ll ﾗる）に一一で，以下のl11似
一一（1包1）（α㌣、1、、）（1包1）一
一夫（1包1）（α㌣、㌦）（l11）
4．三角関数の値が有理数となる角度の無理数性
49
上式を利用すると以下のことがわかる。
（z二）一（一ヅ（1）
一芸（∵）（㍗ぴ、∴乞、）（1−1）（1）
一芸（㍗㍍二㌫ゾ1）（1）
一芸（｝ダ㍍｝1｝1川（1）
よって，上式より，α。斗1，われ十ユは以下のようになる。
1…一α
^Σ〃一1）㌦れ一2島／2＋l／Σ＾・（一1）島1η一2叩十1／2た≦れ 2為十1≦皿
1仲・一α｛Σ一q・・1（一・）㌦n12叩十1／・・／Σ・叶・）后αn−2％2胎／
2為→一工≦帆 2ゐ≦れ
ここで，定理（4．L1）より，
αρ■1≡伊凹ユ…1 modρ
また，o＜ゴ＜ρのとき，ρ0k≡O modρであるから，
α、。。…αρ十ユー（一1）（・一1）仰十ユ 三α2一（一ユ）（・山1）／2わ2
…α2mOdρ
6、。1≡α（一1）（PL工〕／仰十αρわ ≡（一1）（ρ…1）／262＋α6
≡62mOdρ
これは，｛αれ｝，｛われ｝は，modρで，周期（ρ一1）の数列であることを意味している。ゆえに，
α仲。一・≡α几，わ帆。ρ一・≡6．m・dρ
が成立する。最後に，全てのnに対して，αれ，わ。≠O modρを示す。ここで，α。斗1≡O modρ （η＜ρ）となるηが存在するとすれば，
α九十1＝αα。一ろ6。≡O 肋れ。ユ＝ろ2α。十α肋帆 ≡わ2α。十α2αれ ≡O modρ
となる。従って，以下のことが成立する。
胱≠O modρ より，6η十ユ≡O
よって，（4．1．1）より，以下のことが成立する。
α。斗1…αη十・……≡α針1≡O
これはαp＋1≡α2≠O modρより矛盾である。また，ろ、も同様のことがいえるため，やは り矛盾である』ゆえに，すべてのηに対して，α。，われ≠Oであり，tan（ηα）＝ろれ／αれを得る。
ここで，tanαのαが90の倍数ならばtanηαは必ず1となる。これは，αが90の倍数でな いことを意味するため，αは無理数であることがわかる。 ．口
次に，高校生レベルの知識で証明できる方法で具体的なものを紹介する。
3
定理4．1．5tanα＝一のとき，αは無理数度である。
4 証明
まず，αユ＝4，61＝3として数列｛α。｝｛6几｝を次のように定める。
α。十ユ＝4α。一36η，6れ十。＝3α。十4b几，η≧1 このとき5を法として計算すると，以下のように表せる。
α1＝4，61＝3
α2＝4×4−3×3＝7≡2，62：3×4＋4×3＝24≡4 mod5 α3＝4×2＿3×4＝＿4…1，63＝3×2＋4×4＝22≡2
α4＝4×1＿3×2＝＿2…3，わ4：3×！＋4×2＝11≡1 α5＝4×3＿3×1＝9…4，ろ5＝3×3＋4×1：13≡3
このように，表していくと，α6≡2，α7≡1，α8≡3，αg≡4となり，αが4，2，1，3という数が 循環していることに気づく。また，6においても，66≡4，67…2，b8≡1，6g≡3というよう に，3，4，2，1という数が循環していることに気づく。以上より，α．6を一般的に表すと以下の ようになる。
α4九十ユ…4，わ4れ十1≡3，α4糾2≡2，わ4帆十2…4 mod5 α4れ十3…！，64れ十3…2，α4。十4≡3，64帆十4≡1
よって，すべてのηに対してαれ，6。≠Oを得る。次に肌に関する帰納法によりηαが90 の倍数でないこと，及びtan［ηα］：α帆／ろηを示す。肌＝1のときは明らかに成立する。次
4．三角関数の値が有理数となる角度の無理数性 51
に，η：んのとき成立すると仮定すると，η＝ん十1のとき，以下のように計算できる。
cos［（ん十1）α］：cosαcos［んα］一sinαsin［んα］二。osαcos［んα］（1−tanαta．n［んα］）
一一ψ十豊）一一ψ㌢
叫十1
：…α…［んα1一≠0 4αk
sin［（ん十1）α］：sinαcostんα］十。osαsin峰α］＝cosαcos［たα］（tanα十ta．n［たα］）
一一ψ1 i1・去）一一ψ1∵
ろk＋1
＝…α…［んα1一≠0
4α為よって，（た十1）αは90の倍数ではなく，tanl（ん十1）αト6糾1／α馬十ユが導かれ，η＝ん十1のと
きも成立する。ゆえにαが無理数であることが得られる。 口
4．2 正弦，余弦関数の場合
この節では，有理数度θに対して。osθ＝O，土1／2，±1でないとき。osθは無理数であるこ とを証明する。そのため，中にはこの章のタイトルとは別のことを証明しているように思 われる方がいると思われる（筆者がそうだった）が，この対偶をとると「三角関数の値が 有理数ならば，その角度は無理数」となり，この章のタイトルとなんら変わらないことを事 前に説明しておく。
今回の節では，最初に示す命題を証明する（正確には，そこから派生する系を用いる）こと で，特定の場合を除いた正弦，余弦（おまけで正接）の解が無理数となることを証明する。
（参考文献：柳原弘志著「初等整数論」）では，まず以下のような命題を証明する。
命題4．2．1整係数方程式である
・几〆十・兀一。 帆■ユ十…十・。∬十・。：0，（・、≠O） （4．2。ユ）
が有理数解α／わ（α，わば共に整数であり，互いに素である。また，6≠O）をもてば，以下のこ とが成立する。
αはCOの約数（もしくは，αはCOを割り切る）
6はC。の約数（もしくは，6はC帆を割り切る）
証明まず，（4．2．1）式の解がα／6であることより，
川∵（1ジ・・・…（1）・軌一・
（4．2．2）
が成り立つ。ここで，上式（4．2．2）の両辺にろnI1をかけると，
αn
・。一十・れ一。αn−1＋…十・1αbn■2＋・。うれ一ユ：0 6
となる。ここで，α，わ及び。為（O≦ん≦．η＿1における全ての自然数）は整数であるた め，C。一1α帆■1＋＿十C1αグ2＋C06帆一1も整数となる。よって，
αれ
。れ一は整数 う
となる。ここで，α，6は互いに素であるので，C几／6は整数となる。つまり，6はC帆の約数（も しくは，わばCηを割り切る）ということが成り立つ。
次に，（4．2−2）式に6n／αをかけると，
炉
・。αn■1＋・η一ユαれ■26＋…十・1わη…1＋・。一＝O
α
となる。ここで，α，6及び。k（O≦ん≦η＿1における全ての自然数）は整数であるため，c仰α卜1＋
C。一1α卜2わ十。．．十Cユ6帆01も竿数となる。よって，
炉
CO一は整数 α
となる。ここで，α，6は互いに素であるので，CO／αは整数となる。つまり，αはCOの約数（も しくは，αはCoを割り切る）ということが成り立つ。 □
この定理を利用した具体例を挙げておく。
側4．2．24 ㌧8 3−9 2＋24 一9＝0の解を求めよ
このような問題では，⑦にあてはまる数を考えてそこから，1つずつ因数分解していくの が通例である。ここで，仮に が有理数解を持つとすると，さきほどの命題（4．2．1）を利用
でき，
9の約数 一＝
4の約数
が の解である可能性がある。つまり，土1，一二1／2，土1／4，土3，±3／2，土3／4，±1／4，±3／4，±9／4
が解の候補となる。ちなみに，この の有理数解は1／2，3／2であり，残りの解は であ る。よって，命題（4．2．1）がわかると，高校数学で出てくる多項式の解が見つけやすくなる と筆者は考える。
さて，話を戻す。さきほどの命題（4．2．1）より，以下の系が成立する。
4．三角関数の値が有理数となる角度の無理数性
53
系4．2．3命題（4．2．1）における式（4．2−1）において，c。＝1とすると，その有理数解は。oを 書1」り切る整数である。
この系を用いで，メインの定理を証明する。
定理4．2．4θ＝m（rは有理数）とすると，cosθ，及び，sinθの値は，
1 1
cosθ；O，土1，土一，sinθ＝O，±1，一・一 2 ． 2
を除いて全て無理数である。
証明まずは，自然数ηに対して，最高次の係数が1である整係数多項式ん（ ）で，
2…ηθ＝∫。（2…θ），d・g（∫η（z））二η （4・2・3）
を満たすものが存在することをηについての帰納法を用いて証明する。
まず，η＝1のとき，
プ。（ ）＝π
と，おけばよい。また，倍角の公式を用い，
…2θ＝2（…θ）2−1 が成り立っため，
！。（・）＝・2−2
とおくと，η＝2に対して（4．2．3）式が成立する。
次に，η＝ん（た≧2）とするとき，
2…（た十1）θ＝（2…θ）（2…んθ）一2…（ト1）θ が成り立っため，
九十1（ ）： ∫烏（ ）一点＿1（ ）
とおけば，η＝んに対しても（4．2．3）が成立することがわかる。
次に，自然数ηをηrが整数となるようにとると，
∫れ（2・o・θ）＝2co・ηθ＝2…η・π＝土2
となる。従って，2cosθは！帆（ ）土2＝Oの解となる。よって，系（4・2・3）より，2cosθは，も し有理数なら整数である。l cosθ1≦1であるから，明らかに，
1
cosθ＝O，±1，一＝一 2
を得る。
次に，sinθの値について考える。ここで，θがπの有理数倍なので，π／2一θもπの有理数倍で あること，及び，sinθ＝cos（π／2一θ）が成り立つことから，sinθの倍も，やはり，O，±1，±1／2
以外は無理数である。 □
上の定理の証明で扱っている多項式∫帆（ ）は実際は，次のようなチェビシェフの多項 式η（ ）を用いて表される。
∫れ（ ）＝2η（π／2）
几ノ2
叫）一Σ（一1）mη0…刊■2m（1一・2）m m＝0
次に，この定理を用いてtanについても同様なことが言える。
系4．2．5上記の定理（412．4）と同様の記号を用いる。このとき，tanθが定義され，O，一。1以 外の値をとるならその値は無理数である。
証明まず，加法定理より，cosθ≠0だとすると，
cos2θ二。os2θ＿sin2θ 1一・i・2θ／…2θ 1／…2θ
1＿tan2θ 1＋tan2θ
上式，及び定理（4．2．4）より，cos2θ：O，土1，±1／2という有理数のときだけ，tanθは有理数 となりえる。よって，この場合のみを考えればよい。
cos2θ＝0のとき，
1＿tan2θ O＝
1＋tan2θ tanθ＝±1 cos2θ＝1のとき，
1＿tan2θ 1＝
1＋tan2θ ta．nθ二上O cos2θ二一1のとき，
1＿tan2θ 一1＝
1＋tan2θ tanθの解なし
4．三角関数の値が有理数となる角度の無理数性 55
cos2θ二1／2のとき，
1 1−tan2θ 2 1＋tan2θ 1 tanθ＝±一 ψ cos2θ＝一1／2のとき，
！ 1−ta．n2θ 2 1＋tan2θ t・・θ一
以上より， は無理数のため，tanθの有理数の値は0，±1で，これ以外は無理数である。