数学科の西村です．今回の問題はいかがだったでしょう か．今回出題した問題は今年の東京慈恵会医科大学で出題 された問題（一部改変）です．パラメータで表された曲線 についての本格的な微積分の問題ですし，慣れていないと なかなか難しいと思います．この手の問題の解法を解説し ていきますので，できなかった人は，参考にしていただけ ればと思います．では早速解答といきましょう． 問 xy 平面上において，半径 2 の円板が x 軸に接しな がら正の方向にすべることなく回転するとき，円板上 の定点 P が描く曲線 C1を考える．時刻 t = 0 における 円板の中心 D の位置を点 (0，2)，P の位置を点 (0，1) とする．時刻 t において D が点 (t，2) の位置にあるよ うに円板が回転していくとき，次の問いに答えよ． (1) 時刻 t における P の座標 (x，y) を求めよ． (2) 時刻 t に対応する点 P(x，y) における C1の法線 l が x 軸と交わる点を M とし，M が線分 PQ の中点 となるような l 上の点を Q とする．Q の座標 (X，Y) を求めよ．ただし， t = 0 のときは Q を (0，- 1) とする． (3) 点 Q が描く曲線を C2とする．2 曲線 C1，C2と y 軸， および t = 3p のときの (2) における法線 l で囲まれ た部分の面積 S を求めよ． 《考え方》 (1) 曲線 C1はトロコイドと呼ばれる曲線の 1 つで，サイ クロイドに関連した曲線として知られています．この手 の曲線に関して，その軌跡を求めることは頻出です．サ イクロイドの方程式がその基本になりますので，まずは サイクロイドの方程式を確認しましょう． aq P C y x P O a q C 円が始めの状態から q だけ回転したときの点 P の座 標をパラメータ q を用いて表すと = + x y = a a + a - -- -= a a -OP OC CP cos 2 sin 2 ( sin (1 cos )
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-L L L q p q p q q q) q となります． 今回の問題もこれと同じ要領で立式できます．それに 加えて，今回は「t を用いて点 P の座標を表せ」となっ ているので，q を t で表す必要があります．これについ ては，)AB=OB （解答の図 1）に着目しましょう． (2) 接線や法線を求めるためには，関数を微分して傾き を求めればよいですね．(1) で C1がパラメータ t を用い て表されました．t を消去するのは不可能ですので x， y 別々に微分する方針になります．法線の傾きは -dy dx = -dx dt dy dt 1 で求まりますが，これだと dy dt = 0 の場 合に問題があるため，場合分けが必要となるケースがあ ります．そこで，傾きを用いず，ax + by + c = 0 の形 で書くと y 軸に平行な直線も表せますので，こちらの 方が柔軟に対応できます．接線の方向ベクトル dx, dt dy dtª
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が法線と垂直なベクトルになりますので， 接点 (x0，y0) における法線の方程式はdx , dt = a dy dt = b とすれば a(x - x0) + b(y - y0) = 0 と表すことができま す． (3) まずはグラフの概形を描き，グラフの上下関係と積 分区間を調べましょう．立式に関して，こういったパラ メータで表された曲線の場合は，一旦 x，y で立式した 上で，パラメータ q に置換して計算します．また，積分 する方向（今回は x 軸方向）への変化がパラメータの 変化に対して単調であるかどうかに注意する必要があ ります．今回は実際単調になるのですが，その確認をし てから立式しましょう．さらに，今回求める面積は少し 工夫すると計算が楽になります．Q
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- π - t x = t - t x = t - t 2 cos 2 2 cos2 2 cos 2 0 となるので，M(t，0) である．M は線分 PQ の中点であ ることから -, , x + X = t y +Y = X = t + t Y = t -2 2 0 sin 2 cos2 2 である． (3) (2) より dx dt > 0 であるから，x は t についての単調 増加関数である．また，dX dt = + t > 1 1 2cos2 0 であるか ら，X は t についての単調増加関数である．よって，曲 線 C1，C2の概形は次図のようになる． 図 2 y x O 3p 1 C 2 C l 3p - 1 3p + 1 図 3 y x O 3p 1 C 2 C l 3p - 1 3p + 1 《解答》 (1) 図 1 A B t P D y x D P O 2 1 q 図 1 のように A，B をとり， –ADB = q とおくと )AB=OB より，2q = t であるから = + = t + - -- -= t -= t - t - t OP OD DP 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos sin 2 2 cos 2º
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L L L p q p q q q である．よって , x = t -sint y = - t 2 2 cos2 である． (2) (1) より , dx dt = -t dy dt = t 1 1 2cos2 1 2sin2 であるから，時刻 t に対応する点 P における法線 l の方 程式は - t x - t - t + t y - - t = - t x - t - t + t y - - t = 1 1 2cos2 sin2 1 2sin2 2 cos2 0 2 cos 2 sin2 sin 2 2 cos2 0ª
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p p p p p p p S = y dx + -Y dX = - t - t dt - t- + t dt = - t dt = t - t = + ( ) 2 cos 2 • 1 1 2cos2 cos 2 2 • 1 1 2cos2 2 2 cos 2 2 2 2 sin 2 12 4 + -0 3 1 0 3 1 0 3 0 3 0 3 0 3∫
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である． 《考察》 今回の問題で出題されたトロコイドとは，定直線上を円 がすべることなく回転するとき，円の内部あるいは外部に ある点 P が描く曲線です．サイクロイドと似ていますが， 点 P が円の内部にあるか外部にあるかによって，描かれ る曲線の形が変わります（図 4）．また，問題では時刻 t をパ ラメータとしていましたが，回転角 q を用いて表すと一般 的に，次のようになります． 図 4 （a : 円の半径，b : 中心から点 P までの距離） x y O P P q a a - b 2pa aq a > b のとき y x O P P a a - b a < b のとき q aq x y = a a + b - -- -= a - b a - b cos 2 sin 2 sin cosº
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q p q p q q q q 《考え方》でも述べましたが，面積（体積）を考える際 は，積分する方向への変化がパラメータの変化に対して単 調であるかどうかが重要なので，このグラフの違いは大き いです．a < b のパターンで面積を求める問題をやってみ ましょう． 問 図 4 において，a = 1，b = 2 とする．円が x 軸上をす べらないように 1 回転するとき，定点 P が描く曲線と 直線 y = - 1 で囲まれた部分の面積 S を求めよ．ただし， 点 P の始めの位置は (0，- 1) とする． （解答） 図 5 y x O P - 1 y = - 1 P q 1 A B 図 5 のように点 A をとり，–PAB = q とおく．P(x，y) とすると x y = + -= -1 2 cos 2 sin 2 2 sin 1 2cosº
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p q p q q q である．これより q に関係なく y ≥ - 1 であり，また dx dq= -1 2cosq であるから，次の増減表を得る．図 7 y x O - 1 y = - 1 また，計算の過程において，(*) のところで 1 つの積分 にまとめることができました．これは偶然ではなく，x の 変化が単調でない場合であっても，x の変化が単調な場合 と同じく 2 つの図形の交点だけに依存する形になります． これは，次のように示せます． 図 8 y x O c b a t = t0 t = t1 t = t2 x = f(t) y = g(t) (t0≤ t ≤ t2) 図 8 において，t0 £ t £ t1に対応する y を y1，t1 £ t £ t2 に対応する y を y2とすると色付き部分の面積 S は
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S = y dx - y dx = y dx dtdt - y dx dtdt = y dx dtdt = g t f t dt • • • ( ) • '( ) a b c b t t t t t t t t 1 2 2 1 0 1 0 2 0 2 積分を 1 つにまとめられる事実を知っておけば，計算す る上で役立ちますので，参考にしてください．ただし，結 果的にこうなるだけですので，解答上は立式→置換→合体 のステップを踏んで導くようにしましょう． − + − ← → ← dx d x - + 0 3 5 3 2 0 0 0 3 3 5 3 3 2 q º p º p º p q p p p ここで，0≤ ≤ 3 q p に対応する y を y1， ≤ ≤ 3 5 3 p q p に対応する y を y2，5 ≤ ≤ 3p q 2p に対応する y を y3と すると，求める面積 S は∫
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S = y + dx - y + dx - y + dx = y + dx d d - y + dx d d - y + dx d d = y + dx d d = - - d = - + d = - + d = - + = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) (*) (2 2cos ) • (1 2cos ) (2 6 cos 4 cos ) (2cos 2 6 cos 4) sin 2 6 sin 4 8 -+ -+ 2 3 3 5 3 3 1 3 3 0 3 2 5 3 3 3 0 3 5 3 2 5 3 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 q q q q q q q q ºº q q q q q q q q q q q q p p p p p p p p p p p p p p p p である． （コメント） x の変化が単調ではありませんので，1 つの x に対して 複数の y が対応します．y を t の式で表すと同じ式ですが， 対応する t の変域が異なります．これを一発で計算するこ とはできませんので，x の変化が単調になるように分ける 必要があります（今回の場合は 3 つに分ける）．要は図 6 の色付き部分の面積から図 7 の色付き部分の面積を引くこ とによって求めればよいのです． 図 6 yある円を定直線上に回転させた今回の問題の他に，定円 の周りに円を回転させるという話も有名です．最後に，そ れを紹介したいと思います．まずは次の問題を考えてみて ください． 問 円 C2を定円 C1に接しながら，すべることなく回転 させるとき，点 P の描く曲線を考えよう．次の図Ⅰ∼ Ⅳはその始めの状況を表している．それぞれの場合に ついて，描かれる曲線を下の①∼④から選べ． y x O P 3 4 C1 C2 7 2 y x O P 3 4 C1 C2 6 y x O P 5 3 C1 C2 7 y x O P 4 2 C1 C2 3 y x O y x O y x O y x O ③ ② ① ④ Ⅰ Ⅱ Ⅳ Ⅲ （解答） Ⅰ → ④，Ⅱ → ①，Ⅲ → ③，Ⅳ → ② （コメント） 円の外側を回転させたときに点 P が描く曲線はエピト ロコイド，円の内側を回転させたときに点 P が描く曲線 はハイポトロコイドと呼ばれています．この問題から円の 半径や点 P の位置によって，いろいろな曲線が描けるこ とがわかりますね．曲線の概形は，2 円の半径比と点 P が 動円の内部にあるか外部にあるかに依ります．実際の動き を想像して，おおよそどんな曲線ができるか推測した人も 多いと思いますが，もちろんここまでにやってきたよう に，パラメータで表す→微分の流れでグラフの概形を描く ことができます．また，Ⅳのときの点 P が描く曲線は② の楕円となっていますが，これは 2 円の半径比が 2 : 1 の ハイポトロコイドのときに実現します．余力があれば計算 して調べてみてください． 《おわりに》 夏は刻一刻と近づいてきています．受験生にとっては， 夏の過ごし方次第で合否が分かれるといっても過言では ありません．その夏を迎える前に必ず学習方針を確立し ておきましょう．それが決まればあとは実行あるのみ．1 年間長い戦いですが，頑張っていきましょう． （西村）
