πの近似式に関する一問題
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(2) [1]. π の近 似 式 に 関 す る 一 問 題. 中. もtan‑1xの. 治. 展 開 式に関して. = 4u an239. _11 5. 1 .53 '. `'F3. 沢貞. 1 -•(. 1--------------- +••••(A) = 1 239 3-2393. は よ く 知 られ て お り ま す 。 こ の 級 数 は 速 か に 収 束 し,π す.・. の 近 似 値 を 求 の る の に 適 し て い るか ら で. 一. と こ ろ で,こ. の 型 の 近 似 式 を 作 る 一 般 的 な 方 法 は と 書 え ば,茨. で あ りま す 。 プ こだ し文字 は す ぺ て 正 の 整 数 と し ま す. 七anθ 一 差. 働. は 互 に 素)と. こ の 右 辺 を9〈c・aは. 互 に素 肪. ここ でさ ら ら. こ の 右 辺 を 妾(副. お くと. く とtan4θrzS/S は 互し こ 素)と. tan ( 7-4 -4-0)-------&-- a+u1+ --.64 7r. ,. に な り ま す.こ. れ か ら. 7r. 4 - 40tali:1. 1〜)64.3.5受. 2L+ 021-2)--. イ寸. 七an2θ 謡. 撃,. ‑̀'a'd‑‑i,. お くと. の よう.
(3) .U-u. =4e-f-tan. •=4. taiil+-1. 14.-2,. auala. が 得 られ ま す 。 も し;こ. で 2i-. V.=. ±1.. が成 立 すれば taid-1 --------= 、 と な っ て,(A)型. [2]次. ±tan-1 ------- 1. zz+1). の近 似 式 が生 じま す 。. にZLクUとa,bと. の 閃 係 を 導 き ま す 。. a,・ゐ は 互 に 素 で すij＼ ら +ゐ=奇. 数 の と き a. c臨. ・. 魂 礼 ゲ,d=2aろ. +わ;偶. この. 薮 の と さ. 2-62 2. c-. a. d=ab. となり ます。いずれに. とi§c2+d2‑=(a?十b2)2. この とき. しても,ら. 2. c2.‘ 2. 比 は互 に 報,c+爵. ) 醐. です か. ら U= でPこ. c2-d2,. u=2ccL. れか ら. u2+02=. (c2+(12)2=. `a2,+62)4 a2+b2 12..1. と な り ま す.し. -. たが っ て 2=. 74 .74. =. 1. を 満 足 す る 勿,砂. (B). を 零 あ る こ と が で きれ ば,上. を 求 める こ と ができ. て,(A)型. の 手 順 を 逆 行 し て の,ゐ. の 近 似 式 が 得 ら れるわけ. です 。.
(4) [3〕(B)を. 解くた. め の 一 つ の 手段 は. 2l24't12-ZZ.• -± を 解 き,乞. (1) (C ). 1 ......(2). 讐 ω・2が 成 立 す る 場 合 を 探 す こ と で す ・. を 満 足 す るu,v,zはPythagorean number triplesで. （１）. すか. ら. zz =p2-. q2 ,. (1p,9は. v- = 2pg. ,. Z . p2+ q2. 互 に 素 で,P+q=奇. 数). で 与 え ら れ ま す 。 こ の ど き(2)は. p2-q2- 2pq = (p- q )2- 2 q2= ± 1 • • と な り ま す.と. • • (3). こ ろで 方 程 式. s2-2~2=t1. の解 は = $. „_1+. 2t,Si. 2 ) t11. で 与 え ら れ る 数 列{δ%}フ{翫}を S — Sn ,,. 用いて. t`tn. に 限 ら れ る こ と が 知 ら れ て お り ま す.し. =. た が っ て(3)の. 解は. q =. P= srz,+. &nti,. q=t. となり、(c)の解 と して t=. t7t+21- t o2. V = ,2 trL+1 tn, Z=to+1+t. 2. が 得 ら れ ま す.{ε. o 冠 ,廿 冠 の 』 部 を 表 に す る と次 の よ う に な り ま す.. n. 1. 2. 3. 4. 5. 6. sn ,. 1. 3. 7. 17. 41. 99. 239. 577. 1393. 2. 5. 12. 29. 70. 169. 408. 985. t.. - 7.8910 3363 2 378.
(5) こ の 表 か ら(C)の. 解. 11=132+. 2. =. 52. 202. =. 292. n=2. 212 +. n=3. 1192+1202. 1692. n4. 6872+6962. = 9852. 134. な ど が 得 られ ま す 。 これ. か ら 直 ち に,n=3の Z. =. とき. Ztt 2. が 成 立 し,u=119,v=・2・. が(B)の解で. あ る こ と が 分 り,そ. の と き. み. a=5、ｂ＝１. で,初. め に か か げた 近 似 式(A)が. 〔4,]nン3の. と き,2=tO. .2が成立. 生 じます 。. す る 場 合 が あれ ば,〔A)よ. 率 の よ い 近 似 式 が 得 ら れ る わ け で す が ・そ の よ う な(C)の ,,. か否 か に つ い て,上 こ の 同 題 に関心. の 方 法では、. [注 意]. の近似分数. また(c)の. 解は =t. 22s+ r+i—"t11,. (-1)7z 2 C'2. = 2=2. ztn. 。. = n-1-1J). .2,1t72.2=-7z72.4-1. と か く こ と も で き ま す.. 解 が存在 する. ま だ決 定 的 な 結 論 を 得 て お りま せ ん 。. を お 寄 せ 頂 けれ ば 幸 甚 で す 。. 髪 師. りも能.
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