積分の応用（面積と曲線の長さ） 説明と練習・基本問題
はじめに：この解答は において入力すること。
基本問題：授業時間内に解答をレポートとして提出すること。
はじめに 解答は で
曲線の表し方
二次元平面上の曲線を関数を用いて表す方法を説明しよう。
デカルト座標による表示
座標が与えられた時、 座標が の関数 として与えられる：
曲線 極座標座標による表示
曲線上の点と原点を結ぶ線分が 軸と成す角度 の関数 として、その線分の 長さ を表す。
曲線 パラメータ表示
デカルト座標おいて、各座標が変数 の関数で表す。
曲線
面積に関する公式
デカルト座標を用いて関数 で表される曲線と 軸の間の面積
極座標で与えられた曲線に囲まれた領域
デカルト座標
極座標
図 曲線を表す色々な方法
図 デカルト座標による曲線の表示
図 極座標で与えられた曲線に囲まれた領域の面積の求め方 表示の曲線
曲線が、変数 を用いて
と与えらたとする。ここで、曲線が閉じているため
であるとする。このとき、
図 表示の曲線に囲まれた領域の面積の求め方
である。ここで、 は、パラメータ が増えていくとき、曲線上の点が 原点から 見て）反時計まわりに移動するならば、 を、時計まわりに移動するならば、 を 選択することを意味する。
図 パラメータ表示での面積の求め方の説明図
曲線の長さに関する公式
デカルト座標で与えられた時
極座標で与えられた曲線
表示の曲線
である。
練習問題
練 関数
と 軸とに挟まれた領域（ ）の面積を求めよ。また、この区間の曲線の長さ を求めよ。
略解
求める面積 は、定積分
で与えられ、この定積分は容易に計算でき、
また、この曲線の長さ は、定積分、
で与えられ、この定積分を計算しよう。
練 次元極座標 を用いて、式
で与えられる曲線に囲まれた領域の面積を求めよ。
図 の曲線 略解面積に対する公式より、求める面積 は、
の定積分で表すことができる。この積分を計算しよう。上の積分を三角関数の周期性を利 用し、積分範囲を半分にしたものの二倍に等しいことを使い、その後 とおき、
置換積分の公式を使い、
となる。
この積分において、積分変数 を、次式
で定義される変数 に変換する。この時、
であり、また、積分変数の範囲は、
となる。この変換後、三角関数の公式を用いて、容易に計算でき、
となる。
図 練 の曲線の図 練 次式で与えられるサイクロイド曲線
と 軸とに挟まれた領域の面積を求めよ。この区 間の曲線の長さを求めよ。
略解パラメータ表示の曲線に対する面積の公式よ り、
曲線の長さ については、公式から、
となる。ここで、三角関数の公式を使った。この積分は容易に計算でき、
となる。
基本問題
基 次の関数 の示す曲線 平面上の式 が示す曲線）と 軸に挟まれた 第一象限にある領域の面積
を求めよ。
基 次の式で与えられる領域の面積を求めよ 図８参 。
図 基 の曲線 であり、直線 、 は曲線の接線 基 つの放物線
によって囲まれた面積を求めよ。
基 ハイポ・サイクロイド曲線
の長さ及び、その曲線によって囲まれた 座標原点を含む 領域の面積を求めよ。
図 ハイポ・サイクロイド曲線の図
