MATLAB言語 による道路橋交通振動の解析
岡 林 隆 敏 * ･加 賀 敏 明**
甲 斐 利 彦 ***
HIGHWAYBRIDGEVIBRATIONANALYSISBYMATLAB
by
TakatoshiOKABAYASHⅠ*,ToshiakiKAGA**,andToshihikoKAI***
MATLABisamatrixbasedsystem forengineerlngCalculationsandakindoflanguagedisigned solelytodomatrixmanipulation. Thisstudy,WeapplyMATLAB programingtothenumerical analysisforhighwaybridgevibrationproblemsunderMATLABprogramingofthebridgevibration suchasthesimulationofroadroughness,thedeterministicresponseanalysis,thestochasticresponse analysisandtheoptimaldesignoftuningmassdampersaretreated. Thenumericalcalculation methodsofthecovarianceequationsbyRunge‑KuttamethodandPadeapproximatemethodare proposed. UsingbyMATLAB,programingenvironmentcanberapidlyimproved.
1.は じ め に
近年,多 くの分野 で数 式処 理 ソフ トウェアMAT‑
LAB,Mathematica,Maple,HiQな どが使用 され る ようになって きた.特 に,制御工学 の分野 では,MAT‑
LAB言 語1)の使 用 が 一 般 的 に なって い る.MAT‑
LABは現在 に至 るまで米国や ヨー ロ ッパ の多 くの大 学,研究所 において教育,研究 のため使 われ改良が加 え られて きた2). MATLABは,マ トリックス演算 を 中心 に行 うた めに開発 された言語 であるが, さらに複 雑 な連 立 微 分 方程 式 を容 易 に解 くこ とが で き る.
BASIC,FORTRAN,C言語 な どの高級言語 と比 べ, 通常 のプログラ ミングを書 くことな く,問題 を解 くプ
ロセス を数学的 に紙面 に書 いた ように表示で きるよう になっている.MATLABの豊富 な関数群 によるプロ グ ラム の簡 略化 だ けで な く,MATLABの持 つ グ ラ フィック機能 によ り開発環境 は著 し く向上す る. また, TOOLBOXと呼 ばれてい る特定分野 の解法 を集 めた
ものが,数多 く用意 され てい る3).TOOLBOXとは,
特定 の種類 の問題 を解 くた め にMATLAB関数(m‑
ファイル)を包括的 に集 めることによって,MATLAB 環境 を拡張す る ものであ る. さ らに このTOOLBOX を使用者 自身が作成 で きるような拡張性が あ りこれが 大 きな特徴 となっている.著者 らは これ まで,MAT‑
LABを構造解析 や不規則振動論等 に適 用 し,解析 を 行 って きた.本論文 では,道路橋交通振動 の解析 にお
ける適用例 について報告す る.
2.MATLABの概要 と作成 したプ ログラム
MATLABは1980年 に開発 され, 当初FORTRAN であった ものが現在 で はC言語 による記述1)が行 われ てい る.MATLABのプログラ ミングはベ ク トルやマ
トリックス演算 を行 う際,紙面 に書 くように入力で き, プ ログ ラム開発 環境 が著 し く向上 す る.MATLAB の構成 は基礎 的な計算 を行 う基本モジュール と, それ に処理機能 を付加 させ る拡張TOOLBOXによ り構成 され て い る.制 御 用 の基本 的 な処 理 を行 うControl 平成7年10月27日受理
*社会 開発工学科 (DepartmentofCivilEngineering)
**大学院海洋生産料学研究科海洋生産開発学専攻 (GraduateStudent,DepartmentofCivilEngineering)
***㈱大 日本 コンサルタン ト (NipponEngineeringConsultantsCo.Ltd.)
98 岡林隆敏 ･加賀敏明 ･甲斐利彦 SystemTOOLBOX,非線形系の最小化 または最大化,
線形計画法 な どを行 うOptimizationTOOLBOX4), フィルターの設計,離散 フー リエ変換,不規則信号の 統計処理 を行 うSignalProcessingTOOLBOX5),H∞ 制御 な どの ロバ ス ト制御系 を設計す るRobust Con‑
trolTOOLBOX6)な どがある.立体 的な三次元 グラフ の作成,色 の濃淡 を利用 し2次元 グラフを3次元 グラ フに拡張す るな どのグフイツク機能7)を持 っている.
この ような特色 を もつMATLABの機能 をさ らに向 上 させ るた め に,著者 らは,Tablelの ようなプ ロ グラム を作成 した.
Table1 Program forbridgevibrationanalysis Determisticresponseanalysis
Simulationofroadroughness
Tim?Variable̲differentialequationby Runge‑Kuttamethod
Random responsFtan̲alyisis
CoVari早nCeequationbyRunge‑Kuttamethod CoVarianceequationbypademethod
3.時刻歴応答解析
(1) 橋梁一車両一路面系の方程式
Fig.1の ような路面凹凸を含む橋梁上 を 1自由度で モデル化 された車両が走行 す るときの橋梁および車両 の方程式 は,
n
y(I,i)‑k∑￠=1k(I)qk(i) (1) i'k(i)+2hka)kq'k(i)+aJ2kqk(i)‑1 LkzQk(ut)i'(i)
(2) i'(i)+2h｡a).(Z'(i)‑メ(ut,i)‑7;(i))
+a)蛋(Z(i)‑y(ut,i)‑r(i))‑o (3) ここで,y(a,i):x点の橋梁 の変位応答, ￠k(I):
k次の振動モー ド,qk(i):基準座標,Z(i):車両の垂 直変位,r(i):路 面 凹 凸,aJk,伽, hk,h｡:それ ぞ れ,橋梁お よび車両の固有振動数 と減衰定数,JLkz:橋 梁のk次の有効質量mkと車両の質量moとの質量比,
〟:車両の走行速度である.
次のような状態変数 を導入する と,
q(i)‑lql(i)･･･qn(i)]T (4) x(i)‑[q(i)Ti(i)Ta(i) Z'(i)]T (5)
(2)(3)式 は,次の状態方程式で記述す ることがで き
る.
i(i)‑Al(i)x(i)+Bl(i)r(i) (6) ここで,Al(i):橋梁一車両系の係数マ トリックス, Bl(i):外力 マ トリックス,r(i):路面 凹凸 r(i)とそ の時間微分7;(i)か ら構成 され る外力ベ ク トルである.
なお,図中のm｡,k.,C｡はそれぞれ車両の質量,ばね 定数および,減衰係数である.
V
‑:｡軒 Z(t, r(t,
トー Vt‑ ｣
Fig.1 Bridge‑vehiclesystem.
(2)路面凹凸のモデル化
路面凹凸のパ ワースペ ク トル密度8)は,
S,(a))‑S｡(a)2+β2) (7) で近似す ることがで きる.ここで,S｡‑27ruA,β‑27rVa である.
長崎県の荒川橋で決定 した路面凹凸のパ ワースペ ク トル密度 をFig.2に示 した.
(ttlJU＼Ntm)
Fig.2 Powerspectraldensityofroadroughness.
パ ワースペ ク トル密度が与 えられた場合,路面凹凸 は次の ような三角級数モデル9)によ り合成す ることが で きる.
m
r(i)‑∑k=1akSin(a)kt+￠k) (8)
crk2‑4S,(a))･Aa)
wk‑WL･(k寸 Aw,Aw‑(wU‑wL)/m (9) なお,a k:平均値0,標準偏差Okを有 す る正規乱 敬,￠k:0‑22rの一様乱数,a)L,a)a:合成する波形の 凹凸数の下限 と上限,m :周波数の分割数である.
(3)プログラムの概要
シ ミュレー ションを行 うために,路面凹凸を発生 さ せ るプログラムを示 した.橋 梁一車両系の方程式 は不 規則 な外力 を入力 とす る時変系の方程式 になる.定数 係数の応答計算 を解 くプログラムは,lsimとして準備 されているが,時変係数系のプログラムはない. そこ で, このた めの プ ログ ラム を時変 係 数 系 のRunge‑
Kutta法 に よ り作成 した. それ ぞれ,Program lと Program 2で あ る. プログラム中の,% はコメ ン ト 行,;は その行 の 区切 りの‑記 号 で あ る.functionは ファンクシ ョンサブプログラムを記述す るための もの である.
(∋路面凹凸の発生
program lは,路面凹凸 を発生 させ るプログラム である.メインファイルでは,T :路面凹凸を発生 さ せ る時間,dt:時間刻 み, fl,fu:下限 と上限の周波 敬,m:周波数分割数,V:車両の速度,A,a:路面 のパ ラメータ,n:乱数 の初期条件 である. ファンク ションファイル(1)は,波形 を合成 す るルーチ ンで あ る.一般的なパ ワースペ ク トル密度 をファンクシ ョン ファイル(2)で定義す ることによ り,一般的なスペ ク ト ル にも対応で きる.
(参不規則外力 を入力 とす る時変係数系ための Runge‑Kutta法
Runge‑Kutta法10)を橋 梁一車 両系 に適 用 した場合 を考 える.(6)式 は一般的に次式で表す ことがで きる.
1;(i)‑i(I,i) (10) Runge‑Kutta法では,この式 を次の ように差分表示す
る.
x(t十At)‑3(t).‡(kl+2k2+2k3･k4) (ll)
こ こ に,
kl‑Atf(x,i)
k2‑Atf(x+kl/2,i+At/2) k3‑Atf(K+k2/2,i+At/2) k｡‑Atf(a+k3,i+At)
Program 2は① の路面凹凸 を外乱 とした場合の,棉 梁中点の変位応答 を求 めるための ものである.ただ し, 橋梁 は 1次振動 のみを考慮 している.その内容 は, メ インファイルで(3)式のa)oho,時刻 :to,ポイン ト数 : n,時間刻み:dを入力 し,路面凹凸の情報rr.matを▲
よかだす. これ らを引数 として初期条件 を求めるファ ンクシ ョンファイル (1)に入力 しIsim関数 によ り橋梁 直前の車両 の初期条件 Joを求 める.Runge‑Kutta法 によるファンクシ ョンファイル(2)では,車両二橋梁系 のパ ラメータお よび方程式 を定義 したファンクシ ョン ファイル(3)とのあいだで,(ll)式 よ り,橋梁中点の変 位応答 y(I,i)を求める.これ を説明する と,まず最初 にメイ ンファイル よ り車 両 の初 期 値 3.が他 のパ ラ メータ とともに入力 され る. これ らはファンクシ ョン ファイル(3)に入 力 され ∬が求 め られ再 び ファン ク ションファイル(2)に も どされklが求 まる. これ が (ll)式の値 である.同 じようにk2,k3,k｡も決 まる.
これ らの値 か ら次の点 の∬Oが決定 され る. これ は, Program‑1 Simulationofroadroughness.ノ
Mainfile
%ROADROUGHNESS
T=10.0;dt=0.01;fu=6.0;fl=0;.m=50;V=10;
A=0.0027;a=0.05;n=1;
trr,tー=road(T,dt,fu,f1,m,V,A,a,n).;
Functionfile(1)
function【rr月=road(T,dt,fu,f1,m,Y,A,a,n) wl1=2'pi●fu;wl=2'pi●fl;ns=T/dt+1; dw=(wu‑wl)/m;
randn('seed',n);ra=randn(1,m); rand('seed',n+1);rb=rand(1,m); t=0:dt:T;
r=zeros(size(t));rd=zeros(size(t)); fork=1:m
w=wl+(k‑1/2)'dw;
sgm=sqrt(4'psd(W,Ⅴ,A,a)'dw); ak=sgm'ra(k);fai=2'pi●rb(k); r=r+ak.'(sin(W't+fa主)); rd=rd+W■ak.'(cos(W't+fa主));
end rr=【rr;r;rdI;
Functionfile(2) functionsX=psd(W,Ⅴ,A,a) sO=2'pi'Ⅴ'A;bb=2'pi'Ⅴ'a;
100 岡林隆敏 ･加賀敏明 ･甲斐利彦
Program‑2 Runge‑Kuttamethodfor㌧vectolequtation.
Mainfile
%BRIGDEVIBRATION fO=3.0;wO=2'pi●fO;hO=0.03;
tO=0;n=401;d=0.01;L=40;
loadrr.mat;%ROADROUGHNESS RVl=rr(1:2,1:401);RBl=RVl';
Ⅹ0=Vehicle(wO,hO,RVl);
RV2ニrr(1:2,402:803);RB2=RV2'; lt,YI=runge(tO,n,a,Ⅹ0,RB2); y=sin(pi'(L/2)/L)●Y(1,:); plot(t,y)
Function丘le(1)(initialcondidon) functionXO〒Vehicle(wO,hO,RV)
t=0:0.01:4;
a=(01;‑W0‑2‑2'hO'wOJ;b=tOO:wOA22'hO.wO7; C=(10J;d=(00l;
r=RV';
ly,ⅩFlsim(a,b,C,a,r,t);
Functionfile(2)Runge‑Kuttamethod
%RUNGE‑KUTTAMETHODFOR
%VECTOREQUATION
functionlt,Y】=runge(tO,n,d,Ⅹ0,RB2) Y(:,1)=Ⅹ0;
t(1)=tO;th=tO;
fork=2:n t(k)=th;
Y(:,k)=Ⅹ0;
kl=func(th,Ⅹ0,RB2,d)'d;
th=th+d/2;kkl=Ⅹ0+kl/2;
k2=func(th,kkl,RB2,a)'d;
kk2=Ⅹ0+k2/2;
k3=func(th,kk2,RB2,a)●d;
th=th+d/2;kk3=Ⅹ0+k3;
k4=func(th,kk3,RB2,d)'d;
Ⅹ0=Ⅹ0+(kl+2'k2+2●k3+k4)/6;
end
(ll)式のx(i+At)に相 当す る.この作業 をn‑1回繰 り返 し γ としてメイ ンファイル に もどし, これ と橋 索のモー ドsin(i)の横 によ り,橋 梁中点 の変位応答
〟をプロッ トさせ る.
4.不規則応答解析
(1)確率微分方程式
(7)式のパ ワースペ ク トル密度 を有す る定常確率過 程 は,強度 62を有 す る白色雑音n(i)を入力 とす る次 式のような路面系モデルで示す ことがで きる.
/(i)+βr(i)‑n(i)
ただ し, 62‑47r2uAである.
(12)
Functionfile(3) functionx=func(th,Ⅹ0,RB2,d) nnn=round(也/d+0.1‑d); DDD=【RB2(ann+1,:)I';
%BRIDGEPARAMETER
L=40;EI=24.41●10ー8;M=10.68'10ー4;
g=9.8;h=0.02;m=M/2;
W=(pi/L).▲2●sqrt(EI/(M/L/g));
%VEHICLEPARAMETER hO=0.03;fO=3.0;wO=2'pi●fO;
mO=20●10ー3;Ⅴ=10;
%MATRIX(A,B) Rm=mO/孤;
F=sin(pi/L'Ⅴ't抽
al≡‑wA2‑wOA2'Rm.F(2;
aZ=‑2'h'wl2'hO'wO'Rm'FZ;
a3=wO'2'Rm'F;
a4=2●hO'wO'RmIF;
a5=wO〈2■F;a6=2●hO●wO●F;
a7ニwO〈2;a8=‑2●hO●wO;
A=[0 1 0 0;ala2a3a4;
0 0 01;a5a6a7a81;
blニトRm'wO〈2●F‑Rm●2◆hO●wOIF】; b2=lwO〈22●hO'wO】;
B=Ezeros(i,2);bl;zeros(i,2);b2l;
Ⅹ=A'Ⅹ0+B'DDD;
(5)式の橋梁の状態ベ ク トル,車両 の変位,速度,お よ び路面凹凸か ら状態変数ベ ク トルX(i)を,
x(i)‑[q(i)Ti(i)Tz(t) Z.(i)r(i)]T(13)
と定義する と, (2), (3),(12)式 は次のように白色雑 音過程 を入力 とす る伊藤型の微分方程式で表す ことが で きる.
k(i)‑A(i)X(i)+B(i)n(i),X(to)‑X. (14) A(i),B(i)マ トリックスの要素 は省略する.詳細 は文 献8)を参照 された し.
(2)共分散方程式
橋梁振動の分散 を求 める.応答の分散 は,
Ely(i)2]‑￠2(i)Elq2(i)] (15) とな り,状態マ トリクスX(i)の共分散 の要素 よ り求 め られ る.
応答x(i)の平均値 回 りの変動 のみに着 目す る と, X(i)の共分散 は,
Rx(i)‑E[X(i)X(i)T] (16) と定義できる. したが って,(14)式 に対応する共分散 方程式 は,
虎x(i)‑A(i)Rx(i)+Rx(i)A(i)T+B(i)B(i)T62, Rx(to)‑RE. (17) また,初期条件 は,車両が無 限遠点か ら発進 し,定 常状 態 に達 した後 に車両 は橋 梁 に進入す る もの とす る.
車両 が橋梁 のx‑t点 に位置 し,定常 な接地力 を加 え る もの とす る と,定常応答解析 の問題 にな る. この場 令 (17)式 は次 の連立 方程 式 にな る.
A(i)Rx(i)+Rx(i)A(i)T+B(i)B(i)T62‑0 (18)
(3)プ ログラムの概 要
ここで は(2)で論 じた共分散方程 式 のRunge‑Kutta 法 とPade近似 に よる解析 プログラムの説 明 を行 うが, プ ログ ラムの構成 はProgram 2の橋 梁一車両系 のプロ グ ラム とほぼ同 じで あ るた め使 用 す る関 数及 び マ ト リックスの違 いについて述べ るに とどめ る.
①Runge‑Kutta法
Runge‑Kutta法 に よる不 規則 応 答解 析 の プ ロ グ ラ ム を,Program 3に示す.メイ ンフ ァイル はProgram 2とほぼ同 じで あ る.初期条件 を求 め るファンクショ ンファイル (1)で は,係数 マ トリックス A と外 力 マ ト リックス β が共分散 方程 式 の係数 に変 わ り,(18)式 の リアプノフ関数 によ り車両 の初期条件 を求 めてい る.
Runge‑Kutta法 によるフ ァンク シ ョンファイル(2)は, Program 2と同一 で あるた め,式 の部分 は省 略す る.
共分散 方程式 の フ ァンクシ ョンファイル(3)で は,橋 梁 一車両系 の方程式 に代 わ り, (17)式が定義 され てい る.
ただ し,係数マ トリックスA,外力 マ トリックスB の 要素 の定義 について は省 略す る.
(診Pade近似
Pade近 似川は Runge‑Kutta法 に比 べ数 値 積 分 に おいて無条件安定 な解析 を行 える.
共分散 方程 式(17)式 を差 分表 示 す る と, 2次 のPade 近似 式eAkdを用いて,
Rk‑eAkhRk‑1eAkhT+与[BkBkT
+eAkhBk‑1Bk̲lTeAk‑hT]62h eh d‑(I･老 Ak)(I一考Ak)‑1
と表 せ る.
Pade近似 による不規則応答解析 のプログラム を,Pr0‑
gram 4に示す.ただ し,メイ ンファイル,初期値 を求 め るフ ァンク シ ョンファイル は省 略 す る.Pade近似 を与よるフ ァンクシ ョンフ ァイル(1)で は,(19)(20)式 を 定義 し,共分散 方程式(17)式 の係数 マ トリックスA と
Program‑3 Runge‑Kuttamethodforcovariance equation.
Mainfile tO=0;n=401;d=0.01;
RO=Vehicle;
lt,XR]=runge(tO‑,n,d,RO);
Functionfile(1)Initialcondition functionR■0主Ⅴ.ehicle
兎MATRⅠⅩ(AO,BO,QO)A‑.
A=【010;‑wO〈2‑2'hO■wO‑(2'hO■wO'bV‑wO〈2); 00‑bV】;
B=80;2.hO.wO;1]; Q=B●(sgmー2)'B';
%ⅠNⅠTⅠALCOJNDⅠTⅠON‑
RO=lyap(A,Q);
Functionfile(2)Runge‑Kuttamethod
%RUNGE‑KUTTAMETHODFOR
%coVARⅠANCEEQUAT工ON
Functionfile(3) functionPP=func(也,P)
%MATRⅠⅩ(A̲,B,也)
A±【01000;ala2a3a4a5;000 10;
̀a6a7a8a9a10;0000‑bV】; B=EOblOb2lr,.
sgm=sqrt(2●pi'sO);Q=B●(sgmへ2)●白'; PP=A'P+P'A'十Q;%CoVarianceEquation
Program‑4 Pade method for covariance equa‑ tion.
Functionfile(1)Pademethod
%PADEMETHODFOR
%COVARⅠANCEEQUATⅠON function(t,XR)=pade(tO,n,d.RO)
b=RO(:);ⅩR(1,:)=b'; t(1)=tO;th=tO;
.fork=2:n (4,QFfunc(th)̲;
･A1=inv(eye(size(A))‑0..5●ATd);
･､B1=eye(size(A))+0.5.̲A'q;
C=A1'B1;
RO=C'RO●C'+A1●Q●A1''.d;
仏=th+d;
t(k)=th;
end
Functionfile(2) fupctiontA,Q】=func(th,P)
･a6a7a8a9a.10;0000‑bVl; B=【Ob10.b21】';
sgm=sqrt(2'pi'sO); Q=B'(sgm〈2)●B'; Q=B'(sgm〈2)●B';
102 岡林隆敏 ･加賀敏明 ･甲斐利彦 外力マ トリックス β を定義 した ファンク ションファ
イル(2)との間でn‑1回のループをまわ し,橋梁の変 位分散 を求 める.ただ し, これ らのマ トリックスの要 素の定義 については省略す る.
5.動吸振器の最適設計
(1) 橋梁一動吸振器一車両系の方程式
Fig.3に示すモデル を考 える.橋梁の振動 をk次振 動 まで考慮 した橋梁一車両一動吸振器一路面系 の基礎方 程式12)は,
d'k(i)十2hka)kdk(i)+a)2kqk(i)‑1LkzQk(vt)去'(i)
‑FLkd如(a)a(i)(k‑1,‑n) (21) d(i)+2hdaJd(i(i)‑y'(vt,i))+aJ2d(d(i)
‑y(a,i))‑0 (22) i'(i)+2h｡aJ｡(i(tト y'(vt,i)‑/(i))+wZ(a(i)
‑y(vt,i)‑r(i))‑o (23) ここで,d(i):動吸振器 の変位,ald,hd :動吸振器の 固有振動数 と減衰定数,FLkd:療梁 のk次の有効質量 mkと動吸振器 の質量mdとの質量比 であ り, その他 の文字 に関 しては,(1)(2)(3)式で定義 した とお りであ る.
この場合の状態変数ベ ク トル を(4)式のq(i)により x(i)‑ [q(i)Td(i)Td(i)d(i)Z(i)Z'(i)r(i)]T(24) と定義す ると,状態方程式お よび共分散方程式 は(6)式 と(17)式 と同 じ形 になる.係数マ トリックスについて は省略する.詳細 は文献(8)を参照 された し.
Fig.3 Bridge‑damper‑vehiclesystem.
(2)古典的設計法
古典的な動吸振器の設計法 はまず,特定 の橋梁 と動 吸振 器 の質量比〟h また,橋 梁 の振動数 ん を決 め る.外力 か ら橋 梁 の変位応答 に至 る周波数伝 達 関数
IH(ia))Jの最大値が最小 になるように,すなわち,
ma幻H(iaJ)t‑ min
(り=0‑0〇 (25)
として,動吸振器 のパ ラメータを決 める. この結果, 最適同調パ ラメータは,
fd･‑了左 h芸‑ (26)
となる.
(3)Ⅱ2による設計法
最適設計 は, まず,必要なパ ラメータである動吸振 器の固有円振動数お よび減衰定数 に,初期値 として適 当なパ ラメータを与 える.共分散方程式の変数マ トリ クスの要素 となる橋梁中点の変位 の分散が,6五一 min となるまで計算 を繰 り返す. そして,その変数 を動吸 振器 のパ ラメータ hd,a)a,目的関数 をE[y2(i)]として
･最適 なα‑[a･dhd]を求 める. この計算 には,Optim‑
izationTOOLBOXのfminu関数13)を用いる.
fminuは準 ニ ュー トン法 のFrecher‑Powell法 を用 い てい る. このプログラムがProgram 5で ある.ただ し,各マ トリックスの要素の定義 については省略する.
また, このフローチャー トをFig.4に示す.
Program‑5 0ptimum damperdesign.
Mainfile X=fminu('func',XO)
0001000;
a41a42a43a44a45a46a47;
0000010;
a61a62̲a63a64a65a66‑a67;.
000000a77】; B=【Ob20b40b60】'; D=.Z声rOS(7,1);̲
W=[0:0.01:7rrad;
C=B●B''sgm;
R=1yap(A,4',C); sgmaX=sqrt(氏(1,1))
Functionfile functionfmaX=func(Ⅹd); R=lyap(A,A',C); fmax=R(i,1)'1000 fmax=R(i,1)'1000
6.解 析 例
路面凹凸,橋梁及び車両の諸元 について説明す る.
Table2は,(7)式で述べた路面凹凸のパ ワースペ ク ト ル密度 の定数 を示 す.Table3は解析 の対 象 とした 橋梁のパ ラメータで橋梁の支間 は40mである.Table 4は車両 の諸元である.
