方程式　１次方程式の解き方

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-第１学年８組

数学科学習指導案

指導者 １ 単元 「方程式」 「１次方程式の解き方」 ２ 指導観 ○科学技術の進歩と共に、近年急速に情報化が進んでいる。人々は、情報をいかに収集し、分析・ 処理するかが問われる中、問題解決に対する、柔軟性、多様性が求められている。本単元である 方程式の学習では、方程式を解く過程で多様な解法により一つの解を見いだしていくという意味 では重要な単元であると位置づけられる。また、方程式の利用においては、まさに生活の中の未 知数を解き明かしていく問題を取り扱うため意義深いと考えられる。 、 、 、 小学校４年生までに 基礎計算を学習し 手際よく正確に答えを導き出す方法として交換法則 結合法則、分配法則の考えを学習している。５年生では、こうした計算法則を式で表すときは、 代数として□、△等の記号を用いるとことの有用性を学習している。中学校第 1 学年では、文字 式の単元で代数としての文字の利用とその計算方法を学習してきた。本単元では文字を未知数と して取り扱い、方程式とその解の意味について理解させ、等式の性質を用いて一元一次方程式を 解く方法を筋道を立てて考えさせ、一般的な形までまとめ、それを通して代数的な操作のよさを 1 理解させることをねらいをしている この学習をもとに 第２学年での連立二元一次方程式では。 、 、 、 。 、 つの元を消去することによって 二元を一元にし解を導き出す 第３学年での二次方程式のでは 因数分解等を利用することによって、二次を一次にして解決することになる。このように、問題 を解決するときに行う次元等を下げる考え方は、本単元である一元一次方程式の解法が基礎とな っており、さらに高等学校における高次方程式や分数方程式等につながる重要な単元であると考 えられる。 ○本学級の生徒は、明るく活発で物怖じせず自分の意見を発表できる生徒が多い反面、自分の意見 を発表できないでいる生徒も少なくない。前期に行われた授業満足度調査においては、全ての生 徒が数学の授業に満足はしている。また、授業中の問題や宿題プリントをみてみると、学習を行 ってすぐの練習問題は正答率がとても高い。しかしながら定期考査の結果からは、学習内容が十 分に定着しているとはいえない。このことは、授業の中で学んでいる内容が、数学的内容理解よ りも問題解法の理解の定着に重きが置かれ、自ら考え課題を解決する力へとなっていないことが 伺える。 これまでの学習では、文字式の単元で文字を代数として扱いその計算方法を学んでいる。しか し、文字式の四則計算について、苦手に思っている生徒が半数を占めており、小テストなどの結 果からも十分に定着しているとはいえない。その反面、文字式の有用性についてはその便利さを 理解しており、本単元についての関心・意欲は高い。 ○本単元の指導に当たっては、方程式を解く考え方や過程を重視し指導する必要があると考える。 そのためにはまず解の理解として、唯一あてはまるものとしての解を認識させるため、表や代入 。 、 、 によって解を求めさせることに十分な時間を当てる 次に 等式の性質を十分に理解させた上で 等式の性質の略式表記が移項であることを指導していく。そのために、方程式の解法指導では、 簡単な方程式の解法を指導したあと、複雑な問題へと学習を進めていく段階で、等式の性質を利 用して、自分たちで問題をつくらせることを行い、全ての方程式の解法は、４つの等式の性質の 組み合わせにすぎないことを十分に指導する。その中で、方程式の解法が一つの形式的なもので なく、多様であることに気づかせるとともに、代数的な操作の良さを理解させ一般的な形でまと めていく。最後に、利用の段階では、生活の中に内在する問題を取り扱い、多様な解法で求めて いく中で、さらに方程式のよさを深めていく。 ３ 目標 ○方程式を用い様々な問題を解決していく中で、方程式を利用する良さに気づき、進んで方程式を 問題解決に活用することができる。 ○具体的な事象の中から数量関係をとらえ、方程式を用いて問題解決できる。 ○等式の性質をから導かれる移項の意味を理解し、方程式を形式的、能率的に解けるようになる。 ○方程式及びその解の意味を理解し、等式の性質をまとめることができる。

2 -４ 指導計画 （方程式 総時数１５時間） ５ 本時 平成 年 月 日（ ） 第３校時 １年８組教室にて ６ 本時の指導観 ○本時の指導においては、まず前時までの学習を内容確認し、本時のめあてを確認する。本時の学 習活動の中心が、等式の性質となることをおさえ、自由な発想で学習を展開していくことを確認 し、本時の意欲付けとする。次に、等式の性質を使って解がχ＝３となる方程式を、解である χ＝３の両辺に同じ数や同じ文字をたしたり、かけたりすることで方程式をつくらせる。このと き、第１段階として等式の性質を２回使ったものに限定させ、方程式として容易なものから行わ せる。学習の遅れがちな生徒に対しては、援助・指導を行い、学習意欲を低下させないことを留 意したい。第２段階として、班活動でそれぞれのつくった問題をお互いに比較しあい、その中で 出た意見を交流し発表させる。このとき、各辺を変形させることで、同値である方程式があるこ とを確認し、次の活動へつなげていく。第３段階として、班活動で等式の性質を何回か使って複 雑な方程式をつくらせる。ここでは、より複雑な方程式をつくることよりも、等式の性質をどの 段階でどの性質を使ったかを重視させ、どのような手順でつくった方程式を複雑と感じるかを考 えさせる。これは、次時の複雑な方程式の解法も全ての方程式の解法は、４つの等式の性質の組 み合わせにすぎないことへの理解につながる。最後に、自分たちのつくった方程式を発表させ全 体で意見交流をおこなう。その中で、式の変形や、４つの等式の性質の使う順番が前後しても同 値の式に変形できることで方程式の解法が一つの形式的なものでなく、多様であることに気づか せる。次時では、本時の活動を振り返りながら複雑な方程式を解くことで、その方程式の構成を 等式の性質の組み合わせとして解法につなげ、代数的な操作のよさを実感できるよう指導する。 評価の規準・方法 生徒指導の機能 学習のねらい・目標 配時 関心・意欲 数学的思考 表現・処理 知識・理解 受 挑 共 伸 方程式 ２ 方程式 方程式の解、 、 表や代入法で、 表や代入法を効 ある数が方程式 方程式、方程式 ○ ○ と 方程式を解くこと等 方程式の解を見 果的に使い、解 の解であるかど の解、方程式を その解 の 意味が理解 でき つけ出そうとし を見いだすこと うか確かめるこ 解くことの意味 る。 ている。 ができる。 とができる。 を 理解 し て い る。 ２ 等 式の性質を 理解 天秤を使った模 等式の性質を考 等式の性質を使 等式の性質を理 ○ ○ し、それを用いて簡 式図の中から等 え、まとめるこ って、簡単な方 解している。 単な場合の方程式が 式の性質を見い とができる。 程式を解くかと 解ける。 だそうとしてい ができる。 る。 ２ 移 項の意味を 理解 等式の性質をも 方程式を解く手 方程式を解く手 移項の意味や方 ○ ○ し、移項することに とに、より効率 順を導くことが 順に従って、方 程式を解く手順 よって方程式を解け 的に方程式を使 できる。 程式を解くこと を 理解 し て い る。 お う と し て い ができる。 る。 る。 ３ 複雑な方程式を解く 等式の性質をも 式の変形を考慮 方程式を解く手 等式の性質や、 ○ ○ ○ 手順をまとめること とに、より効率 し、同値となる 順を自分なりに 式の変形によっ ができ、解くことが 的に方程式を使 方程式を見いだ 工夫して、解く て同値な方程式 できる。 お う と し て い す こ と が で き ことができる。 ができることを る。 る。 理解している。 （本時１／３） 方程式 ３ 方程式を問題解決に 方程式を利用し 方程式を利用し 方程式を用いて 方程式を利用し ○ ○ の 利 用す る こ と が で て、問題を解決 て 問 題 解 決 を 簡単な問題を解 て問題を解決す 利 用 き、方程式を使って しようとしてい し、その経過を 決することがで る手順を理解し 解く手順をまとめる る。 振り返って考え きる。 ている。 ことができる。 る こ と が で き る。 まとめ ３ ○ ○ と 練習 問題 ＊生徒指導の機能欄の受・挑・共・伸はそれぞれ 受：受容される喜び 挑：挑戦する喜び 共：共に学ぶ喜び 伸：伸びる喜び

3 -７ 主眼 ○班で協力し、同じ解を持つ方程式を作成し、他と比較することができる。 ○４つの等式の性質の組み合わせで方程式ができていることに気づく。 ８ 仮説 簡単な方程式の解法を習得し、より複雑な方程式に挑む段階において、以下の手順で活動を構 成すれば、生徒は、方程式が４つの等式の性質の組み合わせからなる同値変形であることに気 づくであろう。 【手順】①自分なりの考えをもとに方程式をつくる。 ②他の方程式と比較する。 ③グループで新たな解法を考える。 ９ 展開 課 程 学 習 活 動 ・ 内 容 指 導 上 の 留 意 点 形 態 配 時 評 価 １ 前時 ま で の 学 習 内 容 を 確認 す る ・ 机 間 指 導 に て 前 時 一 斉 １ ５ 導 ． 。 ・等 式 の 性 質 ま で の 学 習 が 身 に 入 ・移 項 付 い て い な い 生 徒 ・一 元 一 次 方 程 式 の 解 き 方 に 対 し て 援 助 ・指 導 を 行 う 。 ２ ． 本時 の 目 当 て を 確 認 す る 。 め あ て ・ 本 時 の 流 れ を つ か 等式 の 性 質 を 使 っ て 、 解 が み や す く す る た め χ＝ ３ と な る 方 程 式 を つ く に 簡 単 な 例 示 を す ろう 。 る 。 自分なりの考えをもと 展 ３ ． 等 式 の 性 質 を 使 っ て 方 程 式 を つ ３ ０ ・ に方程式をつくること 開 くる 。 （ １ ） 等 式 の 性 質 を ２ 回 使 っ た 方 ・ 机 間 指 導 に て 、 学 個 人 （５） ができる｡ 程 式 を つ く る 。 習 の 進 ま な い 生 徒 (学習ﾌﾟﾘﾝﾄ) に 対 し て 援 助 ・ 指 【 挑戦 す る 】 導 す る 。 様々な意見を取り入 （ ２ ） 自 分 た ち が つ く っ た 方 程 式 ・ 班 で の 交 流 が 円 滑 班 （５） ・ れ 自分の考えをまと を 比 較 し 意 見 を 交流 す る、 。 に 進 む よ う に 援 助 ､ ・ 指 導 す る 。 め る こ と が で き る｡ (学習ﾌﾟﾘﾝﾄ) 【 共に 学 ぶ 】 （ ） （ ３ ） 各 班 で の 意 見 交 流 流 の 中 か ・ 各 辺 を 変 形 す る こ 一 斉 ７ ら 、 気 づ い た こ と を 発 表 す と で 、 同 値 で あ る る 。 方 程 式 が あ る こ と に 気 づ か せ る 。 ま た 。 意 見 と し て で な い 場 合 は 教 師 か ら 伝 え る 。 班で協力し 方程式を （ ４ ） 等 式 の 性 質 を 何 回 か 使 っ た ・ よ り 複 雑 な 方 程 式 班 （５） ・ ､ 方 程 式 を つ く る 。 を つ く る こ と よ り つくることができる｡ も 、 ど の よ う な 手 (学習ﾌﾟﾘﾝﾄ) 順 で つ く っ た 方 程 (様相ﾁｪｯｸ) 式 を 複 雑 と 感 じ る 【 共に 学 ぶ 】 か を 考 え さ せ る。 ． 、 （ ） ４ 班で つ く っ た 方 程 式 を 発表 を し 一 斉 ８ 意見 を 交 流 す る 。 ５ ． 本時 の ま と め を す る 。 一 斉 ５ ま ６ ． 次時 の め あ て を 確 認 す る 。 と め あ て め 複雑 な 方 程 式 を 解 く 手 順 を 考え 出 そ う