S i m u l a t i v e  Experiment o f  Two F a c t o r s  by C o n t o u r  

等高線図を用いた

2

高 橋 武 則 * 楊 国 林 判

S i m u l a t i v e  Experiment o f  Two F a c t o r s  by C o n t o u r  

T a k e n o r i  T a k a h a s h i  and K o u l i n  Y  o h  

要 旨 本研究では，多因子実験の基礎として

2

1 .

コンビュータによるデータ処理の発達した今 日，多因子実験のデータ処理そのものは容易で あるため，気軽に多因子の実験が実施されてい る。そして，実験結果に重回帰分析を適用する ことが少なくない。しかしながら，多因子実験 を確実に理解し，再現性のある統計的推測を行 うためには，理論教育と計算演習だけでは不十 分で，本番の実験の前に模擬実験による教育を 行うことが必要である。

多国子の実験の基本は

2

1

2

2次元および工夫した3次元である。前者は散 布図であり，これは

2

(Xl

X2) 

を打点したものである。後者は高線図であり，

これはy=

f  (Xl

X2)

2

2

*非常勤講師数理統計学

**本学助教授生体情報工学

(  4 3  ) 

等高線図を用いた模擬実験を通して，体験的に 身体で理解することはたいへん意義がある。

望大実験(より大きな値を得ることを目的と する実験)は興味深いが，これは誤差がかなり 小さくないと困難で、あるため，初心者には望目 実験(目指す値に近づけることを目的とする実 験)の方が望ましい。望目実験の場合でも，誤 差はできるだけ管理し，外れ値を生じないよう に注意しかっ誤差のばらつきを小さくしなけれ ばならない。そこで，本研究では，模擬実験と して紙ヘリコプターを取り上げ，外れ値に頑健 でかかっ実験誤差を小さくするアプローチを提 案し，実施例を紹介する。

本研究は

2

6

今回はこれらのうちの

2

z 

変数の場合には等高線図の作図が可能で、あるた め，これを作図して滞空時間 Yと翼長

Xl

X2

2 .  

2 . 1  

結果を Y，原因を (Xl，X2) としたとき，

因果関係の数学的表現方法には，代数的表現と 幾何学的表現がある。

(1)  代数的表現:数式表現

因果関係 (y:結果，X:原因)を代数的に 関係式で表現する。

y= 

f 

関数

f

( 2 )  

原因が一つならば

2

ならば， (横軸 Xl，縦軸 X2) の

2

Y

ものがある。

①ある条件 (Xl，X2)のもとでの Yの値

②ある Yの値をとりうる (Xl，X2)の組み 合わせ

③Yのとる最大値あるいは最小値とそのとき の条件 (Xl，X2) 

数式表現ができれば解析的な処理が可能になる が，常に数式表現が可能というわけではない。

そのときには図形表現が有効である。また，数 式表現が可能な場合でも，図形表現を併用する と因果関係を視覚的に理解できるので，解析を 行う上で有効である。

因果関係そのものの表現ではないが，

3

2

2

f 

Y

Xl

2

Y l   ⁼  f 

f 

Yn= 

f 

というように座標上の該当位置に記入してい く。そしてYに関して同じ値を通る点を結んで、

2

2 . 2  

1 )

(1)  因子 Xl，X2に対する

2

( 2 )  

f 

2

( 3 )  

(4)  データのないところも推測して等高線を 描く。このとき，比例配分の考え方を用い て以下のように作図する。

まず，値が既知の点同士を直線で結ぶ。その 直線を比例配分することによって直線上に点を

とり，値を当てはめる。

図

2 . 1 ( 1 )

4

A( 9 0 )

B  ( 1 0 0 )

. 1 ( 2 )

A，Bを結

5

A D

9

94

A C

3

3

ハを結ぶことにより値94の等高線が得られる。

その他の値についても同様にして線で結んで、

いくと図

2 . 1 ( 3 )

2

因子模擬実験

図

2 . 1

ることはしばしば危険を伴う。前者は回帰分析 における内挿にあたり，後者は外挿にあたる。

2 . 3  

作成した等高線図を利用すると次のことを推 測することが可能で、ある。

①ある条件

(Xl

2 )

Y

②ある Yの値をとりうる

(Xl

2 )

③Yのとる最大値あるいは最小値とそのとき の条件

(Xl

2 )  

実際に推測に用いるために等高線図を作成す

(  45 ) 

B 

( 2 )

図

2 . 2

る場合には，データの取り方に注意しなければ ならない。データを取る点(データを取る条件) の決め方次第で，等高線図の正確さが左右され てくる。多くの条件の組み合わせでたくさんの 実験を行えばより正確な等高線図が得られるで あろうが，現実には実験に費やせる時間や材料 は限られていることがほとんどである。したが って，望大実験の場合には，

(Xl

X 2 )がどの

また，逐次実験で山登りを行う場合には

1

2

きる。

ただし，全く予想外の等高線図になることも ある。例えば図

2 . 2

1

2

演習はやさしいものから難しいものへとステ

ツプアップしていくのがよい。統計実験のため の等高線の教育の場合には，誤差なしから誤差 ありへ，交互作用なしから交互作用ありへ，単 純な応答曲面から複雑な応答曲面へと進めるの がよい。

例題でとりあげる実験は望大実験(値が大き いほど望ましい)を想定しており，

3

1 0 0

1 0

( 9 0

8 0

7 0

ーというように)で作成している。

なお，図中に用いるデータの外側の記号は以 下の通りである。

0: 

1

口 2

ム:

3

2 . 4

(1)  交互作用がない場合

図2.3の例題は，等高線図の作図において比 較的やさしい場合である。山(応答曲面)は尾 根のない単純な山で，作図は容易で、かっ頂上も 見つけやすい。

( 2 )  

図2.4の例題は，尾根が存在する場合で初心 者には多少難しい。しかしながら，全体として は単純な構造なので，馴れればとくに問題では ない。

(3)  応答曲面が複雑な場合

複雑な場合も練習しておく方がよい。実験領 域を広くとると，複雑な応答曲面になることが 少なくない。図2.5の例題は，簡単な数式表現 では表せないかなり複雑な場合である。

2

. 2  

(1)  すべての条件での繰り返しがある場合 通常，同じ条件のもとで実験を繰り返しでも 毎回必ず同じ結呆が得られるわけで、はない。つ まり，同じ

Xl

X2

5 5 1 5

^{i : ; i J}

^{j j J J i J}

^{j j J J J j j J i i J i i f J J j J J J ;}

! ー ト 什 十 ト !トト吋一十十十十判十十十ト判刊山汁十.刷守十.?十十!?十句 十 什4刊

! 4 i A

i

i

l

:三β三三....ミミ.ミ:+

f

;

( !

⁵

^:

^;

^;

^;

^;

^;

^F

E

2

f : r : 1 i J J 1 2 1 5 1 1 J : F 1 1 8 J E l l j i J J 4 1 1 2  

i : : j : : : j : : j : : : : i : : : i ; ; : i : ; j ; ; : i : : : i : : ; i : : : i : : : i : : i i : : : j : : : i : : : ! : : : j  

(1) 演習問題例 1

図

2 . 3

図

2 . 4

2

等高線図を用いた

2

ている。したがって，

2

Y

十分な繰り返し数のデータを取ることによりぱ らつきを小さくできるので，より精度の高い図 を得ることができる。

①同じ

(Xl

X 2 )

②その平均値を

f (Xl

X 2 )

2

③誤差なしの場合として等高線を描く。

④描き上げた等高線図から，

Y

およびそのときの

(Xl

X 2 )

もし繰り返しが少なくて平均値のばらつきが小 さくない場合には，まず平均値そのものを用い て誤差なしの場合として薄く鉛筆で等高線を引 き，その後でばらつきの大きさを考慮しかっ全 体の構造をバランスさせた上で最小自乗法的感 覚で等高線を引くとよい。

( 2 )  

k

R (

a  =  (R/  d 2 )  

これを誤差の情報として，(1)と同様に作図する。

繰り返しがあるところは平均値を用い，繰り返 しがないところはデータそのものを用いる。

(3)  繰り返しがない場合

繰り返しがない場合には平均値を用いること ができないので，最初から見当をつけて描くし かない。回帰分析において繰り返しのない場合 に，全体の点のバランスを見て最小自乗法で直 線や曲線を引くことになるが，このような感覚 で

2

2 . 5  

図

2 . 6

2

(  4 7  ) 

j j j i j j i l l J R T J 1 2 1 1 F R t l  

; ; : i ? と ; 組 表 ^{j i j J J J j J 3 1 J i l l J J j J j J j}

十寸

. . . t .

" " [ " ' j

i 2 5 2 j i i j ! ? ? j i E 2 2 2 7 1 1  

(1) 演習問題例 3

る。各々の図の下に対応する関数を示しておく。

これにより，幾何学的状態と代数的構造との関 係を理解することができる。

代表的な関数と等高線の関係を理解しておく と，等高線図の作図に有効である。範囲を極端 に広く取らなければ，

1

(Xl

X2

2

(X1 ²

X 2 2

なることもある。そして ，

2

楕円の向きが斜めに傾いている場合には，積の 項

( X I X 2

3 .  

3 . 1  

図3

. 1

Xz  Xz  X2 

、

、^h 、

①

Y=81XI +c  XI  XI 

②

Y  =a2X2+C 

③

Y  =alXl +azXz+c 

Xz  X2 

̲ .   Xl  ，  XI 

j 

④

Y  = a l l X   1 2  +alX  1  +c 

Y=allXI2 +31XI

c

X2  X2 

XI  XI 

⑥

Y = a l l X 12  + a 2 2 X2 2 

Y  = a l l X l2  +  a 2 2

2 

+ 8 1 X I  + a 2 X 2  +c 

2XIX2 + a I X I  + a 2 X 2 + C  

. 6

重り，紙質の

6

5

3.2 

2

5 

2

XI 

2

A.2

e (  )  B

D.

r

Ji2111

日!?!て γ

γγ

77γ

S ト鳴 J4 拘...~..件十戸 -L 酔世←ート砂よ骨骨ふ自由トペ"・ wL ， WJ・自由 L ・聞 J.--L--JE--L. ・ 4 ・・・L..4F- 斗 -J. 同 4..J 唱・ ~8 7 トペ -J-4-4- い例制 L 骨骨れ ML-4- ふ F"L..J.. ， L-J--L- 」，聞 WL 開閉」 .--L-J. 圃・L-J-mL-J. ・ ~1 8 トー J- 斗脚酔 J- ふ… J-ふ，・ 4 伽肉，L 酬柄 4. 明」-J ー」ー， L-4-J ー」-wL- 」ー -L. ， Jm. 斗 ...~..."'-~--!---16

s

4‑4‑4‑‑F " 

?卜卜卜.一十

f

f

f

f

μ i

f

i

f

晶「 .1-?" 寸ーマー守 --rT-γ 一 γ 一「 -f-γ...t-~ .，....明開 r-- γ 一「 -1H ，p- 寸一 τ 一 γ 一 r..~~~~l ~

oート

‑ 4

‑4

2

a f ‑ ‑

‑ f ‑ 4

j

} ‑ i h ‑ ‑ j

! : : :  11‑i‑lh

2

4

4

4‑‑

1 ‑ ‑ + ‑

1 

7

4

4

4

a

8

4

‑ ‑ 1

‑4‑

W

1 ‑ " ‑

+‑+‑‑18

岳」叩Lームーl-....-I一←.1_.._....t.，____....l.，.-.-.-t，...，...-.J....-...，_J.ー」ー，.l-._ムー ι"..-~ー-t~..._...I-.ーふ...，.J，_ーームー---'----'-ー」ー」告

(縦一日盛り

4mm

7mm)

3 . 1

4

6

2

4

x 4

1 6

4 .  

近年は等高線図をコンピュータで作図するこ とができるが，教育の初期の段階では手書きで 作図することは，応答曲面というものを理解す る上で重要で、ある。しかし，手書きするために は，十分管理された実験でなければならない。

すなわち，外れ値がなくかっ誤差のばらつきが 十分小さいことが必要である。本章ではこれら のためのポイントを解説するb

4 . 1  

以下の諸点について作業標準を作成し，慎重に 作業を行うことが必要である。

(1)  製作

図

4 . 1

図

4 . 2

滞 空 時

凋

道具類を大いに活用する。紙の切断の際は，

カッターと定規で正確に切る。折る際には，角 が直角になった道具(アルミ製のアングル[文 献24参照]，フロッピーディスクの箱など)を 用いて直角を正確にだす。この道具は製作後に，

角度が直角になっているかどうかを確認する検 査具としても利用できる。

( 2 )  

製作後飛行までの間，機体を変形しないよう に保存する。足長が極端に長くない場合には紙 ヘリコプターを逆さまに(逆

T

(3)  移動(運搬/手渡)

移動にあたっては，必ずトレイ(下敷きやノ ートや教科書でもよい)に載せる。また紙ヘリ コプターをつかんで移動する際には，足の部分 を持ち逆さまの状態で移動する。もし，紙ヘリ コプターにクリップをつけた場合には，必ずク リップの位置をつかむ。

( 4 )  

クリップはばらつきの大きい製品である。し たがって，適当に用いるとクリップのばらつき (重さのばらつき)が実験誤差を大きくしてし まう。たくさんのクリップの中から同じ様なク リップを事前に選択した上で用いなければなら ない。最もよい方法は全ての紙ヘリコプターに 対して一つのクリップだけを用いることであ り，このことによりクリップのばらつきをゼロ にすることができる。ただし，この方法は時間 がかかるとういうデイメリットがある。

4.2  ライン生産の導入 (38)とポイン卜 図4

. 1

(1)  前提条件:結果Yに強く影響を与える が，実験の聞は一定の値をとるもの。

( 2 )  

(3)  実験誤差:結果Yに影響を与えるが，実 験で取り上げていないもの。この影響は 無作為化により確率化する。

2

6

の条件の機体を別々に製作するならば，ぱらつ きは大きくなり，かつ外れ値がしばしば登場す ることになる。これを防ぐためには，ライン生 産の導入が有効であり，これを導入すると以下 のメリットがある。なお，製作後の調整におい ても同様であり，複数の調整者が個別に調整す るのではなく，調整それ自体もラインを組んで 実施する。

(1)  異常機体の混入を防ぐことができる。

( 2 )  

( 3 )  

( 4 )  

実際にライン生産を行う上でのポイントは以 下の通りである。

①最終調整者は必ず一人にする。複数の調整 者が最終調整をすると，ぱらつきが大きく なり，外れ値が生じやすくなる。

②調整の速度を上げたい場合には，予備の調 整者を割付けて予備の調整を行わせる。こ の場合でも調整自体に関して

3S ( S p e c i a

l i z a t i o n :

S i m p l i f i c a t i o n :

S t a n d a r d i z a t i o n :

③実験全体を管理する人(リーダー)をおき，

作業の割付や時間管理を行う。

④時間管理はタイマーを用いると便利であ る。時間の経過を全員に知らせ，きちんと した作業を行わせる。

⑤オフライン(実験)であっても必ずライン を組んで製作する。

⑥実験の前に必ず標準機でオンライン(決ま ったデザインの機体の量産)のライン作業 をすべきである。このことで実験誤差が把 握でき，かつ実験誤差の低減ができる。

⑦各種の器具の利用と製作のノウハウを明ら かにし，事前に与える。

4 . 3  

外れ値の影響を防ぐために，繰り返しをとり

等高線図を用いた 因子模擬実験 メジアンを採用するのがよい。これは同時にば

らつきを小さくする。その際，繰り返しは3固 とすると，実験の数をおさえることができ，計 算が楽で，かっぱらつきも小さくすることがで

きる。

(1)  同一条件の機体を

3

( 2 )  

3

(3)  一回の飛行に対して， 3人が計測する。

4 . 4  

本番実験を成功させるためには，製作の練習 と飛行の練習をすることが望ましい。その際に とりあげるべき条件は以下の通りである。本番 の実験では，

4

4

6

(1)  最低限の練習として，最小の機体と最大 の 機 体 (

2

( 2 )  

(4

2

(3)  明らかに特殊な組み合わせがあれば，さ らにそれを追加する。

ただし，周囲の点のすべてを行おうとすると 製作練習だけで

12

4 . 5

等高線図の確認のために，最終段階で特定の 条件を決めて確認実験を行うとよい。まず，確 認する条件を決め，予測(推定)される滞空時 間の平均を等高線図より比例配分で求める。次 に，その条件の機体を

5

3

3

(  3

3

そして，それらのメジアン(

3

(  5 1   ) 

を，機体条件のもとでの値とする。これが，等 高線図から求めた予測値におおむね近いかどう かで判断する。

5 .

5 . 1  

初心者には応答曲面の単純なもの(凸曲面で きるだけ平面に近いタイプ)の方が理解しやす いので，本研究では紙ヘリコプターの翼長と足 幅をとりあげている。

(1)  実験の無作為化

いずれの実験の場合にも，飛行の順番はラン ダムにしている。これは機体数分の数字を書い た畿を作成し，これらをよく混ぜたうえで抜き 取ることにより飛行の順番を決定すればよい。

製作についてもその順番をランダムにした方が よいが，条件の組み合わせが複雑な場合には混 乱の原因になるので順番に行うこともしかたが ない。ただし，習熟効果や疲労が順序として入 るかもしれないので，解析の段階では順序の影 響の有無について確認する。

( 2 )  

1

これまでに紹介したポイントをきちんと行っ ていれば，回帰分析における誤差の

4

2

まず，目指すべき滞空時間(ターゲット)を 与える。次に，予備解析として翼長(あるいは 足幅)に関して広めの範囲に対して

5

1

次に本解析を行って精度の高い回帰式を求めさ せる。すなわち，予備解析の式より，新たな要 求(ターゲット)の値が余裕をもって内挿とな

る位置を求め，

3

5

本番の解析で精度の高い回帰線(回帰式)が 得られたら，逆推定で機体の条件を決定する。

この条件に対応するデザ、インを作図し，これを コピーして量産する。量産した紙ヘリコプター の滞空時間の平均値が，与えられた滞空時間 (ターゲット)に近いかどうかで実験全体の評 価を行う。この具体例の紹介は紙面の都合で省 略する。

(3) 

2

1

2

5 . 2  

表5

. 1

3

各々の機体を

3

3

3

3

3

表5

. 1

1

1

1

3

3

3

1

1

1

5

(1) 

3

3

3

( M e d .o f  Med

( 2 )   3

1

3

(F1

(3) 

1

3

3

( M e d .

( 4 )   1

1

3

(F1

の先頭行)

(5) 

1

1

1

(F1

なお，表5

. 1

①取消ライン(=)の付きのデータは，計時 に失敗したことを意味している。

②「様」の欄は飛行の様子を示しており，そ の表現は以下の通りである。

x スタートのかけ声と，紙ヘリコプター

の発進がずれている。

A:

B:気になる飛行，

C:少し気になる飛行

③*印は各飛行における

3

④波線型のアンダーラインは各々の飛行にお けるメジアンのメジアンのことで，これを 各機体の計測値とする。

⑤#印は④で求めた各条件における

3

5 . 3  

実験領域は応答曲面がかなり単純な範囲を選 んでいる。本節では，表

5 . 1

5

5 . 1

5 . 5

5

1 0

0

3 0

一部の図には点線の等高線があるが，これは誤 差を考慮しかっ全体の構造も考慮した等高線で ある。この描き方が可能な場合(図

5 . 1

5 . 2 )

5 . 3

3

3

3

これは応答曲面を最も見つけ易いケースであ り，この結果は図

5 . 1

3

5 . 3 . 2   3

1

3

このケースは，応答曲面を次に見つけ易いも

表

5 . 1 2

因 子 概

_11~

翼 足 体 行

F 1  F2  F3 

坦

of 

畏 隠 到。 繍 様

<1>  <2>  <3> 

<1>  <2>  <3> 

<1>  <2>  <3> 

6  4  43 

42 38  40  32  *39 

41  39 

4 0 

2 

41  49 

45

43  39 

42 49  39  4 2  4 0  3  47 

44

46  36  34  25 

3 1 3 8 

6  6  4  43  37 

38 27 

27 22  C  32 

30 #  3 0  5  34  *38  39  34  22 

39 

3 1 22  3 2  3 0 

29 

Z 25  28  23 

27

27 24  38  2 7  6  8  7  ^X 

35 25  40  33  27 

24  1 9  

20 3 1 

8  29  揖 25 23  29 

32 34  3 1   24 

25 #  2 5  2 5  9  39  33 

37

24 31  18  24 

1 6 16  2 4 

6  1 0   10  1 8  

1 8 10 

14 13  16  1 9   13 

1 6  1 1  

12 1  1  17 

27  20 

26 14 

14 13  1 4  1 5  1 2   i l l   ^{23  6  1 5}  

^{1 2 10} 

^{17 18  14} 

7  4  13 

49  41  43 

48 50  36 

45 46  4 6  1 4   35  50 

45 52  49 

59 

50 48  4 9  4 7  1 5   46 

48  47  45 

46 48 

47 40 

4 7  7  6  1 6  

34 38  29  25 

26 40  C  44 

29  3 3 

17  41 

49 50  38 

42 47 

34 37  31 

4 2  4 2 

1 8  

43  39  47 

44 40  39  35 

38 4 3  7  8  1 9   41  49 

45

28  32 

29 34  28  2 9 

20  39  35 

38

28 29  26  33 

34 45 

3 4  3 4  21 

40 46  40 

33 31  35 

38  40  3 8 

7  1 0   22  38 

24  3 1  

28 20 

32 36  26  2 8 

2 0  I 

23  C  29  20 

24 10  18 

12 2 1  

0 . 20  #  2 0  24 

27 

19 

25 26  21  # :   20 

17 2 0  8  4  25  64 

59 55  59  68 

66 68 

65 59  6 5 

26  63  57 

55 

54 5 1   61 

63 55  6 0  6 1  27  70 

7 1 77  63  56 

60

69  60 

6 1 

8  6 

C  59 

E

58 

56 

56 55 

60 66  59  #  5 6  29 

55  61 

52 52  56 

61 65  60  5 6  5 6  30  62 

Z 6 1   53 

56

55 60  66  5 7 

8  8  31  55 

45 

52 50  54  B  59  54 

54 5 2  32  44 

47 50  5 1  

36  41  51 

43 4 5  5 0  33 

54 55  45  43  49 

46 54 

50 45  #  5 0  8  10  34 

47  53 

45 

49 51 

36 

36 34  4 9 

35 

30  27 

34  26 

33

29 %  30  2 9  3 9  36  33 

40  C  34  23 

31 43  46 

44

3 9  4  37  74 

77 79  7 1  

70 63 

70 81  70 

7 0 

38  61  66 

70  52 

56 63 

65 67  6 2  7 0  39 

7 1 75  63  79  72  亀 1 . 4 . 77 

75 67  7 4 

19  6  40 

52 52  56  65  59 

63

E 69  57  5 9  41  66 

69 74 

1 1 73  63  7 1   77 

74 7 1  6 4  42  63  58 

59 70  79 

7 1 66  63 

4

6 4  19  8  43 

65 67  62 

52 62  49  C  52  65 

5 7 

44  63 

74 14  58  65 

64

60  6 4  5 7  45  63  66 

64 54 

53 49  53 

55 57  5 5  9  1 0   46  B 

46 53  44 

52 

43

49 52  41 

4 6 

47 

44 48  38 

44 

42 37  47  52 

49 4 4  4 6 

一

^{48  53} 

^{51  52} 

52 55  49  56 

53 5 2 

(  5 3  ) 

のであり，この結果は図5

. 2

. 2

5 . 1

3

1

3

3

3

2 0

5 . 3 . 3   1

3

3

(Med.

図5

. 3

0

このケースにおいては，製作の繰り返しをと っていないので，製作における問題が結果に反 映している。前二者に比べると，とくに足幅が 広くなった場合の製作に問題がでている。

5 . 3 . 4   1

1

3

(F1の欄の各条件の先頭行より) 図5

. 4

とりあえず，妥当と思われる作図の結果を示し てはいるが，この等高線図が示している応答曲 面には多少の疑問が残る。

5 . 3 . 5   1

1

1

(F 1欄の各条件の先頭行の(1)欄より) 図5

. 5

表

5 . 2 3

3

3

4 

6  7 XI 8  9 

〈翼長) 図

5 . 1 3

3

3

4 

図

5 . 2