高 橋 和 雄 九 堤

はりの非線形振動に及ぼす初期軸力の影響

高 橋 和 雄 九 堤 友 慈 * *

Influence of  lnitial Axial Force on Nonlinear Vibrations of  Beams 

by 

Kazuo T AKAHASHI 

(Department of  Civil Engineering) 

Yuji TSUTSUMI 

(Nippon Denro Co. Ltd.， Osaka) 

Nonlinear  vibrations  of  beams  subjected  to  an  initial  axial  force  are  reported  both  theoretically and experimentally.  Using Galerkin's method， the governing partial differential  equation reduces to  coupled Duffing's  equation， which  is  solvedby  the  harrponic  balance  method. 

Nonlinear  free  vibrations  of  the  hinged‑hinged beam and the clamped‑clamped beam are  exmanined for various initial  axial  forces.っ Harmonic and  ultra:‑harmonic  responses  of  the  clamped  beam are  obtained.  Within experimental accuracy， the  experimental  results verify  the theory of anal ysis. 

1.緒

構造物の長大化および大型化に伴い，軽量構造言物が 採用されているが，乙れらは薄肉弾性ばりおよび薄板 を基本要素とするために，曲げに対する剛性が小さい から容易に大振幅振動が生ずる.たとえば橋梁におけ るトラス橋やアーチ橋の腹材(吊材もしくは支柱)お よび送電鉄塔部材として鋼管もしくは H 型鋼からな る細長比の大きい部材が採用されている.その結果こ れらの部材の低風速時における周期的な渦(カjレマン 渦)による振動問題が重要視されるに至った1】ーか.

風胴実験などによって共振時の振幅が推定されている が，その際徴小振動の固有振動数が採用されている.

しかしながら，とれらの部材端はポjレトによってガセ ットプレートなどに固定されているために振幅による 引張力が中心軸に生ずることに起因する幾何学的な原 因によって，乙れらの部材の固有振動数，振動波形お よび応力分布は微小振動論からえられる結果とは異な 昭和53年5月13日受理

*土木工学科

料日本電炉附大阪市東成区

ることが予想される.また，構造部材として使用され る場合には当然ながら死荷重による初期軸力や架設時 からの温度変化による温度応力が作用することになる.

これまでのところ，かかる部材の幾何学的非線形振動 問題は系を 1自由度系と仮定したものが大部分で，

現象の解明や実験の対応も十分に行われているとは言 い難い.そこで著者らははり部材の非線形振動の解析 を行っているが3>，4> 本研究ははりの非線形振動に 及ぼす初期軸力の影響および振動時にはりに生ずる軸 力について報告するとともに，あわせて実験結果を報 告するものである.

2.  運動方程式

端部で軸方向変位が拘束された細長いはりに一様分 布の周期荷重および初期軸力が作用する場合の運動方 程式は次のように与えられる.

P＋」劉；（誹伽． （・）

  L（y，P）一E・箒＋μ箒＋P纂

      一ρ。c・・9広一〇     （2）

 ここに，1：はりの長さ，E：ヤング率，』：断面積，

1：断面2次モーメント，y二たわみ，κ：支点からの 距離ρ：単位体積質量，Po：初期圧縮軸力r署㍗は りに作用する全軸力，ρo：外力の荷重強度，ρ：外力 の円振動数，だ時間

運動方程式において非線形項は全軸力Pに含まれる たわみによって生ずる軸力である．

5．多自由度解析法

 式（1）および（2）を解くために，はりのたわみyを次 のように仮定する．

  ：y＝γΣ轟（ξ）Tη（の       （3）

    π＝1

 ここに，γ：回転半径，Xlz（ξ）：境界条件を満足す る座標関数，T％①：未知の時間関数，ξ＝κ／1  式③の座標関数として軸力が作用しないはりの線形 振動の規準関数を用いる ものとする．式（1）を式（2）に代 入した結果に式（3）を代入しても右辺はゼロにならない のでGalerkin法を適用する．すなわち，

∫1五（第…一・  （4）

したがって，

      ふ菊・＋・舞丁・・＋瓦認、K蕩丁勉

  ＋濯、浮1暴、β鴛勿丁ゐTIT碗・ラ…読

       （5）

ここに，

蛎一（継面一∫1廟

β翫一一2λ㍍腰細，4ξ∫1肇細ζ

飯蛸・㌦「轟∫：一一

碍歯牙∫1讐繍

瓦一畠石一1》響・

 ε：オイラーの座屈係数，ω1：線形1次固有円振動 数

上式は連立の非線形常微分方程式である．非線形項の 他に軸力を含む線形項に自由度間の連成が見受けられ

る．これは初期軸力Poの大きさに依存して振動波形 が変化することを意味するものである．ただし，両端 ヒンジはりの自由振動では振動時の軸力の大きさに無 関係に振動波形が正弦波で与えられるために1自由度 系として取扱うことができる．

 式㈲の定常解を求めるにあたって調和バランス法を 適用する．式⑤の非線形復元力がすべて3次式である

ことを考慮のうえ解を次のようにFourier級数に仮定

する．

       コ

 Tπ＝Σα灸cos漸τ       （6）

   卜1，3

本解析法の収束は良好で，採用する自由度数は4，調 和バランス法の項数は3で十分であることが既に明ら かになっているので，本論においても同じ冠雪を自由 度および調波の数について用いることにする．したが

って，

T。一・夷…観＋・島…3痂＋・易…5翫（7）

式（5）の非線形四丁んTz T〃zに上式を代入して， cos の積を加法定理を用いて分解する．仮定した調波成分 に含まれないcos 7ωτ以上の高調波成分を無視のう え，TたTI T〃3に含まれるcosωτ， cos 3ωτおよび cos 5ωτの各係数が次のように求められる．

∫・1・・一・・25｛o．5〃（・輩，・｝，・魏）＋・…（・ち・・｝・・姦）

＋・（ 1  3  3αん・α1・αノπ）＋o．5・（・晃，・1，・凱）

＋・（1 5 5αん・α」・α7π）＋・（・夷・・1・・凱）｝，

・歴・，25｛0．1667・（・髭，・｝，・競）

＋o．5・（3  3  3αん・αPα〃z）＋・（・製，・1，・姦）

  ＋・．・・（1  3  3α々・αz・α〃z）｝，

加勉一・．25｛o．5・（・夷，・1，・姦）

＋o．5・（1  1  3αた，α♂ ，α7π）＋・（・夷，・｝，・易）

＋・（ 1  3  30ん，α1 ，α〃z）＋・．・・（・覧・・1・剃

ここに，

ゆ饗，畷，・・募、）一嘱・・7暢、＋媛三三

（8）

＋幽幽7鴫＋娠漏壷

       ＋z・晃の7臨＋z・晃z・7喝 上記結果を用いれば，式（5）は次のような連立非線形代 数方程式となる．

       （・葛一箪）・夷＋瓦ΣK易・揚          〃￠＝1

   ＋ΣΣΣβ鴛伽∫々z〃Fγ砂，

    ん＝1Zニ1〃z＝1

       （α2＿9ひ）・舞＋瓦ΣK易・舞、

      η￠ニ1

   ＋ΣΣΣβ鶏〃zgん」 z＝0，   （9）

    ん＝1」需1η￠需1

      （・舞一25扉）・島＋瓦ΣK翻，

      〃2ロ1

   ＋ΣΣΣβ鴛伽伽1 ￠＝0     た冨1∫扇1吻F1

上式を適当な初期値のもとに：Newton−Raphson法を 用いて解けば，各自由度の調波成分が求められる．振 幅の定義として基本波の絶対値が最大値となる時刻の はりの中央点の無次元振幅を本題の振幅比として用い れば次のようにえられる．

  」一ΣΣα貌         q①

    π ゴ

振動時にはりに生ずる軸力比Pの時間的変化は式α）

から次のように与えられる．

正無始愚農、四丁漁  く11）

ここ蜘イ1肇誓4ξ

 なお，式㈲の形の微分方程式においては3分の1次 の分数調波共振が卓越することが知られている．分数 調波共振を求めるために式⑥の代わりに次式のように 解を仮定のうえ，調和バランス法を適用すればよい．

    ◎Q  ∫

lT7z＝Σα3 cos∫ωτ／3      ⑫

   卜1．3 π

4．非線形自由振動

（1）振動数と振幅の関係 以上に示した解析法を用い て，はりの非線形自由振動特性を種々の初期軸力のも とに検討する．両端ヒンジはり（HH）の時間に関す る運動方程式には他の自由度の3項の単独項が含まれ ないために，線形振動の規準関数を用いて変数分離す ることが可能である．すなわち，式⑤より，

 T十（1−1Do） 2「十〇．25T3置。       （13）

Pbく1の領域で上式は楕円積分を用いて厳密解を求 めることができる．Po＝0の場合についてTable 1 の珊の列に示すような振幅比辺と振動数比あの 結果がえられる．本題の非線形の大きさを示すパラメ

Table l Frequency ratio of beams

5 CC HH

A ^{（a｝ （b） （c｝ （a｝}

イ _{1．0000 1，000 1．00 1．0000} 1 1．0222 ユ，023 1．Ol 1．0892 2 LO854 ^{1，085 1．08 1．3178}

3 1．1824 1，182 1．16 1．6257 4 1．3049 ユ，305 1．27 1．976ユ 5 1．4468 1，447 ^工．40 2．3562 6 1．6046 1，599 1．59 2．7381 7 1．7771 1，774 1．74 3、．1360

8 1．9672 1．93 3．5394

一ターは振幅比である．表において沼＝0は実振幅 が回転半径γに比較して無視できる場合すなわち線 形振動の解を示す．また，ωは非線形円振動数を対称 1次微小振動の固有円振動数で無次元化したものであ る．他の境界条件の場合には式㈲のすべての自由度が 連成するために，自由振動においても変数分離するこ とが不可能である．すなわち，振幅の変化とともに振 動形が変化するので多自由度系としての取り扱いが本 質的である．Po＝0の場合について両端固定ばり（（7C）

の場合の解を示せば，Table 1のCCの（a）欄の結 果をうる．また，（b）は式（1）および②を差分法を用い てシミレーションした解3｝を示すものである．また，

（c）は実験結果を示すものである．以上の（a），（b）

および（c）の結果はほぼ完全に合致しており，本解 析法が連続体の非線形振動の解を予測するものと考え られる．表のように振幅比の増大とともに振動数比が 増大する硬化バネの挙動を示す．これは振幅によって 生ずるはりの軸方向引張力が構造のたわみに対する剛 性を高めるためである．また，振幅による振動数比の 変化はヒンジが固定よりも大きくなる．固定の方が曲 げに対する抵抗がヒンジよりも大きくなるためと振動 の波形の相違によるものと考えられる．構造部材にお いて柱部材として用いられる場合には部材には死荷重 による初期軸力が作用する．またスパン長が固定され ているから，温度変化によって温度応力による軸力が 作用する．初期軸力が非線形自由振動数に及ぼす影響 を検討するために，Fig．1にノ丑fとccの2っの はりに対する振動数比ωと振幅比』との関係を初

4

 3

2

】．

00 ₂

Fig．1

謂

3

2

1

  4  6．＿一8 0◎ 2  4   ＿一6

        A      ▲ Relations betWeen amplitude fatio A and frequency ratio石

εxperimenセ01

@    rG8uユt

@ 學B￡●竃騎3

O Po＝軸2  一● Po塗。1  一● Po罵 0

o

0

期軸力Po（初期軸力Po／オイラーの座屈荷重．疏の をパラメーターにプロットした結果を示す．Po＞0は 圧縮力の領域に対応し，またPo＜0は引張力の領域 に対応するものである．ω一〇．0から始まるPo＝1す なわち初期軸力が座屈荷重の場合には線形振動では復 元力を持たない｛（1∴Po）T＝0｝のために無周期振動 するが，非線形振動では振動数はEHでは振動に比 例する．また，CCでは振動波形が変化するためにわ ずかに変動するがほぼ比例して増大する．初期軸力の 影響は圧縮力の領域で，振幅比の小さい場合に敏感に 変化するが，引張力の領域で振幅比の大きい場合に小 幽さくなる．CCの場合には振動実験結果がプロットさ れているが，理論値とよく対応していることがわかる．

 本研究では任意の振動数比δに対する振幅成分0現 が決定されて，振動数比ωと振幅比比の関係が求 められるが，非線形連立代数方程式を解く必要がある．

はりのたわみ波形は単純な形なので容易に仮定ができ るので，このたわみによる軸力を受けるはりの線形振 動

E離＋P・誰＋μ三一・   αの

から振動数を求めることができれば，計算時間がかな

・り減少することになる．Fig．2の点線は振動時の最大 軸力を用いて計算したものである．なお，実線は対応

3．0

冨

2．5

2．0

1．5

1．o

ρ

ク

 @  

  ！@，

@，

v，

   @@

一 ｝   ． 一

f／   

@@

@@  @

@@

    @@ノ@  ρ

@／

@

@@  @

 9 9■Experimental

@results  ノ@

 f／．二…多   @，_C m

 ．／！

0       2       4       6       8

      A Fig．2 Comparison of experimental and     theoretical natural frequencies

する理論による厳密解である．最大軸力を用いること は非線形の効果を過大に評価している．．したがって，

       丁

振動時の平均軸力恥一÷∫。毎から改めて

計算しなおせば図中の一点鎖線に示す結果がえられる．

図に示すように厳密解との差が大きく，振幅による軸 力を用いて線形振動の振動数を決めることは不可能で

ある．

（2）振幅に伴う振動形の変化両端ヒンジばり（EE）

以外のはりでは振幅による軸力のために振動形や応力

Table 2 Variation of space−modal     amplitude、for Po＝1

shape with

ξ   A 0 2 4 6 8

0．0 0．0000 0．0000 0．0000 O．0000 0．0000 0．1 0．0955 0．0966 0．工150 0．工452 0．1819 0．2 0．3455 0．3477 0．3829 0．4395 0．5046 0．3 0．6545 O．6568 O．6850 ^0．729フ 0．7791 0．4 O．9045 0．905工 0．9147 0．9302 0．9473 O．5 LOOOO 1．0000 LOOOO 1．0000 1．0000

0．8

，1

0．7

o．6

0．5

0・40

 ロ 

，l

o．7

0．6

O．5

。●P

G．8

Y1

0．7

0．6

0．5

o．4

T   O   Experi猟ental

result

2

｛a｝Po躊G

4 6

ゴー8

    「 潤@ lExperimental

@   result

2

（b｝蚤。詔一ユ

4 6 ＿一 8 ，

A

OExperinenta

@   resu工t

トII

o

1

0・7u

0．6

0．5

o．4

2

｛c）Pg＝一2

4 6

∵ 8 一』s

1．＿＿訓 ^一  i

@ l

result 1

@ マ

1

 i ！』一F

0

Fig．3

   2      4      6      ＿＿＿議 8     −      A    （d） Po＝一3

Effect of amplitude ratio on space−modal shape atξ＝1／4

分布は振幅とともに変化する．本解析法では各自由度 の振幅成分を重ね合わせて，非線形振動の波形を合成 することができる．Table 2にPo＝1の場合の結果 を示す．線形振動のはりの座屈波形から振幅による軸 力のために固定端の影響が小さくなり，ふくらんだ形 に変化していき，ヒンジの波形に近づく．Fig．3（a）

〜（d）は両端固定ばりの初期軸力比Po＝0，一1，一2 および一3に対する4分の1点の振幅と中央点の振幅 の比yと振幅比」との関係をプロットしたもので ある．図のようにyは振幅比」と伴に増加する．

なお，図工に印した○は非線形自由振動実験から求め たものである．振幅に伴う振動形の変化は実験値とほ ぼ対応していることがわかる．振幅比4が小さい場 合には読み取りが無理である．P＝0の場合の振幅比 が大きい領域でばらつきが大きくなるのは，4分の1 点に逆対称1次振動の2倍の高調波が対称振動と連成 するために，この影響が入ってくるためである．

（3）振動時の軸力の大きさ 式q1）からはりに作用する 軸力の大きさを求めることができる．Fig．4は両端ヒ ンジばりと固定ばりの振動時にはりのたわみによって 生ずる軸力の変動範囲を示したものである。すなわち，

振幅比オで振動しているはりの軸力は．Po〜P〃3の範 囲で変動する．細長比の大きい部材では曲げに対する 剛性は小さいが，軸方向の伸び剛性は長さの影響を受 けないから，振幅による軸力は対応するはりのオイラ ーの座屈荷重の数倍に及ぶので格点の疲労強度や応力 度の推定には，曲げによる応力のみならず振幅による 軸応力を考慮する必要がある。なお，振動時にはりに 生ずる各振幅の軸力の絶対値P＝POε2且4／12は境界 条件によらず一定である．

5。定常強制振動

 初期軸力比Po＝一1に対して荷重強度ρ一192の 外力の振動数比ω（外力の振動数／初期軸力Po＝0の 場合の線形1次振動数）と応答振幅」（はり中央の 基本波が最：大となる振幅／回転半径γ）の関係をプロ ットすれば，Fig．5に示すとおりである．図において 肉太の実線は外力と同位相の非線形応答に，また，点 線は逆位相の非線形応答の理論解にそれぞれ二三する ものである，なお，理論解析に用いた自由度は4で，高 調波の数は5倍まで採用しており，減衰は無視されて いる．また，ω一1．4付近で卓越する細い実線と点線 は線形1次振動の主共振を示すものである．図中にお いてω＝1．4付近に生ずる共振は1次振動の主共振 である．また，ω一〇．28付近に生ずる共振は分岐的に 生ずる1次振動の5倍の高調波共振およびω＝0．46

4．

」

o

「4

一．3

一12

一1．6

。20

一24  −3

A堺0 2 3 4 S

6

7

8

       一2     −1   ^．．D  0    ^、1

    〔a）H！｛     一デ」．

      珪．，

罫ig．4．．Relatiops．between initial ax孟a1  1

髓p0

@−1

@−2

@−3

@−4

一3 一2    −1    0     1

（b）CC

  紘

force．Po and maximum axial force瓦η

A＝

．2

3 4

．s・

．6

7

8

10

1A1

8

6

4

・．Q．

P。＝一1．o．．

食＝192．、

一inrphaseτesp。n串e

騨 Uu七一〇f−Phas6・response 呉 experime漉al fesu1ヒ・

↑

o コu胤ps

蒼  ξ

1．

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3

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黄 界冬．3

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     」  「  7．

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8   4

翻．．．

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nonlinear response

レ／

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＼．。嘱乙．よ．．。。．。 ．ム

， al

o

・．．氏E ^工 2 3

面

Fig．5 ．Nonlinear ffequency response forρ＝192

の共振は連続的に生ずる3倍の高調波共振である．あ

＝1．2，2．1および2．7付近の共振はそれぞれ対称2 次振動の5倍，3倍および3次振動の5倍の高調波共 振である．初期引張力が存在するために非線形項の寄 与が，初期軸力がない場合よりも少なくなるために，

応答曲線め振幅依存性は小さくなる．○印は掃引周波 数を増加させた場合の実験値をまた，×印は掃引周波 数を減少させた場合の実験値を付記したものである．

1次振動の振動数比と振幅比の関係は理論値と実験値 がよく一致していることがわかる．実験においても非 線形に伴う高調波共振の振幅はかなり小さくなってい

る．

6．結  語

 本研究は初期軸力を受けるはりの非線形振動を報告 したものであるが，えられた結果を要約すると，

（1）はりの初期軸力が非線形振動数に及ぼす影響は圧 縮力の領域でかつ振動数比が小さい領域で顕著である．

逆に引張力の領域でかつ振幅比が大きいほど小さくな

る．

（2）はりの振動波形は振幅とともに変化し，振幅の増 大とともに曲げよりも軸力の影響が効いてくる．この ために，はりの振動波形は振幅の増大とともにヒンジ の波形に近づく．初期軸力が圧縮力の領域で波形の変 動が激しい．

（3）自由振動数に関する理論値と実験値はよい精度で 合致する．また，振動形の変化の割合も両者がよい一 致を示す．

（4）薄肉構造部材では曲げ剛性Eη1に比較して，軸 方向の伸び剛性Eオはかなり大きいから，振動時に はりに生ずる軸力は座屈荷重の数倍となるので格点の 設計では注意を要する．

（5）初期軸引張力を受けるはりの非線形定常応答は軸 力が作用しない場合よりも非線形項の影響が小さいた めに，振幅の振動数依存性が小さくなる．また，実験 においても主共振以外には高調波共振，分数調波共振 などの非線形に伴う現象が現われにくくなっている．

 本研究の実験についてお世話になった本学永田，柿 山両技官および卒論生中島，藤本氏に感謝します．最後 に本文の数値計算には九州大学の大型計算機．M−190 を使用したことを付記する．

 参考文献

1） 山口，白木，梅林，田中：カルマン渦による橋梁  部材の振動とその防止策，三菱重工技報，VoL 17，

 No。71970， pp．1018〜1031

2） 成田，横江：橋梁部材の耐風設計法（工），土木研  究所資料，第73号，昭和47年3月

3） Takahashi， K．：Nonlinear Free Vibrations of  Beams， Theoretical and Applied Mechanics，

 Vol．24，1976， pp．109−120

4） Takahashi， K． and Kawahara， K．：On a  Method of Approaching the Stability Problem  of Nonlinear Vibrations， Theoretical and ApPレ  ied Mechanics， Vo1．26，1978， pp．339−350