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評価=授業の成績 +レポート(

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Academic year: 2022

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(1)

評価=授業の成績

+レポート(12/21に配布)

ただし、出席は可・不可かのボーダー には考慮します。なお、眠い状態で

演習に臨むのはおすすめしません。

眠い人は寝ましょう。http://www.kuri

ms.kyoto-u.ac.jp/~tshun/2016a.html

から演習への要望等が送れます。

(2)

今日は、ジョルダン標準形

(ちょっと高級な P -1 AP)と

少しだけガロアの話をします

(3)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

P-1AP を対角行列にする。

(4)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

P-1AP を対角行列にする。

何故そんなことをしたいのか?

理由はたくさんあるが、とりあえず An を求めたい!

(5)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

P-1AP を対角行列にする。

何故そんなことをしたいのか?

理由はたくさんあるが、とりあえず An を求めたい!

(6)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

P-1AP を対角行列にする。

何故そんなことをしたいのか?

理由はたくさんあるが、とりあえず An を求めたい!

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=3an+1-2an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

(7)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

P-1AP を対角行列にする。

何故そんなことをしたいのか?

理由はたくさんあるが、とりあえず An を求めたい!

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=3an+1-2an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

(8)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

P-1AP を対角行列にする。

何故そんなことをしたいのか?

理由はたくさんあるが、とりあえず An を求めたい!

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=3an+1-2an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

(9)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

P-1AP を対角行列にする。

何故そんなことをしたいのか?

理由はたくさんあるが、とりあえず An を求めたい!

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=3an+1-2an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

(10)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

P-1AP を対角行列にする。

何故そんなことをしたいのか?

理由はたくさんあるが、とりあえず An を求めたい!

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=3an+1-2an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

(11)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで

いつでもできるとは限らない。 P-1AP を対角行列にする。

(12)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで いつでもできるとは限らない。

(例) について、もしも となったとすると:

P-1AP を対角行列にする。

(13)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで いつでもできるとは限らない。

(例) について、もしも となったとすると:

P-1AP を対角行列にする。

(14)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで いつでもできるとは限らない。

(例) について、もしも となったとすると:

矛盾!

P-1AP を対角行列にする。

(15)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで いつでもできるとは限らない。

(例) について、もしも となったとすると:

矛盾!

いつでもジョルダン標準形にはできる : {対角行列}⊆{ジョルダン標準形}

今の場合、 がジョルダン標準形になっている。

P-1AP を対角行列にする。

(16)

行列の対角化=A を n×n 行列とするとき、うまく可逆行列 P を選んで いつでもできるとは限らない。

(例) について、もしも となったとすると:

矛盾!

いつでもジョルダン標準形にはできる : {対角行列}⊆{ジョルダン標準形}

今の場合、 がジョルダン標準形になっている。

固有値 α のジョルダン細胞:

P-1AP を対角行列にする。

(17)

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

固有値 α のジョルダン細胞:

(18)

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

(例) 2×2の場合のジョルダン標準形の種類:

固有値 α のジョルダン細胞:

(19)

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

(例) 2×2の場合のジョルダン標準形の種類:

固有値 α のジョルダン細胞:

固有値が1つの場合

(20)

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

(例) 2×2の場合のジョルダン標準形の種類:

固有値 α のジョルダン細胞:

3×3の場合のジョルダン標準形の種類: 固有値が1つの場合

(21)

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

(例) 2×2の場合のジョルダン標準形の種類:

ジョルダン細胞のべき:

3×3の場合のジョルダン標準形の種類: 固有値が1つの場合

(22)

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

(例) 2×2の場合のジョルダン標準形の種類:

ジョルダン細胞のべき:

3×3の場合のジョルダン標準形の種類: 固有値が1つの場合

これでどんな A についても An を求めることができる!

(23)

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=4an+1-4an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

(24)

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=4an+1-4an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

--- (★)

(25)

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=4an+1-4an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

--- (★)

(26)

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=4an+1-4an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

--- (★)

(27)

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=4an+1-4an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

--- (★)

(28)

受験問題も解けるようになる!

(例) a0=2, a1=7, an+2=4an+1-4an (n≧0) の数列の一般項 an を求めよ。

定理 : A を n×n 複素行列とする。このとき、ある可逆行列が存在して

P-1AP は、ジョルダン細胞を対角に並べた行列(ジョルダン標準形)になる

(別解) (★) までは同じ。A の 固有値は 2 のみであるから、

an=p2n+q2n (Aが対角化できる場合) または an=p2n+qn2n-1 (真のジョルダン 標準形の場合)。n=0,1 の場合を考えると、後者で p=2, q=3 が分かる。(終)

--- (★)

(29)

カミーユ・ジョルダン(1838-1922)は、「ジョルダン標準形」「ジョルダン閉曲線定理」

などに名を残す数学者であるが、「ガロア理論 (Galois theory)」の教科書を 初めて著したことでも有名である (1870年『置換と代数方程式論』)。

(30)

カミーユ・ジョルダン(1838-1922)は、「ジョルダン標準形」「ジョルダン閉曲線定理」

などに名を残す数学者であるが、「ガロア理論 (Galois theory)」の教科書を 初めて著したことでも有名である (1870年『置換と代数方程式論』)。

(31)

カミーユ・ジョルダン(1838-1922)は、「ジョルダン標準形」「ジョルダン閉曲線定理」

などに名を残す数学者であるが、「ガロア理論 (Galois theory)」の教科書を 初めて著したことでも有名である (1870年『置換と代数方程式論』)。

(32)

カミーユ・ジョルダン(1838-1922)は、「ジョルダン標準形」「ジョルダン閉曲線定理」

などに名を残す数学者であるが、「ガロア理論 (Galois theory)」の教科書を 初めて著したことでも有名である (1870年『置換と代数方程式論』)。

too young to die!

(33)

カミーユ・ジョルダン(1838-1922)は、「ジョルダン標準形」「ジョルダン閉曲線定理」

などに名を残す数学者であるが、「ガロア理論 (Galois theory)」の教科書を 初めて著したことでも有名である (1870年『置換と代数方程式論』)。

too young to die!

ガロアは「5次方程式の解の公式は存在しない」

ことを証明し、その過程で今日「群 (group)」や

「体 (field)」と呼ばれるの概念に到達した。これは

現代代数学の嚆矢の1つと考えられている。

(34)

カミーユ・ジョルダン(1838-1922)は、「ジョルダン標準形」「ジョルダン閉曲線定理」

などに名を残す数学者であるが、「ガロア理論 (Galois theory)」の教科書を 初めて著したことでも有名である (1870年『置換と代数方程式論』)。

too young to die!

ガロアは「5次方程式の解の公式は存在しない」

ことを証明し、その過程で今日「群 (group)」や

「体 (field)」と呼ばれるの概念に到達した。これは

現代代数学の嚆矢の1つと考えられている。

ガロアの人生に容易なことは何もなかった。家庭 に不幸が訪れ、受験に2度失敗し、論文は紛失 され、政治活動にのめりこんで逮捕・投獄を繰り返した。

死を予感した決闘の前夜、ガロアは手紙を走り書きした。親友のシュヴァリエ に託された着想は、ジョルダンの著作によって誰でも読める財産となった。

(35)

カミーユ・ジョルダン(1838-1922)は、「ジョルダン標準形」「ジョルダン閉曲線定理」

などに名を残す数学者であるが、「ガロア理論 (Galois theory)」の教科書を 初めて著したことでも有名である (1870年『置換と代数方程式論』)。

too young to die!

ガロアは「5次方程式の解の公式は存在しない」

ことを証明し、その過程で今日「群 (group)」や

「体 (field)」と呼ばれるの概念に到達した。これは

現代代数学の嚆矢の1つと考えられている。

ガロアの人生に容易なことは何もなかった。家庭 に不幸が訪れ、受験に2度失敗し、論文は紛失 され、政治活動にのめりこんで逮捕・投獄を繰り返した。

死を予感した決闘の前夜、ガロアは手紙を走り書きした。親友のシュヴァリエ に託された着想は、ジョルダンの著作によって誰でも読める財産となった。

ガロアはフランス革命の混乱に倒れたが、数学では最高の革命児である。

参照

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