (x)Aμ (x). .
(32) μ 4 ri , t) dt ei Aμ (x(i) )x˙ (i) = dt ei − φ( ri , t) + r˙i · A( Sel = d x Lel (x) = −. Lrad (x) = −. j μ (x) =. . cei. i. dτ(i) δ 4 (x − x(i) )x (i) = (c μ. i. . i. ei δ 3 ( r − ri ), ei r˙i δ 3 ( r − ri )). i. 輻射場の運動方程式は. 1 δLrad ∂ = ∂ν (∂κ Aρ − ∂ρ Aκ )(∂ κ Aρ − ∂ ρ Aκ ) δAμ (x) 4μ0 ∂∂ν Aμ 1 = ∂ν f νμ μ0 δLel = −j μ δAμ (x) また粒子系についてはすでに議論した。.
(33) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 12.2. 189. エネルギー運動量テンソルと保存則. 次に Maxwell 方程式 (場の方程式) ∂μ f μν = μ0 j ν に fλν をかけると少し計算し て228. ∂μ T μ λ = fλν j ν 1 1 μ κν μ κμ T λ= f fκλ − δ λ f fκν μ0 4 この T μ λ を電磁場のエネルギー運動量テンソルと呼ぶ。具体的には T μν = g λν T μ λ 1 1 λν μ κν μν λν κμ αβ g gκα gλβ f f − g δ λ f fκν T = μ0 4 1 μν κν 1 κμ αν gκα f f − g f fκν = μ0 4. 228. fλν ∂μ f μν = ∂μ (fλν f μν ) − f μν ∂μ fλν 1 = ∂μ (fλν f μν ) − f μν (∂μ fλν − ∂ν fλμ ), f μν = −f νμ 2 1 1 = ∂μ (fλν f μν ) − f μν (∂μ fλν + ∂ν fμλ + ∂λ fνμ ) + f μν ∂λ fνμ 2 2 1 μν μν = ∂μ (fλν f ) + f ∂λ fνμ 2 1 1 μν = ∂μ (fλν f ) − ∂λ (f μν fμν ) = ∂μ (fλν f μν ) − ∂λ (f κν fκν ) 4 4 1 = ∂μ (fλν f μν ) − δ μ λ ∂μ (f κν fκν ) 4 1 μ κν κμ = ∂μ f fκλ − δ λ f fκν 4. ここで. ∂μ fλν + ∂ν fμλ + ∂λ fνμ = ∂μ (∂λ Aν − ∂ν Aλ ) + ∂ν (∂μ Aλ − ∂λ Aμ ) + ∂λ (∂ν Aμ − ∂μ Aν ) = 0.
(34) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ) として T μν = T νμ と対称であり具体的には次のように書ける.. 190. 229. 1 2 2 ) = −Hem T 00 = − (0 E + μ0 H 2 1 ×H. T k0 = − (P )k , P = E c 1 2 2 )) T kl = 0 Ek El + μ0 Hk Hl − δkl (0 E − μ0 H 2 また. ∂μ T μκ = f κν jν. 229. ⎛. 0. ⎜ − Ex c fμν = ⎜ ⎝ − Ey c − Ecz. Ey c. Ex c. −Bz 0 Bx. 0 Bz 0. f αβ = g αμ g nuβ fμν ⎛ 1 0 ⎜ 0 −1 = ⎜ ⎝ 0 0 0 0 ⎛ 0 − Ecx E ⎜ x 0 c =⎜ ⎝ Ey Bz c Ez −B y c. Ez c By. ⎞. ⎟ ⎟ −Bx ⎠ 0 μν. ⎞⎛ 0 0 0 ⎜ − Ex 0 0 ⎟ c ⎟⎜ −1 0 ⎠ ⎝ − Ecy 0 −1 − Ecz ⎞ E − cy − Ecz −Bz By ⎟ ⎟ 0 −Bx ⎠ Bx. 0. Ex c. 0 Bz 0. Ey c. −Bz 0 Bx. ⎞⎛. ⎞ 1 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ ⎟⎜ ⎟ −Bx ⎠ ⎝ 0 0 −1 0 ⎠ αβ 0 0 0 −1 0 Ez c By. αβ. より. f αβ fαβ = −. T. 00. T 10 他の空間成分をまとめて. T k0. さらに. T kl. 2 2. 2 E + 2B c2. 2 2 1 1 1 2 1 2. 2 + μ0 H. 2 ) = −Hem. = − 2 E − (− 2 E + 2B ) = − (0 E μ0 c 4 c 2 1 1. 1 × H) = − Bz Ey + By − Ex ) = − (E cμ0 c 1. ×H. = − P k , P = E c 1 2 2 1 1 1 = ( Ek El + Bk Bl + δkl (− 2 E + B )) μ0 c2 2 c 1. 2 − μ0 H. 2 )) = 0 Ek El + μ0 Hk Hl − δkl (0 E 2.
(35) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 191. dπ μ. ここで i 番目の粒子の運動方程式を dt(i) = ei x˙κ(i) f μκ と書けば. d3 r j( x) = ei x˙κ(i) f μκ V. i. に注意して230. d μ 1∂ π(i) = dt i c ∂t. d3 r T 0μ. V. 各成分で書いて. i. 2. d3 r Hem ( r) = const.. Mi c + V. . d3 r P ( r) = const.. Mi vi + V. i. これはエネルギーと運動量の保存則をあらわす。. 13. 荷電粒子と電磁場の系の量子化. 前節で与えた古典的正準方程式にしたがって量子化しよう。具体的には輻射場の. 正準変数 q , p , および粒子系の正準変数 ri , その共役運動量として P i = mi r˙i +ei A kσ. kσ. を演算子としてその間に交換関係. [qkσ , pkσ ] = iδkk δσσ [riα , Pjβ ] = iδij δαβ を課す。ここでは具体的な表示として粒子系に対しては微分表示. i P i = −i∇. 230. d μ π = dt i (i). V. d3 r ∂ν T νμ. 1 ∂ d3 r T 0μ + ∂i T iμ c ∂t V V. 1 ∂ 1 ∂ 3 0μ = d rT + dSi T iμ = d3 r T 0μ c ∂t V c ∂t V S =.
(36) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ) をとろう。また輻射場に対してはボーズ粒子による表現 † qkσ = (a + akσ ) 2ωk −kσ ωk † pkσ = i (akσ − a−kσ ) 2 [akσ , a†kσ ] = δkk δσσ. [akσ , a−kσ ] = 0 [a†kσ , a†−kσ ] = 0. をとろう。 この表示でベクトルポテンシャルは231 1 r) = √ ekσ (a†kσ e−ik·r + akσ eik·r ) A( 2ωk o V kσ. となる。. 231. r) = A(. =. =. 1 √. e q eik·r o V kσ kσ kσ 1 √. e (a† + akσ )eik·r 2ωk kσ −kσ o V kσ 1 √. ekσ (a† e−ik·r + akσ eik·r ) kσ 2ωk o V kσ. 192.
(37) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 193. 場の量の交換関係 ここで場の量の交換関係を計算しておこう。232. [Aα ( r), Aβ ( r )] =0 [Eα ( r), Eβ ( r )] =0 [Bα ( r), Bβ ( r )] =0 [Eα ( r), Aκ ( r )] =i. 13.1. 1 αβγ ∂γ δ( r − r ) 0 V. Hamiltonian. よってハミルトニアンは古典系のものをここでの演算子で書き直して233 232. [Aα ( r), Aβ ( r )] =0 [Eα ( r), Eβ ( r )] =0 [Bα ( r), Bβ ( r )] =0 [Eα ( r), Aβ ( r )] = −. 1 ( ekσ )α ( ekσ )β [pkσ , qkσ ]e−ik·(r−r ) 0 V. kσ. i = ( ekσ )α ( ekσ )β eik·(r−r ) 0 V. kσ. i kα kβ = (δαβ − 2 )eik·(r−r ) 0 V k. k. [Eα ( r), Bβ ( r )] =βγκ ∂γ [Eα ( r), Aκ ( r )] kα kκ (δακ − 2 )βγκ kγ eik·(r−r ) =− 0 V k k. =− βγα kγ eik·(r−r ) 0 V. k. αβγ ∂γ δ( r − r ) =i 0 V 233. 1 2 pkσ p−kσ + ωk qkσ q−kσ = 2 k. =. ωk k. k. =. k. =. k. 4. −. (a†kσ. −. a−kσ )(a†−kσ. − akσ ) +. (a†−kσ. +. akσ )(a†kσ. 1 ωk (a−kσ a† + a† akσ ) + a† a−kσ ) + akσ a† ) −kσ kσ −kσ kσ 4 1 ωk (akσ a† + a† akσ ) kσ kσ 2 1 ωk (a† akσ + ) kσ 2. + a−kσ ).
(38) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ) 234. H = Hpart + Hrad + Hcoulomb 1 ri ))2 i − ei A( Hpart = (−i∇ 2mi i 1 . A( ri ) = √ ekσ (a†kσ e−ik·ri + akσ eik·ri ) 2ωk o V kσ 1 ωk (nkσ + ) Hrad = 2 σ=1,2 k a†kσ akσ. nkσ =. . Hcoulomb =. i. ei ej | ri − rj |. となる。. 13.2. 運動量. また場の運動量は235. 0 = G em. . k nkσ. kσ. 234. ri ) = √ 1 A(. o V. . . kσ. . e (a† e−ik·ri + akσ eik·ri ) 2ωk kσ kσ. 235. G0em. . = −i. k p q kσ kσ. kσ. =. 1 † k(a − a−kσ )(a† + akσ ) kσ −kσ 2 kσ. 1 † † k(akσ a−kσ − a−kσ akσ + a†kσ akσ − a−kσ a†−kσ ) = 2 kσ = k a† akσ ( k ↔ − k) kσ. kσ. 最後の変形では ( k ↔ − k) に注意する。. 194.
(39) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 195. となり、粒子の運動量を加えて. T = G p + G 0em G i+ ∇ = k nkσ i i p = G. i. i. kσ. i ∇. ここで運動量とハミルトニアンの交換子は. T] = 0 [H, G となることも示せる。236. 14. 電磁場と物質の相互作用. ここでもし A, A2 の項がなければ粒子系と輻射場は分離するのでこの項を摂動 ハミルトニアンと考え、以下摂動論により議論を進めよう。ここでクーロンゲー ジをとっているため237 ri ) = A( ri ) · P i P i · A( であることに注意し系のハミルトニアンを次のように分離する。. H = H0 + Hint 236 . j] = [eik·rj , ∇ [a, a† a] =. [a† , a† a] =. ri ))α , G. T] = [(A(. T] = [Hpart , G. T] = [H, G = = =. −i keik·rj a. −a†. . . . ( ekσ )α [a† e−ik·ri , ∇ i + kn kσ ] kσ 2ωk i kσ . . + kn ] =0 +[akσ eik·ri , ∇ i kσ i. 1 √ 0 V . 0. p + G. 0 ] [Hpart + Hrad + Hcoulomb , G em. p + G. 0em ] [Hrad + Hcoulomb , G. p + G. 0 ] [Hcoulomb , G em. [Hcoulomb , Gp ] = 0. 237. ri )]∗ = A. i · P i (∗) + (P i · A. i ) ∗ −A. i (·P i ∗) = −idiv A(. ri ) = 0 [P i , A(.
(40) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 196. ここで H0 は粒子系と放射場の分離した以下のハミルトニアンであり、. H0 = Hp + Hrad 2 ei ej Hp = − Δi + 2mi | ri − rj | i i 1 Hrad = ωk (nkσ + ) 2 σ=1,2 k. Hint はベクトルポテンシャルによる粒子系と放射場の相互作用である。 Hint = H (1) + H (2) iei ri ) · ∇ i A( H (1) = m i i. 1 iei = √ o V i mi . H (2) =. (ei )2 i. =. 2mi. . kσ. † i) (a−kσ + akσ )eik·ri ( ekσ · ∇ 2ωk. r i )2 A(. (ei )2 1 ( e · e ) † kσ kσ (a−kσ + akσ )(a†−k σ + ak σ )ei(k·ri +k ·ri) √ 2mi o V 2 ωk ωk i kk σσ. よって非摂動系の基底は粒子系の固有状態 Ψm ({ ri }) 固有エネルギー Em および 輻射場の状態ベクトル |{nkσ } により次のように書ける。(セロ点エネルギーは除 いた) H0 |m; {nkσ } = (Em + nk ωk ))|m; {nkσ } kσ. |m; {nkσ } = |{nkσ } Ψm ({ ri }) Hp Ψm ({ ri } = Em Ψm ({ ri }) nk ωk |{nkσ } Hrad |{nkσ } = kσ. 特に H (1) は光子 1 つの吸収放出に関係し H (2) は光子 2 つが関与する過程を記述 する。 以上粒子系に対する相対論的効果を無視してきたが最低次の相対論的補正が. −. e. σ · rot A 2m. であったことに対応して次の項が摂動ハミルトニアンとして付け加わる。.
(41) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 197. ei ei i = − i×A i σ · roti A σ · ∇ 2m 2m i i i i iei † 1 =− √ (a−kσ + akσ )eik·ri σ · ( ekσ × k) 2m 2ω 0 V i k,σ i k. H (s) = −. 14.1. フェルミの黄金律. ここで摂動論による状態の遷移確率に関するフェルミの黄金律を復習しておこ う。まず非摂動系とその状態. H0 |n = En |n を考え全系が (時間に依存しない) ハミルトニアン. H = H0 + Hint に支配されているとする。このとき時間 0 に状態が非摂動状態 a にあったとして 単位時間あたりに非摂動状態 b へ遷移する確率を求めよう。ただし摂動項は十分 小さく、更に観測時間は十分長いことを仮定する。. • 相互作用表示 シュレディンガー方程式. i∂t Ψ = (H0 + Hint )Ψ において. Ψ = e−iH0 t/ΨI とすると238 I i∂t ΨI = Hint ΨI I Hint = eiH0 t/Hint e−iH0 t/. これを相互作用表示という。よって. ΨI (t) =. . cn (t)|n. n. とすれば. ic˙n =. . I
(42) n|Hint |m cm. m. =. m. 238. 代入せよ.
(43) n|Hint |m ei(En −Em )t/cm.
(44) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 198. なおこれより確率の保存. d |cn (t)|2 = 0 dt n はすぐに導ける。(自明か?) もとに戻り. ca (t = 0) = 1, cn (t = 0) = 0, (n = a) として時間が初期条件からあまりたっていないと仮定し逐次近似解を求めると239. cb (t) =
(45) b|Hint |a. ei(Eb −Ea )t/ − 1 Eb − Ea. よって. |cb (t)|2 = |
(46) b|Hint|a |2 2 ここで240. cos(Eb − Ea )t/ (Eb − Ea )2. 241. 1 − cos αx α→∞ παx2 をもちいると単位時間に a から b に遷移する確率 wa→b が以下のように与えれれ ることを意味する。242 δ(x) = lim. 1 2π |
(47) b|Hint |a |2δ(Eb − Ea ) wa→b = |cb (t)|2 −→ t つまり遷移はエネルギーは等しいが状態のことなるものあいだで起こる。さらに 例えば終状態 b が連続スペクトルに属する場合エネルギー間隔 dEb における状態 密度が ρ(Eb ) であるとすれば状態数は ρ(Eb )dEb なので遷移確率は. 2π |
(48) b|Hint |a |2ρ(Eb ) wa→b ρ(Eb )dEb = となる。これをフェルミの黄金律という。243 239. ic˙b (t) =
(49) b|Hint |a ei(Eb −Ea )t/ ca 240. これより逐次近似の有効範囲は. |
(50) b|Hint |a | << |Eb − Ea | であり時間にはよらないことがわかる。 241 ∞. dy −∞ 242. 1 − cos αx =π y2. このデルタ関数での置き換えは. |Ea − Eb |t >> 1 で正当化される。つまりエネルギーが近い状態ほど観測時間が十分に長くなければならない。 243 近似である..
(51) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 14.2. 199. 遷移の行列要素と双極子遷移. 光の吸収、放出等を一次の過程に限りフェルミの黄金律の範囲内で議論する。そ のためには次の行列要素 p rad
(52) mb ; {nkσ }b |H (1) ||ma ; {nkσ }a = Mba ( k, σ)Mba (k, σ) kσ p (k, σ) Mba. = =. #. 1 rad (k, σ) = √ Mba o V. . d riΨ∗b ({ ri }). i. iei ik·ri i ) Ψa ({ ri }) e ( ekσ · ∇ mi.
(53) {nkσ }b |(a†−kσ + akσ )|{nkσ }a 2ωk. を計算することとなる。244 まず輻射場については以下の評価を用いる。 √
(54) n − 1|a|n = n 2ω 2ω √
(55) n + 1|a† |n = n+1 2ω 2ω 次に粒子系の波動関数 Ψm ({ ri }) による (m = a, b) 行列要素 M p ( kσ) について少 ba. し議論しよう。まず原子の半径を a として遷移の前後のエネルギー差 E を見積 もって原子の束縛エネルギー. E = ω ≈. e2 4π0 a. とすれば、関与する光の波数 k は. 2π ω E 1 e2 1 k= = = ≈ =α λ c c a 4π0 c a よって. 1 e2 1 α << , α = ≈ , a a 4π0 c 137 ここで α は 微細構造定数とよばれる無次元の物理定数である。つまり粒子系の波 動関数が有限の値をもつ領域においては光の波数と k≈. k = 0 のみを考えれば良いと考えられる。更に粒子系のハミルニアン Hp に対して245. 2 ∇i m 2 [Hp , ri,α ] = − ∂i,α m [Hp , ri ] = −. 244 245. フェルミ粒子系を考える。ボーズ系の場合は規格化に注意する. [. p p p2 , r] = 2[p, r] = 2(−)i = −ip 2m 2m 2m m.
(56) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 200. これから状態が固有状態であることをつかって p p,e−dipole Mba ≈ Mba. = (Eb − Ea ). p,e−dipole Mba. #. = (Eb − Ea )
(57) b|. i. = −iωba μTσ,ba =
(58) b|μiσ |a ,. μTσ,ba. i. iei ( ek=0,σ · ri ) Ψa ({ ri }) . iei ( ek=0,σ · ri ) |a . ωba = Eb − Ea. i.
(59) b| · · · |a ≡ μiσ = ek,σ · μi ,. d ri Ψ∗b ({ ri }). #. d ri Ψ∗b ({ ri })(· · · )Ψa ({ ri }),. μi = ei ri (電気双極子). . 書ける。この eik·ri → 1 ととる近似を電気双極子近似という。 一般にこの b → a の遷移の強さを表す量として振動子強度 fba を次のように定 義する。. fab =. 2m e2 ω. ba. p 2 |Mba |. この振動子強度について電気双極子遷移に関しては次の総和則が成立する。246 fba =N b 246. まず次の 2 重交換子を確認しよう。. [. N . ri,α , [Hp ,. N . i. j. 1 [ ri,α , [. p2k , rj,β ]] 2m i j N. rj,β ]] =. N k. = − 2i. 1 [ 2m. =(−2i)(i) [. N i. ( eσ · ri ), [Hp ,. N . N. ( eσ · rj )]] =( eσ )α ( eσ )α. j. N . ri,α ,. i. N . pj,β ]. j. 1 2 N δαβ = N δαβ 2m m 2 2 N= N m m. [x, [H, x]] = [x, Hx − xH] = xHx − x2 H − Hx2 + xHx = 2xHx − x2 H − Hx2 から
(60) a|[x, [H, x]]|a =2
(61) a|xHx|a −
(62) a|x2 H|a −
(63) a|Hx2 |a =2
(64) a|xHx|a − Ea
(65) a|x2 |a − Ea
(66) a|x2 |a =2
(67) a|x|b
(68) b|Hx|a − 2Ea
(69) a|x|b
(70) b|x|a b. =2. b. b 2. (Eb − Ea )|
(71) b|x|a |.
(72) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 201. 通常いくつかの遷移が主要な寄与をあたえるので、それらの主要な寄与は O(1) で あることを意味する。 電気双極子近似による寄与が対称性のために 0 となる場合次の次数を考慮する 必要がある。そこで eik·ri → 1 + i k · ri として # iei p p,e−d ∗. d ri Ψb ({ ri }) Mba ≈ Mba + ik · ri ( ek,σ · ∇i ) Ψa ({ ri }) mi i. ここで247. = 1 ( k × e) · + 1 [Hp , ( k · r)( e · r)] ( k · r)( e · ∇) 2 2 より. p p,e−d p,e−q p,m−d2 Mba ≈ Mba + Mba + Mba # ie i p,e−q ∗ Mba =(Eb − Ea ) d ri Ψb ({ ri }) ( k · ri )( ek,σ · ri ) Ψa ({ ri }) 2 i # iei 1 p,m−d1 ∗ = d ri Ψb ({ ri }) Mba (k × ekσ ) · Ψa ({ ri }) m 2 i i. p,e−q. p,m−d. 1 この Mba を電気 2 重極子遷移の行列要素とよぶ。さらに Mba からの寄与 p,m−d2 (s) ik· r は H の 1 次の寄与を e = 1 と双極子近似で扱うときの寄与 Mba とまと. よって x =. . eσ i. · ri として
(73) a|a = 1 と中間状態の完全性より. b 247. fba =. 2m 2 T 2 ω |μ | = (Eb − Ea )|μTσ,ba |2 = N ba σ,ba e2 e2 m2 b. b. まず次の関係式を確認する。. =ijk kj ek iab ra ∂b = (δja δkb − δjb δka )kj ek ra ∂b ( k × e)( r × ∇) =kj ek rj ∂k − kj ek rk ∂j [Hp , ri rj ] =ri [Hp , rj ] + [Hp , ri ]rj = −. 2 (ri ∂j + ∂j ri ) m. よって. =ki ri ej ∂j = 1 ki ej (ri ∂j − rj ∂i ) + 1 ki ej (ri ∂j + rj ∂i ) ( k · r)( e · ∇) 2 2 1 1. = (k × e) · ( r × ∇) + [Hp , (k · r)( e · r)] 2 2.
(74) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 202. めて次の磁気双極子遷移の行列要素と呼ぶ。 # iei p,m−d ∗ Ψa ({ ri }) Mba = d ri Ψb ({ ri }) ( ekσ × k) · M 2m i i. = + σ = + 2 s M もっとも簡単な電気双極子近似での計算に入る前に輻射場の状態密度を計算し ておこう。系が一辺 L の箱に入っていると考えるとエネルギーが [E, E + dE] に ある状態数 ρ(E)dE は立体角 dΩ 波数 [k, k + dk] に分解して248. ρ(E) = V. 14.3. 1 ω2 dΩ (2π)3 c3. 光の放出. 前節の議論から次のような遷移の過程を考えると 始状態 終状態. 原子系の状態 a b. 原子系のエネルギー Ea Eb. 輻射場 {ni } ∃ ν nν + 1. 放出される光のエネルギーについてエネルギー保存 (フェルミの黄金律のデルタ 関数) より ω = Ea − Eb であり、フェルミの黄金律から単位時間あたり立体角 dΩ に偏光 σ で放出される 確率 wdΩ は. 1 2 T2 2π × ω |μσ | × (¯ nkσ + 1) × ρ(E) 0 V 2ω. wdΩ =. ここで輻射場の光子数としては波数 k 偏光 σ のものについて平均をとったものを n ¯ kσ として導入した。これを整理して. w = wsp + wind =. ω3 |μT |2 (¯ nkσ + 1) 8π 2 0 c3 σ. ω3 |μT |2 n ¯ kσ 8π 2 0 c3 σ ω3 = |μT |2 8π 2 0 c3 σ. wsp = wind 248. ρdE E ρ(E). dkk 2 dΩ k 2 dkdΩ 2π 3 = V (2π)3 (L) = ck E2 1 ω2 1 dΩ = V dΩ = V (2π)3 (c)3 (2π)3 c3. =.
(75) — 量子力学第３: 光と物質の相互作用 — 2005 冬 初貝 ( 2006.8.22 ). 203. このうち n ¯ kσ に比例する wind を誘導放出、残りの項を自然放出と呼ぶ。. 14.4. 光の吸収. 吸収に関与する遷移の過程も放出の場合と同じなので nkσ + 1 → nkσ として以 下のようになる。 ω3 wa = 2 |μT |2 n ¯ kσ 8π 0 c3 σ この表式は光の入射強度 I(ω)dω を249. I(ω)dω = c. ωn ρω dω = (速度)(エネルギー密度)ρω dω V. として. wa =. π |μT |2 I(ω) 0 2 c σ. と書けることに注意しよう。 なお２準位系 a, b が輻射場を介して熱平衡になっているとすると (Eb − Ea = ω) それぞれの準位にある原子数を Na , Nb , として粒子系の方の遷移行列要素を Aa→b = Ab→a として Nb Ab→a (n + 1) = Na Aa→b n ここで原子系にボルツマン分布. Nb = e−(Eb −Ea )/kB T = e−hbarω/kB T Na を仮定すると. n=. 1 eω/kB T. −1. というプランクの輻射公式がでる。. 249. ρ(E)dE = ρ˜(ω)dω より. ρ˜(ω) = ρ(E) I(ω) =. 2 ωcn ρ(E) V.
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