§13 重積分の応用（体積編） 演習問題 1 解答
問題の難易度の目安【基礎】899 【標準】889 【発展】888
1
(899)(球の体積1 )半径aの球の体積を求めよ．
解 半径aの球B(a)はB(a) = {(x, y, z) :x2+y2+z2 5a2} と表される．よって，極座標 x=rsinθcosϕ, y=rsinθsinϕ, z =rcosϕ
(05r 5a, 05π 5θ, 05ϕ <2π) を用いると，dxdydz=r2sinθdrdθdϕだから，
Vol(B(a)) = Z Z Z
B(a)
dxdydz = Z a
0
r2dr
Z π 0
sinθ dθ
Z 2π 0
dϕ
= 4π r3
3 a
0
= 4πa3 3 .
2
(889)(立体の体積1 )次の図形F の体積を求めよ．ただし，a, b, cは正の定数とする．
(1) 平面ax+by+cz = 1，x= 0, y = 0, z = 0で囲まれた図形F． (2) F ={(x, y, z) : 0 53x+y51, 05y+ 2z 51,052z+ 3x51}. (3) F =
(x, y, z) :x a
2
+y b
2
+z c
2
51
. (4) F =
(x, y, z) :x2/3+y2/3+z2/3 5a2/3 .
解 (1) 図形F は
F =
(x, y, z) : 0 5x5 1
a,05y5 1 b −a
bx, 05z 5 1 c − a
cx−b cy
で表される領域であるから，
1 a 1 b 1
c
x y z
Vol(F) = Z Z Z
F
dxdydz = Z 1a
0
dx
Z 1b−1b−abx 0
dy
Z 1c−acx−bcy 0
dz Z 1a Z 1b−a
bx 1
−ax−by
= Z 1a
0
dx
Z 1b−abx 0
1 c −a
cx− b cy
dy
= 1 c
Z a1
0
(1−ax)y− b 2y2
1b−abx y=0
dx
= 1 2bc
Z a1
0
(1−ax)2dx
= 1 2bc
− 1
3a(1−ax)3 1a
x=0
= 1 6abc.
(2) 変数変換s= 3x+y, t =y+ 2z, u= 2z+ 3xに対するJacobianは，
∂(s, t, u)
∂(x, y, z) =det
3 1 0 0 1 2 3 0 2
= 12
であるから，∂(x, y, z)
∂(s, t, u) =
∂(s, t, u)
∂(x, y, z) −1
= 1
12となる．一方，この変数変換によって，六面体 F ={(x, y, z) : 0 53x+y51, 05y+ 2z 51,052z+ 3x51}は立方体
Q={(s, t, u) : 0 5s, t, u 51}
に写される．したがって，
Vol(F) = Z Z Z
F
dxdydz = Z Z Z
Q
1
12dsdtdu= 1 12.
(3) s =ax0, y =by0, z =cz0なるスケール変換でF =
(x, y, z) :x a
2
+y b
2
+z c
2
51
は
B(1) =
(x0, y0, z0) : (x0)2+ (y0)2+ (z0)51
に写される．またJacobianは ∂(x, y, z)
∂(x0, y0, z0) =det
a 0 0 0 b 0 0 0 c
=abcであるから， 1 の球の体積 の結果を用いると，
Vol(F) = Z Z Z
F
dxdydz= Z Z Z
B(1)
abc dx0dy0dz0
=abcVol(B(1)) = 4πabc 3 .
(4) x1/3 =u, y1/3 =v, z1/3 =w ⇐⇒ x=u3, y =v3, z =w3と変数変換すれば，図形F は B(a1/3) =
(u, v, w) :u2+v2+w2 5a2/3
に写される．Jacobianは ∂(x, y, z)
∂(u, v, w) =det
3u2 0 0 0 3v2 0 0 0 3w2
= 27u2v2w2であるから，
Vol(F) = Z Z Z
F
dxdydz= Z Z Z
B(a2/3)
27u2v2w2dudvdw· · ·1 . さらに，極座標変換
u=rsinθcosϕ, v =rsinθsinϕ, w=rcosθ (05r5a, 05π5θ, 05ϕ < 2π)
を用いると，dudvdw=r2sinθ drdθdϕだからより1
Vol(F) = 27 Z a2/3
0
dr Z π
0
dθ Z 2π
0
(rsinθcosϕ)2(rsinθsinϕ)2(rcosθ)2 ·r2sinθ dϕ
= 27
Z a2/3 0
r8dr
!Z π
0
sin5θcos2θ dθ
Z 2π 0
cos2ϕsin2ϕ dϕ
· · ·2 .
ここで，In:=
Z π/2 0
sinnωdω (n= 0,1,2, . . .)とおくと，部分積分よりn =2のとき
In = Z π/2
0
sinn−1ω(−cosω)0dω
=sinn−1ω(−cosω)π/2
0 + (n−1) Z π/2
0
sinn−2ω cos2ω
| {z }
=1−sin2ω
dω
= (n−1)(In−2−In)
⇐⇒ In= n−1 n In−2. これとI1 = 1, I0 = π2 から
Z π 0
sin5θcos2θ dθ= 2 Z π/2
0
sin5θ(1−sin2θ)dθ
= 2(I5−I7) = 2
I5− 6 7I5
= 2 7I5 = 2
7 · 4 5· 2
3 ·I1 = 16
105 · · ·,3 Z 2π
0
cos2ϕsin2ϕ dϕ= 4 Z π/2
0
cos2ϕsin2ϕ dϕ
= 4(I2−I4) = 4 1
2 − 3 4· 1
2
I0 = π
4 · · ·4 . 以上，3 ,を4 2 へ代入して
Vol(F) = 27· a3 9 · 16
105 · π 4 = 4
35πa3.
3
(899)(立体の体積2 )球x2+y2+z2 54a2と円柱x2+y2 5a2の共通部分Eの体積を求めよ．
解 x2+y2+z2 54a2より|z|5p
4a2−x2−y2だから，
E =n
(x, y, z) :x2+y2 5a2, |z|5p
4a2−x2−y2o と表される．ゆえに，
Vol(E) = Z Z Z
E
dxdydz = Z Z
{x2+y25a2}
dxdy Z
p4a2−x2−y2
−p
4a2−x2−y2
dz
= 2 Z Z
{x2+y25a2}
p4a2−x2−y2dxdy
= 2 Z 2π
0
Z a 0
√4a2−r2r drdθ (極座標 x=rcosθ, y=rsinθ)
= 4π
−1
3(4a2 −r2)3/2 a
r=0
= 4(8−3√ 3) 3 πa3.
4
(899)(立体の体積3 )直交2円柱x2+y2 5a2, y2+z2 5a2の共通部分Dの体積を求めよ．
解 D= n
(x, y, z) :x2+y2 5a2, |z|5p
a2−y2
oと表されるから，
Vol(D) = Z Z Z
D
dxdydz = Z Z
{x2+y25a2}
dxdy
Z pa2−y2
−p a2−y2
dz
= 2 Z Z
{x2+y25a2}
pa2 −y2dxdy
= 2 Z a
−a
dy
Z pa2−y2
−p a2−y2
pa2−y2dy
= 4 Z a
−a
(a2−y2)dy
= 8
a2y− y3 3
a y=0
= 16 3 a3.
Check
【別解】（Cavalieriの原理）
Dの平面y=t (|t 5a)による切り口の図形Dtは正方形 Dt=n
(x, z) :|x|5√
a2−t2, |z|5√
a2−t2o
でありその面積はArea(Dt) = 2√
a2−t22
= 4(a2−t2).ゆえに，Cavalieriの原理より Vol(D) =
Z a
−a
Area(Dt)dt = 4 Z a
−a
(a2−t2)dt= 16 3 a3.
5
(889)(立体の体積4 )次の各曲面で囲まれた立体の体積を求めよ．
(1) 球面x2+y2+z2 =a2 (a >0)で囲まれた円柱面x2+y2 =axの内部D．
(2) 放物面x2+y2 =zと柱面x2+y2 = 2zで囲まれた部分E． (3) 曲面z2 = 4ax (a >0)と柱面x2+y2 =axで囲まれた部分F．
解 (1) D0 :={(x, y) :x2+y2 5ax, y=0}とおく．対称性よりD0が球面x2+y2+z2 =a2 で囲まれた部分の体積の2倍が求める体積である．
ここでx2+y2+z2 =a2よりz =±p
a2−x2−y2であるから，
Vol(D) = Z Z Z
D
dxdydz = 2 Z Z
D0
dxdy Z
pa2−x2−y2
−p
a2−x2−y2
dz
= 4 Z Z
D0
pa2−x2−y2dxdy · · ·.1
極座標変換x=rcosθ, y =rsinθによってD0は n
(r, θ) : 0 5r5acosθ, 05θ < π 2
o
と表される．ゆえに，より1
Vol(D) = 4 Z π/2
0
dθ
Z acosθ 0
√a2−r2r dr
= 4 Z π/2
0
−1
3(a2−r2)3/2 acosθ
r=0
dθ
= 4a3 3
Z π/2 0
(1−sin3θ)dθ
= 4a3 π − 2
·1
= 4π
− 2 a3.
a P
O a/2
•
D0
θ x
y
(2) E0 :={(x, y) :x2+y2 52x}とおくと，極座標変換x=rcosθ, y=rsinθによってE0は n
(r, θ) : 05r 52cosθ, −π
2 < θ < π 2
o
と表されるので，
Vol(E) = Z Z Z
E
dxdydz = Z Z
E0
dxdy
Z x2+y2 0
dz
= Z Z
E0
(x2+y2)dxdy
= Z
−π/2
dθ
Z 2cosθ 0
r2r dr
= Z π/2
−π/2
r4 4
2cosθ r=0
dθ
= 8 Z π/2
0
cos4θ dθ
= 8·3 4 · 1
2· π 2 = 3π
2 .
P
O 1 2
E0
θ • x
y
ただし，最後の行でJn:=
Z π/2 0
cosnθ dθに対する漸化式Jn= n−1
n Jn−2 (n =2)を用いた．
(3) 対称性よりz =0, y =0の部分の体積を4倍したものがFの体積に等しい．曲面z = 2√ a√
x と平面z = 0で挟まれた部分と柱面
D=
(x, y, z) :x2+y2 =ax, y=0
=n
(x, y, z) : 05x5a, 05y5√
ax−x2o で囲まれた立体F+の体積は
Vol(F+) = Z Z
D
dxdy Z 2√
a√ x 0
dz
= Z Z
D
2√ a√
x dxdy
= Z a
0
dx Z
√ax−x2
0
2√ a√
x dy
= 2√ a
Z a 0
√x√
ax−x2dx
= 4√ a
Z
√a
0
(at2−t4)dt (∵ √
a−x=tの変数変換)
= 8 15a3.
O a/2 a
D
(平面z=t上での柱面D)
• x
y
したがって，求めるべきF の体積は
Vol(F) = 4Vol(F+) = 32 15a3.
6
(889)(回転トーラスの体積)次の3次元空間内の立体Tの体積を求めよ．
T:=
(x, y, z)∈R3 : 1 4
px2 +y2−32
+z2 51
.
解 Tを平面z =h (−15h51)で切断したときの切り口Thは Th : −p
4(1−h2)5p
x2+y2−35p
4(1−h2) で与えられる．Thは半径3 +p
4(1−h2)の円板から，半径3−p
4(1−h2)の円板をくり抜い たものであるので，Thの面積は
Area(Th) =π
3 +p
4(1−h2)2
− 3−p
4(1−h2)2
= 24π√
1−h2. したがってCavalieriの原理より
Vol(T) = Z 1
−1
Area(Th)dh= 48π Z 1
0
√
1−h2dh
| {z }
=π4
=12π2.
Check
一般に，T : p
x2+y2−R2
+z2 = r2 (R > r > 0) を回転トーラスとよぶ．Tは 円C : (x−R)2+z2 =r2をz軸の周りに回転させて得られる立体で，パラメーター θ, ϕ∈[0,2π]を用いて，
x= (R+rcosθ)cosϕ, y= (R+rcosθ)sinϕ, z =rsinθ
と表される．ここで取り上げた立体Tは”中身の詰まった”トーラスであり，Tの境 界(表面)14p
x2+y2−32
+z2 = 1は
x= (3 + 2cosθ)cosϕ, y= (3 + 2cosθ)sinϕ, z =sinθ と表される．
