平面の方程式

平面の方程式

平面の方程式

[

^]

z = z ₀ + a ( x − x ₀ ) + b ( y − y ₀ )

が三次元空間内で表す図形は

P ₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )

~ n =







 a

b

− 1









に垂直な平面である。

( ~ n

)

、 とすると

上の方程式は次のように書き直せる：

従って、この方程式は となる点 全体を表してお り、これは に垂直な平面である。

微分積分・同演習 ^{A – p.2/16}

平面の方程式

[

^]

z = z ₀ + a ( x − x ₀ ) + b ( y − y ₀ )

が三次元空間内で表す図形は

P ₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )

~ n =







 a

b

− 1









に垂直な平面である。

( ~ n

)

∵ P ₀ (x ₀ , y ₀ , z ₀ )

P (x, y, z)

−−→

P ₀ P =









x − x ₀ y − y ₀ z − z ₀









従って、この方程式は となる点 全体を表してお り、これは に垂直な平面である。

平面の方程式

[

^]

z = z ₀ + a ( x − x ₀ ) + b ( y − y ₀ )

が三次元空間内で表す図形は

P ₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )

~ n =







 a

b

− 1









に垂直な平面である。

( ~ n

)

∵ P ₀ (x ₀ , y ₀ , z ₀ )

P (x, y, z)

−−→

P ₀ P =









x − x ₀ y − y ₀ z − z ₀









∴

a ( x − x ₀ ) + b ( y − y ₀ ) − ( z − z ₀ ) = ~ n · −−→ P ₀ P = 0

り、これは に垂直な平面である。

微分積分・同演習 ^{A – p.2/16}

平面の方程式

[

^]

z = z ₀ + a ( x − x ₀ ) + b ( y − y ₀ )

が三次元空間内で表す図形は

P ₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )

~ n =







 a

b

− 1









に垂直な平面である。

( ~ n

)

∵ P ₀ (x ₀ , y ₀ , z ₀ )

P (x, y, z)

−−→

P ₀ P =









x − x ₀ y − y ₀ z − z ₀









∴

a ( x − x ₀ ) + b ( y − y ₀ ) − ( z − z ₀ ) = ~ n · −−→ P ₀ P = 0

~ n ⊥ −−→

P ₀ P

P

~ n

平面の方程式

n P ⁰

P

x y

z

微分積分・同演習 ^{A – p.3/16}

平面の方程式

[

^]

(i)

~ n =







 1 1

− 1









を法線ベクトルとする平面の方程 式を求めよ。

(ii)

(0 , 0 , 1)

~ n =









− 1

− 1

− 1









を法線ベクトルとする平面 の方程式を求めよ

解答

平面の方程式

[

^]

(i)

~ n =







 1 1

− 1









を法線ベクトルとする平面の方程 式を求めよ。

(ii)

(0 , 0 , 1)

~ n =









− 1

− 1

− 1









を法線ベクトルとする平面

の方程式を求めよ

[

^]

(i) z = x + y

微分積分・同演習 ^{A – p.4/16}

平面の方程式

[

^]

(i)

~ n =







 1 1

− 1









を法線ベクトルとする平面の方程 式を求めよ。

(ii)

(0 , 0 , 1)

~ n =









− 1

− 1

− 1









を法線ベクトルとする平面

の方程式を求めよ

[

^]

(i) z = x + y (ii) z = 1 − x − y

多変数関数とそのグラフ

微分積分・同演習 ^{A – p.5/16}

多変数関数とそのグラフ

[

^] x-y

( x, y )

z

z

( x, y )

( x, y )

z

f ( x, y )

z = f ( x, y )

が定まるような 全体を、この関数の定義域とよ ぶ。逆に 平面の領域 が与えられていて、 が 内の全ての点に対して定まっているとき は で定義 された関数である、という。

同様に 次元空間の各点 に対し実数 が唯一つ 定まるとき、 は の多変数 変数 関数であると いう。またこのとき、各 に対し を決める規則

を 等の記号で表し 等と書く。

多変数関数とそのグラフ

[

^] x-y

( x, y )

z

z

( x, y )

( x, y )

z

f ( x, y )

z = f ( x, y )

f ( x, y )

( x, y )

x-y

D

f ( x, y )

D

f ( x, y )

D

同様に 次元空間の各点 に対し実数 が唯一つ 定まるとき、 は の多変数 変数 関数であると いう。またこのとき、各 に対し を決める規則

を 等の記号で表し 等と書く。

微分積分・同演習 ^{A – p.6/16}

多変数関数とそのグラフ

[

^] x-y

( x, y )

z

z

( x, y )

( x, y )

z

f ( x, y )

z = f ( x, y )

f ( x, y )

( x, y )

x-y

D

f ( x, y )

D

f ( x, y )

D

同様に

n

( x ₁ , . . . , x _n )

y

y

( x ₁ , . . . , x _n )

(n

)

( x ₁ , . . . , x _n )

y

f ( x ₁ , . . . , x _n )

y = f ( x ₁ , . . . , x _n )

多変数関数とそのグラフ

微分積分・同演習 ^{A – p.7/16}

多変数関数とそのグラフ

[

^] f ( x, y )

( x, y )

z = f ( x, y )

x-y-z

f ( x, y )

多変数関数とそのグラフ

[

^] f ( x, y )

( x, y )

z = f ( x, y )

x-y-z

f ( x, y )

x y

z

z=x ² -y ²

微分積分・同演習 ^{A – p.8/16}

多変数関数と偏微分

多変数関数と偏微分

[

^]

( x ₀ , y ₀ )

( x, y )

f ( x, y )

+

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

で近似すると、 が に近付くとき「余り」

は の一次式より速く に近付く。 即ち

は のグラフの での接平面の方

程式である。

微分積分・同演習 A – p.10/16

多変数関数と偏微分

[

^]

( x ₀ , y ₀ )

( x, y )

f ( x, y )

+

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

を の近くで一次関数

で近似すると、 が に近付くとき「余り」

は の一次式より速く に近付く。 即ち

は のグラフの での接平面の方

程式である。

多変数関数と偏微分

[

^]

( x ₀ , y ₀ )

( x, y )

f ( x, y )

+

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

が成り立つならば、

f (x, y)

(x ₀ , y ₀ )

f (x ₀ , y ₀ ) + A(x − x ₀ ) + B (y − y ₀ )

で近似すると、

(x, y)

(x ₀ , y ₀ )

R ( x, y )

x, y

0

即ち

は のグラフの での接平面の方

程式である。

微分積分・同演習 A – p.10/16

多変数関数と偏微分

[

^]

( x ₀ , y ₀ )

( x, y )

f ( x, y )

+

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

が成り立つならば、

f (x, y)

(x ₀ , y ₀ )

f (x ₀ , y ₀ ) + A(x − x ₀ ) + B (y − y ₀ )

で近似すると、

(x, y)

(x ₀ , y ₀ )

R ( x, y )

x, y

0

z = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ )

は

z = f (x, y)

(x ₀ , y ₀ , f (x ₀ , y ₀ ))

多変数関数と偏微分

接平面 接平面ではない

微分積分・同演習 A – p.11/16

多変数関数と偏微分

[

^] f ( x, y )

( x ₀ , y ₀ )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R(x, y)

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

このとき明らかに、 は以下で求まる。

定義

を各々 の によるまたは による における偏微分 係数とよぶ。

多変数関数と偏微分

[

^] f ( x, y )

( x ₀ , y ₀ )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R(x, y)

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0 f (x, y)

(x ₀ , y ₀ )

このとき明らかに、 は以下で求まる。

定義

を各々 の によるまたは による における偏微分 係数とよぶ。

微分積分・同演習 A – p.12/16

多変数関数と偏微分

[

^] f ( x, y )

( x ₀ , y ₀ )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R(x, y)

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0 f (x, y)

(x ₀ , y ₀ )

このとき明らかに、

A, B

A = lim

x → x 0

f (x, y ₀ ) − f (x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ , B = lim

y → y 0

f (x ₀ , y) − f (x ₀ , y ₀ ) y − y ₀

定義

を各々 の によるまたは による における偏微分 係数とよぶ。

多変数関数と偏微分

[

^] f ( x, y )

( x ₀ , y ₀ )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R(x, y)

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0 f (x, y)

(x ₀ , y ₀ )

このとき明らかに、

A, B

A = lim

x → x 0

f (x, y ₀ ) − f (x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ , B = lim

y → y 0

f (x ₀ , y) − f (x ₀ , y ₀ ) y − y ₀

[

^]

∂f

∂x (x ₀ , y ₀ )=lim

x → x 0

f (x, y ₀ ) − f (x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ , ∂f

∂y (x ₀ , y ₀ )=lim

y → y 0

f (x ₀ , y) − f (x ₀ , y ₀ ) y − y ₀

を各々

f

x

y

( x ₀ , y ₀ )

微分積分・同演習 A – p.12/16

多変数関数と偏微分

各点 において偏微分係数を考えることによって決まる

二変数関数 を の または によ

る偏導関数と呼ぶ。

三変数以上の多変数関数についても同様に偏微分係数と偏導 関数

を考えることが出来る。

注意 と が存在しても が で

全微分可能とは限らない。 詳細は適当な教科書を参照する こと。

多変数関数と偏微分

各点

( x, y )

∂f

∂x ( x, y ) , ∂f

∂y ( x, y )

f ( x, y )

x

y

三変数以上の多変数関数についても同様に偏微分係数と偏導 関数

を考えることが出来る。

注意 と が存在しても が で

全微分可能とは限らない。 詳細は適当な教科書を参照する こと。

微分積分・同演習 A – p.13/16

多変数関数と偏微分

各点

( x, y )

∂f

∂x ( x, y ) , ∂f

∂y ( x, y )

f ( x, y )

x

y

三変数以上の多変数関数についても同様に偏微分係数と偏導 関数

∂f

∂x _i ( x ₁₀ , . . . , x _{n 0} ) , ∂f

∂x _i ( x ₁ , . . . , x _n )

注意 と が存在しても が で

全微分可能とは限らない。 詳細は適当な教科書を参照する こと。

多変数関数と偏微分

各点

( x, y )

∂f

∂x ( x, y ) , ∂f

∂y ( x, y )

f ( x, y )

x

y

三変数以上の多変数関数についても同様に偏微分係数と偏導 関数

∂f

∂x _i ( x ₁₀ , . . . , x _{n 0} ) , ∂f

∂x _i ( x ₁ , . . . , x _n )

[

^] ∂f

∂x (x ₀ , y ₀ )

∂f

∂y (x ₀ , y ₀ )

f

(x ₀ , y ₀ )

(

)

微分積分・同演習 A – p.13/16

多変数関数と偏微分

多変数関数と偏微分

[

^]

f ( x, y ) = x + y

g ( x, y ) = x ² + xy + y ²

h ( x, y ) = sin( x + y )

U ( x, y, z ) = − √ ¹

x ² + y ² + z ²

解答

微分積分・同演習 A – p.15/16

多変数関数と偏微分

[

^]

f ( x, y ) = x + y

g ( x, y ) = x ² + xy + y ²

h ( x, y ) = sin( x + y )

U ( x, y, z ) = − √ ¹

x ² + y ² + z ²

[

^]

多変数関数と偏微分

[

^]

f ( x, y ) = x + y

g ( x, y ) = x ² + xy + y ²

h ( x, y ) = sin( x + y )

U ( x, y, z ) = − √ ¹

x ² + y ² + z ²

[

^]

∂f

∂x = 1 ∂f

∂y = 1

微分積分・同演習 A – p.15/16

多変数関数と偏微分

[

^]

f ( x, y ) = x + y

g ( x, y ) = x ² + xy + y ²

h ( x, y ) = sin( x + y )

U ( x, y, z ) = − √ ¹

x ² + y ² + z ²

[

^]

∂f

∂x = 1 ∂f

∂y = 1

∂g

∂x = 2x + y ∂g

∂y = x + 2y

多変数関数と偏微分

[

^]

f ( x, y ) = x + y

g ( x, y ) = x ² + xy + y ²

h ( x, y ) = sin( x + y )

U ( x, y, z ) = − √ ¹

x ² + y ² + z ²

[

^]

∂f

∂x = 1 ∂f

∂y = 1

∂g

∂x = 2x + y ∂g

∂y = x + 2y

∂h

∂x = cos( x + y ) ∂h

∂y = cos( x + y )

微分積分・同演習 A – p.15/16

多変数関数と偏微分

[

^]

f ( x, y ) = x + y

g ( x, y ) = x ² + xy + y ²

h ( x, y ) = sin( x + y )

U ( x, y, z ) = − √ ¹

x ² + y ² + z ²

[

^]

∂f

∂x = 1 ∂f

∂y = 1

∂g

∂x = 2x + y ∂g

∂y = x + 2y

∂h

∂x = cos( x + y ) ∂h

∂y = cos( x + y )

∂U

∂x = x

( x ² + y ² + z ² ) ^{3 2}

∂U

∂y = y

( x ² + y ² + z ² ) ^{3 2}

∂U = z

宿題

問題集

セクション

72(143

)

73(146

)

76(151

)

77(154

)

微分積分・同演習 A – p.16/16