ゆえに，
片＿1
5．円周率πの無理数性
65
以上の補題より，今回の本題である以下の定理が証明できる。
定理5．2．5πは無理数である。
証明先ほどの補題（5．2．4）から，tan ；μ（μはOでない有理数，O＜ ＜π／2）とすれば，
仮に が有理数ならば，μは無理数となり矛盾である。よって，tan ＝ん（ん∈Q，ん≠o）の π π
とき， は無理数である。これを利用すると，tan一＝1であるから，一は無理数である。従っ 4 4
てπは無理数である。 口
5．3 微積分を用いた無理数性の証明
この節では，まず以下の定理の証明を行う。
定理5．3．1α2が無理数ならば，αも無理数である。
証明上の式の対偶をとると，「αが有理数ならば，α2も有理数である。」となる。これは，
自明であるため，この対偶である題意は満たされる。 口 補題5．3．2あるη≧1を固定して，
ガ（1一 ）n
∫（ ）＝ （531）
η！
とおく。このとき，以下の3つのことが成立する。
！2帆
関数ル）はル）rΣ・ハ・1一（一・γ一㌦q一η） （・・…）
｛＝れ 1
0＜エ＜1に対してlO＜ル）＜莉 （5・3・3）
すべてのん≧Oに対して，微分係数∫（た）（0）と∫（為〕（1）は整数である。 （5．3．4）
証明まず，（5．3．2）から，証明を行う。（5・3・1）式より，以下のように計算できる。
が（1一 ）れ
ル）＝
、η！
一証帆一η・れ十！・・…（一1）肌刈 12れ
rΣ・〆
4＝n
ここで，2行目より，ぺη≦｛≦2η）の項は必ず整数のため，題意を満たす。
次に，（5．3．3）の証明を行う。まず，（5．3．3）式をη！＞Oより，以下のように書き換えられる。
0＜η！ル）＜1
この式に（5．3．1）式を代入すると，
O＜ η（1一 ）れ＜1
となり，上式を証明すればよい。ここで，0＜ ＜1のため，
O＜〆＜！
また，O＜ 一1＜1ともなるため，
O＜（1一 ）n＜1
ゆえに，
0＜πれ（1一 ）η＜1 ゆえに，題意を満たす。
最後に，（5．3．4）の証明を行う。まず，（5．3．2）によって，プ（z）のだ次の微分係数∫（胎）（ ）は，η≦
ん≦2ηでない限り， 二〇のとき0である。また，その範囲ではプ（馬）（O）＝た！μcみは整数で ある。∫（ ）＝∫（1一 ）から，すべての に対して，
∫（k）（ ）＝（一1）為∫（k）（1一 ）
であり，それゆえに，
∫（た〕（1）一（一1）k∫（た）（O）
となって，整数である。 口 次に，π2が無理数であることを証明する。
定理5．3．3π2は無理数である。
証明まず，本定理では，補題（5．3．2）で用いた記号を使用する。ある整数α，6（6＞0）に対 して，π2＝α／6と仮定する。ここで，
F（・）＝うn（π2れル）¶2九一2∫（2）（ω）十π2η一4∫（4）（・）一．．．）
は，次を満たす。
F （・）＝一π2F（・）十6帆π2n＋2ル）
5．円周率πの無理数性
67
ここで，補題（5．3．2）の（5．3．4）からF（0）とF（1）は整数である口両辺を微分すると，
d
ポ（・）・i・πHF（・）…π・1一（F （・）・π2F（・））・i・π・
二6冊π2帆十2∫（・）・i・π・
＝π2α肌ル）・i・π・
となるため，
・一
¥ル）・i・舳
一［〜）・i・π・一F（・）…π・ll ：F（O）十F（1）
は整数となる。さらに，（境界を除いて）正の関数の積分として定義されているので，wは正 π帆αη
である。しかし，十分大きくηを選び， ＜1となるようにすると，補題（532）の（533）
η！
から，
…一 Sル）・i…あ
クrαn
＜一＜1
η！が得られる。これは，矛盾であるため，つまりπ2が無理数であることがわかる。
定理（5．3．1）及び定理（5．3．3）より，πは明らかに無理数である。