高等学校数学までに学ぶ数の無理数性について

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(1)平成21年度修士論文. 高等学校数学までに学ぶ数の無理数性について. 兵庫教育大学大学院学校教育研究科教科・領域教育専攻自然系コース. M08179H. 横瀬憲一.

(2) 目次第O章. はじめ1こ. 第1章実数公理 1．1 1，2. 縮小区間列切断1．．．. 第2章超越数 2．1 2．2 2．3 2．4. 第3章 3．1 3．2 3．3 3．4. 関連図書. 9. 11 11. 8乞ege王の補題．．. 14 16. Geけ。nd＿8Cんηe肋rの定理の証明 Geけ。ηd＿8Cんηe肋rの定理の活用自然対数の底eの無理数性正則連分数 εの正則無限連分数表示微積分を用いたεの無理数性の証明．無限級数を用いたεの無理数性の証明．. 正接関数の場合、．．．．．．．、．1．．．．．正弦，余弦関数の場合．．．1．1．．．1．．．．. 第5章円周率7rの無理数性 5．1 5．2 5．3. 5. 代数的数と超越数1．．. 第4章三角関数の値が有理数となる角度の無理数性 4．1 4．2. 5. 正則でない連分数、．. tanπの無限連分数表示．．1 微積分を用いた無理数性の証明. 24. 30 30 39 42 46. 47 47 51. 56 56 57 65. 68.

(3) 第O章. はじめに. 本論分では，できるだけ初等的に無理数の証明を行っていくことを目標としている。初等的な無理数の証明方法の中でも最も初等的な証明方法は，中学校数学で習うψ等が無理数であることを証明するときに使用する「背理法」でしょう。ある命題が成り立たないと仮定しそれが矛盾していることを証明する，という一見シンプルに見えるが，なかなかによくできた証明方法である。. また，高等学校数学Bにおいても扱われている「数学的帰納法」も用いている。この証明方法もシンプルで，命題P（η）に対して以下の2つのことを証明するだけで証明が完了する。. ［11，η＝1のとき命題が成立する。. ［2］，η＝ん（ん≧1）のとき命題が成立すると仮定すると，η＝た十1のとき命題が成立する。. また，初等的とは言えないが無理数を考える上では避けては通れないr超越数」についても説明を行う。なぜ「超越数」を避けて通れないかと言うと，この「超越数」というものは，「代数的数ではない数」を意味するからである。（「代数的数」とは整係数多項式の根を意味し，整数やρといった数が例として挙げられる。）つまり，「超越数」であるということは（複素数を除くと）無理数であるということである。さらに，この「超越数」にはGεけ㎝d＿3Cんηe乞伽の定理という，この定理一つで，多くの数を「超越数」かどうか判定できる画期的な定理がある。これを利用すると，無理数性（この場合は超越性）の証明として難しいとされるπの証明であっても比較的容易にできるようになる。以上のように，一見簡単そうな証明方法や大学数学においても難しい内容を駆使し，できるだけ初等的な証明方法で，様々な数を「無理数」であることを証明するのが本研究の目標である。. 続いて，論文の詳しい構成について述べる。. まず，第1章「実数公理について」では，無理数を述べる上で，必ず必要になってくるで. あろうr実数」について述べていく。実数はr有理数」とr無理数」にわけられるというが，その間にはどのような違いがあるのだろうか，というのがこの章で考えることである。 1．！節のr縮小区間列」では，有理数から実数への拡大（構成）を行う。そのために，r縮小区間列」について触れる。 1．2節のr切断」では，1．1節のr縮小区間列」とは違う，r切断」を用いて有理数から実数への拡大（構成）を行う。.

(4) 第O章はじめに. 第2章の「超越数」では，実数の範囲で考える「超越数」はすべて「無理数」となることがわかっているので，それを利用して，様々な数の無理数性を示していく。 2．1節の「代数的数と超越数」では，超越数の定義について述べている。さらに，このあとの節で用いられる記号についても簡単ではあるが述べてもいる。 2．2節の「腕ge互の補題」では，この次の節で述べる「Geけ㎝ガ3cんηe漉rの定理」を証明するために必ず必要になってくる定理であるr脆ge工の定理」の証明を行い，それを次節の証明で使いやすい形に変換している。 2，3節の「G♂プ㎝d＿3cんηe｛伽の定理の証明」では，「超越数」を語る上で，必ず出てくるといっても過言ではない定理，「Gθけ㎝d＿3cん肌e澁rの定理」の証明を行う。またこの方法は，ヒルベルトの23の問題の1つである「αがOでも1でもない代数的数で，6が代数的無理数であるとき，α6は超越数であるか」という問題を解くために扱ったものであることもあわせて書いておく。 2，4節の「Gε1’∫㎝d−8cんη棚erの定理の活用」では，この定理を用いて，ψ，π，e，sinλ. （λはOでない代数的数）のような数の無理数性（超越性）を証明できることを示す節である。. 3章の「自然対数の底eの無理数性」では，いくつもある自然対数の底εの無理数性の証明方法をいくつか述べていく章である。 3．1節の「正則連分数」では，これ以降も使うであろう「連分数」のなかで，一番初歩的な「正則連分数」について触れる。この「連分数」の内容の中での一番の軒としては，「正則無限連分数」というように表される数は，すべて無理数となることがわかるので，この節以降では，重宝される。. 3．2節の「εの無限正則連分数表示」では，3．！節で述べる「正則無限連分数」という連. 分数に，eが表示できるということをいくつかの定理を交えて説明する。 3．3節の「微積分を用いたeの無理数性」では，「無理数性」というよりも，2章で述べた r超越性」を導き出してεが無理数（超越数）であることを証明する。 3．4節のr無限級数を用いたeの無理数性」は，この章の最初で述べた，高等学校数学で習う方法を用いて，初等的に，かつ比較的わかりやすく無理数性の証明を示した節である。 4章の「三角関数の値が有理数のときの角度の無理数性」では，三角関数（正弦，余弦，正接）の値が有理数のとき，（特別な場合を除いて）角度が無理数となることを証明している。また，その対偶である「三角関数の角度が有理数のとき値は無理数」という方法でも証明を行っている。. 4．1節のr正接関数の場合」では，正接関数において，値が（特別な場合を除いた）有理数となる場合，その角度を度数法で表すと，その角度が必ず無理数となってしまうことを示している。さらに，正接関数の加法定理ができるレベルの方なら，（なんとか）理解できる証明も行いました。. 4．2節の「正弦，余弦関数の場合」では，主に柳原弘志著の「初等整数論」に書いている方法で数の無理数性の証明を行っている。また，その際に出てくる命題を用いて，高等学校. 数学において出てくる（3次以上の）多項式の因数分解が楽になる方法も載せている。 5章の「円周率πの無理数性」では，3．1節で述べた「正則連分数」をより一般化した「連分数」を用いて，πが無理数であることを証明する方法や，微積分を用い，πが無理数である.

(5) 第O章はじめに. ことを証明する。. 5，1節の「一般的な連分数」では，3．1節で述べた「正則連分数」よりも，より一般的な連分数について述べている。 512節の「tan”の無限連分数表示」では，λ．Pr伽g3んe乞mのアイデアを用いて，tanz（”は有理数）が無限連分数表示され，tanπの値が無理数となることを示せることから，その対偶（tanπの値が有理数ならば，πは無理数）をとることにより，”＝π／4のとき，π／4が無理数となり，ゆえにπが無理数となることを証明する。 5．3節の「微積分を用いた無理数性の証明」では，背理法を使い，πが無理数であること. を示すのだが，そのためには，ある定理が必要になってくる。その定理には微積分を使ったものがいくつかあるため，このようなテーマにしている。. 最後になってしまいましたが，熱心がつ親切なご指導をしていただきました渡辺金治先生には，心から感謝をしております。先生には何かとご迷惑をおかけしましたが，先生のおかげで数学や研究に対する楽しさなどを再発見することができました。これからは，」人の教員として生徒達に数学の楽しさ，奥深さを知ってもらえるような教員になりたいと思います。また，様々な機会を通し，適切な示唆をしていただいた数学教室の先生方にもあわせて感謝申し上げます。そして，2年間という短くもあり，長くも感じる大学院生活を支えてくださった数学コースの方々をはじめとする，多くの友人，知人にも感謝いたします。.

(6) 第1章. 実数公理. 1．1 縮小区間列この章全体を通して，まず，有理数についての大小関係・四則演算は定義されており，以下のような公理が成立する。（詳しくは，小松勇作著「無理数と極限」のユ軍「有理数」を参照）. （大小関係）. エ1］任意な二数α，6の間には3つの関係，α＝6，α＜6，α＞6が存在する。 121α＝α. 131α＝わ，ならば，6二α（対称法則）. エ4］α＝6，6：cならば，α＝c 固α〉わ，ならば，ろ＜α. 161α＜わ，う＜c，ならば，α＜c（推移法則）. r7］二数α，6の各対に対して，α斗6で表される一つの数が和として定まる。 r8］α＝α’，う＝6’ならば，α十6＝α’十わ’. （和・差）. ［9］α十わ；6＋α（交換法則）［10］α十（6＋c）＝（α十6）十。（結合法則）. ［11］α＜6，ならば，α十。＜b＋c. ［121二数α，わの各対に対して，α一6で表される一つの数が差として定まる。［1316＋（α一わ）＝α.

(7) 6. 1．実数公理. （積・商）. ［14］二数α，6の各対に対して，αわ（もしくは，α・6，α×6）で表される一つの数が積として定まる。［151α＝α’，6＝わ’，ならば，α6＝α’6’ ［161α6：6α（交換法具■」）. エ17］α（6c）＝（α6）c（結合法則）. ［18］（α十わ）c＝αc＋6c（分配法則）. ［19］α＜6，c＞O，ならば，αc＜6c. ［20］6≠0である限り，二数α，わの各対に対してα／6で表される一つの数が商として定まる。 1211わ×α／6＝α. （ル。肋mede8の原理）. ［221任意な数αに対してη＞αを満たす自然数ηが存在する。. （1．！．！）. また，以下のような定理が成立している。. 定理1．1．1二つの相異なる有理数の間には，無限に多くの有理数が存在する。（証明は小松勇作著「無理数と極限」ρ35を参照）. では，この節の目的を述べる。この節では，有理数系の拡大を行う。では有理数系に新たに，無理数を添加することになり，これによって実数系が構成される。今回は，BαCんmαηη の縮小区間列による導入法によって説明を行う。また，次節では月．Dede肋ηdの切断の概念に基づいて無理数の理論を樹立する。では，まず縮小区間列がどのようなものかを定義する。（参考文献：小松勇作著『無理数と極限』）定義1．1．2｛αれ｝が単調増加数列，｛α二｝が単調減少数列とすると，すべてのηに対して，αη≦ α二が成り立ち，｛α二＿αη｝が零列をなすとき，一つの縮小区間列が定義され，（α几■α㍍）と表す。. 上定義において出てくる零列とは，がOに収束する数列である。この縮小区間列には，以下のような定理が証明されている。. 定理1．1．3すべてのηに対してα帆≦r≦α二を満たす有理数rが存在しないような縮小区間列（α帆，α二）が存在する。. （証明は小松勇作著『無理数と極限』のρ41∼を参照）. ここで，以下のような2つの定義を書いておく。定義1．1．4ここで，α＝（αれ』α二），β＝（6．Iわ二），（ここで，α帆，α二，あれ，弘は有理数）において，6几≦. α二かっαη≦仏を満たすとき，αとβは同値であり，α∼βと表す。この同値関係が定義され. ている場合，αに同値である元を全て集めた集合を考えることができる。この集合をαを代表元とする同値類と呼び［α1と表す。また，（αれ1α二）を含む同値類を［（α。1α二）1と表す。.

(8) 7. 1．実数公理. 定義1．1．5有理数ρに対し，P＝［（ρ1ρ）1を定める。ここで，Pは｛ρ，ρ，ρ，…｝となる数列を表す。. 以上のような縮小区間列の同値類全体には，大小関係（相等・順序），四則演算（加法・. 減法1乗法・除法）が以下のように定義される。定義1．1．6 （大小関係）任意な二つの縮小区間列の同値類α＝［（α皿1α二）1，β＝［（われ1ろ二）1に. おいて，順序を次に定義する。 1，すべてのηに対してα几≦弘及び，α二≧b几ならば，α＝β 2，少なくとも一つのηに対してα二＜わ、ならば，α＜β. 3，少なくとも一つのηに対してα帆＞私ならば，α＞β ここで，上記の定義において，条件2，3が同時に満たすように見える。ここで，あるmに対. してα㍍＜6mならば，η≧mのとき常にα二＜6凡が成立する。また，αm＞軌ならば，η≧m のとき常にα帆＞叱が成り立つ。ゆえに，上定義における条件2，3は同時に満たさない。定義1．1．7 （四則演算）任意な二つの縮小区間列の同値類α；［（αれ1α二）1，β＝［（わ几16二）1が. 与えられたとき，四則演算（加法・減法・乗法・除法）は以下のように定める。（ただし，乗法・除法ではα。＞0，ろη＞0を満たすとする。） α十β＝t（α九十6れ1α二十軌）］ α一β＝工（α九一弘1α二一6帆）］ αβ＝f（αη6nlα二軸）］. 1一［（箒1を）1（ただ！岬・では州この大小関係，四則演算はこの節の冒頭で説明したうちの，［1］∼［21］までは成立する。（詳. しい説明，及び証明は小松勇作著『無理数と極限』ρ42∼を参照）また，この縮小区間列の. 同値類では，ル痂me加8の原理が成立し，以下のように表される。定理1．1．8任意な縮小区間列の同値類αに対して，ρ＞αを満たす自然数（正の縮小区間列）ρが存在する。. 証明縮小区間列の同値類αを，α＝［（αれ1α二）1とすると，有理数についての方C肋me加8. の原理（任意な有理数αに対してη〉αを満たす自然数ηが存在する。）によって， ρ＞α｛を満たす自然数ρが存在する。このとき，」P＝（ρ一ρ）となるので，定義（L1．5）より，Pは有理. 数（この場合，自然数）となる。ゆえに，. P＞α が成立する。ゆえに，題意を満たす。. 口.

(9) 8. 1．実数公理. 以上より，縮小区間列の同値類の算術に関しては，有理数に関する算術と全く同じ形をもっていることがわかる。ゆえに，P∈ρに対しPと［（ρ■ρ）］を同一視し，以下のような定義を示す。. 定義1．1．9有理数でない各縮小区間列の同値類を無理数という。有理数と無理数の全体，すなわち縮小区間列の全体を総称して実数という。次に以下のような定理を示す。. 定理1．1．1O異なる二つの実数の間には，無限に多くの有理数が存在する。証明α，βが異なる実数とし，α＜βとする。ここで，α＝（α。1α二），β＝（6m16㍍）とする。こ. のように数を与えると，以下のことが成立する。 α二＜6。ゆえに，. α≦α二＜6n≦β ここで，（1−L1）よりα二＜r＜ろ、を満たす有理数rが無限に存在することがわかっているので，. α＜r＜β が成立する。よって，題意を満たす。. 口. また，次の定理も満たす。. 定理1．1．11異なる2つの実数の間には，無限に多くの無理数が存在する。証明α，βが異なる実数とし，α＜βとする。ここで，（1．1．3）に基づいて確かに存在する一. つの無理数7をとる。すると，. α一7＜β一7 であるから，（1．1．10）により，. α一7＜r＜β一7 を満たす有理数rが無限に多く存在する。よって，α＜7＋r＜βが存在し，7＋rは無理数. となる。よって，題意を満たす。. 口.

(10) 9. 1．実数公理. この定理（1．1．10），（1．1−11）により，異なる2つの実数の間には，有理数，無理数がそれぞれ. 無限に多く存在することを，一般的に実数の稿密性と呼ばれる。. また，実数には完備性という性質がある。この完備性によって，実数と有理数の違いを考えると，完備性により，実数の数列（コーシー列）は必ず収束することがわかる。しかし，実数には有理数と無理数が存在するため，有理数の数列（コーシー列）は必ずしも収束しないことがわかる。これが利用できる例としては，以下の例がある。側1．1．12縮小区間列（αれ16帆）において，α、＝（［10れ■1ψ1）／10η’1，6、＝（［10れ’1ψ1＋1）／10n■1. とすると，この縮小区間列はψに収束する。ここで，［1はGαu88記号である。証明まず，｛α。｝，｛6れ｝が基本列であることを証明する。先に｛αれ｝が基本列であることを. 証明する。基本列の定義として， 1α。。。一α。1＜ξ（ξ＞0）が成立すればよい。ここで，与えられたα几をα。十ユ＿αれにあてはめると，. 1 0＜αη十1一αn＜ 10九一1 が成立する。また，. 1≦αれ＜ψ＜ろ、≦2. （111．2）. 1. 6パα。＝ 10ト1. （113）. が成立しているため，｛α性｝融はψに収束する。ゆえに，｛α几｝は基本列であるため収束する。また，｛ろ。｝も基本列であることがわかる。ここで，（1，1．2）より，. 1imα几≦ψ≦1im6， n一→oo. 冊一→oo. が成立する。さらに，（1．1．3）より，. 1imαη＝1im bn η一→oo. η一→oo. が成立する。上記の2式より，（α、一あ帆）はψに収束することがわかる。. 口. 1．2 切断この節では月．Dedeん伽dの切断による方法について述べる。まず，以下のような定義をしておく。.

(11) 1．実数公理. 1O. 定義1．2．1すべての（有理）数が二つのいずれも空でない組λ，〃に分けられ，λの多数がλ’の多数より小さいとき，この組み分けを切断という。また，λ，〃をこの切断の下組，上組とよび，この切断を（λ1λ’）で表す。. また，有理数の切断には以下のような3つの場合が考えられる。. ［α］，下組が最大数をもち，上組が最小数をもたない［う1，下組が最大数をもたず，上組が最小数をもつ. 1C1，下組が最大数をもたず，上組が最小数を時もたないここで，r下組が最大数をもち，上組も最小数をもつ」切断も考えられそ・うたが，有理数の楯密性（定理（L1−！0））より，2つの異なる有理数の間には無限に多くの有理数が存在するので，この切断は存在しない。ここで，［α］の場合の切断は，一つの有理数αに対して，”≦αを満たす有理数”の全体を下組とし，”＞αを満たす”の全体を上組とする。エα］の場合の切断があるとき，その下組の最大数を上組へ移せば，それにより新たな［6］の切断が得られる。これによって，［α］と［6］の. 切断は一対一に対応することがわかる。それに基づき，エう］の切断が現れるごとに，それに対応する［α1の切断を代用すれば，［α1と［C1の切断で事足りることがわかる。. また，［c1が実在する例をあげるとするならば，”2＝2を満たす有理数”が存在しないため，”2＞2および”＞Oをみたす”の全体の上組とする切断が同であることが示される。また，この切断においても，縮小区間列のときと同様，大小関係と四則演算が成立し，以下のように定義される。定義1．2．2 （大小関係）異なる二つの切断α＝（λ1λ’），β＝（BlB’）について，λ，Bが数の. 集合として一致するとき，α二β。〃とBが数を共有するとき，α＜β。λとB’が数を共有するとき，α＞β. 定義L2．3 （四則演算）異なる二つの切断α＝（刈〃），β＝（BIB’）について，〃の一致. とB’の一数との和として表される数の全体を上組とする切断をα十βと表す。また，α∈ λ，α’∈〃，わ∈B，6’∈わをもって，. α㌧わという形に表される数の全体を上組とする切断をα＿βと表す。 α’わ’という形で表される数の全体を上組とする切断をαβと表す。 α’／6（わ＞O）という形で表される数の全体を上組とする切断をα／βと表す。. 次に，切断において有理数，無理数は以下のように定義する。定義1．2．4有理数rによって生成される一α］の切断〆＝（（＿oo，r］，（r，○o））を，有理数rと混称する。また，［c］の切断を無理数という。また，有理数と無理数の全体，もしくは［α］，［c］. の切断の全体が実数系を構成する。ここで，有理数においては，｛π≦0｝∪｛”＞0：”2｝とすると，｛”＞O；”2＞2｝より［α1，［c1. ともに成立しない。また，実数においてはエα］か［C］のどちらかが成立する。.

(12) 11. 第2章. 超越数. 2．1 代数的数と超越数超越数を述べるためには，代数的数の性質についても知っておかなくてはならない。この節では，代数的数の基本的な性質を述べ，さらに，2節以降で必要な定義，定理について述べる。この章では，以下の参考文献を参照にした。［1］三井孝美著，『解析数論一超越数論とディオファンタス近似論一』共立出版，1977［2］柳原弘志著，『代数学への小径』日経印刷，2000 ［3］藤崎源二朗著，『代数的整数論入門（上）』，裳華房，1975. また，以下では，次のような記号を用いる：Z，Q，R，Cは，それぞれ，有理整数環，有理数体，実数体，複素数体を表す。また，珂Xlもしくは，珂X1，．．．，X．1は，環月を係数とする多項式環である。. 次に，代数的数と代数体の定義を述べる。定義2．1．1代数的数と代数体ρ（X）の元∫（X）の根になる複素数を代数的数という。（ここでのプ（X）は一次以上の多項式である。）また，代数的数でない複素数を超越数という。こ. の代数的数は，Z（X）の元の根になる数とも言う。代数的数全体の集合をρで表す。Qの元 αに対して，αを板とするようなZ（X）の元の中で次数が最小がつ原始的（係数のなす組の最大公約数が1）であるものを，∫（α，Z）と表し，αのQ上の最小多項式という。また，∫（α，刃. の次数をαの次数といい，degαと表す。ρの拡大体Kをρ一係数ベクトル空間と見たとき，その次元が有限であるとき，それを有限次拡大体という。また，その次元を［K：qと書く。有理数体Qの有限次拡大体ん（0に含まれているとする）を代数体という。またα を板とする最高次数が1である最小次数の有理係数多項式をかr（α：ρ）と表す。. 代数体的数全体について次の定理が成り立つ。定理2．1．2代数的数全体ρは体であり，すべての自然数jに対して次を満たす。 β’∈で＝＝＞β（≡で証明α冶，6だを整数とし，こσ）αk，6kを項とする整係数方程式 α。〆十α。一。・九一1＋…十α。＝0，（α、≠0）. 6m”m＋6m＿1”m■1＋… 十わ。＝0，（6m≠0）.

(13) 12. 2．超越数. を与える。このとき，前者の方程式の解をα為，（た＝1，＿，η），後者の方程式の解を馬，（ゴ＝ 1，．．．，m）とする。ここで，代数学の基本定理より，αゐ，βゴは複素数であることがわるまた，8；（”1，．．．，剛＝ Σ：隻，1（”ゴ）！とすると，. 几. η¶. 3；（α1＋β・，…叫十βゴ，…α。十β。）一ΣΣ（α1＋βゴ）’. 為＝1ゴ＝1 n. m. j. 二. 一ΣΣΣlq（α・）；一W4一Σ〃！一1（α・，…，α帆）昂（β・，…，β・），馬＝ユゴ＝1 4＝0. 4＝O. れ. η¶. 31（α1β1，…，α1βか一，α帆β。）一ΣΣ（α洲」31（α・一・・，αれ）31（β・，…，β・）. た＝1ト1 であり，ベキ和は基本対称式の整係数多項式で表される（参考文献：エ3］）ので， 3’（α1，．．1，αれ），昂（β1，．1．，βm）は有理数である。従って，8；（α1＋βユ，。、。，α為十βゴゾ＿，αれ十. βm），31（α1βユ＿．，α馬βゴ，．．、，α、βm）は有理数である。また，基本対称式はベキ和の有理係数. 多項式で表される。（参考文献：同）ゆえに，α十β，αβは有理係数多項式 ηt. ηユ. n（・一αrβゴ）一0，■（・一α・β1）一〇. た，ゴ＝1. 為，ゴ＝1. の解である。次に，積の場合（α／β）を考える。この場合1／β∈Q（β≠o）を証明すれば，あ. とは積で対応できる。まず，o≠β∈Qが成立するならば， α、βη十α、＿1βn］1＋…十αo＝o （αん∈Q，ん：o，1，…，η，α几≠o）. が成立する。ここで，η＝degαととれば，αo≠0となる。ゆえに，上式の両辺をβnで割ると，. ｛1・…・一（1）n一・. となり，1／β∈Qが成立する。また，β’二α∈Qのとき， αれ（α）n＋α。一。（α）n一ユ十…十α。＝O より，. α几（β）！九十α、＿1（β）’（η一ユ〕十… 十αo：＝O. であるから，β∈Qである。次に，1次以上の代数的整数という概念を定義する。. 口.

(14) 13. 2．超越数. 定義2．1．3Z［X］の元プで最高次係数が1であるものの根を代数的整数という。上記の代数的整数の例として，ψ，乞，有理整数などがある。. 代数体K，代数的数の全体の集合∫に対して∫K＝∫∩Kとおく・。∫は環である。（証明は藤崎源二郎著『代数的整数論入門（上）』のρ1！1を参照）. 定義2．1−4α∈ρに対して，適当なη∈Zをとれば，ηα∈∫となる。ηとしては，たとえば，∫（α，z）の最高次係数をとることができる。このようなηの最小正のものをαの分母といい，これをd（α）と書く。. また，∫（α，Z）（”）＝απZ＝1（”一α為），η：degαとするとき，αユ，…，α、をρ上のαの共役という。. ここで，α∈ρに対し，Q上のαの共役α1，…，α、の絶対値の最大値をllαllで表し， 8（α）＝maX（1Og llαll，1Ogd（α））. をαの大きさという。また，多項式P∈K1X1ジ・・，X．1の高さ∬（P）はP（Xエ，…，X几）＝Σ世＝（吐ユ，．．．，走、）αtX｛1…X炉. のとき. 亙（P）＝mXlα圭1 圭 11∬（P）ll：m・Xllα土11. t. と定義する。Pをzゴの多項式と見た場合の次数をdegx、（P）と記し，Pの全次数をdeg（P）＝ Σ仁1degxゴ（P）で表す。. 次に，G♂∫㎝d＿3Cんηe乞伽の定理の証明で必要となってくる優級数を定義する。 N個の変数X1，1．．，Xれの実係数多項式， P−P（X1，…，X・）一Σα1工，．．．＾Xlユ…蹄金1＝．．．，4W. Q＝ρ（X1ゾ・リXN）： Σβ1、，．．．＾X手1…X浄｛1，＿，｛w において，すべての乞1，．．．，∼に対して， l lα壱、，．．．，伽11≦β｛、，．．．，せ」V. となるならば，. Pく．ρ と記し，QをPの優級数という。.

(15) 14. 2、超越数. 2．2 8乞egeZの補題この節では，G♂∫㎝d−3Cんηε乞伽の定理に必ず必要になってくる，舳gelの補題につい. て述べる。さらに，その舳gelの補題をGeけ㎝ポ3Cんη洲erの定理を証明する際に使う形に変化させる。. 定理2．2．1（8句elの補題）. η〉rのとき，一次方程式系 η. Σα舳一〇，…ゾ・・ヨW∈Z. ゴ＝工. に対して非自明な整数形巧で次を満たすものが存在する。 m・・i・ゴ1≦4｛4η0｝小■「），0−m・・｛1，1α壷，ゴ1；！≦1≦ザ，1≦ゴ≦η｝. 証明まず，この証明においてエM］などの口はガウス記号を意味する。正数Mに対して zη（M）＝｛（tユ，。．．，亡。）∈zn；1ち1≦M一｝として，写像. 帆. Zれ（M一）ル・，…，・η）→（μ1ゾ・・，μ・）∈Z「（肌0M’），μFΣα沽. ゴ＝1 を考える。Zn（M）の元の個数（2［M1＋1）れであるから，（21M1＋1）帆＞（2［nOM1＋1）「のと. き，この写像は1対1ではなく，以下のようになるものが存在する。 n. 肌. Σα1，均一Σα1パト1. ゴ＝1. すなわち，. 几 Σα1ルゴー・1）一〇ゴ＝1 （均，一．一，”n）≠（4，．。．，4）. となるものが存在する。このとき，（”r4ゾ。一，”パ刈∈Z帆（2M’）は非自明な解である。よって，（2M一十1）れ＞（2η0M’十1）「を満たすMを求めればよい。ここで，0≧1，r≧1，α＝（4η0）「／（卜「）とおくとき，. 『. （2［2α1＋1）n・2几αれ一Σ。01α帆. r. た二〇. ・Σ。01（αψ）た一（αα（H）ノτ・1）『. 為＝O ＝（α（4η0）十1）「≧（2［2η0α1＋1）『. M一一2（4η0）小一「）.

(16) 15. 2．超越数. よって〃二2αとすればよい。. 定理2．2．2代数体Kに対して，ω為∈∫Kが存在し，次を満たす定数Mが存在する。・任意の ξ∈∫κはξ＝Σに1岬ω胎，吻∈Zと一意的に表され，さらに， maX lu馬1≦M l lξl l. が成立する。. （証明は藤崎源二郎著，『代数的整数論入門（上）』を参照。）. 上の定理を利用すると，以下の定理が証明できる。. 定理2．2．亭Kを代数体〃＞ザとする。このときフー次方程式系几. ΣWド0（1一・，…，・，∼∈珂. ゴ＝1 に対して，Kのみに関係する（α｛，ゴに無関係な）定数M，及び，非白明な解巧∈∫Kで次を満たすものが存在する。 m・市ゴll≦〃｛舳0｝小凹「） 0＝m・x｛1，ll∼ll；1≦1≦・，1≦ゴ≦η｝証明この証明においては，α1，ゴ∈∫Kの場合を示せば十分であるため，α｛，ゴ∈∫Kとする。ωk を定理（2．2．2）により与えられたものとし，. m 榊一Σ∼，μ1（∼，1∈Z）ニブ. αザΣ∼，舳（∼，1∈Z）馬；1 ・ゴーΣ吻，舳（的，1∈Z）庇＝ユとおけば，一次方程式系は， η. ηt. ηユ. η1. 帆. η1 η■. ΣΣΣ∼，舳，舳一Σ／ΣΣΣへ，舳小F・. ゴ＝1κ＝1 三＝1. 圭＝ユ. ゴ＝1κ＝1 ！＝1. であるので，（ηm）個の未知数的．烏，1≦ゴ≦η，1≦ん≦mに関する（rm）個の一次方程式の系 n. Tn. ηユ. ΣΣ／Σへ，舳，1，曲，；／一・（1−1，・，炸・，…，・）. j＝1 ；＝1. 冶＝1.

(17) 16. 2．超越数. を考える。脆geJの補題における定理（2．2．1）により，与えられるこの方程式系の非自明な整数形助，垢から得られる巧が求める解である。なぜならば，あるゴ，んに対して，吻，た≠0であるから，巧≠O。また，定理（2．2，2）より，. m・xlん，ゴ，冶1≦〃m・・llαゴ，島11≦M0 であるから，. m. lΣ∼，舳，1，ll≦mM−0／m・・1叫，1，・1｝. k＝1 したがって，定理（2．2．1）より，. m. ・・一…／Σ1λ舳，1川≦・1へ，lll∼，ll 為＝1 ≦ηM−0一町，！，圭一≦mM−002 0・：m・X1吻，ゴ，一｛，〃. と01，02をおくと 1坊，た1≦4｛4ηm0王｝『／（n■τ）. が成り立つ。ゆえに， 0・＝m・xllωゴH. M「1＝max（4m03，4m2M−02）とおくと， llπゴll≦mm・X1坊，たlllωたll. ≦4m｛4ηm01｝『ノ（η一「）max llωゴll. ≦4m0。（4ηm2M0．0）小■「） ≦M1（〃1η0）「ノ〔η■「）. が成立する。よって，題意を満たす。. 2．3 Geけ。〃一8cんηe伽rの定理の証明この節では1節において説明した記号を使用する。まずこの節で示すGεけ。ηd−3cんη棚er の定理とはどのようなものかを示す。.

(18) 17. 2．超越数. 定理2．3．1代数体K，自然数N≧2，m≧1，整関数∫1，…，∫w，互いに異なる複素数 ω1，…，ωmに対して以下の条件∫∼〃を満たすものとする。 ∫カ（ω冶）∈K，ゴ＝1，…，N，ト1，…，m. d ∬房カ（・）∈月プ・1…1∫wLゴ：11…J. ∬∫篶のうち少なくとも2つはK上代数的独立である。〃各みの位数はμ未満である。このとき次の式が成立する。 η7≦20μ［K＝Q］. （2−3．1）. ここで，条件∬∼〃について説明する。条件∬からK係数N変数の多項式弓。（X1，．．．，XN）が存年し，次が成立する。. d 一ゐ（・）＝弓・（∫ユ（・），…，∫w（・））. dz. 条件∬∫は乞≠ゴが存在し，K係数2変数のOでない任意の多項式P（X1，X2）に対して， P（尤（z），ヵ（z））がzの関数としで直等的には0でないことを意味している。. 条件〃について，整関数∫の位数がμとは，. 1・g1・gl∫（・）l. 11msup ：μ 一。■→。。 1・gi・1 が成立することである。このことから，任意の6，ある自然数wが存在するならば，十分大きな■zIに対してI∫（z）■≦ e■茗」μ十Eが導かれる。. 次に，この節でGεZ’∫㎝d＿3cんηe乞伽を証明する方針を示す。篶のうちK上代数的に. 独立なものを∫，gとする。このとき，十分大きな任意なηに対してr＝1＋［1＋杯］（口はガウス記号）とすれば，恒等的にはOでない関数. ・・）一、仙←）j（、＝｝ん、）. で，. F（k）（ωゴ）＝O（ゴー1，…，m，た一0，…，肌一1）. （2．3．2）.

(19) 18. 2．超越数. を満たすものが存在することを示す。このとき，F（ゐ）（ωゴ）＝0，（ゴ：1，…，m，ん＝O，…，t−. 1）を満たすtの最大値をuとするときF（u）（ωゴ）≠Oとなるωゴが存在し，それをω＊とする。. このときFが次を満たすように選べる。 llF（u〕（ωヰ）ll≦・舳9u d（F（伽）（ω＃））≦ε仙9u. （2，3．3）（2．3．4）. ・（F（仙）（ω＊））≦5・1・g・. （2．3．5）. um1Ogu lF（也〕（ω‡）1≦岬（4仙1・g・一） 2μ m・・｛llα，ゴll；1≦1，ゴ≦・｝≦ε2仙1og仙. （236）（2．3．7）. まず，以下のような定理を示す。定理2．3．2定理（2．3−1）の記号のもとで，ωゴの1つをωとし，条件∫と∬も仮定する。このとき，∫1，．．．，加から定まる定数0が存在し，次が成立する。. 任意のr≧Oおよび全次数がr以下の任意のK係数多項式P（X1，．．。，XN）に対して，. ∫（Z）＝P（∫1（Z），… ，プM（Z））. と置くとき，任意のj≧0に対して∫（j）（ω）∈Kであり， ll∫（！〕（ω）ll≦oj・’llH（P）ll. （2．3．8）. d（∫（ミ）（ω））≦0’8（P）. （2．3．9）. が成立する。. 証明∫（’）（ω）∈Kについては，条件∫，∬とjに関する帰納法により示される。. 条件∬より，. d 房∫ゴ（Z）＝弓（∫・（Z）1．I．1加（Z））. を満たす弓∈K［X1，…，XN1が存在する。このときδ＝maxゴdeg（巧）と置く。ここで，D：K［X1，＿，Xw］→K［X1，．．．，XN］を，. ・（・）（い・・）一ξ∂P（X1石’Xw）巧（い・）. で定める。deg（P）≦rであるから，degD（P）≦δ十rである。次に， l lαβl l≦l lαl l l lβl l. llα十βll≦Hαll＋llβll. （2，3．10）（2．3．11）.

(20) 19. 21超越数. を利用する。ここで，∫1ゾ．．，加から定まる自然数0を0≧（δ十1）wΣ仁、ll∬（巧）llとなるように選べば，. ∂P. l−H（荻；）一■≦「IiH（P）1−1. w. ∂P. llH（万（P））ll≦Σll∬（π）ll ll∬（巧）ll. j＝ユ. ゴ. ≦・ql∬（P）ll，. （2．3．12）. PメllH（P）ll（1＋X1＋…十Xw）「であるから，ヱに関する帰納法により，次式を証明する。. が（P）メ州！ll∬（P川（・・X、・…十X。）’δ・・. （2．3．13）. この式（2．3．！3）の証明を行う前に，脾（万’（P））ll≦び・（・十δ）…（・十（レ1）δ）llH（戸）ll. を1に関して帰納法で証明を行う。 j＝王のとき，（2・3・12）で示されている。. また，j＝んのとき，この式が成立すると仮定すると，一冶十ユ一一為 11H（D （P））ll：llHD（D（P））ll. 一た ≦（んδ十r）ql∬（D（P））ll ≦0仏1r（r＋δ）… （r＋んδ）ll∬（P）11. よって，j：ん十1のとき成立するので，証明完了。では，. が（P）メ州1∬（P）ll（1＋X、十…・X。）ll・・. を工に関して帰納法で証明を行います。まず，1＝！のとき，万（P）メll∬（万（P））ll（1＋X1＋…十Xw）δ十「. メ。，il∬（P）ll（1＋x1＋…十xw）δ十「. よって成立する。にんのとき，さきほどの式が成立すると仮定すると，一局十1. D. 一一馬. （P）二D（D（P））く0（肋十・）llH（万烏（P））／（1・X、十…・X。）（州・δ く0（肋十・）［0竹十δ）…（・十（1−1）δ）lll∬（P）ll（1＋X。十…十XN）（｛十1）δ十『.

(21) 20. 2．超越数. となり，J：た斗1のとき成立するので，証明完了。ここで，∫（Z）＝P（∫1（Z），．．。，加（Z））のとき，. プ（！）（z）：が（P）（プ、（z），…，∫几（z））. であるので，（2，3．13）及び，優級数の定義より， ll∫（ミ）（ω）ll≦0州∬（P）ll（1＋llア。（ω）l1＋…十11加（ω）ll）ミδ十丁. が導かれる。これにより，（2．3．8）式が得られる。. 次に，α，β∈Q，o≠η∈zに対して， d（α十β）≦d（α）d（β）. （2．3．14）. d（αβ）≦d（α）d（β）. （2．3．15）. ηα∈I⇒ηはd（α）の倍数. （2．3，16）. を利用し，（2．3．9）式を示す。ここで，. K［X・，…，X・1∋P（X）一Σ・11，．．．，1，Xl’…雌壬＝（土1，＿，±」V）. に対して， d（・げ。（ω）｛ユ…加（ω）tM）. の最小公倍数をd＊（P）と定める。．このとき，今までの0とは違うように0＝1ユと1d＊（片）と置けば，全ての1に対して，次式が成り立つ。 d（P（∫ユ（ω），…，加（ω）））≦d＊（P）. d・（が（P））≦山（P）よって，（2．3．9）式が示された。. （2，3．17）. （2．3．18）口. 次に，式（2．3．2）におけるFの存在を示しておく。. 定理2．3．3式（2．3，7）を満たすFが存在する。証明r2個のq，ゴ，（乞，ゴ＝1，＿，r）を未知数としたηm個の一次方程式の系. 『 ♂ Σ∼萩／∫（・）W／一・（五一1，…，m，ゐ一・，・…η一1）（2・3・19）｛1ゴニユ. 昆＝ω’. に対して定理（2．2．3）を適応すれば，非自明な解α，ゴ∈∫Kが存在する。従って，∫（z），g（z）の. 代数的独立性より， F（z）＝P（ア（z），9（z））. 『. P（X1，X・）一Σ∼XlXi ぜ，ゴ＝ユ.

(22) 21. 2．超越数. は恒等的にはOでない関数であり，条件F（冶）（ω1）二〇，（1＝1，…，m，ん：Oゾー，η一1）を満. ♂ た尤また，（・・…）についてr次方程式系（・・・…）の係数1舳！一新／舳（・）5／L＝、、は定理（2．3．2）において，月，ゴ（X1，X2）＝X｛X6とすれば，次が得られる。ηに依存しない定数 0が存在し，すべての乞，ゴ，ん，1に対して， llα壱，j，胎，川≦σ用十ゴ（｛十ゴ）先11H（易，j川. ≦0n＋2「（2・）肌■1. （｛，ゴ≦r，ん≦η一1）. 従って，定理（2，2．3），及びηに依存しない定数Mが存在し，次が成立する。 1∼1≦M｛M・20れ十2『（2・）n−1｝帆m／（「2一れ帆）. ここで，ηを十分大きくとれば，rこ1＋河1より，ηm／（ヅ2一ηm）＜1であること，及び，・≦0ψ，η≦・1…≦・れより，0・・≦0201ψ，0、一2・佃，0・…≦ぴ・20・ψ≦ 02冊＝（02）ηであること利用すると，〃｛〃20η十2『（2・）九一工｝nmノ〔『2刑≦〃｛〃0㌘十2「（2・）帆十1｝1. ≦M｛〃07・杯（杯）仰｝ ≦M｛M・τ十杯｝。州杯）ここで，02をηに依存しない定数とし，ηを十分大きくとると，次が成立する。 rれ：♂logT＝♂｛（1／2）一⑪gれ十定数｝≦e1／2nlogn＋C2n≦enlogn. また，F（た）（ωゴ）＝O（ゴ＝1パ・，m，ん：O，…，尤一！）を満たす広の最大値をuとすると，η≦刎. である。ゆえに，. εれb9η≦刈榊以上より，. M｛〃・r＋杯。州杯）｝一。［1・…（肌・ψ・・…（一／・）1酎…1 ≦∼帆1．9η. ≦e舳9・口以上により，ηを十分大きくすると式（2．3−7）を満たすF（z）の存在が示された。今度は，（2．3．6）の証明を行う。.

(23) 22. 2、超越数. 定理2．3．4（2．3．6）が成立する。. 証明7（ZO，月）を中心ZO，半径五の円周とし，ηを十分大きくとる。また，R＝u1／（2μ），月＞. 2max■ωゐ1とする。このとき，. Q（・）一 n（卜ω1）u. （2，3．20）. 1≦k≦m，ω点≠ω‡ とおくと，. 告一嘉／叫月、、、）（；㌦加（…1）が成り立つことを示し，この式の評価として，（2−3．6）が導かれることを示す。ここで，便宜上，ω＊＝ωmとする。1＜伽のとき，F（’〕（ω烏）＝Oであるから，. 。。ぺ）（ωk） F（・）＝Σ z、（・一ω由）！ ’＝他. と，テーラー展開し，ξを十分小さな正数とする。このとき，コ』シーの積分定理より，. 缶／似、、舳÷ナ、｝L、、、、）（≒戸“ 一1ξξ半）〃叫灼、、l1三！＋一、え1ξF半）糺、、［、、）／、（1半か声・ギ）1羊m）ユL灼㍍三三）∵）ゐ一半）∴、、、、）（1．、、）あ F（仙〕（ωm）. Q（ωm）よって，（2，3，20），が示された日ここで，1z■＝月のとき，F（z）の位数がμ未満であるので，IF（z）’≦ eRμ. ﾅあり，MI＝｛2maxlωた1｝m■1とすれば， lQ（ω＊）」≦〃u. iξ）（ψ 1州・（月一1叫」）（…ル・. ト生・（ξジ.

(24) 23. 2．超越数. が成立し，これから，. 1・同（ぴ）1・ぺ（ξ）川（｛）十1舳 ≦2㎜十1〃仙u！rm砒♂μ を得る。ここで，R：u1／2μを代入すれば， lF（・）（ω・）1≦・！・砒b・Mθ（㎜斗ユ）b・2ε一／・∼／／（2μ）・伽’ρ. さらに，スターリングの公式η！＝仏ゼn−1e（帆十1）I．9（れ斗1）（1＋0（！／η））より， iF（仙）（ω・）1≦・（・州・（・・1）ε・’ψJ㎜・11b・2・一1m・1…1／（2μ）・也’ノ2. ≦e舳。g卜m／（2μ）小9仙が得られる。以上より（2．3．6）式が示された。（2．3．3）式，（2．3．4）式，（2．3．5）式は（213．6）から. 容易に導かれる。. 口. 最後に定理（213．1）を示す。. 定理2．3．50≠λ∈Kに対して，一（2［K：ρ1−1）・（入）≦1・glλ1. が成り立つ。特に入＝F（仙）（ω＊）とすれば次式が得られる。. mu1Ogu. 一（2［K：ρ1−1）｛5仙1・g・｝≦1・glF（砒）（ω＊）1≦4側1・g卜. 2μ 証明今回は，J＝degλ≦［K：Q1として，（21一ユ）・（λ）十1・g1川≧O が成立することを示す。まず，以下のように∫（入：Z）（”），∫（∂（λ）入：Z）（π）を. j. ！. ∫（λ：Z）一α；n／・一λl／一Σα〆免＝1. k＝O. ｛一1 ∫（d（λ）λ1Z）（・）一＾Σぴた＝O αk，伽∈Z と，おくとき，！. ；一1. Σα・州一㌦為一α州λ）入：Z）（・）一Σ／d（λ）㌦一α！ψ先た＝O. お＝O.

(25) 24. 21超越数. は∂（λ）八を板とする（4＿1）次以下の整係数多項式であるから， ∂（λ）；■㌦＝ψゐ（ん＝O，…，j−1）となる。よって，. m. d（λ）m（山1）肌α。Hλゴー州mα・一α。6・. ゴ＝！とな乱従って，6oがOなら，∫（d（λ）λ：Z）（”）の最小1性に矛盾するため，6oが0ではないことに注意すると，. j 小1λ川λll；01≧d（入）；皿入ゴ1−16・1≧1. ゐ＝1 ゆえに，以下の式が成立する。 l1・gd（λ）十1・glλ1＋（1−1）1・gllλll≧O ここで，. （21−1）・（λ）十1・g1川≧l1・g∂（λ）十1・g1刈十（1−1）1・g11川≧O. よって，王＝degλ≦［K：Qlより，結論を得る。ゆえに入＝F（批〕（ω中）とするならば，（2．3．5）式より，. 一（2［K：Q1−1）｛舳1ogu｝≦1og lF（仙〕（ω＊）1 ここで，（213．6）式より，. mu10gu. 1・glF（仙）（ω＊）1≦4仙1・g・一. 2μ ゆえに，題意が成立する。よって，式（2．3．1）式が導かれる。. 口. 2．4 Geけ。〃一8cんne〃erの定理の活用この節では，超越数を調べる上で，Geけ㎝d−3Cんηe澁rの定理がいかに有用かを検証を行う。その中身としては，炉のような，高校の知識まででは，無理数（この場合は超越数）であることを証明できなかったが，今回のGεけ㎝d＿3Cんηe乞伽の定理を使うと，比較的簡単にできる。まず，以下のような2つの補題を示しておく。補題2．4．10≠λ∈0を代数的数とするとき，z，ελzは代数的独立である。.

(26) 25. 2，超越数. 証明几 Σ0j，1〃λ乞≡O （0ゴ，1∈C）. （2，4．1）. 〃＝O ならば，. 0j，F0（∀ゴ，ん）. となることを証明すればよい。今回，これを. n. Σpl（・）・たλz・O（P・∈C［・1）. k＝O と整理して pた（・）≡O（∀ゴ，ん）. をηに関する帰納法で証明をする。まず，η＝0のとき，zのとりかたによらず片（z）eたλzが成立するので，. 片（・）…0 が成立する。. ここで，η一のとき題意が成立すると仮定する。ここで，η＝’十1のときを考える。 ’十ユ. Σpl（・）抄≡O. 馬＝O. の両辺をN（W＞deg昂）回微分を行うと以下のような式となる。 1＋1 ΣQl（・）・たλz≡O た＝1． Q冶（・）＝ΣNqP美ゴ）（・）（州w一ゴ. ゴ＝O ゆえに次数が1つ下がった0）で，η：工のときより， ρ冶（・）≡O（ん＝！，…，1＋1）が成立する。ここで，片（z）＝αmz㎜十。．．十αo（α｛は定数，乞＝O．＿，m）とすると，. 舳一シq｛（、竺、）“同・…十／）H ：（αmんwλw）・m＋（舳αmんN一工λw−1＋αm一。州w）・m−1＋……O. （2．4．2）.

(27) 26. 2．超越数. ここで，zmの項を考えると，αmんwバ＝0が成り立つので，αm＝Oが成立する。さらに，2m’1 の項を考えると，WmαmんN■ユバ■1＋αm一ユぴλNが成り立つ。αm＝0なので，αm−1二〇が成立する。以下，同様に刈ん＝1ジ・・，m）の項を考えると，αづ＝O（乞＝1，＿，m）が成立する。これを片（z）の式に代入し，（2．4．2）式で考えると，αo二〇が成立する。ゆえに，片（z）…Oが. 成立し，題意を満たす。. □. 補題2．4．2λ∈ρ＼ρを代数的数とするとき，ez，ελ2は代数的独立である。. 証明 ηユ. れ. ΣΣq，1〃λz−O. ゴ＝O卜0 ならば，. 0ゴ，FO を証明する。ここで，最初の式で♂屠e舳岩＝ε糾胎λ2となり，ゴ十舳＝人馬とおいても一般性を失わない。よって今回は，. れ. Σα馬eλμ；0 （λユ，＿，λれは互いに異なる数）. （2．4．3）. た＝1 ならば，. αユ：… ＝α打1＝O を証明する。ここで，（2，4．3）式をzで（η＿1）回まで微分してz＝Oと代入すれば，以下の. ような行列式に書き換えられる。. 1 1 … ユ α1 0 人1 λ2 … λ几 α2 0 ：（2，4−4） λη■1・人身皿1…生ユ α冊. O. 上記のようになる場合，左辺の右の行列がO行列になるならば，左辺の左の行列が逆行列を持つ。ゆえに，題意を満たすために，左辺の左側の行列が逆行列を持つかを証明する。よって，. 1 1 ＿ 1 λユ λ2 … λ。. det. ≠O. λ九一1・λ身］1… λ得一ユ.

(28) 27. 2．超越数. を証明する。ここで，ヴァンデルモンドの行列式（証明は齋藤正彦著『線型代数入門』，ρ236 を参照）を用いると，. 1. 1. ＿. 1. λユ λ2 … λ帆. d・・. 一n（λrλゴ）2. 1≦づくゴ≦れ. λ卜1・λ募一1… 刈一1. である。ここで，λユ，．一一，λ、は互いに異なる数なので，入＿λゴ≠Oである。ゆえに，式（2．4．4）. の右辺の左側が逆行列を持つため，左辺の右側の行列が0行列，つまり，. α1 α2. 0 0. αη. O. ゆえに，α1＝α2＝…＝αη＝Oが成り立ち，題意を満たす。では，具体的に示していく。. 系2．4．30≠λ∈ρならば，eλは超越数である。. 証明まず，eλを代数的数と仮定する。さらに，λ，e入によるQの拡大体Q（λ，eλ）をKとし，∫1（z）二z，プ2（z）＝eλz，ωた＝ん（ん＝1，2，・・．m）とおく。このとき，Geけ。ηd−3cんηe〃er. の定理の条件∫∼〃に照らしあわすと，以下のようになる Iヵ（ωゐ）∈K，ゴ＝1，2，ん＝1ゾ．一，m。. ∂ d H一∫1（z）＝1，一∫2（z）＝λeル＝V2である。. dz. dz. mプ1，∫2はK上代数的独立である。（補題（2．4．1）より） IV∫1の位数は1以下，∫2の位数は2以下である。（lzl≦e一到，1ελ名1≦elポより）. 以上より，Geけ。〃＿3Cんη棚erの定理の∫∼∫レ「を満たすので，. m≦20×2×［K；Q1 が導かれる。ここで，右辺が有限の値（定数）となること，及び，mは任意に大きくとれるため，上式を満たさない場合がある。よってeλは超越数となる。 □ また，この系（2．4．3）を利用すると以下のようにπが超越数であることも証明できる。. 系2．4．4πは超越数である.

(29) 28. 2．超越数. 証明系（2−4．3）において，入＝乞πとすると，e壱π＝＿1となることより，桁は超越数である。. さらに，｛は代数的数であるため，πが超越数である。. □. このように，簡単にπが超越数であることを証明できた。次に，この節の冒頭でも述べたように，炉の超越性を証明する。（ただし，今回は，この一般系の証明を行う。）系2．4．50，1≠α∈で，β∈で＼ρならば，αβは超越数である。証明まず，αβを代数的数であると仮定する。さらに，K＝Q（α，β，αβ），∫1（z）＝〆，∫2（z）＝. eβ昆，ωド購。gα（ん＝1，2，…m）とする。このとき，G♂∫㎝d−3cんηe澁rの定理の条件∫. ∼〃に照らし合わせると，以下のようになる。 I∫。（ωた）：α為，∫。（ωた）＝α烏β. d. ∂. II一プ1（Z）＝〆，一プ2（Z）：βeβzである。. dz. 伽. III∫1，∫2はK上代数的独立である。（補題（2．4．2）より）. IV∫1の位数は2未満，∫2の位数は2未満である。 Gej’∫㎝d−3cんηε疵rの定理における条件∫∼〃を全て満たし，よって，m≦20×2×［K：Q1. を満たす。しかし，上式の右辺は有限の数（定数）であり，mは任意に大きくとれてしまうため，上式は不成立になる場合がある。ゆえに，αβは超越数である。 □ 系（6．・．・）において，α一・，β一ψとすれば，かが超越数であることがわかる。. 次に三角関数（正弦，余弦，正接関数）の角度がOでない代数的数全体である場合，その値が超越数になることを示す。系2．4．60≠λ∈Qならば，sinλ，cosλ，tanλは超越数である。. 証明sinλ，cos入，tan入のうち1つが代数的数（あるいは，超越数）ならば，. sin2λ＝！＿cos2λ. 1 tan2λ＝＿1 COS2λ より，他の2つも代数的数（あるいは，超越数）である。さらに，入∈Qと以∈Qとは同値である。よって，系（2．4．3）及び，♂λ＝c05λ十｛sinλより，. cosλ十乞sinλ￠Q であるため，CoS入，Sinλのいずれかは必ず超越数である。ゆえに，Sinλ，CoSλ，tanλの全てが. 超越数である。. 口.

(30) 29. 2．超越数. 次に，高校数学でも習う自然対数の値が，特別な場合を除いて，超越数となることを示す。系2．4．70，1≠α，β∈ρならば，1ogαは超越数である。さらに，1ogβ／1ogαは有理数，もしくは超越数である。証明まず，”＝1ogα≠Oとげは，e皿＝α∈Qであること，及び，系（2，413）より，FO≠λ∈Q. ならば，eλ≠Qとなる」ことの対偶，つまりre入∈Qかつλ≠Oならば，λ￠Qとなる」ことを利用すると，”は超越数である。次に，μ＝1Ogβ／1ogαが有理数でない代数的数ならば，（2・4・5）より，β＝α砂が超越数となり，矛盾となる。よって，μは有理数，もしくは，超越数. となる。. 口. 次に，系（2．4．3）をより一般的にしたものや，eのπ乗は超越数か，などについて考えてみる。. 系2．4．80，1≠1，O≠mに対して，lm，戸mのうち少なくとも1つは超越数である。特に，επや，0，1≠α∈Qのとき，cos［1ogα1，sin11ogα1，tan［1ogα1は超越数である。. 証明まず，lm，戸mを共に代数的数とする。このとき，K＝Qρ，Jm，戸m），ω為＝んm1ogl（ん＝1，2，＿）とおけば，ez，’岩は代数的独立であるから矛盾である。ゆえに，Jm，戸m. の少なくとも1つは超越数である。ここでトe，m＝πとすれば，上記より，戸π＝＿1であるから，eπは超越数である。また，ε1・9α＝α∈Qであるから，. …［1・gα1＋＾・i・［1・gα1一’’o・α師が成り立つ。従って，cos［1ogα］，sin≡1ogα］のどちらかは必ず超越数であり，系（2．4．6）の証明より，Sinθ，COSθ，tanθはともに超越数か，共に代数的数であるから，COS［1ogα1，Sin［Iogα1，tanr1ogα1. はすべて超越数である。. 口.

(31) 30. 第3章. 自然対数の底eの無理数性. 3．1 正則連分数この章では，「任意な実数αに対してη〉αを満たす自然数ηが存在する。」（アルキメデスの定理），及び「（有限個0））数の組においては，最小数および最大数が存在する。」ということは既知とする。上記より，以下の定理が成立する。. 定理3．1．1任意の実数”に対して不等式。≦”＜c＋1を満たす整数。が常にただ一っ存在する。. 証明まず，上記のアルキメデスの定理よりη＞”を満たす自然数ηが存在することがわかる。このとき，集合λ：｛m；”≦m≦η，mは整数｝は有限集合であるのでので，r（有限個の）数の組においては，最小数および最大数が存在する。」より，その最小数iが存在する。 ”＝jならば1が求められる整数である。”≠1ならば，1の最小性より，1−1＜”＜1である. から1−1が求める整数となる。. 口. 定義3．1．2任意の実数zに対して，不等式。≦”＜c＋1を満たす整数。は”を超えない最大の整数であって，これをC＝［π1により表す。この11をガウス記号という。定義からただちに，”一1＜［”1≦”がわかる。また，. 定義3．1．36oを整数，わ1，…，わ。を自然数とするとき，. 1. α：わ・十 1. （311）. あ1＋わ・十・．．1 ㌃の形の数αを有限正則連分数という。また，これを［60，わ1，…，ろ、1と書く。また，わゴ（ゴ；自然数）が自然数でない場合，この連分数表示が意味を持っとき，［あO，6ユ，62，…，6冊1. で表示され，. 1 ［6・，わ1，ろ・，＿，ろ几，6帆斗ユ1；1わ。，6。，わ。，一．．，わ、十一1. 6帆十1.

(32) 31. 3．自然対数の底eの無理数性. が成立する。上の式を導入すれば，式（311．1）は次のような形に表される。. α＝［ろ・，61，…，わm1. （3．1．2）. 次に，有理数が有限正則連分数であることをユ』グリッドの互除法（証明等は柳原弘志著『代数学への小径』ρ26を参照）を用いて述べる。定理3．1．4有理数は有限連分数で表される。. 証明今回は正の有理数での場合を述べる。まず有理数αを，自然数ρ，qを用いて表すと，α＝ρ／qで表される。ここで，除法の定理より，ρは. ρ＝う。q＋c1（bo；非負整数，O≦c1＜わ。）. と表すことができる。次に，c1＞Oのとき，先ほどと同様に除法の定理を用いると， q＝6ユ。ユ十。2（わユ；自然数，O≦c2＜c1）. と表すことができる。今度は，C1を剰余定理を用いて表すと， c1＝わ2c2＋c3（わ2；自然数，O≦c3＜c2）. で表すことができる。以降，同様の作業を行うと， C几＿1：6れC帆（6冊，C。，C卜1は共に自然数）. という式がでてくる。以上の式を書き換えると次のように表される。 ρ. 1. 一＝60＋一 q q／・ユ q 1 一＝6！＋. ・。・ユ／・。. C1 ユ一＝わ2＋. ・。・。／・。. Cη＿1. 一；6肌. C几. 以上の式をまとめると，以下のようになる。. 1 α；わO＋. 1 6ユ十 6・十・1．1 ＋π. これは，有限正則連分数に他ならないため，題意を満たす。. 口.

(33) 3．自然対数の底eの無理数性. 32. 次に，有理数が二通りに有理連分数表示される場合を考察する。定理3．1．5有理数αが二通りの連分数に表示されるとき，すなわち， α＝1わ。，b。，…，6m1＝［略，わ㌔，…，う㍍11（m≦m’）. （3．1．3）. ならば，. m二m’，ト6力（ゴー0，1，2，…コm）. （3・1・4）. であるか，さもなければ，次式を満たす。. m’一m＋1，616ゴ（卜O，1，2，…，m−1）一㍍一うm−1一㍍。・一！（3・1・5）証明mに関する帰納法を用いて証明する。 m＝0の場合，以下の2つの場合が考えられる。［・1−／l：ll、壬，，、、、（、≧1，わ、≧、）. 仮に，［わ。ト酩，外，…，6㍍。1 （η≧1，軌≧1）ならばm’≧2のとき，. ！. 6。：略十＝わも十θ（0＜θ＜1）叶・、．1. （316）. ＋r m よって，これは60が整数であることに矛盾するため，. 16．1＝固，う。＝6♂，m＝m’＝0 1 が成立するためヨ（3・1・4）が成立する川’＝！の場合，6・二6＋河より，わ｛＝1が導かれわ。＝略十1，すなわち（3．L5）が成立する。. 次にm＝1の場合，m＝Oのときと同様に以下の条件を考える。 Ml一｛1：llわ，，，わ、］（”≧1）. 仮に，［bo，611＝閉ならば，m・・0の場合より（3，1−4）または（？？）が成立する。［わ。，わ11＝［略，略，…，わ㍍。1（m’≧1）の場合，. 1 1 う。十一＝6合十. わ1 ・け・．1・十r ㎜.

(34) 3．自然対数の底eの無理数性. 33. ゆえに，上式は以下のように書き換えられる。 6。十θ。＝わ合十θ。（O＜θ。≦1，O＜θ・≦1）ここで，θ1＝θ2のとき，わ。：略が成立する。また，θ1≠θ2のとき，θ1＜1ならば，. Z∋ろ。一眺＝θ2一θユ￠Z が成立するため矛盾である。θユニ1ならば，θ2＜1となるため，矛盾となる。ゆえに，わ。：略となる。従って，［・1一｛1111、ら，，、、、. を得，m＝Oの場合より，わ1＝叫またはm’＝2，61二b｛＿1，わら＝1が成立し，（3．1，4）または（3．1．5）が成立する。. 次に，m＝1（1≧1）の場合，命題が成り立つと仮定する。つまり，m＝m’＝Jならば，［6。，…，6m1：跳，…，6㍍’1. 6ゴ＝6二（1≦ゴ≦王）. あるいは，m’二m＋1＝五十1ならば， 6二＝bゴ（1≦ゴ≦王）わ1＝わ三一1. 6；。。＝1. が成立する。m一十1の場合，［帆…ル1一｛1：ll、、，，、、、. ならば（3．1．4），（3，1．5）が成立することを示す。エろ。，わユ，．．．，6ミ，6；十1］＝［6ら］ならば，m＝Oの場. 合により矛盾である。よって， r60，61，…，6ミ，わ！十11＝［％，略，…，わ㍍11である。ゆえに，［6。，うユ，…，6；。ユ1＝［6合，ら三デ・・，6㍍ll. ここで，上式は以下のようになる。 16王，…，6｛，6三十ユ1；［6｛，…，仏・1. ここで，m＝1の場合の仮定より，m’＝1＋1，6ゴ＝6二（O≦ゴ≦1＋1）。よって， 6；十1：・わ㍍1.

(35) 34. 3．自然対数の底εの無理数性. もしくは，m＝1の場合の仮定より，m∫＝1，6ゴ＝わ二（0≦ゴ≦1）。よって，わ1＋ユ＝6mL1−1 あi。。＝1. が証明できる。. 定義3．1．6”o，…，”帆の多項式片（”o，…，”帆），Q、（”o，…，”帆）をつぎのように定める。. P−2＝0，P一ユ＝1，ρ一2＝1，Q一ユ＝0 片（”。，1．．，”れ）＝”＾一1（”。，＿，・九一。）十片一・（・・，＿，”。一・）（η≧O） Qれ（π。，。一。，”れ）＝叫Q九一。（π。，＿，π帆一。）十Q。一・（・。，＿，・れ一・）（η≧0）. またこのとき，以下のことも成立する。. Qη＞Qトユ〉…＞Q。≧！. （3．1−7）. 例としては，片（・。）＝”。，Q。（・。）＝1，P・（”・，”・）＝榊・十1，ρ・（・・，”1）＝”・. 命題3．1．76oを整数，わ1，．．1，6れを自然数とすれば，次の式が存在する。. 片（6。，＿，6。）. 16。，，6．1＝ Qη（6。，．一．，わ几）. （318）. さらに，片。。（・。，＿，”れ。。）Q帆（”。，、一一，・几）一片（・。，＿，π。）Q几。1（・・，・。・，・η。・）二（一1）n（3・L9）. 片（わ。，＿，6冊）. が成立し，. は既約分数である。. ρ几（わ。，．．、，6帆）. 証明まず，（3．1．8）式が成立することを定義（3．！．6）を使って帰納法を用いて証明する。. η＝Oのとき定義（3．1，6）の仮定より，片＝6o，Q1二1となる。ゆえに，. 昂 QO. 一：6。：［6．l よって，η＝Oのとき（3．1，8）式が成立する。. 続いてη＝1のとき，定義（3．1．6）の仮定より，P1＝わ。61＋1，ρ1二わ1となる。ゆえに，. p1 6061＋1 ！＝6。十一＝［b。，6．l Q1 61 わ1. 一＝.

(36) 3．自然対数の底εの無理数性. 35. よって，η：1のとき（3．1．8）式が成立する。. η＝ん（ん≧1）のとき（3．L8）式が成立すると仮定する。ここで，η二た十1のとき，η＝んが. 成立しているので，以下のように計算できる。. 1 ［う。，6。，＿，軌，わる。。1＝16。，61，…，わ為十一1. 6免十1. （6。十1／6為十。）Pた一。十片一。（6冶十1／わ冶一。）軌一。十軌一。（6たpト。十P馬一。）十1／6島十。片一。（6ゐ軌一。十Qゐ一。）十1／6為十。Q。一。. 片十！／6糾1片一. Qn＋1／6糾1Q卜1 6た斗1片十片＿1 6k＋1Qn＋Q几＿1. 汽十1 軌十1 よって，η＝ん十1のとき，（3．1．8）が成立する。. ゆえに，全ての自然数ηにおいて（3．1．8）が成り立つ。. 次に（3，119）式が成立することを示す。片。。（・。，．．．，・仲。）Q、（・。1．．．，・れ）一片（・。，一．．，・、）Q、。。（・。，．．．，・れ。。）. ＝｛”。。。片（”。，＿，”。）十片一。（”。，一。一，”九一。）｝Qη（”。，＿，・几）一片（”。，。、．，・れ）｛・。。工ρれ（”。，。。一，・れ）十Q帆一ユ（・。ゾ＿，”卜。）｝二耳一。（”。，＿，・。一。）Qれ（”。，。。一，・。）一片（”。，。．一，・れ）Q。一ユ（”。ゾ＿，”れ一。）. ＝（一1）耳（”。，＿，”。）Q九一ユ（”。，＿，”。一。）一片一。（”。，。．．，”。一ユ）ρ。（工。，＿，”。）＝（一！）叩。（”。，”。）Q。（”。）一片（”。）Q。（”。，”ユ）. ：（一1）几｛（榊・十1）・1一・。×”1｝＝（一1）肌. 引6。，＿6。）. 次に，が既約分数でないとき， ρη（6。，＿，う。） ∫㌃（6o，。一一，6れ）＝αう（α＞1，α，6∈Z）. Qn（わ。，。．。，6几）＝αc （α＞1，α，6∈Z）. とおける。これを（3．1．9）式に当てはめると，（一1）n＝片。。（6。，＿，わ仲。）×α卜αろ×Qη十。（う。，＿，6η十王）＝α｛・片十。（6。，＿，6。。。）一わ軌。。（60，＿，6れ十。）｝.