InfluenceoftheHigherModeofVibrationonNonlinearVibrationsofthe SmallSagCableSubjectedtoanA

長崎 大学 工学部研 究報 告 第28巻 第50号 平成10年 1月 83

周期的変動軸 力を受け る偏平 ケーブルの分岐応答 に 及ぼす高次モー ドの影響

高 橋 和 雄 *･花 田 博 史**

InfluenceoftheHigherModeofVibrationonNonlinearVibrationsofthe SmallSagCableSubjectedtoanAxialTime‑varyingLoad

by

KazuoTAKAHASHI*andHiroshiHANADA**

Nonlineardynamicresponseofasuspendedsmallsagcabledrivenbyharmonicaxialloadispresented.

ThebasicequationofmotionissolvedbyaGalerkinmethodforspacec0‑0rdinateandtheharmonic balancemethodfortimecO‑ordinate.Themdti‑degree‑of‑freedom approachisemployed.Theinfluences ofthesecondsymmetricmodeandthefirstanti‑symmetricmodeonthefirstsymmetricmodearediscuss‑ ed.

1.まえが き

斜張橋の主桁 あ るいは主塔 が風荷重や走行荷重 な ど に よって振動 す る と支持 ケーブルに振幅の大 きな局部 振動 が発生す る可能性 があるこ とが指摘 されてい る.

これ らの原因 として係数励振振動 が考 え られ る. この 問題 に関 して,著者 らは支点が拘束 された単一 ケーブ ルをモデルに周期的変動軸 力 と面 内変動荷重 が同時 に 作用す る場合の ケーブルの非線形応答 として解析 を行 い,その応答特性 を明 らかに してい る 日.文献 1)で は, ケーブルの対称 1次振動 のみ を考 え,対称1次固 有振動数近傍 とその2倍 で現 れ る1/2分数調波共振 の 応答 に着 目した解析 を行い,変動軸 力の影響 に よって 1/2分数調波共振 の応答振 幅 が増 大す るこ とが明 らか にな った. しか し,ケーブルは連続体であ るこ とを考 える と,対称1次振動 の1ノ2分数調波共振 の応答 と高 次振動の応答 が同一の振動数領域 で発生す る可能性 が あ り,分岐応答 に及ぼす高次振動 モー ドの影響 を評価

してお く必要 があ る.

そ こで本研究では,変動軸 力を受け る偏平 ケーブル

平成 9年10月28日受理

*社 会 開発工学 科(DepartmentofCivilEngineering)

**前 田建設 工業 (秩 )(MaedaCorporation)

の分岐応 答 に及 ぼ す高 次モ ー ドの影響 を明 らか にす る. ここで,高次モー ドとして対称2次お よび逆対称 1次振動 を対 象 とす る.まず,文献1) と同様 に支点 が拘束 された単一 ケーブルの非線形運動方程式 を誘導 す る .次 い で ,運 動 方 程 式 を 2自由度 系 で近 似 L Galerkin法 を適 用 して離散化 を行 い,連立常微分方 程式 に変換す る.得 られた各 自由度 におけ る常微分方 程式の周期解 をフー リエ級数 を使 って仮定 し,調和バ ラン ス法 を適 用 して連 立非 線形 代数方程 式 に変換 す る. この方程式 を解 いて振幅成分 を求め るこ とに よっ て解析 を行 う.

2.運動方程式

Fig.1に示 す偏平 ケーブル (サ グ比r‑I/A<1/8) が周期的変動軸 力 と面 内変動荷重 を受け る場合の非線 形運動方程式は次式で与 え られ る1).

L(W)‑‑諺 +BfHO

‑(He･HtcosQt･HC)宗 一pcos(Qt･?)‑ 0

84 高橋 和雄 ･花 田 博史

P

Fig.1 Geometryofthecable

こ こに ,HD‑Ei (掌 /.lwdx･/.I(慧)2dx):た わ み に よる付加水平張 力,mIケー ブルの質量,I:ケー ブ ルのサ グ, A:スパ ン長,HeI初期水平張 力,HII係数 励振 力の振 幅 ,♪:荷重強度,W.･たわみ,xI支点 か ら の水平距離,tI時 間,f2:周期的変動軸 力 と面 内変動 荷重 の円振動数,EIヤング率,A:断面積,Lc‑ A(1

+8f2/b2):放物線 ケーブルの長 さ,￠:位相角 . 3.解法

(1) 常微分方程式への変換

対称1次振動 の分岐応答 に及ぼす高次モー ド (対称 2次振動 もしくは逆対称 1次振動)の影響 を明 らかに す るために,式(1)の解 を2自由度系モデルで次の変数 分離形 に仮定す る.

uJ‑AtTl(i)Wl(x)+T2(i)W2(x)) (2) ここに,Tl,T2:対称 1次 お よび対称2次 (も し くは 逆対称 1次)振動 の時 間関数 ,Wl,W2 :座標 関数 で 線形振動 の対称1次お よび対称2次 (もしくは逆対称

1次)振動 の固有振動形 .

上式の座標 関数 Wl,W2として,対称振動 の場合 は 基準化 した線形 自由振動 の面 内対称モー ドを用い る.

wE(E)‑(1‑tam竿 sin‑ iE‑cos汀WtE)/wL‑ (3) ここに,E‑x/P,wi‑n,･/汀〝o:第i次 の無 次元 固有 円振 動 数,no‑ JHe7r2/mE2:弦 の1次 の 固有 円振動 敬,ni:ケーブルの第i次の固有 円振動数 ,W,･(E)max:

第 i次対称振動の最大振幅 .

また,逆対称 l次振動 の座標 関数 W2として,スパ ン Eの1/4点の振幅 で基準化 した線形 自由振動 の面 内 逆対称モー ドを用い る.

W2(E)‑sin 27rE/W2(0.25) (4)

ここに,W2(0.25):第1次逆対称振動 の スパ ン Dの 1/4点の振幅 .

式(2)を式(1)に代入LGalerkin法 を適用 し線形減衰 力を考慮 す る と,次式の常微分方程式が得 られ る.

fl+2hla'1ナl+(al2+a.Htcos&r)T.+blHtcos&T T2+cIT.2+dlTIT2+e.T22+flT13+a.T12T2 (5) +ilTIT22+jlT23‑klPocos(由で+￠)

T2+2h2aJ2T2+a2HLCOS由でTl

+(W22十b2Htcos由T)T2+C2T12+d2TIT2 (6) +e2T22+f2T13+g2T12T2+i2TIT12

+j2T23‑k2Pocos(由T+￠)

ここに,wl,W2:対称 l次 お よび対称2次 (も し くは 逆対称1次)振動 の無次元固有 円振動数,hlh2 :対称 1次お よび対称2次 (もしくは逆対称1次)振動 の減 衰宝数 ,Ht‑Ht/He:無次元変動軸 力の振幅,由‑a/

no:無 次元 加振 円振動数 ,io‑♪/Hc:荷重強度,T‑

not:無次元時間,no‑JHe打 2/mb 2:弦 の第1次の固 有 円振動 数,a1‑gl,il〜kl,a2‑g2,i2‑k2:ケー ブル のサ グ比 γ,縦波 一横波伝播速度比k‑広 行琵 お よ びWl,W²よ り定 まる係数 .

(2)対称1次お よび対称2次振動の解析

この場合,対称 1次固有 円振動数の2倍付近 で発生 す る1/2分数調波共振 と対称2次振動 の主共振 が同 じ 振動数領域 で発生す る可能性 があ る.そ こで対称1次 振動 の分岐応答 に及ぼす対称2次振動の影響 を解析す

るため,式(5)お よび(6)の周期解 を次式で仮定す る.

.WT TI莞^.cl'2COS竿+sl′2SlnT

+cllCOS由丁十sllSindT

T2‑管+^{C2lCOS由T'S21SlnWT}

(7)

(8)

ここに,C10,Cll,Sll:対 称 1次振動 の付随調 波成 分 , cl/2,Sl/2:対称 1次振動 の 固有 円振動 数 の2倍付近 に 生 ず る分岐 調波成 分,C20,C21,S21:対 称2次振動 の付 随調波成分 .

式(7)お よび(8)を式(5)お よび(6)にそれぞれ代入 して調 和バ ランス法 を適用すれば,未定定数 を求め るための 8個の非線形連立代数方程式 が得 られ る. これ らの方 程式 に Newton‑Raphson法 を用い,初期値 の もとに

とけば各振幅成分 が得 られ る.

また,式(7)お よび(8)はそれぞれ次式の ように書け る.

周期的変動軸力を受け る偏平 ケ‑ブルの分岐応答 に及ぼす高次 モー ドの影響

Tl

‑

S (

T2‑守 +A21COS(^{d T‑P21)}

Al.‑桐 =対称 1次振動 の付随応答成分, Al′2‑ Jc12,2←S12/2‥対称1次振動 の分岐応答成分, A21‑J亮子電 ‥対称 2次振動 の付随応答成分, 911‑tanJLl(sll/cll),Pl/2‑tanl (sl/2/cl/2), p21‑tan 1(S21/C21), Pl/2,Pllお よびp21:位相差

(10)

(3)対称 1次および逆対称 1次溝動の解析

逆対称 1次固有円振動数の2倍付近で生ず る周期の 主不安定領域お よび逆対称 1次固有 円振動数付近 で生 ず る周期の副不安定領域 を対象 とし, 1次振動の分岐 応答に及ぼす影響 を解析す るため,式(5)および(^6)の周

期解 を次式で仮定す る.

T1‑普+cl′2COS竿 +sl′2SlnT .WT +cICOS(∂T+sISindT

T2

‑

(1I)

(1今

ここに,co,cl,Sl:対称 1次振動 の付随調波成分,cl/2,

sl/2:対称1次振動 の固有 円振動数 の2倍付近 に生ず る分岐調波成分,eo,el,豆1:逆対称 1次固有 円振動数 付近 に生 ず る分岐調波成分,el/2,51/2:逆対称 1次固 有 円振動数の2倍付近 に生ず る分岐調波成分 .

式(ll)お よび(1今を式(5)お よび(6)にそれぞれ代入 して調 和バ ランス法 を適用すれば前述 と同様 に解析解が得 ら れ る.

また,式(ll)お よび(l射まそれぞれ次式の ように書け る.

T1‑^{普 +Al/2COS(賢 一や1′2)+AICOS(dT一甲1) (1頚}

T2‑普 +Al/2COS(賢 一Pl/2)･A^ICOS(dT一甲.) 84 Al/2‑ Jc12/2+sl2/2‥対称 1次振動 の分岐応答成分, A1‑万号7才‥対称 1次振動 の付随応答成分, A1‑正字了平 ,Al/2‑桐 ‥逆 対 称 1次振動 の 分岐応答成分,

pl‑tan‑1(sl/cl), Pl/2‑tanJJl(sl/:/cl/2),

￠1‑tan‑1(吾1/tl),91/2‑tan 1(豆1/2/El/2),

pl/2, PlおよびQl/2,￠1:位相差

85 (4)Runge‑Kutta‑GiLl法による数値解法

式(5)お よび(6)においてT^l‑P.,Tl‑P2お よびT2‑ P3,T2‑P4とお くと,次の4元連立の 1階常微分方程

式 とな る.

Pl‑P2

P2‑‑ 2hlWIP2‑al芋P1‑alHiCOSdTP1

‑blHtcos(aTP3‑ CIP12‑dlPIP3

‑elP32‑flP131g.P12p3IilPIP32

‑jlP33+kLFocos(由T+￠) P3‑P4

P4‑‑2h2(山2P4‑W22p3‑a2H^tcos(如Pl

‑b2Htcos也TP3‑C2P12‑d2PIP3

‑e2P32‑f2P13‑g2P12p31'2PIP32

‑j2P33+k2Pocos(由r+￠)

(15)

式85)に Runge‑Kutta‑Gill法を適用 して,直接数値積 分すれば時間応答が求め られる.

4.解析着果

(1) 対称 2次および逆対称 1次振動の固有振動特性

uaTdDuanbaJfJDZnJJ11DIZ,JnJZ,N 000000,00I5432Lo

‑ sy‑me,rL.C‑Ode 2a'/誓 o)

‑‑ ‑‑ ‑‑一一 Antt'‑symmetrLlcmo(お

2nd k=50

2nd k‑40

Jst

ノ∫′ A‑30A‑20

0.01 0.1 Sag‑to‑Spanratioy Fig.2 Relationbetweensag‑to‑spanratioγand

naturalcircularfrequency(〟〟.

Fig.2は,サ グ比 γと対称1次,対称2次お よび逆対 称 l次の無次元固有 円振動数wnの関係 を,縦波 一横 波伝播 速 度比kをパ ラメー タに示 した もの であ る.

実線は対称 モー ドを破線 は逆対称モー ドをそれぞれ表 す.Fig.2よ り各対称モー ドは,あ る特定のサ グ比 に おいて一段高次の対称 モー ドに遷移 する.遷移領域は 高次モー ドになるほ ど,または縦波 一横波伝播速度比 kが小 さ くな るほ どサ グ比 の大 きい ところで発生 す る.各逆対称モー ドは,サ グ比 お よび縦波 一横波伝播

86 高橋 和雄 ･花 田 博 史

速度比 に関わ らず一定の値 とな り,他のモー ドへの遷 移 は起 こらない.

本解析では,縦波 一横波伝播速度比k‑30の ケーブ ルを取 り扱 い,対称1次振動 の固有 円振動数の2倍 (太 級)付近 で発生す る分岐応答 に及ぼす高次モー ドの影 響 を検討 す る.対称2次振動 の場合 は,サ グ比γ‑0.

02付近のサ グ比 で主共振 が,逆対称 1次振動 ではγ‑

0.026付近 のサ グ比 で主不安定領域 が対称 1次振動 の 分岐応 答 と同一 の振動 数領域 で発生 す る可能性 があ る.また,逆対称1次振動 の副不安定領域 については サ グ比が小 さい ときに同一の振動数領域 で発生す る可 能性 があ るが, ここでは対称 2次振動 に関 してはサ グ 比γ‑0.01,0.02お よび0.03の偏平 ケー ブル を,逆対 称 1次振動 に関 してはr‑0.02の偏平 ケーブル を対象

として解析 を行 う.

(2)対称2次振動の影響 (a) 対称2次振動の応答特性

Fig.3,4,5は,サ グ比r‑0.01,0.02お よび0.03 の偏平 ケーブル (縦波 一横波伝播速度比k‑30,減衰 定数hl,h2‑0.005)で,達成項 を無視 した場 合 の対 称 1振 動All,Al/2(1)お よび対 称 2次振 動A21,Al/2(2)

の応 答 曲線 を示 す . ここで,無 次元変動軸 力の振 幅

H t‑0.1,荷重 強度p‑0‑0.1と してい る. また,横軸 は無次元加振 円振動数,縦軸 は無次元応答振幅 を示す.

サ グ比 γに関わ らず,対称2次振動 の主調波応答A21

はあ らゆ る振動 数蘭域 に生 じ2次固有 円振動数W2で 共振 す る.また,1/2分数調波共振 の応答Al/2(2)はそ の2倍 (2αI2)に分岐応答 として発生 す る. しか し, 対称 1次振動 に比 べ る と主調波 お よび1/2分数調波共 振 の どち らの応答振幅 も小 さい.また,対称1次振動 ではサ グ比γ‑0.02お よび0.03で振幅の小 さい領域 に おいて軟化バ ネ特性 が現れ るが対称2次振動 ではサ グ 比 に関わ らず硬化バ ネ特性 を示 す.また,サ グ比γ‑

0.02の場合 に対称2次振動 の主共振 は対称1次固有 円 振動数の2倍付近 か ら発生 してい る.また,サ グ比γ

‑0.01はそれ よ りも高 い振動数 か ら, γ‑0.03は低 い 振動数か らそれぞれ発生す る.達成項 を考慮 す る と, サ グ比γ‑0.01,0.03の場 合 において対称2次振動 は 分岐応答 に影響 をお よはす可能性 があ る.

(b) サグ比の影響

Fig.6,7,8は,サ グ比r‑0.01,0.02お よび0･03 の偏平 ケーブル (縦波 一横波伝播速度比k‑30,減衰 定 数hl,h2‑0.005)で ,達 成項 を考 慮 した場 合 の対 称 1次 お よび対称2次振動 の応答 曲線 を示す.溝 た,

′054321000000000000(T)TNV･rTv'nJtHv'ltvsJuauoduL

O

d

v

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 Frequency a) Fig.3 Frequencyresponsecurvesofthelstsym‑

metricmodeandthe2mdsymmetricmode:

uncoupled case;γ‑0.01,k‑30,wl‑1･21, W2‑3.01,hl,h2‑0.005,HL‑0.1,P0‑0.1 and￠‑0.

′054321000000000000rLJtHv･ITv'(IJEHv.(Iv

sJuauodzuoDaPnJ.1ZduL

V

.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 Frequencyw

Fig.4 FrequencyresponsecuⅣesofthelstsym‑

metricmodeandthe2mdsymmetricmode:

uncoupled case;γ‑0.02,k‑30,wl‑1･68, W2‑3.04,hl,h2‑0.005,Ht‑0.1,P0‑0.1 and￠‑0.

Fig.5 FrequencyresponsecuⅣesofthelstsym‑

metricmodeandthe2ndsymmetricmode:

uncoupledcase ;γ‑0･03,k‑30,や^1‑2･18,

W2‑3.14,hl,h2‑0.005,Ht‑0.I,P0‑0.1 and￠‑ 0.

周期的変動軸 力を受け る偏平 ケーブルの分岐応答に及ぼす高次 モー ドの影響 87

IZ｡･L/TDLlrD･'FT3',rEv･lEv'Erv'rlv

s)uauoduLODaPnJfldzuv ′050000 43200000000 10 00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

FrequencyW‑ Fig.6 FrequencyresponsecuⅣesofthelstsym‑

metricandthe2mdsymmetricmode:γ‑

0.01,k‑30,W1‑I.21,W2‑3.01,hl,h2‑

0.005,Ht‑0.1,P0‑0.1and￠‑ 0.

543210000000000IED･.rZJ'rrU'[12㌧llJCIITvCrZv"lv'llv

sJuauoduLODaPn)flduLV

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 Frequencya Fig.7 Frequencyresponsecurvesofthelstsym‑

metricandthe2nd symmetricmode:γ‑

0.02,k‑30,W1‑1.68,W2‑3.04,hl,h2‑

0･005,Ht‑0.1,P0‑0.1and9i‑0.

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

F requencya

lID･'ITJLllJ･'lrD･./Zv.ltvEtrv.I/v

sJuauoduLODaPnJfIduL

V

Fig.8 Frequencyresponsecurvesofthelstsym‑

metricandthe2ndsymmetricmode:γ‑

0.03,k‑30,W1‑2.18,W2‑3.04,hl,h2‑

0.005,Hf‑0.1,P0‑0.land9‑ 0.

無 次元 変動軸 力の振 幅H t‑0.1お よび荷重 強度9‑0‑

0･1と してい る.対称2次振動 の応答A21は,対称 1 次振動 とともに現 れ る.強制外 力 と同位 相 の応答C21 は l次振動 の外力 と逆位相の応答 ‑ cllと同時 に発生

し,主共振 近 傍 では‑cllの応 答振 幅 が ‑ C21の応 答 振幅 よ りも大 きいが,加振振動数 が対称2次固有 円振 動数W2に接近 す るにつれて両者 が逆転 す る. また, 対称2次振動 の逆位相の応答‑ C21が発生す る場 合の 対称 1次振動 の応答 をA′21で示 してい る.A'21は振 幅の小 さい領域 で発生す る.対称1次振動 の分岐応答 については,達成項 を無視 した場合 (Fig.3,4お よ び5) と比較 す る.サ グ比γ‑0.01の場合は全 く対称 2次振動 の影響 を受 けない.サ グ比γ‑0.02の場合 も ほ とん ど影響はないが振幅の大 きな ところで応答が交 差す るようにな る.また,サ グ比γ‑0.03の場合 にお いて達成項 を考慮 す ることに よ り,対称 1次振動 の主 調波応答 も1/2分数調波共振 の応答 も複雑 な応答 曲線 を示 し,高次振動の影響 を受け る.サ グ比γ‑0.03は, 対称1次モー ドの遷移領域 に対応 し,対称2次固有 円 振動数 と接近す る.そのために,2次振動の主共振 が 1次固有 円振動数の2倍 よ りも左側 か ら発生 し,主共 振 の比較的振幅が高い ところで分岐応答 と重な るため に影響 を受け る と考 え られ る.

(C)変動軸 力の振幅の影響

Fig.9お よび10は,サ グ比γ‑0.02,縦波 一横波伝 播速度比k‑30,減衰定数hl,h2‑0.005の偏平 ケーブ ルで,無 次元変動軸 力の振 幅昂 を変化 させた場合の 対称 1次振動 お よび対称2次振動 の応答 曲線 を示す.

また,荷重強度 はp‑0‑0.1(位 相角 ￠‑ 0)と してい る.それぞれFig.9はHt‑0.3,Fig.10はH t‑0.6の 場合 を表す.周期的変動軸 力が大 き くなる と対称 1次 振動 の主調波応答の幅 が広 くな る.1/2分数調波共振 の応答では,振幅の大 きな領域 で分岐応答が発生 し, この応答の幅が広 くな るこ とが確認で きる. この特徴 は,1自由度系の場合 と同様 な結果 となるが,振幅の 大 きな領域 で発生す る分岐応答の数 が1自由度の場合 よ り増 える. これは,対称 2次振動 の作用の もとに発 生 した分岐応答 と言 える.また,対称 2次振動の応答 にA21ついては,変動軸力が大 き くな って も振幅 お よ び発生額域の幅 にほ とん ど変化は見 られない.

88

0000000

.I,V･,Zv･E,Iv･I,vSJuauOLtZuODaPnJ.LZdzuv ′005432100000 oO0

高橋 和雄 ･花 田 博 史

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 Frequenq,i万

Fig.9 Frequencyresponsecurvesofthelstsym‑

metricandthe2mdsymmetricmode:γ‑

0.02,k‑30,W1‑1.68,W2‑3.04,hl,h2‑ 0.005,昂 ‑0.3,タ｡‑0.1and￠‑ 0.

.,zv',tv･E"V',,vSJuauOdzuoDaPn).LZdwv ′054000000 32000000 10 oO0

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 Frequenq′W Fig.10 Frequencyresponsecurvesofthelstsym一

metricandthe2ndsymmetricmode:γ‑

0.02,k‑30,W1‑1.68,W2‑3.04,hl,h2‑ 0.005,昂 ‑0.6,タ｡‑0.1and￠‑ 0.

JTv'rzv･T"V･rrvSJuauOdwoDaPn)11ZduLV 000000 605432100000

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 Frequency田

Fig.ll FrequencyresponsecuⅣesofthelstsym‑

metricandthe2ndsymmetricmode:γ‑

0.02,k‑30,W1‑1.68,W2‑3.04,hl,h2‑ 0.005,B,‑0.6,and￠‑0.

(d) 荷重強度の影響

Fig.11は,サグ比γ‑0.02,縦波 一横波伝播速度比 k‑30,減衰定数hl,h2‑0.005の偏平 ケーブルで,荷 重強度 9‑.を変化 させた場合の対称 1次 お よび対称2 次振動の応答曲線 を示す. ここで無次元変動軸力の振 幅はHf‑0.3としている.また,実線 は荷重強度 bl0‑ 0.1,破線はp‑0‑0.2お よび一点破線はPI0‑0.3の場合 を表す.荷重強度の影響は対称1次振動の主調波 およ び1/2分数調波共振 の応答で顕著 に現 れ る.荷重強度 を大 き くする と主調波の応答振幅は大 き くな り,振幅 の小 さい領域で発生す る1/2分数調波共振の発生領域 は広 くなることが確認で きる.また,対称2次振動の 応答 に関 しては,わずかに振幅が大 き くなるだけでほ

とん ど影響は見 られない.

(○) 減衰力の影響

Fig.12お よび13は,サグ比γ‑0.02,縦波 一横波伝 播速度比k‑30の偏平 ケーブルで,周期的変動軸 力の 振幅Hf‑0.3,荷重強度pl0‑0.1(位 相 角￠‑ 0)と

した場合の対称1次 および対称2次振動の応答曲線 を 示す.また,Fig.12は対称 1次お よび2次振動 の減衰 定数 をhl,h2‑0.005とし,Fig.13はhl,h2‑0.01とし て減衰 力の影響 を評価 す る.また,Fig.12にはシ ミュ レーシ ョンによる対称1次お よび対称2次振動の応答 を○および△で示 している.解析解 とシ ミュレーシ ョ ン解は一致 していることが確認で きる.減衰力の影響 は,対称1次振動 の振幅の小 さい領域 で生ず る1/2分 数調波共振の応答において現れ,振幅がわずかに小 さ

くなっている.また,対称 1次振動の主調波応答およ び対称2次振動の応答では減衰力の影響は全 く見 られ ない.文献 1)の1自由度系の解析 において,変動軸 力が作用す る場合のケーブルには減衰力の効果が期待 で きない ことが明 らかにされているが, ここで も同 じ

ことが言 える.

(3)逆対称 1次振動の影響

Fig.14は,サ グ比γ‑0.02,縦波 一横波伝播速度比 k‑30お よび減衰定数hl,h2‑0.005の偏平 ケーブ)I/に 周期的変動軸 力 (昂 ‑0.3)のみが作用す る場合の対 称1次お よび逆対称1次振動の応答曲線 を示す.対称 1次固有 円振動数 の2倍 (2wl)お よび固有 円振動 数 (α1)付近 にそれぞれ対称1次振動 に よる単純共 振の主不安定領域Al/2お よび副不安定領域Alが,逆 対称 1次固有 円振動数 の2倍 (2W2)お よび固有 円 振動数 (W2)付近 に逆対称1次振動 に よる単純共振 の主不安定領域Al/2お よび副不安定領域A‑1がそれぞ