微積分Ｉ 演習 ( 第 10 回、 2012.6.20)
三角関数の積分・積分の応用・曲線の長さ
三角関数の積分
∫ π2
0
sin2nxdx= 3·5·7· · ·(2n−1)
2·4·6· · ·(2n) =(2n−1)!!
2n!!
π 2;
∫ π2
0
sin2n+1xdx= 2·4·6· · ·(2n)
3·5·7· · ·(2n+ 1) = (2n)!!
(2n+ 1)!!
例1 次の関数の不定積分を求めよ。
(1)
∫ π 0
sinnxdx (2)
∫ 1 0
Arcsinxdx
曲線の長さ
微分可能な関数y=f(x)(a≤x≤b)のグラフの長さは
∫ b a
√1 +f′(x)2dx。
x=x(t), y=y(t) a≤t≤bとなる平面上の曲線の長さは
∫ b a
√x′(t)2+y′(t)2dt。
直線r=f(θ)の直線の長さは
∫ b a
√f(θ)2+f′(θ)2dθ
例2 次の曲線の長さを求めよ。
(1) (x(t), y(t)) = (a(1 + cosθ) cosθ, a(1 + cosθ) sinθ), r=a(1 + cosθ)（カージオイド）
(2) 等角螺旋r=aθ (0≤θ≤6π) (3) y= cosh(x) (−1≤x≤1) (カテナリー) 面積・体積.
ある立体V がV ={(x, t)∈R2×R|x∈S(t), a≤t≤b}であるとする。S(t)の面積がS(t)であるとすると、
V の体積Vは
∫ b a
S(t)dtである。
曲線が極座標を使ってr=f(θ)と表されているとき、曲線とθ=a, bで囲まれる面積は1 2
∫ b a
f(θ)2dθとなる。
例3
(1) 半径rの球の体積。 (2) 球面の表面積
(3) r2=a2cos 2θ（レムニスケート）によって囲まれる図形の面積。
(4) y= sinx (0≤x≤π)をx軸に沿って回転させて得られる図形の体積。
演習問題
問題1 次の積分を計算せよ。
(1)
∫ π
2
0
sin2xcos2xdx (2)
∫ π
2
0
sinnxcosxdx (3)
∫ 1
2
0
Arccosxdx
問題2 次の曲線の長さ、曲面の面積、及び立体の体積を求めよ。
(1) x23 +y23 = 1（アステロイド）（Hint:三角関数を用いてパラメータづけせよ）
(3) (sinθ,sin 2θ)（リサジュー曲線） (4) 4次元球体の体積
(5) 対数螺旋r=aebθの中心からθ= 6πまでの面積。 （オウムガイなど）
問題3 次の誘導に沿って
∑∞ n=1
1
n2 の値を求めてみよう。
(1)
∫ 1 0
Arcsinx
√1−x2dx · · ·(⋆)の値を計算せよ。 (2) Arcsinxをテイラー級数展開せよ。
(3)
∫ 1 0
x2n+1
√1−x2dxの値と(⋆)の項別積分の値から、
∑∞ n=1
1
(2n+ 1)2 の値を求めよ。
(4) (3)の結果から
∑∞ n=1
1
n2 の値を求めよ。
