線型楕円型微分方程式の解の評価に関する注意
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(2) 線 型 楕 円 型 微分 方 程 式 の 解 の評 価 に関す る注 意 池 辺信範. 小 野. 昭. (九 大 工) 。 最 近. ,楕. 円 型微分. 方 程 式 の 解 の 境 界 附 近 の 評 価 に 関 し て,Agｍon,. Browder,Ｄouglis,Hormander,Nirenberg,Schechterな ど の 興 味 あ る 結 果 が 報 告 さ れ て い る. こ こ で は[1],[3]の. 方 法 を 用 い て,境. 界 附 近 の評価. に関 す る 結 果 を. 報 告 す る 。 な お 詳 細 な 証 明 は 九 大 理 学 部 紀 要 に 投 稿 す る 予 定 で あ る.. §１.定. 義. お. よ. び. 仮. E'za‑iを(72+1)一次元 ・ ,Zrz,t)で. 定. のEuclid空間. と し、 そ の 座 標 をp=(ｘ1、ｘ2,. あ らわ す 。. い ま[1]の 698〜707)つ. 仮 設(i)フqD,伍D五p又. は(五i)の. ぎ の よ う な 境 界 値問題. を 考 え る こ と に す る.. Iz12 - -t2 t. R2 o.. も と で(p663お. よ びpp.. でL〈P巧D)u(f)1瓢F(P). (1). 6-zV. R2 Rt. つぎに ,わ schitl条 小さ 数K、. （九大教養）. =. でBゴ(z;D)ze(少1=φ. 0. れ わ れ はＦお. よび φ. 体([2]Chapt.Vl,§6)を. な 任 意 の 正 数 と し た と き(た β 丈o<β<1)が. 存 在 して. に 関 しLp空間. ゴ(z). にお. け る β 次 のLiPr. 仮 定 す る 。 す なわち,1刻 だ しhn.⊥. ≧oと. す る)適. を十分 当 な 正 の定.
(3) ‚½‚¾‚µ Holder. If' I hi° (2). I IITcbj —95j. 1 = g. t. b.. T-hV.—Z7.K1h1(3 -1-ntilp p u. i(z,o)=OitZ). が 成 立 す る も の と す る.. 連 続 牲. _Dsu( p), の. § 2.. [定 理1]u(P)を 界 の 近 傍 で0に. 条 件(2)の. も と で の(ユ)の. 解 で ,ΣRの. 曲面境. な る と仮 定 す る、. この ときd一. 壇. 架. ド. 夷長. レ 碑. らtzit"z,tf∈ ご,、 副. 細. で あ る 。. = -[ Max. n.+1 I. >. -. n +11. 2 nz„ inf.+. ). と す る.. い*整 数). 証 明 の 方 法 は[1]のSchauder型評価[3]の に よ り,. Sup. 134-h,pE ZR. Ins(60,p+-h)-Liii),)1. な お こ の 結 果 はa+β. 〈1の. 結 果を用 い. <. 00. と き は ,ＬＰ空間. を 示 す.. に お け る β 次 のLip‑. 条 件 を 仮 定 す れ ば 通 常 の 意 味で β 次 だ けHolder連続性. § 3... Ds'.0. (p). の. 〔定 理2]UJf))を[定 >1を. 満足 す るとす れ ば. に 属 す る.. ,背 理 法. schissが よくなることを意味. 連続性 に つ い て 理]同 ,u(P)は. 様 の 解 と し,さ. ら に,β. ΣRで殆んど至る所Ｃ7s婦. がCt+β ←(d+β..1).
(4) 証 明 の方 法 は. IDs(utp+. lini IhI-~ o. h)— u(p))I I/I. <. を 示 し,実. oo. 函数論. の 定 理 に よ る. な お,同. 様 の 方 法 に よ り,β. 二1の. と き はu∈C(s+1)+Ck(ΣR)で. あ. る こ と が 証 明 さ れ る.. 参 [1] Agmon,. S., Douglis,. the boundary tial. equations. ons,. r,. [3] Sobolev, Math.. for. 文. A., Nirenberg, solutions. satisfying. L.,. I,II,. Theorie. 献 L.,. Estimates. of elliptic general. Comm. Pure Appl. Math.,. [2] Schwarss, Paris. 考. partial. differen-. boundary. 12 (195),. des distributions,. near. conditi-. 623-727.. Hermann,. 1950-51.. S., Sbornik,. On a theorem. 4 (1938),. of functional. 471-497. .. analysis,.
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