A theorem on parabola and its background
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(2) Math. XI-1,. Rep. 1973.. 放 物 線 に 関 す る一 定 理 と そ の 背 景 中. 沢. 貞. 治,津. 田. (1973年7月31日. 著 者 の一 人 が Mathematical. Gazette. 丈. 夫. 受 付). に 次 の定 理 を発 表 し た 。. (A) If from a point P on the line x= —2a two tangents are the parabola y2 = 4ax, where Q and R are points of contact, orthocentre. of the. triangle. (Vol. LVI:. No. 397, 1972). PQR is the. origin,. the vertex. drawn to then the. of the parabola.. これ に 関 連 して,栗 田稔 氏(名 古 屋 大 学 教 授)が あ る 写像 につ い て. 中沢 氏 の 定 理 を め ぐ って一. を 発 表 し,写 像 の立 場 か ら解 説 を 加 え られ た 。(現 代 数 学,'73‑8) 著 者 達 は,こ の定 理 の成 立 す る根 拠 に つ い て 別 方 面 か らの考 察 を試 み た 。 〔1〕 先 ず 順 序 とし て,座 標 を 用 い て の 証 明 を 与 え て お く。 Q,Rの. 座標をそれぞれ. (ati, 2at,), とす れ ば,接. 線PQ,PRの. (at2, 2at2). 方程式 は. PQ:y=t--+at, PR: y= t +at2 で あ る 。 し た が っ て,そ. (図1). の 交 点Pの. 座標は. x = atlt2, y = a(tl +t2) で,与 え られ た条 件 か ら. at1t2= —2a. .". tit2= —2 ......(1). ま た,こ の ときQか らPRに. 下 した 垂. 線 の方 程 式 は. y= -Tt2x+atl(tlt2+2), Rか らPQに. 下 した 垂 線 の 方 程 式 は.
(3) y= —t1x+at2(t1t2+2) で あ る か ら,こ. れ ら を κ,yに. つ い て 解 け ば,△PQRの. x= —a(t1t2+2), とな る 。 し た が っ て,(1)か. 垂 心Hの. y=a(t1+t2). 座標は. (t1t2+2). ら x = 0, y = 0. と な り,Hは. 原 点,す. (図2). な わ ち 放 物 線 の 頂 点Aと. 一致 す る 。. 〔且 〕 定 理(オ)に. 関 連 して 思 い 出. さ れ る の は,よ. く知 ら れ た 次 の 定 理. で あ ろ う。 (B)放. 物線. な る3点. ン2・=4axの. 上の異. に お け る接 線 で 作 られ る三. 角 形 の 垂 心 は 準 線 κ一 一pの. 上にあ. る。 い ま,図1に な 接 線Q'R'を QRの. 引 き,接. 中 点 をMと. T,Mは. 平行. 点 をT,弦. す れ ば,3点P,. 一 直 線 上 に あ る 。(図2). ま た,こ. の とき. PQ : PQ' (図3). お い て,QRに. = PR : PR'. で あ る か ら,△PQ'R'の △PQRの. 垂 心H',. 垂 心Hに PH'. = 2 : 1. ついて =H'H. が 成 立 す る 。(図3) し た が っ て,P,H',Hをx軸. に平 行. な 直 線 上 に 正 射 影 す れ ば,定. 理(β). に よ り,Hのx座. 標 は0で. す な わ ち,Hは)i軸 上 の 事 実 を 知 れ ば,次 とQRと. あ る。. 上 に あ る。 に 直 線PA. の 垂 直 を 示 せ ば,HがAと. 一 致 す る こ とに な る 。 さ て,図4に す れ ば,△TNFは. お い て,dを. 準線 と. 二等辺三角形.
(4) で,Q'R'は. ∠NTFを. (図4). 二等分す. るか ら. NF .1_Q'R' で あ る 。 こ の と きPN‑AFか. ら,. PA〃NFで. PA 1_Q'R' した が って. PA _JQR......(2) とな る。 以 上 で,定. 理(A),(B)の. が 知 られ た が,(2)は. 関連. 次 の 定 理(C). の 特 別 な 場 合 で あ る こ とを 見 れ ば,(A)の. 背 景 が 一・ 層 明 確 に な る で あ ろ う,,. (図5). 〔皿 〕 図1に. (図6). お い て,Pの. Bの 座 標 は(2a,0)と (C)放. 先 ず,Wの. あ る か ら,QRとx軸. 点FはABの. 点 をFと. し,ABの. と の 交 点 をBと. す れ ば,. 中点 で あ る こ とを注 意 して お く。 中 点 がFで. あ る よ うに 点Bを. 通 っ て 放 物 線 に 関 し て 互 い に 共 役 な 直 線u,vを. 軌 跡 はABを. がKの. な り,焦. 物 線 の 頂 点 をA,焦. こ の と き,A,Bを Wの. 極 線 がQRで. 引 け ば,そ. とる。 の交 点. 直 径 とす る円 で あ る。. 軌 跡 が 二 次 曲 線Kで. あ る こ と は 知 ら れ て い る 。 ま た,対. 称 性 か らAB. 主 軸 で あ る。. さ て,虚. 円 点 を1,Jと. す れ ば,直. 線IJはAB上. の 点Cで. 放 物 線 に 接 す る。 この.
(5) と き,FはABの. 中 点 で あ る か ら,A,F,B,Cは. 1(A,F,B,C),J(A,F,B,C)は. 調 和 点 列 で あ る 。 し た が っ て,. 調 和 線 束 と な る 。 こ こ で,IF,JFは. 放 物 線 に 接 す る こ と に 注 意 す れ ば,IA,IB;JA,JBは な 直 線 で,1,Jは す な わ ち,二. と もに. 放 物 線 に 関 し互 い に 共 役. 先 に考 え た 二 次 曲線 κ の上 に あ る 。 次 曲 線1(は. 虚 円 点1,Jを. 通 り,KはABを. 直 径 とす る円 で あ る こ と. が分 か る 。 以 上 に よ り,図1に. 返 れ ば,PAとQRはA,Bを. 通 る互 い に 共 役 な 直線 で あ る. か ら. PA!_QR カ:kseり. 二 、71つ 、,. 九 州 大 学 教 養 部.
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