方程式方程式方程式方程式

工業数理基礎(J)［方程式］ 1

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年次 組 番・氏名

第1問 問1 二つの工場A、Bで生産している同じ原料物質すべてを、別の二つの工場 C、Dに輸送することを考える。1週間にA、Bから送り出される物質の量は、それぞれ11t、 12tであり、C、Dに送り込まれる物質の量は、それぞれ14t、9tである。なお、以下では、

「AからCへの輸送ルート」を「A→C」と書き表す。

いま、各輸送ルートの1週間の輸送量をA→Cではp[ t

トン

]、A→Dではq[t]、B→Cではr[t]、 B→Dではs[t]とおく。このとき、次の式が成り立つ。

p+q = 11 …①

r+s = ア …②

p+r = 14 …③

q+s = イ …④

ここで、物質1t当たりの輸送費はA→Cでは1万円、A→Dでは4万円、B→Cでは3万 円、B→Dでは2万円であるとすると1週間の物質の輸送費c[万円]は次の式で表せる。

c = p + 4q + 3r + 2s (1)

このとき、cを最小にするようなp、q、r、sを求めてみよう。

まず、q、r、sをそれぞれpで表すと次のようになる。

q = 11

－

r = 14

－

s = ウ …⑦

これらを式(1)に代入すると、c=

－

2≦p≦ エ

よって、cはp = エ のとき最小になる。このとき、q = オ 、r = カ 、s = 9

である。

ア ～ カ (0) 0 (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) p+2 (6) p－2 (7) –p+2 (8) –p－2 (9) 9 (a) 11 (b) 12 (c) 14

工業数理基礎(J)［方程式］ 2

解説 図を描いて整理するとイメージしやすい。

A(11t) p C(14t)

r q

B(12t) s D(9t)

Aの11tはpとqに分かれるからp + q = 11、Bの12tはr

とsに分かれるからr + s = 12、Cの14tはpとrから来るの でp + r = 14、Dの9tはqとsから来るのでq + s = 9となる。

アb イ9

1週間の物質の輸送費c [万円]が最小になるようにするには、式(1)を解く必要がある。4

つの変数のうち一つに注目して解く。問題ではpに注目する。qは式①から式⑤のように求 められる。rは式③から式⑥のように求められる。sは式②または④から求められるここで

は、式②(r + s = 12)から求める。 ア が答えられないとできないが。

s = 12－r rを右辺に移項する。

s = 12－(14－p) 式⑥(r = 14－p)を代入する。

s = 12－14+p

s = p－2 ウ 6

「式(1)に代入するとc=－4p+82が得られる。」とある。求めてみよう。

c = p + 4q + 3r + 2s

c = p + 4(11－p) + 3(14－p) + 2(p－2)

c = p + 44－4p + 42－3p + 2p－4 = p－4p－3p + 2p + 44 + 42－4 c =－4p + 82

次に、問題ではpの取りうる範囲を求めている。A工場では1週間で11t生産しているの で、0≦p≦11である。つまり、p(C工場)に送り出さない、から、全部送り出す、の範囲と なる。しかし、B工場からrへ12tすべて送り出してもC工場で受け取る14tには2t足ら ない。したがって、A工場からは最低2tをC工場に送り出さなければならない。結果、p の範囲は、2≦p≦11となる エ a

c =－4p+82のcが最小になるためには、82から減じる4pが大きければよい。pの最大は

11であるからc =－4×11+82 =－44 + 82 = 38が求められる。輸送費は38万円となる。

求められたpを式⑤⑥に代入するとqとrが求められる。

q = 11－p = 11－11 = 0 オ 0 r = 14－p = 14－11 = 3 カ 3