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3 再帰的関数

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(1)

コンピュータサイエンス基礎・講義資料( 2017 年度)

照井一成

京都大学数理解析研究所 terui@kurims.kyoto-u.ac.jp

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/terui

1 簡単な集合論の準備

1.1 集合

集合とは対象の集まりのことである。典型的な集合には以下のようなものがある。

B = {true,false} (ブール値の集合) N = {0,1,2,· · · } (自然数の集合) R = {r :rは実数} (実数の集合)

0も自然数とみなすことに注意。これはコンピュータサイエンスの慣習である。

「対象aは集合Aの要素である」ことを a∈A

と書く。「aAの元である」、「aAに属する」等の言い方もする。その否定は「aA の要素ではない」であり

a̸∈A と書く。たとえば

0N, 0R, 0̸∈B である。

対象a1, . . . , akからなる集合を

{a1, . . . , ak}

と書く。もちろん、ai ∈ {a1, . . . , ak}が各1≤i≤kについて成り立つ。

要素を1つも含まない集合を空集合といい、と書く。どんな対象aについてもa ̸∈ ∅ である。

集合自体も対象と見なすことができる。それゆえ{B,N}も集合である。このように「集 合の集合」や「集合の集合の集合」等をいくらでも考えていくことができる。

φ(x)を自然数に関する性質とするとき、φ(x)を満たす自然数全ての集合(φ(x)の外 延)を

{x∈N:φ(x)}

(2)

と書く(人によっては{x∈N|φ(x)}とも書く。あるいは「N」が明らかなときには省 略して{x:φ(x)}と書いてしまうこともある)。たとえば

{x∈N:xは素数である} は正の素数全体の集合を表す。

一般に、集合A上の性質φ(x)が与えらえたとき、Aの中でφ(x)を満たす要素全体の 集合

{x∈A:φ(x)}

が存在する。これを包括原理という。当然ながら、どんなa∈Aについても φ(a) ⇐⇒ a∈ {x∈A:φ(x)}

が成り立つ。

上の記法を用いるときには、「x∈N」や「x∈A」のように対象の範囲を制限するのが 重要である。もしも対象の範囲を制限しなくてよいのであれば、集合

R={x:x̸∈x}

を作ることができるだろう。これは「自分自身を要素として含まない集合」全体の集まり を表す。すると

R∈R ⇐⇒ R ∈ {x:x̸∈x} ⇐⇒ R̸∈R が成り立ってしまう。これは矛盾である(ラッセルのパラドックス)。

全く同じ要素からなる2つの集合は等しい。すなわち

A=B ⇐⇒ どんなxについてもx∈Ax∈Bは同値である。

これを外延性の原理という。

「集合Aは集合Bの部分集合である」ことをA⊆B と書く(人によってはA⊂Bと も書く)。すなわち

A⊆B ⇐⇒ どんなxについてもx∈Aならばx∈Bである。

当然のことながら

A=B ⇐⇒ A⊆B かつ B⊆A が成り立つ。

外延性の原理により、集合はその要素によって一意に定まる。それゆえ1つの集合Aを 定めるには、任意の要素xについて「x∈A」が成り立つための必要十分条件を与えれば よい。

たとえば、集合ABの交わり、和、差はそれぞれA∩BA∪BA−Bと書かれ るが、これらは次のように定めることができる。

a∈A∩B ⇐⇒ a∈A かつ a∈B a∈A∪B ⇐⇒ a∈A またはa∈B a∈A−B ⇐⇒ a∈A かつ a̸∈B.

(3)

操作は次の性質を満たす。

C⊆A∩B ⇐⇒ C ⊆A かつ C⊆B A∪B ⊆C ⇐⇒ A⊆C かつ B⊆C

つまり半順序に関して、A∩BA∪BABの下限と上限を与える。

集合Aの部分集合全体の集まりを巾集合といい、℘(A)と書く。つまり a∈℘(A) ⇐⇒ a⊆A.

たとえばA={a, b}のとき

℘(A) ={∅,{a},{b}, A} である。空集合およびA自体も℘(A)に属することに注意。

集合ABの直積を以下で定める。

A×B = {(a, b) :a∈A, b∈B}.

ここで(a, b)はabの組を表す。同様にして、A, B, Cの直積はA×B×C ={(a, b, c) :a∈ A, b∈B, c∈C}である。一般にn個の集合A1, . . . , Anについてその直積A1× · · · ×An を考えることができる。

同じ集合をn回掛け合わせたもの、すなわちA| × · · · ×{z A}

n

のことをAnと書く。たとえば

A0 = {()}

A1 = {(a) :a∈A}

A2 = A×A={(a, b) :a, b∈A}

A3 = A×A×A={(a, b, c) :a, b, c∈A}

等々である。ここで()は空列(0個の要素の組)を表す。たとえばRを実直線のことだと 思えば、実平面の点はR2の要素、3次元)実空間の点はR3の要素で表すことができる。

この定義により、任意のm, n∈Nについて

Am+n = Am×An

と見なすことができる。一般に=は両辺が同型であること、すなわち同じ構造を持ち、同 一視できることを表す記号である。ここでは何ら構造を持たない単なる集合を考えている ので、=は単に同等であること(後述)を表す。

1.2 性質・関係・関数

すでに述べたように「素数である」という性質は集合{x∈N:xは素数である}と同一 視できる。これはNの部分集合である。一般に、集合Aの部分集合P ⊆AのことをA上 の性質という。

同様に「nmの約数である」という関係は集合{(n, m)N2:nmの約数である} で表すことができる。これはN2の部分集合である。一般に集合A, Bが与えられたとき、

部分集合R⊆A×Bのことを、A, B上の2項関係(あるいは単に関係)という。

(4)

これはさらに3項関係、4項関係等へと一般化できる。1項関係とは性質のことに他な らない。

集合A, Bが与えらえれたとき、AからBへの関数とは各a∈Aに何らかのb∈Bを割 り当てる対応のことである。fAからBへの関数のとき、

f :A→B

と書く。また、Aのことをfの定義域といい、Bのことを値域という。たとえばm, n∈N についてf(m) =m2とおき、g(m, n) =mnの最小公倍数」とすると、

f :NN, g:N2N となる。前者を1項関数、後者を2項関数という。

関数は組み合わせることができる。関数f :A→B,g:B →Cが与えられらたとき、fgの合成をg◦f と書き、

g◦f(x) := g(f(x)) :A→C と定める(:=は左辺が右辺で定義されていることを表す記号)。

AからB への関数全体の集合をA B またはBA と書く。つまりf : A Bf ∈A→Bf ∈BAは同じことを表す。

関数f :A→Bは2項関係

{(x, y) :f(x) =y} ⊆ A×B

と同一視できる。これをfのグラフという。一般に2項関係R ⊆A×Bが関数のグラフ となるための必要十分条件は以下の通りである。

任意のx∈Aについて(x, y)∈Rを満たすy∈Bがちょうど1つ存在する。

このように、1項関数とは2項関係の特別な場合であると考えることができるので、

A→B ℘(A×B) が成り立つものと思ってよい。

関数f :A→Bについては次の定義が重要である。

fは単射である ⇐⇒ どんなx, y∈Aについても、f(x) =f(y)ならばx=y.

fは全射である ⇐⇒ どんなy ∈Bについても、f(x) =yを満たすx∈Aが存在する. 単射かつ全射な関数を全単射という。次のことが成り立つ(証明には選択公理を使う)。

命題1.1

A, A, Bを集合とする(ただし=)。

AからBへの単射が存在する ⇐⇒ BからAへの全射が存在する。

AからBへの全単射が存在する ⇐⇒ BからAへの全単射が存在する。

(5)

では単射(あるいは全射)と全単射の関係はどうなっているだろうか?次のカントール・

ベルンシュタインの定理が答えを与えてくれる。

定理1.2

AからBへの単射とBからAへの単射があれば、AからBへの全単射が存在する。

命題1.1に鑑みれば、上の定理は「AからBへの単射と全射があれば、AからBへの 全単射が存在する」と言っても同じことである。

集合A, Bの間に全単射があるとき、ABは同等であるといい、ここではA∼=Bと 書く。

命題1.3

=は同値関係である。すなわちA, B, Cを集合とするとき、以下が成り立つ。

1. A∼=A(反射律)

2. A∼=BならばB =A(対称律)

3. A∼=BかつB =CならばA∼=C(推移律)

重要な同等性を2つ挙げておく。集合Aとその部分集合P が与えられたとき、関数 χP :A→Bを次のように定める。

χP(a) := true (a∈P) := false (a̸∈P) これをP の特性関数という。

命題1.4

Aを集合とする。部分集合P ∈℘(A)に対し特性関数χP ∈A→Bを割り当てる対応 は全単射であり、同等性

℘(A) = A→B を定める。

次に2項関数f :A×B Cを考える。これは次のようにすれば1項関数に直して考 えることができる。要素a∈Aが与えられたとき、関数fa:B→C

fa(x) := f(a, x)

と定める。このようにしてa∈Aに対してfa ∈B Cを割り当てる対応をf のカリー 化といいcurry(f) :A→(B→C)と表す。

(6)

命題1.5

A, B, Cを集合とする。関数f :A×B →Cに対してcurry(f) :A→(B C)を割 り当てる対応は全単射であり、同等性

A×B→C = A→(B →C) を定める。

1.3 可算無限集合

次に、無限集合の大きさについて考える。Nと同等な集合Aのことを可算無限集合とい う。これはつまり全単射f :N→Aが存在するということなので、f(0) =a0, f(1) =a1, f(2) =a2, . . .とおけば、Aの要素は

a0, a1, a2, a3, . . .

というように余すことなく列挙できる。“算え上げられる”から可算というのである。

有限集合と可算無限集合を合わせて高々可算な集合という(「可算」という語は曖昧で、

人によって「可算無限」のことも「高々可算」のことも表す)。

命題1.6

以下の集合は可算無限である。

1. N,N2,N3, . . .

2. 自然数の有限列の集合N :=N0N1N2N3∪ · · · 3. 整数の集合Z

4. 有理数の集合Q

一方で可算でない無限集合(非可算集合)も存在する。たとえば:

命題1.7

℘(N)は非可算集合である。

命題1.8

以下の集合は℘(N)と同等である。

1. NB 2. NN

3. 自然数の無限列の集合Nω 4. 実数の集合R

(7)

一般に、集合Aよりも℘(A)のほうが必ず大きくなる。よって N, ℘(N), ℘(℘(N)), ℘(℘(℘(N))), . . .

という風にしていくらでも大きな無限集合を作り出していくことができる。

数の集合について考えてみると、ZQNと同等であり、Rや無理数の集合RQ それらより真に大きい。ではその中間の大きさを持つ集合は存在するだろうか?すなわち

N ⊆X R

なる集合XでNともRとも同等でないようなものは存在するだろうか?「存在しない」と いうのが連続体仮説である。

コンピュータサイエンスで決定的に重要なのは次の事実である。今、英数字をASCII コードと同一視すれば、どんなプログラムも自然数の有限列と同一視することができる。

すなわちどんなプログラミング言語を考えても、プログラム全体の集合はNの部分集合 と同一視できるので、高々可算である。一方でNNは非可算集合であり、Nより真に 大きい。よって

プログラムでは決して表せない(計算できない)関数f :NNが存在する ことになる。そうすると気になるのは、具体的にいってどんな関数がプログラムで計算で きて、どんな関数が計算できないのかである。この問いがコンピュータサイエンスの出発 点であったといってよい。

練習問題 1.9

1. Nが可算無限集合であることを示せ。(ヒント:n番目の素数をpnと書くことにし、

次のようにコード化関数を定義する。

code : NN

code(a1, . . . , an) := pa11+1· · ·pann+11 この関数が全単射となることを示せ。)

2. NNNω℘(N)と同等であることを示せ。

2 原始再帰的関数

2.1

プログラムのエラーを防ぐには、型(タイプ)を意識するのが重要である。一般に、表 現Mが型Aを持つことを

M :A

と書く。型AによりMがどんな対象を表すのか——それは自然数なのか?関数なのか?

関数だとしたらどんな定義域と値域を持つのか?——を表すのである。プログラムに入力

(8)

値を与えたり、複数のプログラムを合成したりする際に型を意識することにより、多くの 型エラーをプログラム実行前に検出することができる。

型の中で最も基本的なのはデータ型である。これは入力値、出力値などの型を表すもの であり、たとえば整数型、文字列型、不動小数点型、(種々の)レコード型等が挙げられ る。本講義では、当面自然数型Nとブール型Bのみを取り扱う。これらは帰納的データ 型と呼ばれるものの典型例である。それぞれ集合NBに対応するが、自然数やブール 値そのものではなく、それらを表す記号表現を分類するための手段であることに注意して ほしい。

自然数型N. さて、自然数の集合Nについて考える。この集合は、次のように定義する ことができる。

(i) 0は自然数である。

(ii) xが自然数ならばx+ 1も自然数である。

(iii) 以上により構成されるもののみが自然数である。

この帰納的定義に沿って自然数を表現しようというのが、自然数型Nの意図である。(i) と(ii)に対応して、自然数型Nには2つの構成子が備わっている。

0:N, s:NN.

ただしNNは、自然数を受け取ったら自然数を返すプログラムの型であり、(Nから Nへの)関数型といわれる。sは与えられた数に1を加える操作に相当し、後者関数、後 続者関数などと呼ばれる。

(iii)により、0とsさえあればどんな自然数も記述することができる。

0, s 0, s(s 0), s(s(s 0)), . . .

これはつまり十進法ではなく、一進法を用いて自然数を表記するということである。とは いえ数が大きくなると見にくくなるので、

0, 1, 2, 3, . . .

という風に十進法も用いる。これらは省略表現に過ぎないことに注意。

ブール型B. ブール値の集合BNと同様、次のように定義することができる。

(i) trueはブール値である。

(ii) falseはブール値である。

(iii) 以上の2つのみがブール値である。

この集合を表現するために、ブール型Bには次の2つの構成子が備わっている。

true:B, false:B.

このように一定数の構成子により定義されるデータ型のことを帰納的データ型という。

(9)

一階型. データ型やデータ上の関数型を合わせて一階型という。厳密な定義は以下の通 りである。

(i) データ型Dは一階型である。

(ii) Dがデータ型でAが一階型ならば(D⇒A) は一階型である。

(iii) 以上により構成されるもののみが一階型である。

NBの定義と同様、この定義もまた帰納的であることに注意。(iii)は大切な条件である が、決まりきった形をしているので今後は省略する。

上の帰納的定義は、次のBNF文法を用いて簡潔に表すことができる。

D ::= N |B

A ::= D |(D⇒A).

この文法により導出できる表現Aが一階型である。今後カッコは省略して、(D1(D2 A))のかわりにD1 ⇒D2 ⇒Aと書く。すると一階型の一般形は

D1 ⇒ · · ·Dn⇒D0

となる(ただしD0, . . . , Dnはデータ型)。の左側は常にデータ型である点に注意。一 階型と呼ばれるのは、この制限のためである。ここで左側に関数型が現れてもよいことに すると(NB)Nのような二階型が得られる。同様にすれば、三階型、四階型、より 一般に高階型が得られる。

例として一階型N(NN)を考えよう。これは「自然数から『自然数上の関数』へ の関数型」を表す。つまり集合N(N N)に対応する型であるが、命題1.5により同 型性

N(NN) = N×NN

が成り立つ。それゆえM :NNNなるプログラムMは、「2つの自然数を受け取っ たら1つの自然数を返す関数」を表すものと思ってよい。

2.2 原始再帰的プログラム

次に簡単な一階の関数型プログラミング言語を考える。関数型言語においては、プログ ラミングとは関数を定義することに他ならない。以下の素材を用いて関数を定義していく ことにする。

構成子:0,s,true,false

識別子:f0,f1,f2, . . .

変数:x0,x1,x2, . . .

識別子とは、関数につける名前のことである。ただしfiというのは名前として無味乾燥す ぎるので、実際にはadd,zeroなどのわかりやすい記号も用いる。変数についても同様で、

xiだけでなくy,z,y,y′′なども臨機応変に用いる。

(10)

簡単なプログラムの例. 一般論を進める前に、まずは具体例をいくつか挙げておく。

id : D⇒D

idx = x

proj1 : D1⇒D2⇒D1

proj1 x y = x

proj2 : D1⇒D2⇒D2

proj2 x y = y

add2 : NN

add2x = s(sx) ctrue : D⇒B ctruex = true

add4 : NN

add4x = add2(add2x)

左上は、最も基本的な恒等関数である。これにはidという名前(識別子)をつけてあ る。D⇒Dという形をみれば、idは型Dの入力を受け取ったら同じ型の出力を返す関数 であることがわかる。2行目はカッコを用いてid(x) =xと書いたほうがわかりやすいか もしれないが、ここではなるべくカッコを省略して書くことにする。

次にproj1,proj2は射影関数である。型D1 ⇒D2 ⇒Diが示す通り、どちらも2つの引 数をとる。D1D2は同じ型であってもよい。

右上は、与えられた入力に2を足す関数である。sを使っているので、引数xの型はN でなければならないし、全体s(sx)の型もNでなければならない。右中は、引数の値に関 わらずtrueを返す定数関数である。このように、プログラム中で用いられない引数があっ てもよい。

最後に右下はadd2を2つ合成してつくった人為的なプログラムである。add2の型は NNなので、全体の型もNNとなる。このように、すでに定義した関数を用いて どんどん新しい関数をつくっていくことができる。

関数は帰納的に定義することもできる。

add : NNN

add 0x = x

add(sy)x = s(addy x)

and : BBB

and truex = x and falsex = false

慣れるまで読みにくいかもしれないが、add 0 xはadd(0, x)のことであり、and true x はand(true, x)のことである。

NBも2つの構成子を持つので、2つの場合に分けて定義を行っている。たとえば addの場合は、第一引数が0の場合と(sy)の場合に分けて関数定義を行っている。ところ で3行目ではadd(sy)xの値を定めるのにaddy xの値を用いている。ある意味自己言及 的だが、第一引数の値が減っているため循環論には陥らない。このように帰納的データ型 の構造に沿って関数を定めることを、関数の帰納的定義、あるいは原始再帰法、原始帰納 法などという。

(11)

なおaddが足し算を表すことは、次のように確かめることができる。

add 2 1 = add(s(s 0)) (s 0)

= s(add(s 0) (s 0))

= s(s(add 0(s 0)))

= s(s(s 0)) = 3.

式の定義. ここから一般論に移る。まず、式(あるいは項)を次のBNF文法により定 める。

M, N ::= x |c |f |(M N).

ただしxは変数、fは識別子、cは構成子(ここでは0,s,true,falseのどれか)を表す。こ の文法により、たとえば

((add(s(sx))) (s 0))

が式であることがわかる。不要なカッコは省略し、add(s(sx)) (sy)のようにも書く。一 般に、複数の式をM N1 · · · Nnと並べて書いたら、(左に寄せてカッコをつけて)

(· · ·((M N1)N2)· · ·Nn) のことを表す。

式の型. 次に、各式に型を割り当てる。上のBNF文法によれば、式には4種類あること がわかるので、それぞれについて型の割り当て方を考えればよい。構成子の型はすでに定 まっている。

0:N, s:NN, true:B, false:B.

変数の型は、各変数を用いるときに宣言する。

x:A の形の表現、あるいはその有限列

x1:A1, . . . , xn:Anx1, . . . , xnは互いに異なる変数)

のことを変数の型宣言(型環境)という。型宣言をΓや∆を用いて表す。ここでは一階 のプログラムのみを考えるので、変数の型はすべてデータ型であるとする。つまり上のAA1, . . . , Anは全部データ型(ここではNBのどちらか)である。

識別子の型については後述する。

最後にM Nの形の式(正確には(M N))には次の規則を用いて型を割り当てる。

M :A⇒B N :A M N :B

この規則は「M : A BN : Aが成り立つならば、M N : Bが成り立つ」ことを表 す。たとえば型宣言x : N, y : Bのもとで次のような導出ができる(add2 : N N

(12)

proj1:NBNを仮定する)。

add2:NN

proj1 :NBN x:N

proj1x:BN y :B proj1x y:N

add2(proj1x y) :N

つまり型宣言x:N, y:Bのもとでadd2(proj1x y) :Nが成り立つ。このように、型宣言 ΓのもとでM :Aが成り立つとき

Γ▷M :A と書く。

大事な約束として、今後は型を持つ式のみを考えることにする。つまり(s true)や(0 s) のような型エラーを含む式は考えない。

関数の定義法. すでに定義した関数から新しい関数を定義するための方法として、次の3 つを考える。

1. 合成による定義

f : D1⇒ · · ·Dn⇒D0

f x1 · · · xn = M ただし式M

x1 :D1, . . . , xn:DnM :D0

を満たすものとする。これをfの定義といい、M をfの定義式という。

Mの中では、構成子や変数x1, . . . , xnに加え、すでに定義済みのf以外の識別子を用い ることができる。fの型f :D1 ⇒ · · ·Dn⇒D0は変数の型x1 :D1, . . . , xn :Dnおよび定 義式の型M :D0と対応する。最初に例に挙げたid,proj1,proj2,add2,ctrue,add4は全部こ のパターンに当てはまる。

以下では変数の列x1 · · · xnxと書き、型D1 ⇒ · · ·Dn⇒D0D⇒D0と書き、型 宣言x1:D1, . . . , xn:Dn をΓと書く。

2. 原始再帰法による定義(B

f : B⇒D⇒D0

f truex = Mtrue f falsex = Mfalse

ただしMtrue, Mfalse

Γ▷Mtrue :D0, Γ▷Mfalse:D0

を満たすものとする。これをfの定義といい、Mtrue, Mfalseをfの定義式という。

(13)

3. 原始再帰法による定義(N

f : N⇒D⇒D0

f 0x = M0

f(sy)x = Ms

ただしyx1, . . . , xnとは異なる変数であり、M0, Msは Γ▷M0 :D0, Γ, y :NMs:D0

を満たすものとする。またMsの中で式(f y x) : D0を用いてもよい。これをfの定 義といい、M0, Msをfの定義式という。

これまでと違い、Msの中ではx1, . . . , xnに加えて変数yや部分式(f y x)を用いること ができる。これはつまり(f (s y) x)の値を定めるのにyや(f y x)の値を参照してもよい ということである。もちろん(f (sy)x)や(f y(s sy))の値を参照することはできない。

原始再帰的プログラム. 以上3種類の関数定義を繰り返したものがプログラムである。正 確に言えば、原始再帰的プログラムPとは、互いに異なる識別子f1, . . . ,fnの定義の列の ことである。ここでfk(1≤k≤n)の定義式の中ではf1, . . . ,fk1以外の識別子を用いて はならない。つまり未定義の識別子を用いたり、循環的な定義をしてはならないというこ とである。ただし例外として、fkを原始再帰法(N)により定義する場合には、定義式Ms

の中で(fk y x)を用いてよい。これならば循環定義にならないからである。最後の識別子 fnをプログラム全体の名前だと思い、プログラムPのことをプログラムfnともいう。

原始再帰的関数. 先ほど定義したプログラムadd:NNNは、自然数上の足し算 を表す。これは集合NN Nの要素であり、具体的には2項関数f(x, y) :=x+yを カリー化したものである。一般に、一階型Aに対して集合[[A]]を次のように帰納的に割り 当てる:

[[N]] :=N, [[B]] :=B, [[D⇒A]] := [[D]]→[[A]].

すると任意の原始再帰的プログラムf :Aは、集合[[A]]の要素を表す。これを[[f]]と書く。

すなわち

f :D1⇒ · · ·Dn⇒D0 ならば [[f]][[D1]]→ · · ·[[Dn]][[D0]]

である。命題1.5によれば、[[f]]は[[D1]]× · · · ×[[Dn]][[D0]]の要素であるn項関数とみ なすこともできる。何らかの原始再帰的プログラムfにより表される(集合論的な意味で

の)関数[[f]]を原始再帰的関数という。

(文字列としての)プログラムと(集合としての)関数の区別に注意。[[f1]] = [[f2]]であっ てもf1 =f2であるとは限らない。それゆえ同じ関数を表すのであっても、速いプログラ ム・遅いプログラムがあり、また構造が明確なプログラムもあれば、不明確なプログラム もある(俗にスパゲッティ・コードと呼ばれる)。

(14)

2.3 原始再帰的プログラムの表現力

ここではどのような関数が原始再帰的プログラムにより表せるかを調べていく。まずは いくつか例を挙げる。

1.ブール値に関するもの

and : BBB

and truex = x and falsex = false

or : BBB

or truex = true or falsex = x

not : BB

not true = false not false = true

if : B⇒A⇒A⇒A

if truex y = x if falsex y = y

とくにifは今後頻繁に用いるので、読みやすくするために以下の記法を用いる。

ifM1 thenM2 elseM3 := if M1M2 M3

2.自然数に関するもの

add : NNN

add 0x = x

add(sy)x = s(addy x)

mul : NNN

mul 0x = 0

mul(sy)x = addx(muly x)

fact : NN

fact 0 = 1

fact(sy) = mul(sy) (facty)

pred : NN

pred 0 = 0

pred(sy) = y

sub : NNN

sub 0x = x

sub(sy)x = pred(suby x)

zero : NB

zero 0 = true

zero(sy) = false

leq : NNB

leqx y = zero(suby x)

eq : NNB

eqx y = and(leqx y) (leqy x)

(15)

有界量化. プログラムf :NBと自然数nが与えられたとき、

あるk < nについてf k=true

が成り立つかどうかを判定するにはどうしたらよいか?それには次のようなプログラムを 考えればよい。

bf : NB

bf 0 = false

bf(sy) = or(fy) (∃bf y) 同様にすれば

すべてのk < nについてf k=true

かどうかを調べるプログラムbfも定義することができる。これらを有界量化という。

これまでに定義した関数を組み合わせれば、自然数に関する大抵の性質は判定できる。

たとえば:

xyの約数かどうかを判定するプログラムdiv

meq : NNNB

meqy x z = eq(multy x)z

bmeq : NNNB

bmeq 0x z = false

bmeq(sy)x z = or(meqy x z) (∃bmeqy x z)

div : NNB

divx y = bmeq(sy)x y

このコーディングが正しいことを見るには、

meqy x z=true ⇐⇒ yx=z

bmeqy x z=true ⇐⇒ あるk < yについてkx=z divx y=true ⇐⇒ あるk < y+ 1についてkx=y となることを順次確かめればよい。

同様にすれば素数判定をする原始再帰的プログラムも書くことができる。

xが素数かどうかを判定するプログラムprime

prm : NNB

prmy x = or neg(divy x) (eqy1)

bprm : NNB

bprm 0x = true

bprm(sy)x = and(prmy x) (∀bprmy x)

prime : NB

primex = and(leq 2x) (∀bprmx x)

(16)

有界量化は、非有界の量化「あるk Nについてf k =true」「すべてのk∈Nについ てf k=true」とは本質的に異なる。後者は一般に原始再帰的でない(それどころか計算 可能ではない)。

2.4 原始再帰的関数の大きさ

次にどれくらい大きな関数が原始再帰的プログラムで表せるかを調べる。そのために、

プログラムの列ack0,ack1,ack2, . . .を次のように帰納的に定義する。

ack0 : NN ackn+1 : NN

ack0y = sy ackn+10 = ackn1

ackn+1(sy) = ackn(ackn+1 y) また、

ackn := [[ackn]] :NN とおく。各acknは原始再帰的関数であり、

ack0(y) =y+ 1, ack1(y) =y+ 2, ack2(y) = 2y+ 3

となることが容易に確かめられる。n= 3以降ackn(y)の値は急激に大きくなる。だいた いの大きさを見積もるとack3(y)2y程度である。

この関数列を用いれば、(自然数上の)原始再帰的関数に上限を与えられる。

定理2.1

どんな原始再帰的関数f :NNについてもあるn∈Nが存在し f(m) < ackn(m) (すべてのm∈Nについて) が成り立つ。

原始再帰的関数の限界. このことから原子再帰的ではない関数が即座に得られる。

定理2.2

アッカーマン関数

Ack(n, m) := ackn(m) :N×NN は原始再帰的ではない。

上の定理が成り立つことは簡単に確かめられる。実際、Ack が原始再帰的だとしたら、

Ack(m) := Ackm(m)も原始再帰的である。それゆえ定理2.1により、あるn Nが存 在し、

Ack(n) < ackn(n) = Ack(n, n) = Ack(n) となるが、これは矛盾である。

(17)

しかし、それでもAckは直感的にいって“計算可能”である。なぜなら入力値n, mが与 えられたら、原始再帰的プログラムacknを起動し、acknmの値を計算すれば出力が得ら れるからである。以上から得られる教訓は、

原始再帰的プログラムだけでは、計算可能な関数全部を表すことはできない ということである。ではどのように拡張したら計算可能関数全体が捉えられるのだろうか?

それが問題である。

なお、ここではきちんと議論しないが大雑把にいって次のことが成り立つ。

関数f :NNが原始再帰的であるとは、fを計算するコンピュータプログラ ムが存在して、計算時間を何らかのacknにより抑えられることに他ならない。

練習問題 2.3

1. 入力値nに対してnよりも大きな最小の素数を返す原始再帰的プログラムnextprime: NNを定義せよ。

2. 入力値nに対してn番目の素数を返す原始再帰的プログラムnthprime:N Nを定 義せよ。

2.5 直積型とリスト型 自然数全体を表す型Nは、

0:N, s:NN

という2つの構成子により定められていたことを思い出してほしい。これと対応して、プ ログラミングの際には0とsに場合分けして原始再帰法を用いることができる。たとえば

add : NNN

add 0x = x

add(sy)x = s(addy x)

により自然数上の足し算[[add]] :NNNを定めることができる。

これまではNBに話を制限してきたが、これらを使って新しい帰納的データ型を作り 出すこともできる。ここでは重要な例を2つ挙げておく。以前と同様、変数の列x1 · · · xn

xと書き、型D1 ⇒ · · ·Dn⇒D0D⇒D0と書き、型宣言x1 :D1, . . . , xn:Dn

Γと書く。

直積型. A1, A2を型とするとき、直積型A1×A2を単一の構成子 pair:A1⇒A2 ⇒A1×A2

により定める。するとM1 :A1, M2 :A2のとき(pairM1 M2) : A1×A2となる。これを 省略して

⟨M1, M2 := pairM1 M2

(18)

とも書く。直積型に対応する原始再帰法は次の通り。

原始再帰法(直積型)

f : A1×A2⇒D⇒D0

f⟨y1, y2⟩x = Mpair ただしMpair

Γ, y1 :A1, y2 :A2Mpair :D0 を満たすものとする。

すなわち定義式Mpairの中ではx1, . . . , xnに加えて変数y1, y2を用いてもよい。

構成子pairを用いれば、2つのデータの対(つい)をつくることができる。たとえば

⟨3,5⟩:N×Nなど。対から一方を取り出すには、原始再帰法により得られるプログラム pri : A1×A2⇒Ai

pri⟨y1, y2 = yi

を用いればよい(i= 1,2)。直積型を用いた具体例を上げておく。

y番目のフィボナッチ数を出力するプログラムfib

add : N×NN

add⟨y1, y2 = addy1y2

fib : NN×N

fib 0 = 0,1

fib (sy) = pr2(fib y), add(fib y)⟩

fib : NN

fiby = pr1(fib y)

リスト型. Aを型とするとき、型Aのリスト型L[A]を2つの構成子により定める。

nil:L[A], cons:A⇒L[A]L[A].

たとえば以下の項は全部型L[N]を持つ。

nil, cons 5 nil, cons 3(cons 5 nil), cons 8(cons 3(cons 5 nil)).

これらを省略して以下のようにも書く。

[], [5], [3,5], [8,3,5].

(19)

原始再帰法(リスト型)

f : L[A]⇒D⇒D0

f nilx = Mnil

f (consa y)x = Mcons

ただしMnil, Mcons

Γ▷Mnil:D0, Γ, a:A, y:L[A]Mcons:D0

を満たすものとする。またMconsの中では(f y x)が部分式として用いられていても よい。

つまり定義式Mconsの中ではx1, . . . , xnに加えて変数a, yや部分式(f y x)を用いても よい。

リスト型を用いたプログラムの例

append : L[A]L[A]L[A]

append nilx = x

append(consa y)x = consa(appendy x)

filter0 : L[N]L[N]

filter0 nil = nil

filter0(consa y) = if (zeroa)then(filter0y)else(consa(filter0y))

insert : L[N]NL[N]

insert nilb = consbnil

insert(consa y)b = if (leqb a)then(consb(consa y))else(consa(inserty b))

sort : L[N]L[N]

sort nil = nil

sort(consa y) = insert(sorty)a

原始再帰的プログラムの拡張. N,Bに加えて直積型N×Nやリスト型L[N]もデータ 型と見なすことができる。すると、プログラムを書く際にN×NL[N]についての原始 再帰法も用いることができる。そうやって書くことができるプログラムのことを一時的に 拡張原始再帰的プログラムと呼ぶことにしよう。

さて、一階型の解釈は直積型やリスト型へと次のように拡張することができる。

[[A×B]] := [[A]]×[[B]], [[L[A]]] := [[A]].

(20)

それゆえ

f :D1⇒ · · ·Dn⇒D0 ならば [[f]][[D1]]→ · · ·[[Dn]][[D0]]

となるように拡張原始再帰的プログラムを集合論的に解釈することができる。これを拡張 原始再帰的関数と呼ぶことにしよう。こうすれば原始再帰的関数の守備範囲を直積やリス トへと拡大することができる。だがそれでも自然数やブール値上に話を制限すれば、そこ に新たな関数が付け加わるわけではない。

命題2.4

関数f :NNが原始再帰的関数であることと、拡張原始再帰的関数であることは一 致する。

とくにフィボナッチ数を返す関数fib :NNは直積やリストを用いずともプログラム 可能であるし、逆に直積やリストを用いたからといって、アッカーマン関数がプログラム 可能になるわけではない。それゆえ自然数上で原始再帰的関数よりも多くの関数を表現す るには、単にデータ型を加えるのみでなく、プログラムの構成法を実質的に拡張する必要 がある。

練習問題 2.5 直積型やリスト型を用いずにフィボナッチ数を計算する原始再帰的プログ ラムfib:NNを考えよ。

3 再帰的関数

原始再帰法によるプログラム定義の例

add : NNN

add 0x = x

add(sy)x = s(addy x)

をもう一度見てみよう。3行目では関数addを定義するのに右辺でaddそのものを用いて いるが、第一引数の値が減少しているので、計算は循環せず必ず停止する。同じことがす べての原始再帰的プログラムf:NNについて言える。すなわち、どんな入力値n∈N を与えても、f nの計算は必ず停止する。このことをfは全域的であるという。

より一般的な関数を得るには、この制限を一端取り払う必要がある。すなわち、すべて の入力値について計算が停止するとは限らないような状況を考えるのである。

再帰法. 次のようなプログラム構成法を再帰法、または一般再帰法という。

(21)

一般再帰法による定義

f : D1⇒ · · ·Dn⇒D0 f x1 · · · xn = Mf

ただしMf

x1 :D1, . . . , xn:DnMf :D0

を満たすものとする。なお、Mfの中で識別子fが用いられていても構わない。Mfを fの定義式という。

再帰法の具体例として最大公約数を計算するプログラムを考える。

gcd : NNN

gcdx y = ifx=ythenxelse

if x < ythen(gcdy x)else(gcd(x−y)y) ただし見やすくするために以下の記法を用いている:

x=y := eqx y

x < y := and(leqx y) (not(eqx y)) x−y := suby x

この例ではgcdx yの値をgcdy xとgcd(x−y)yを用いて定義している(関数の再帰呼 び出し)。これは原始再帰法とは異なるが、gcdが呼び出される度に「第一引数+第二引 数×2」が減少するので、計算は必ず停止することがわかる。

一方で次も再帰法の一例である。

diverge : NN divergex = diverge(sx) だがこのプログラムを実行すると

diverge 0 = diverge 1 = diverge 2 = · · · となり計算は停止しない。

最後にもう1つ例を挙げる。「どんな自然数n≥1から出発しても、偶数ならn/2でお きかえ、奇数なら3n+ 1でおきかえていけば、いつかは必ず1に到達する」という予想が ある(コラッツの予想または角谷の予想)。そこで次のプログラムを考える(適当な省略 表現を用いる)。

(22)

3n+ 1関数を計算するプログラム

half : NN

half x = if(zerox)then 0 else s(half(x2))

even : NB

evenx = ifx=0 then true else

ifx=1 then false else(even(x2)) colatz : NB

colatzx = if(x= 0orx=1)then true else

if(evenx)then colatz(half x)else colatz(3·x+1)

このプログラムは少なくとも260までの入力値について停止することがわかっているが、

全ての入力値について停止するかどうかは未解決である。

このように再帰法は原始再帰法よりもフレキシブルだが、計算が停止しない危険性があ る。計算の停止を保証するには別途論証を与えなければならない。

再帰的プログラム. ここで再帰的プログラムの正確な定義を与えておきたい。話をなる べく簡単にするために、次の2点に注意する。

まず、既出の合成による定義は再帰法の特別な場合(再帰のための識別子fが定義式の 中に出てこない場合)にすぎない。

次に、原始再帰法は、

if :B⇒D⇒D⇒D, zero:NB, pred:NN さえあれば、再帰法によりシミュレートできる。実際、

f : N⇒D⇒D0

f 0x = M0

f(sy)x = Ms[· · ·(f y x)· · ·] は

f : N⇒D⇒D0

fy x = if(zeroy)thenM0 elseMs[· · ·(f (predy)x)· · ·] としても同じことだからである。

以上の準備のもとで、正確な定義を与える。再帰的プログラムPとは、互いに異なる識 別子f1, . . . ,fnの定義の列のことである。ただし各fk(1≤k≤n)は再帰法により定義さ れており、定義式Mfk の中ではif,zero,predとf1, . . . ,fk以外の識別子を用いてはならな い。型情報を省略すれば、再帰的プログラムP

f1 x1 =Mf1, f2x2=Mf2, · · · fnxn=Mfn

という形をしている。最後の識別子に着目して、Pのことをプログラムfnとも呼ぶ。

(23)

再帰的プログラムの実行法. 次に、プログラムの実行手順について考える。プログラムを 実行するには識別子を定義式で書き換えてゆけばよいのだが、どんな順序で書き換えるか によって結果は変わってくる。実際、ある順序によれば計算は停止するのだが、別の順序 では停止しないといった事態が起こりうる(とはいえ停止する場合出力値はただ1つであ る)。書き換え順序(評価戦略)には、名前呼び(call-by-name)、値呼び(call-by-value)、

必要呼び(call-by-need)などがあるが、ここでは値呼び戦略を採用することにする。

いまデータ型はB, Nのみとする。以下の式を値式(または単に値)といい、V, W 等 により表す。

true:B, false:B, n:Nn∈N nはs(s· · ·(s 0)· · ·)の形の式の省略表現であることに注意。

次の再帰的プログラムf =fnを考える(型情報は省略)。

f1 x1 =Mf1, f2 x2 =Mf2, · · · fnxn=Mfn. このプログラムに対して、次の書き換え規則−→fを与える。

fi V1 · · · Vk −→f Mfi[x1:=V1, . . . , xk :=Vk] if trueM N −→f M

if falseM N −→f N

zero 0 −→f true

zero s(n) −→f false

pred 0 −→f 0

pred s(n) −→f n

ただし1 i≤nであり、[x1 := V1, . . . , xk :=Vk]は「変数x1, . . . , xnに値式V1, . . . , Vk を代入する」操作を表す。

書き換えが行われるのは、引数が値式のときに限ることに注意(それゆえ「値呼び」な のである)。もっともifの第二、第三引数は例外であり、M, Nは値式である必要はない。

書き換えは、式の内部で自由に行ってよい。ただしif の第二、第三引数は書き換えを行っ てはならない。いわばM, N は第一引数により“ロック”された状態にある。

いま、プログラムfと値式(の列)V =V1, . . . , Vkを考える。式fV に何度か書き換え を行うことで値式W に到達するとき、

f V =W, f V ⇓W, f V

等と書く。最後の表現はW が重要でないときに用いる記法である。またf V に何度書き 換えを行っても値式に到達しないとき、

fV

と書く。(適切な型をもつ)どのような値式の列V についてもf V となるとき、プログ ラムfは全域再帰的であるという。

どんな原始再帰的プログラムも全域再帰的である。divergeはもちろん全域再帰的では

ない。colatzが全域再帰的かどうかは未解決問題である。

(24)

再帰的関数. 次に再帰的プログラムに集合論的解釈を与える。まず特別な要素を用意 し、集合Xが与えられたとき、X:=X∪ {⊥}と定める(ただし⊥ ̸∈X)。直感的にいっ ては「未定義」を表す。そして関数f :X →YXからY への部分関数を表すもの と考える。すなわちa∈Xについてf(a) =のときには、f(a)の値は「未定義」と考え るのである。

自然数上の再帰的プログラムf:NNに対して部分関数[[f]]NNを次のように 定める。

[[f]](m) := n (f m=nのとき) := (f mのとき)

同様にして、任意の一階型の再帰的プログラムf :D⇒D0に対して部分関数[[f]][[D]] [[D0]]を定めることができる。

fを再帰的プログラムとするとき、関数f = [[f]]を再帰的関数という。とくにfが全域再 帰的プログラムのときには、決してf(a) =⊥とならない。このときのfを全域再帰的関 数という。

原始再帰的関数と再帰的関数. 前章で挙げたアッカーマン関数Ack :N N Nを計 算するには、次の再帰的プログラムを考えればよい。

Ack : NNN

Ackx y = if(zerox)then(sy)else

if (zeroy)then(Ack(predx)1)else(Ack(predx) (Ackx(predy))) このプログラムは、どんな入力が与えられても必ず計算が停止する。実際、定義式内でAck が呼び出されるときには、第一引数と第二引数の対が辞書式順序で必ず減少しているから である。よってAck= [[Ack]]は全域再帰的関数である。

定理3.1

(原始再帰的関数全体の集合) ⊊ (全域再帰的関数全体の集合)

⊊ (再帰的関数全体の集合)

3.1 再帰的関数の自己解釈

再帰的プログラミングは強力なプログラミング手法であり、どれくらい強力かというと、

再帰的プログラムの実行方法それ自体を再帰的プログラムで記述できるほどである。本節 では、このような再帰的プログラムの自己解釈について簡単に説明する。

各式Mは有限の文字列であり、各文字は1つの自然数で表せる。それゆえ同等性 N = N

(命題1.6)を用いれば、どんな式も1つの自然数で符号化することができる。以下ではそ のような符号化の方法を1つ固定する。その上で式Mを表す自然数のことをMのゲーデ ル数といい⌜MNと書く。また自然数m=⌜Mを表す値式mのことを⌜⌜M⌝⌝:Nと書

参照

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