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高 等 学 校
数 学 科 学 習 指 導 案
県立教育センター 指導主事 諸藤孝則 平面のベクトル方程式(数学Ｂ) １ 単元名 ２ 単元について (ここは教材観・生徒観・指導観について書くべきであるが，本指導案は特定の生徒を想定していないので，生徒観については割愛した。) ベ ク ト ル 方 程 式 の 学 習 は ， ベ ク ト ル の 様 々 な 内 容 を 集 約 す る も の で あ る 。 ベ ク ト ル に は ， 多 変 数 を 統 合 し て 一 つ の 量 と し て と ら え ， そ れ を 演 算 で き る よ さ が あ る 。 し た が っ て ， ベ ク ト ル 方 程 式 の 学 習 を 通 し て 幾 何 の み な ら ず 代 数 的 な 構 造 も 学 ぶ こ と が で き る 。 さ ら に ， 位 置 ベ ク ト ル を 活 用 す る こ と に よ り ， 図 形 に 関 す る 事 柄 に つ い て 形 式 的 な 処 理 が で き る よ さ を 感 じ る こ と が で き る 。 位 置 ベ ク ト ル を 基 に し た ベ ク ト ル 方 程 式 は ， 座 標 平 面 に 限 ら ず 任 意 の 平 面 で 扱 え る 方 程 式 で あ り ， 形 式 的 な 処 理 が で き る よ さ の 認 識 を 一 層 深 め る こ と が で き る 。 ま た ， 高 等 学 校 数 学 に お け る 図 形 処 理 の 方 法 と し て ， 初 等 幾 何 ， 解 析 幾 何 及 び ベ ク ト ル に よ る 方 法 が あ る 。 こ れ ら の 関 連 を 扱 う こ と に よ り ， 数 学 の さ ま ざ ま な 領 域 間 の 関 連 性 を 考 察 す る こ と の 重 要 性 に ふ れ る こ と が で き る 。 座 標 平 面 上 の 方 程 式 と 同 じ 構 造 を 持 つ ベ ク ト ル 方 程 式 を 扱 う こ と に よ り ， 解 析 幾 何 と の 関 連 も 扱 い や す い 。 指 導 に 際 し て は ， 軌 跡 の 考 え 方 が わ か り や す い 円 の 方 程 式 か ら 導 入 し た い 。 で き る だ け 生 徒 の考えを発表させ練り合う場を設定し，ベクトル方程式の構造が座標平面上の方程式の構造と同じ であることに生徒が気付くようにし，結論を急がないようにしたい。 ３ 単元の目標 ・ 図 形 を ベ ク ト ル 方 程 式 で 考 察 す る こ と の よ さ に 気 付 き ， ベ ク ト ル を 積 極 的 に 活 用 し よ う と す る （ 関 心 ・ 意 欲 ・ 態 度 ）。 ・ 図 形 の 性 質 を ベ ク ト ル 方 程 式 を 用 い て 考 察 す る こ と が で き る 。 そ れ を も と に ， 位 置 ベ ク ト ル の 考 察 を 深 め る （ 見 方 や 考 え 方 ）。 ・ 図 形 を ベ ク ト ル 方 程 式 で 表 す こ と が で き ， そ れ を 用 い て 図 形 の 性 質 に 関 す る 証 明 が で き る 。 （ 表 現 ・ 処 理 ） ・ ベ ク ト ル 方 程 式 の 意 味 を 理 解 し ， 座 標 平 面 上 に お け る 図 形 の 方 程 式 と 同 じ 構 造 で あ る こ と を 認 識 す る （ 知 識 ・ 理 解 ）。 ４ 指導計画 次 内 容 時数 主な評価の観点 評価規準 関 見 表 知 １ ベクトル方程式の １ ○ ○ ○ベクトル方程式の構造が座標平面上の方程式と 意味(円・直線) 本 時 1 1/ 同じ構造であることを認識できる。 ○円や直線をベクトル方程式で表せる。 。 ２ 直線のベクトル方 ２ ○ ○ ○直線の性質をベクトル方程式を用いて考察できる 程式 ○いろいろな条件で与えられた直線をベクトル方 程 式 で 表 せ る 。 ３ いろいろな図形の ２ ○ ○ ○ ○図形をベクトル方程式で考察するよさに気付く。 ベクトル方程式 ○いろいろな図形をベクトル方程式で表すことを 通して，位置ベクトルの考察を深める。 ○いろいろな図形をベクトル方程式で表せる。 ４ ベクトル方程式の ２ ○ ○ ○ ○ベクトルを積極的に活用しようとする。 。 利用 ○図形の性質をベクトル方程式を用いて考察できる ○ベクトル方程式を用いて図形の性質に関する証 明ができる。 ５ 本時の目標 ベ ク ト ル 方 程 式 の 構 造 が 座 標 平 面 上 の 方 程 式 の 構 造 と 同 じ で あ る こ と を 認 識 し ， 中 心 の 位 置 と 半 径 が 与 え ら れ た 円 ， 及 び ， 通 過 定 点 の 位 置 と 向 き が 与 え ら れ た 直 線 を ベ ク ト ル 方 程 式 で 表 す こ と が で き る 。−2− ６ 本時の指導過程 学習内容 ●指導過程・○学習活動 ▲留意点・△評価 ：点Ａ( , )を中心とする半径ｒの円の方程式は？ （導入）５分 問 １ a b ○発表する。･･･(ｘ−ａ) ＋(ｙ−ｂ) ＝ｒ △座標平面上の円の方程式に ・円の方程式の確認 ２ ２ ２ ●なぜか，その理由を考えさせる。 ついて理解できているか。 ○理由を発表する。 ▲できるだけ，たくさんの考 →条件を満たす円周上の点をＰ(ｘ，ｙ)とすれば，常に えを取り上げる。 ・方程式の意味の確認 ＰＡ＝ｒが成り立つ。それを式にしたものである。 ▲軌跡の考え方を意識する。 ：点Ａ(ａ)を中心とする半径ｒの円の方程式は？ （展開）35分 問 ２ ● と の違いは何かを考えさせる。 ▲ がヒントであることを ・円のベクトル方程式 問 １ 問 ２ 問 １ ○考えを発表する。 示唆する。 ・ベクトル方程式の →・点Ａの位置の表し方 △位置ベクトルの意味が理解 意味 ・座標平面上であるか否か できているか。 ○問 ２の解決方法を考える。 ○考えを練り合う。 △軌跡の考え方ができるか。 ●条件を満たす円周上の点をＰ(ｐ)とし，常にＰＡ＝ｒが ▲問 １と問 ２が同じ構造であ 成り立つことをベクトルの式にすればよいことに焦点化 ることに留意する。 する。 △中学からの座標平面上の方 程式とベクトル方程式が同 ：次のそれぞれの図で，直線の表す方程式は？ じ構造であることを認識で ・直線の 問 ３ ① ｙ ② きたか。 ベクトル方程式 Ａ( , )a b Ａ ▲①は公式にすぐあてはめる 傾きｍ ｍ のではなく，直線上の点を ａ Ｐ(ｘ，ｙ)とおいて導くよ ｘ う指示する。 ｏ ｏ 点Ａ( , )を通り，a b 点Ａ(ａ)を通り 傾きｍの直線 ｍに平行な直線 ○問 ３を考える。 △点Ｐの設定ができるか。 ○考えを発表する。 △ベクトル方程式で表すこと ●直線のベクトル方程式ｐ＝ａ＋ｔｍについて整理する。 ができるか。 直線の媒介変数表示にも触れながら，①と②の構造が ▲ｔの意味は，平行条件から 同じであることを確認する。 丁寧に説明する。 ●本時のまとめをする。 （まとめ）10分 ●２点Ａ(ａ)，Ｂ(ｂ)を直径の両端とする円のベクトル方 ▲時間があれば，生徒に考え 程式を紹介する。 させる。 同様に，直線のベクトル方程式も，条件設定の方法に よってさまざまな表現の仕方があること，それが次時か らの内容であることを告げる。 ：２点Ａ(ａ)，Ｂ(ｂ)を通る直線のベクトル方程式 宿 題 を求めよ。
