負の正則断面曲率をもつあるケーラー空間の位相に ついて
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(2) 負の 正 則 断 面 曲 率 を もつ あ る ケ ー ラー空 間 の位 相 につ い て 塚 E.Carｔａｎ. 本. に よ り負曲率. 陽. 太. 郎. リ ー マ ン空間 につ い て の 次 ぎ の 定 理 が 知 ら. れ て お り ま す. 定 理A.完備,単連結. の リー マ ン空間. 2次 元 接 平 面方向の. 断 面曲率 が負 又 は0で. でそ の各 点 に おけ る す べての あ る と き,空間. はそれ. と同 じ. 次 元 の ユ ー ク リ ッ ド空間 に 同 相 で あ る. 更 に ケ ー ラ ー空間 定 理B.ケ. で は 次 ぎ の 定 理 が 知 られ て お り ま す 。. ー ラ ー空間. で 各 点 に お け る す べ て の2次. 向 の 断 面 曲 率 即 ち 正 則 断 面曲率holKが. 元 正 則 接平面. 一 定 数Ｌ（＜0）. 方. で あ る と き.. の 一般 の断 面 曲率 κ は不 等式. 空間. を みた す. 定 理AとBよ. り次ぎ の こ と がわ か り ま す.. 定 理C完備,単. 連 結 の ケ ー ラ ー空間. で あ る とき空間 い ま,定. 理Cに. で 正 則 断 面 曲 率 が 一足 の負 数. は 同 じ次 元 の ユ ー ク リッ ド空間 に 同 相 で あ る 。 お い て 「正 則 断 面 曲 率 が 一 定 の負 数 で あ る 」 と い う 條. 件 を 「正 則 断 面 曲率 が あ る負 の 数 の 範 囲 に あ る 」 と い う 弱 い 條 件 で お き か え る こ と に よ り 同 じ 結 論 が 得 ら れ る の で は な い か と い う問題 が 生 じ て き ま す.ここ. で は こ の問題 に 関 す る さ さ や か な 結 果 を の べ ま す 。. 正 則 断 面 曲 率holKが. 下 に有 界 な と き に は 適 当 に ケ ー ラ ー 計 量 を か. て や る こ と に よ り−1≦holKと. 仮 定 し て 差支 え あ り ませ ん.. え.
(3) 定 理１ 完備単連結な ・ ケ ー ラ ー空間. κ. が不等式−1≦hｏｌｋ. で各点. に お け る す べ て の 正 則 断 面曲率ho1. ≦‑9をみた. す と き,空間は同じ次元. の ユ. ー ク リ ッ ド空間 に 同 相 で あ る . 証 明Mを 1)の. ケ ー ラ ー空間、Ｉ. はMの. テ ン ソ ル と し ま す 。 いま,2っ. 曲 率 をP(X,Y)で. 複 素 構 造 を 定 義 す るtype(１, の 接 ベ ク トルX,Yに関. す る断 面. 表わ す こ と に し ま す ・そ の と き 次 ぎ の 補 題 を 証 明 し. ます 、 補題. Ｍ. は ケ ー ラ ー空間 で,す. -1. p(X. , /X)-. べ て の 接 ベ ク トル に 対 して 不 等 式. -A. を みた す と す る 。 そ の と き 任 意 の 接 ベ ク トルX,Yで 面 方 向 の 断 面 曲 率P(X、Y)は. 5A-13 8 証明. -*--p(x,. い ま.,X,YはMの. ベ ク トル と し,JXとYの内 の と き 任 意 の 実 数a、bに. 張 ら れた2次. 元平. 次 ぎ の 不 等 式 を み た す.. y) ,. 5-7A 8. 一点 の接 空 向 に お ける 互い に垂 直 な単位 積<ｊX,Y>==sinθ. と お きま す.そ. 対 して. (a2+b2)2 P(a.X + bY, I (a.X + bY)) = a4p(X , IX)+b4p(Y, IY)+2a2b2(p(X,Y)+3p(IX,Y). cos29). + ua3b + vab3 を 得 ら れ ま すeい. まPを. こ の よ う に し て得 ら れ た2つ. 一ｂ に お きあ え,同様. の 等 式 を 得 ら れ ま す.. の 等 式 の 辺 々 を 相 加 え る こ と に よ り次 ぎ の. 式 が 得 ら れ ま す.. (a2+b2)2[p(aX+bY, I(aX+bY))+p(aX-bY, I (aX-bY)] =2a4p(X , ZX)+2b4p(Y, )+4a2b2(p(X,Y)+3p cos2e) 補 題 の 仮 定 に よ り 次 ぎ の 不 等 式 が 得 ら れ ま す..
(4) -(a2+b2)2C a4p(X , IX)+64(Y, cos2®). Y)+3 p(IX,Y). --A1.(a2+b2)2. 上 式 にお い てａ＝ｂ＝１. -4-p. IY)+.2a2b2(F(X,. .(X, IX)—. .2(p(X. とお く と. P (Y, :IY). ,Y)+3p(IX,Y)cos2e){-4A-p(X,IX)-p(Y,. IY). こ れ よ り次 ぎ の 不 等 式 が得 ら れ ま す 。. -2+A. p(X ,Y)+3p(IX,Y)cos26~_-2A.+1U). 上 と 全 く 同 じ 方 法 で 次 ぎ の 等 式 が 得 ら れ ま す.. (a2+2ab =a4F(X. sin 0-1-b2) p(aX+bIY,. , IX)+b4p(Y, + u' cdb + z/ ab3. こ の 不 等 式 にbを の不等式. 一6に. I(ai+bIY)). IY)+2a2b2(3p(X,Y)+.p(IX,Y). cos2&). お さ か え て 得 ら れ る 等 式 の 辺 々 相 加 え て次 ぎ. が 得 ら れ ま す.. -[(a2+b2)2+ 4a2b2 sin2 9] a4p(X,IX)+b¢p(Y, IY)+2a262Op(X,Y)+p(IX,Y) -~ [(a2+b2)2+4a2b2 sin2 6; a・=b=1と. -2+A-2. お く と次式. sin26. (1)と(2)よ. -7+5A-6. sin29). が 得 ら れ ま す.. 3p(X ,Y)+pJX,Y)cos28~. 1-2A-2A,sin. 9. (2). り 次 ぎ の 不 等 式 が 得 ら れ ま す.. sin295-7/1-6A P (X,Y). sin29 8. こ れ よ り 求 め る 不 等 式 が 得 られ ま す 。. 補 題 の 証 明終.
(5) こ の 補 題 と 定 理Aよ. り 定 理１ が 得 ら れ ま す. 証,明. 終. 小 林（１）は 最 近 次 ぎ の よ うな 定 理 を 証 明 し ま した . 定 理D負または0の. 曲 率 を も ち,且. っ負 定 値 のRiccｉ. テンソル を. も つ斉 次 リ 一 マ ン空間 は 単 連 結 で あ る 。 上に 証 明 し ま しノ こ補 題 と 定 理A及. び 定 理Dよ. り双 ぎ の 定 理 が 得 ら れ ま. す. 定 理2.斉. 次 ケ ー ラ ー空間 に お い て各点 に お け る す べ て の 正 則 断 面. holKが. 不 等 式 一1≦ho1κ. ≦. を み た す と き空間 は 同 じ 次 元 曲率 の. ユ ー ク リ ッ ド空間 に 同 相 で あ る . こ の 定 理 は 小 林（１）に お け る問題（ｂ）. 「負の 正 則 断 面曲率 を も つ斉 友. ケ ー ラ ー空間 は 単連 結 で あ るか 」 に 部 分 的 に 肯 定 的 解 答 を与ええ て お り ま す.. 参 [1]. S. Kobayashi negative curvature, 338'-. 339. .. 考. , Homogeneous Bull.. 文. 献. Riemaannian, Amer.. Math.. ,manifolds Soc . 68 (1962),.
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