(Microsoft PowerPoint - \222\206\226\261)

密度汎関数アプローチによる

原子核数値シミュレーション

理化学研究所 仁科加速器研究センター

中務 孝

2007.12.19-20 未来の素粒子・原子核数値シミュレーション ＠エポカルつくば

以下の方々との共同研究に基づく

矢花一浩、稲倉恒法 （筑波大）

日野原伸生、松柳研一（京都大）

松尾正之（新潟大）

太田寛史（住友化学）

篠原聡始（半導体エ研）

不安定核での新たな構造秩序の解明 核図表 核図表 核図表 核図表 中性子数 中性子数 中性子数 中性子数（（（（同位元素同位元素同位元素同位元素のののの種類種類種類種類）））） 陽子数陽子数陽子数陽子数 （（（（ 元素元素元素元素 のののの 種類種類種類種類 ）））） 超新星爆発で生成される 不安定核の道筋（理論的予想） ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Rプロセスプロセスプロセスプロセス 理論予想 理論予想 理論予想 理論予想 RIBFのののの到達領域到達領域到達領域到達領域 存在 存在 存在 存在がががが実験実験実験実験でででで確認確認確認確認 された された された された不安定核不安定核不安定核不安定核 ３ 安定核以外 安定核以外 安定核以外 安定核以外はははは不安定核不安定核不安定核不安定核 極 極 極 極めてめてめてめて短寿命短寿命短寿命短寿命 → →→ →加速器加速器加速器で加速器でで作で作作作るるるる 人工物質 人工物質 人工物質 人工物質 核力 核力 核力 核力のののの特質特質特質特質によるによるによるによる 魔法数 魔法数 魔法数 魔法数のののの変化変化変化変化 （ （（ （安定核安定核安定核や安定核ややや 原子内電子 原子内電子 原子内電子 原子内電子ではではではでは 起 起 起 起こらないことこらないことこらないことこらないこと）））） 安定核 地球上の原子核

フェルミ多体系の理論（基底状態）

量子多体理論 密度汎関数法 Hartree-Fock MBPT （Many-body Perturbation Theory） CI （Configuration Interaction） DFT：密度汎関数法 （Density Functional Theory) LDA：局所密度近似 (Local Density Approximation)

原子・分子

原子核

Brueckner理論 結合クラスター 殻模型 Nuclear DFT 核力 有効理論 少数系厳密解法 QCD クラスター模型

Ab initio:

GFMC, NCSM, CCM

(nuclei, neutron droplets, nuclear matter)

GFMC: S. Pieper, ANL

1-2% calculations of A = 6 – 12 nuclear energies are possible excited states with the same quantum numbers computed

_{Quantum Monte Carlo (GFMC)} 12_{C
No-Core Shell Model} 13_{C
Coupled-Cluster Techniques} 40_{Ca
Faddeev-Yakubovsky}

_{Bloch-Horowitz
…}

_{Quantum Monte Carlo (GFMC)} 12_{C
No-Core Shell Model} 13_{C
Coupled-Cluster Techniques} 40_{Ca
Faddeev-Yakubovsky
Bloch-Horowitz
…} Input: • Excellent forces based on the phase shift analysis

• EFT based nonlocal chiral NN and NNN potentials

The nucleon-based

description works to <0.5 fm

不安定核での新たな構造秩序の解明 核図表 核図表 核図表 核図表 中性子数 中性子数 中性子数 中性子数（（（（同位元素同位元素同位元素同位元素のののの種類種類種類種類）））） 陽子数陽子数陽子数陽子数 （（（（ 元素元素元素元素 のののの 種類種類種類種類 ）））） 超新星爆発で生成される 不安定核の道筋（理論的予想） ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Rプロセスプロセスプロセスプロセス 理論予想 理論予想 理論予想 理論予想 RIBFのののの到達領域到達領域到達領域到達領域 存在 存在 存在 存在がががが実験実験実験実験でででで確認確認確認確認 された された された された不安定核不安定核不安定核不安定核 ３ 安定核以外 安定核以外 安定核以外 安定核以外はははは不安定核不安定核不安定核不安定核 極 極 極 極めてめてめてめて短寿命短寿命短寿命短寿命 → →→ →加速器加速器加速器で加速器でで作で作作作るるるる 人工物質 人工物質 人工物質 人工物質 核力 核力 核力 核力のののの特質特質特質特質によるによるによるによる 魔法数 魔法数 魔法数 魔法数のののの変化変化変化変化 （ （（ （安定核安定核安定核や安定核ややや 原子内電子 原子内電子 原子内電子 原子内電子ではではではでは 起 起 起 起こらないことこらないことこらないことこらないこと）））） 安定核 地球上の原子核 殻模型の進展： ポスター 清水則孝氏（東大）

femto…

femto

femto

…

…

Physics

of Nuclei

subfemto…

subfemto

subfemto

…

…

•Origin of NN interaction•Many-nucleon forces •Effective fields

nano…

nano

nano

…

…

量子多体物理 量子多体物理 量子多体物理 量子多体物理 •In-medium interactions •Symmetry breaking •Collective dynamics

•Phases and phase transitions •Chaos and order

•Dynamical symmetries •Structural evolution

Giga…

Giga

Giga

…

…

天体核物_理

天体核物天体核物_理理

天体核物_理

•Origin of the elements •Energy generation in stars •Stellar evolution

•Cataclysmic stellar events •Neutron-rich nucleonic matter •Electroweak processes

•Nuclear matter equation of state

• シンプルな核子多体系が示す複雑性 • 複雑系が示す美しいシンプリシティ

原子核が形作る宇宙の姿

GeV~keV

原子核構造のエネルギー範囲

原子核物理における密度汎関数論

高い汎用性

密度汎関数理論の試み

( )

{

[

( )

]

( )

}

( )

r

N

r

d

r

r

d

r

E

r

=

=

−

∫

∫

r

r

r

r

r

r

ρ

ρ

µ

ρ

δρ

δ

0

フェルミ粒子多体系の基底状態を密度の変分で決

定するエネルギー密度汎関数 E [ρ(r)] の存在

Thomas-Fermi 近似 （局所密度近似）

Thomas(1927)、 Fermi(1927)、 Dirac(1930)、 Weizsäcker(1935)

一様物質で計算した運動エネルギーと古典的な相互作用エネ

ルギーの和を密度で表記し、各点での局所密度に置き換える。

Kohn-Sham スキーム

( )

[

]

[

( )

]

(

[

( )

]

[

( )

]

)

( )

[

r

]

V

m

p

r

T

r

F

r

T

r

F

i i i S S

r

r

r

r

r

r

ρ

φ

φ

ρ

ρ

ρ

ρ

+

=

−

+

=

∑

2

2

V

[

( )

r

]

r

ρ

相互作用の他に、１粒子運動で記述さ れない運動エネルギーの効果を含む 密度に関する変分を規格直交関数Ф_iに関する変分により実行

( )

( )













=

=

∑

_{i j ij} i i

r

r

φ

φ

φ

δ

ρ

r

r

2

,

i i i i

V

m

δρ

φ

ε

φ

δ

φ

+

=

∇

−

2 2

2

h

KS正準軌道方程式

相互作用のない参照系（仮想フェルミ系）で運動エネルギーの局 所近似できない部分を計算する

BHF+高次項（再配置）の効果

平均場の ph 行列要素 p h U ダイアグラム (b), (c) の効果が定量的には重要 LO 変分手続きによってその効果を（一部？）考慮す ることが可能 cf) CC 計算（Kummel et al, 1978) DME計算（Negele 1970)

[

₍

_),

₍

_),

L

]

)

(

)

(

R

R

R

R

R

τ

ρ

H

H

H

d

E

=

=

∫

“LDA” • 局所密度で記述された密度汎関数 • Skyrme 密度汎関数とほぼ同一

Nuclear DFT

質量 質量 質量 質量、、、、束縛束縛束縛束縛エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー * Global DFT質量計算: HFB質量公式: ∆m~700keV M. Stoitsov et al.

Skyrme DFT calculation in a mesh space

3D space is discretized in lattice

Kohn-Sham orbital:

N

i

Mr k k i i

(

r

)

=

{

φ

(

r

)}

₌1,L

,

=

1

,

L

,

φ

Imaginary-time Method

Variation with respect to Kohn-Sham orbitals

20

_Ne

(

E

[

(

r

)]

−

⋅

∫

r

r

d

r

r

−

∫

(

r

r

)

d

r

r

)

=

0

r

r

ρ

µ

λ

ρ

δ

A

i

e

t h _i n n i

,

1

,

L

) ( ] [ ) 1 (

=

=

−∆ +

φ

φ

ρ

時間依存密度汎関数理論

Density Functional Theory

• Hohenberg, Kohn (1964) • Kohn, Sham (1965) 密度汎関数の存在 ポテンシャル内の自由粒子 Time-dependent DFT • Runge, Gross (1985) 多体量子系の時間発展を再現す る密度汎関数の存在 実際には“断熱近似”が多い

TDDFT in real space & real time

• Yabana, Bertsch (1996) • Nakatukasa, Yabana (2001) 散乱境界条件 Brueckner HF _{ Skyrme HF} • Negele (1972) DME • Vautherin, Brink (1972) 原子核の基底状態の質量、半径な どを再現する密度汎関数

TDHF in real space & real time

• Bonche, Koonin, Negele (1976) • Flocard, Koonin, Weiss (1978)

重イオン反応、核融合

• Nakatsukasa, Yabana (2005) 散乱境界条件を考慮した応答関数

振動数固定

振動数固定

振動数固定

振動数固定（

（

（

（振動外場

振動外場

振動外場

振動外場）

）

）

）

振動数固定

振動数固定

振動数固定

振動数固定（

（

（

（振動外場

振動外場

振動外場

振動外場）

）

）

）

実時間

実時間

実時間

実時間TDDFT (瞬間的外場

瞬間的外場

瞬間的外場)

瞬間的外場

実時間

実時間

実時間

実時間TDDFT (瞬間的外場

瞬間的外場

瞬間的外場)

瞬間的外場

行列対角化

行列対角化

行列対角化

行列対角化

行列対角化

行列対角化

行列対角化

行列対角化

 応答関数応答関数の応答関数応答関数のののバルクバルクバルクバルクなな計算なな計算計算計算にににに最適最適最適最適  南部-Goldstone モードの問題  並列化：空間領域、軌道  規準規準モード規準規準モードモード (X, Y)モード  高励起状態には不向き  並列化が単純ではない  任意任意任意の任意ののの振動数振動数における振動数振動数におけるにおけるにおける応答関数応答関数応答関数応答関数  南部-Goldstone モードの問題がない  並列化：振動数、空間領域、軌道

時間依存密度汎関数理論

時間依存密度汎関数理論

時間依存密度汎関数理論

時間依存密度汎関数理論（

（（

（TDDFT)

による

による

による

による線形応答計算

線形応答計算

線形応答計算

線形応答計算

３

３

３

３種類

種類

種類

種類の

の

の

の異

異

異

異なる

なる

なる

なる数値的方法

数値的方法

数値的方法

数値的方法

時間依存密度汎関数理論

時間依存密度汎関数理論

時間依存密度汎関数理論

時間依存密度汎関数理論（

（（

（TDDFT)

による

による

による

による線形応答計算

線形応答計算

線形応答計算

線形応答計算

３

３

３

３種類

種類

種類

種類の

の

の

の異

異

異

異なる

なる

なる

なる数値的方法

数値的方法

数値的方法

数値的方法

対角化

対角化

対角化

対角化による

による

による

による規準

規準

規準

規準モード

モード

モード

モード固有

固有

固有

固有エネルギー

エネルギー

エネルギー

エネルギー

























−

=

























Y

X

Y

X

A

B

B

A

1

0

0

1

* *

ω

共役勾配法などの反復解法を用いて固有エネルギー、固有状態を求める

0 2 4 6 8 10 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56

N=Z

18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58

N=Z+2

0 2 4 6 8 10 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

N=Z+4

Excitation Energy [MeV]

Mass Number

22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62

N=Z+6

Lowest negative-parity excited states

SGII

3

-1

実時間発展

実時間発展

実時間発展

実時間発展による

による

による線形応答関数

による

線形応答関数

線形応答関数

線形応答関数

予測子・修正子法による時間発展

(

[

,

,

,

,

](

)

(

)

)

(

,

)

)

,

(

t

h

_HF

t

V

_ex

t

t

t

i

ψ

_i

r

στ

=

ρ

τ

j

s

J

+

_t

ψ

_i

r

στ

∂

∂

t

{

}

∑

=

∆

+

∆

−

=

∆

N n n

t

t

h

t

i

n

r

t

U

0

)]

2

/

(

[

!

1

)

(

)

(

ψ

r

ρ

F

t

t

V

_ext

(

)

=

ηδ

(

)

ˆ

瞬間的外場

δρ> 0 δρ< 0 16

_O

( )

_p

p

p

(

t

)

ρ

(

t

)

ρ

0

δρ

=

−

( )

_n

n

n

(

t

)

ρ

(

t

)

ρ

0

δρ

=

−

Neutrons Protons 陽子・中性子密度の時間発展

密度時間発展

瞬間的電気双極子の外場による摂動

光吸収断面積

10 ₂₀ 30 40

Photon energy [ MeV ]

10 50

16

_O

10 t [ MeV−1 ] 0 10 20 t [ MeV−1 ] 電気双極子モーメントの時間発展

Skyrme functional

with the SGII

E

_x

[ MeV ]

10 20 30 40

E

_x

[ MeV ]

10 20 30 40

24

_Mg

26

Mg

Prolate Triaxial

40

_Ca

44

_Ca

48

_Ca

E

_x

[ MeV ]

10 20 30 40

E

_x

[ MeV ]

10 20 30 40

E

_x

[ MeV ]

10 20 30 Prolate

有限振幅法：Nakatsukasa, Inakura, Yabana, Phys. Rev. C76, 024318

振動数固定

振動数固定

振動数固定

振動数固定による

による

による

による応答関数計算

応答関数計算

応答関数計算

応答関数計算

Residual fields を有限振幅法により数値評価し、 反復解法により上記線形方程式を解く

A≤

≤≤

≤５０

５０

５０

５０領域

領域

領域

領域における

における

における

における

核光吸収断面積

核光吸収断面積

核光吸収断面積

核光吸収断面積

SkM*

R

_box

= 15 fm

Γ

Γ

Γ

Γ = 1 MeV

ポスター・稲倉恒法（筑波大）

ペタスケールの数値計算

• 大振幅集団運動論のTDDFTへの応用による

非線形大振幅集団運動論への応用

非線形大振幅集団運動論への応用

2nd Step: 集団Hamiltonianと再量子化 1st Step: 巨大な空間から少数次元の集団空間を導出 collective potential collective mass

Moving-frame HFB eq. Moving-frame QRPA eq.

Double iteration for each q

Thouless-Valatin Moment of Inertia for moving-frame Hamiltonian

半現象論的 Pairing + Quadrupole Model Hamiltonian へ応用

変形共存現象：

変形共存現象：

6868

_Se

_Se

 γ自由度を通した強い形状混合  _{回転による形状混合の抑制} G₂ = G₂self G₂ = 0

将来： TDDFTに基づく多粒子系量子ト

ンネル現象の解析

核分裂

TDDFT微視的ダイナミクスの記述

•核廃棄物核廃棄物核廃棄物核廃棄物リサイクルリサイクルリサイクルリサイクル

• 中性子反応断面積、光反応断面積

• (n,f), (n,n’), (n,xn), (n,γ)

• heavy transuranics, rare actinides, and some light elements (iron, sulfur) • 理論エラーバーの見積もり

• Core reactor simulationsへのインプット

密度汎関数理論

時間依存形式への拡張

射影・混合 Kohn-Sham

•線形応答 •非線形・大振幅集団運動理論 •配位混合（CI) •射影法、射影後変分法 •密度汎関数の改善 •準安定状態、核分裂障壁データ •非制限計算 •全質量領域にわたる計算

NN 相互作用

•有効場理論 •くりこみ、V_low-k

少数核子系

•グリーン関数モンテカルロ •結合クラスター法、NCSM 基礎付け インプット 正当化

QCD

実験データ（RIBF)

審 査 予 言 _研究協力