4次, 5次関数のグラフの変曲点について
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(2) Math. IX-2,. Rep. 1974.. 4次,5次. 関数の グ ラフの変 曲点について 服. 部. 泰. (1974年8月2日. 受 付). この小 文 は 入 試 問 題 を 考 え て い て思 いつ い た こ との 紹 介 です 。 入 試 問 題 と して は重 い感 じが す る ので,ま だ 出 題 は して い ませ ん 。 §1.4次. 関 数 の グ ラ フの変 曲 点. 3次 関 数 のグ ラ フは そ の 変 曲 点 に 関 して 対 称 で あ るが,4次. 関 数 の グ ラ フの変 曲点. も何 にか グ ラ フに 対 して 役 割 りを もつ で あ ろ うか 。 次 の よ うな問 題 が 考 え られ る。 問 題1. 4次 関 数. y = x4+4ax3+6bx2+4cx+d の グ ラ フが2つ. の 変 曲 点A(a,f(a)),B(β,f(β))(a<β)を. 線 ① と の 交 点 でA,Bと 次 の5つ. ①. (— f(x)) も つ と き,直. 異 な る も の をC(γ,f(γ)),D(δ,/(δ))(γ. の 命 題(1)〜(5)が. 線ABと. 〈 δ)と. 曲. す る と,. 成 り立 つ 。. (1)CA=BD (2)線 S3と. 分CA,AB,BDと. 曲 線 ① と で 囲 まれ る 部 分 の 面 積 を そ れ ぞ れS⊥,S、,. す ると. (i) (3)曲. S1 = S3. (ii). SZ = S1 + S3. 線 ① の 接 線 で,直 線ABと. る)の 接 点 を そ れ ぞ れ 1-(2, AA)),. 平 行 な3本 の 接 線(う ち2本 は 同一 の直 線 で あ. 1\402,AP)),. NO', AO),. (A<At<v). とす る と. 2,L = A+v. (4)軸. がy軸. と平 行 で,3点L,M,Nを. 図1. 通 る 放 物 線Kは. 点Mで. 図2. 曲線 ① と.
(3) 8. 接す る。 (5)放. 物 線Kと. 曲線 ① とで 囲 まれ る2つ の 部 分 の 面 積 を そ れ ぞれSi,S、. とす る. と s,=s2. 解 答.. 12f". (1)∫(x)を. x2+2ax+b. で割 る と. f(x) _ (x2+2ax+b) (x2+2ax+5b-4a2) + (8a3-12ab+4c)x+4a?b-5b2+d 変 曲 点A,Bのx座 Bを. 標a,β. はf"(κ)の. ②. 零 点 で あ るか ら,②. 式 か ら2点A,. 通 る直 線 の方 程 式 は. AB: y = (8a3-12ab+4c)x+4a2b-5b2+d こ れ か ら,直. 線 ③ と 曲 線 ① の 交 点A,B,C,Dのx座. (x2+2ax+b) の4根. で あ り,a,β. (x2+2ax+5b-4a2). で,γ,δ. ④. は. =. ⑤. 0. で あ る。 した が って. ⑥. a+i3 = r+3 = —2a が 成 り立 つ か ら,2つ. の 線 分AB,CDの. 中点 は 一 致 す る。 よ って. CA = BD (2)(i) ②,③. 式か ら. Si= — Ja(x2+2ax+b) (x2 +2ax +5b-4a2)dx =— J(x—a) (x—Q) (x—r) (x—o)dx a. 同 様 に して a. S,= —J(x— a)(x— ie)(x—r)(x-8)dx こ こ でX一a一. r. は. = 0. = 0. x2+2ax+5b-4a2 の2根. 標a,β,γ,δ. は. x2+2ax+b の2根. ③. β一一tな る 置 換 を 行 う と,⑥. 式 に より.
(4) 0,. S1= —J(Q—t) (a—t) (8—t) (r—t) (-1)dt a. = —a). 5(t-8 (t—Q) (t—r). (t—a)dt. よ って Si = S3. (2)(ii) a. S2 =J. (x—a) (x—Q) (x—r) (x—c)dx. で あ るか ら ra. S2—Si—S3=j (X—a)(x—49) (x—r) (x—a)dx こ こ でX==t‑aな. る置 換 を行 うと 8+a. S2—S1—S3 =J (t—a—a) (t—Q—a) (t—r-a) (t—a-a)dt r+a. ⑥ 式か ら Q+a = —a—a,. r+a=. —8—a. で あ るか ら 8+a. S2—S1—S3 =J__(t—a—a) (t+a+a) (t+S+a) (t—o—a)dt =J(t2 —(a+a)2)(t2 —($+a)2)dt 8a. 8+a. —8—a. =2.1 {0—(a+a)2t2—(8+a)2t2+(a+a)2(8+a)2)dt =3(8+a)3{(a+a)2—5(8+a)2) 8+a. こ こで2次 方 程 式 ④,⑤. a=. を解 く と. —a---1/ a2--b ,. ô=. —a4-1/5(a2—b). で あ るか ら S2 = Sl + S3 (3)直. 線ABの. κ 座 標 λ,μ,ン. 傾 き は ③ 式 か ら8a3‑‑12ab+4cで は. f'(x) = 4(x3+3ax2+3bx+c) す なわち. a0. 8. = 8a3-12ab+4c. あ る か ら,3点L,M,Nの.
(5) 2. x3 +3ax2 の3根. +3bx. —2a3 +3ab. ⑦. = 0. で あ る。 した が っ て A+,a+y. こ こ でX・=‑aは =. =. —3a. 方 程 式 ⑦ の一 根 で あ る こ とが 確 しか め られ る か ら —a,. A+v. =. ⑧. —2a. よ って 2,u = 2+v (4)f(x)を. ⑦ 式 の左 辺 で割 る と. f(x) _ (x3 +3ax2 +3bx-2a3 +3ab)(x+a) +3 (b —(10x' + (2a3 —6ab + 4c) x + 2a4—3a2b +d λ,μ,yが. L(A,f(A)),. 方 程 式 ⑦ の 根 で あ るか ら,3点. ⑨. M(,a,f(u)),. N(v,fAv)). を 通 る放 物 線 κ の方 程 式 は ⑨ 式 か ら. ⑩. K: y = 3(b—a2)x2+ (2a3-6ab+4c)x+2a'-3a2b+d この 放 物 線 と曲 線 ① との交 点 のX座. 標は ⑨ 式か ら. (x3+3ax2 +3bx —2a3+3ab)(x+a) の 根 で あ る 。 こ の4次 は 点Mで (5)方. 方 程 式 はx・=‑aを. ⑪. = 0 重 根 と し て も つ か ら,放. 物 線Kと. 接 す る。 程 式 ⑪ の4根. が λ,μ一 一a(重. 根),レ. で あ る か ら,⑨,⑩. J (x3+3ax2+3bx-2a3+3ab) (x+a)dx = —J-° (x—A) (x—v) (x+a)2dx. S1=. —_a. 同様 に して. S2= — Jy(x—A) (x—v) (x+a)2dx こ こ でX一. λ・=v‑‑tな -. る 置 換 を 行 う と,⑧ a. 式 に よ り. S1= — f (v t)(A— 0(a+t)2(— 1)dr = _J (t— A) (t—v) (t+a)2dr i,. よ って Si=S2. 式か ら. 曲線 ①.
(6) 放 物線 ⑫. y = x2+2ax+b. の 傾 きMの. 平 行 弦 の 中 点 の軌 跡 は. X=2-a. ⑬. な る直 線 で あ る。 放 物 線 ⑫ は この 直線 ⑬ に 関 し て,左,右 対 称 性 を もた な い が,傾 きmの. 対 称 な意 味 で は 必 ず し も. 平 行 弦 が す べ て この 直 線 ⑬ で2等 分 され るか ら,直. 線 ⑬ は 曲線 ⑫ の一 種 の対 称 軸 と考 えて よい 。 この 種 の 対 称 を 傾 き 四 の斜 対 称 性 と よ ぶ こ とに す る。 問題. 皿.. 前 間 の 曲 線 ① は 傾 き8a3‑12ab+4c(変. 曲 点A,Bを. 結 ぶ 直 線ABの. 傾 き)の. 斜. 対 称 性 を もつ 。 解答 直線. ⑭. y = (8a3-12ab+4c)x+k と曲線 ① との 交 点 のX座. (x2+2ax+b). 標 は ② 式に よ り. (x2+2ax+5b-4a2). +4a2b-5b2+d—k. = 0. の 根 で あ る。 この方 程 式 は. (x2+2ax+b)2+4(b—a2) と書 き か え られ,さ. (x2+2ax+b). +4a2b-5b2+d—k. らに次 の2つ の2次 方 程式 に分 解 され る。. x2+2ax+b. = 2(a2—b)+ ^4a1-12a2b+9b2—d+k. ⑮. x2+2ax+b. = 2(a2—b) —^4a'—i2a2b+9b2—d+k. ⑯. 方 程 式 ⑮,⑯. ^'+^' で あ る か ら,曲. が そ れ ぞ れ 異 な る2実. = r'+8'. =. 根a',β',γ',δ'を. 平 行 弦 の 中 点 の 軌 跡 の 一・部 は. -a. な る 直 線 で あ る 。 よ っ て 曲 線 ① は 傾 き8a3‑12ab+4cの. 命 題(1)〜(5)は(2)(ii)を. 除 い て は,曲. の 斜 対 称 性 を も つ こ と か ら の 当 然 の 帰 結 で あ る が,命 性 に は 関 係 の な い 特 性 で あ る 。 こ の 特 性 が5次 考 え て み よ う。. もつ とき. = —2a. 線 ① の 傾 き8a3‑12ab+4cの x. 問 題1の. = 0. 斜 対 称 性 を もつ 。. 線 ① が 傾 き8a3‑12ab+4c 題(2)(ii)は. 曲 線 ① の斜 対 称. 関 係 の グ ラ フ の 場 合 ど の よ うに な る か.
(7) §2.5次. 関 数 の グ ラ フの 変 曲 点. 5次 関 数 のグ ラ フは3つ の 変 曲 点 を もつ の で,こ. れ らの3点 を通 る直線 は必 ず し も. 存 在 す る とは 限 らない 。 これ らの3点 で決 定 され る 曲線 と して は放 物 線 を考 え るのが 自然 で あ ろ う。 問 題m. 5次 関 数. y = x5+5ax'+10bx3+10cx2+5dx+e(— A(a,. の グ ラ フが3つ の 変 曲点 き,次. の2つ. f(a)),. の 命 題(1),(2)が. (1)3点A,B,Cを. B(9,f(19)),. ①. f(x)) C(r,f(r)). (a<Q<r). を もつ と. 成 り立 つ 。. 通 り,軸. が ア 軸 と平 行 な 放 物 線,ま. た は 直 線Kの. 方程式. は. ②. K: y = (18as-27ab+9c)x2+(18a2b-2ac-21b2+5d)x+6a2c-7bc+e で あ る。 (2)こ. の 曲 線Kと. 曲 線 ① との 交 点 で,A,B,Cと. E(ε,f(ε))(δ〈 ε)と す る 。 曲 線Kの れ る 部 分 の 面 積 を そ れ ぞ れS,,S2,S3,S、 れ る 部 分 の 面 積 をSと (i)f"(一. と し,ま. の くoの. S,+.5,. で囲 ま. ③. とき. = ^72+S4+. (iii)f"(‑a)=oの. 曲 線Kと. とき sSI+S,=S2+S4—-9-. ST+Ug. た 直 線DEと. 曲線 ① とで 囲 ま. す ると. の>oの. (ii)f"(一. 異 な る も の をD(δ,f(δ)),. 曲 線 弧DA,AB,BC,CEと. ④. -9- ^7. と き. =. ⑤. .52+S,. 図3.
(8) 8a. 解 答.. f(x)端. ∫〃(x)ゴ+3ax・+3bx+・. で割 る と. ノてx)≡ ≡(x3十3ax2十3bx十c)(κ2十2ax十7b‑6a2) +(18a3‑27ab+9c)x2+(18a2b‑2ac‑21b2+5d)x+6a2c‑7bc+e⑥ 変 曲 点A,B,Cのx座 A,B,Cを. 標a,β,γ. 通 る 曲 線Kの. は!"(x)の. 方 程 式 は ②. 零 点 で あ る か ら,⑥. 式 か ら3点. 式 で 与 え られ る。. また. S,=Ja 8(x3 +3ax2+3bx+c)(x2+2ax+7b-6a2)dx , S2= —J(x3+3ax2+3bx+c) (x2+2ax+7b-6a2)dx , 8. S3 =Jr(x3+3ax2+3bx+c) (x2+2ax+7b-6a2)dx, S4= —J(x3+3ax2+3bx+c) (x2+2ax+7b-6a2)dx e. で あ るか ら. L=(x3+3ax2+3bx+c)(x2+2ax+7b6a2)dx 1(af"(x)(x2+2ax+7b -6a2)dx 20J8. [f'(x) (x2+2ax+7b-6a2)].—Iff'(x) (x+a)dx ε,δ は. x2+2ax+7b-6a2. = 0. の2根 で あ るか ら. S1+53—S2—S4= —1f'f'(x)(x+a)dx = — 1efck+l>(—a) 10r8k=ok!) こ こ でX・ ・t‑aな. (x+ak+'dx. る置 換 を 行 うと. fe+0S1+S3—S2-S4Ok~fck+(/a) tk+idt _fi_Q. 1(e+a Jo[f(2)(—a)t2+ f~q>3a)t"}dt=—1-1";"fc2>(—a). 9.
(9) 1R. _ _1fc2(—a)(s+a)37^7----=__f(2)(—a)(a2—b)z. ⑦. 1515 ま た2点D(δ,f(δ)),E(ε,f(ε))を. 通 る直線 の方 程 式 は. DE : v =f CE S-~~~)------------(x-a) +fCa) で あ り,こ の 直 線 と ② 式 の 曲 線Kと. ((18a3-27ab+9c)x2+. あ るか ら. (18a2b-2ac-21b2+5d)x+6a2c-7bc+e). _ .f(E) —f(a) (x-8) の2根. の交 点 はD,Eで. —f(8) = 0. ⑧. は δ,ε で あ る 。 し た が っ て. ⑧ 式 の左辺 = (18a3-27ab+9c) (x—o) (x—e) = (18a3-27ab + 9c) (x2+2ax+7b-6a2) で あ るか ら f" (— a) = 20 (2a3 —3ab + c) > 0 の とき. S=— JE(18a3-27ab+9c) (x2+2ax+7b-6a2)dx = -1 6- (18a3-27ab+9c). (e-6)3. • 2Ofy'(—a) (2/7(a2—b) )3. .--._. =9. 7. s 157 f" ( —a) (a2—b) 2. この 結 果 と ⑦ 式 か ら Si+. S3 = S2+Sq. (2)(ii),(iii)も 問 題 皿(2)か. -. 9S.. 同 様 で あ る。 ら 問 題1(2)(ii)の. ε、+33一 が 成 り立 つ の は5次. 命 題 と同様 の 命題. ε2+54 関 数 の グ ラ フ が 変 曲 点 の 一 つ(‑a,f(一. の)に. 関 し て 対 称 な場 合. に 限 られ る こ とが 容 易 に わ か る 。. 九 州大学教養部.
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