m
よって，これは60が整数であることに矛盾するため，
16．1＝固，う。＝6♂，m＝m ＝0 1
が成立するためヨ（3・1・4）が成立する川 ＝！の場合，6・二6＋河より，わ｛＝1が導かれ わ。＝略十1，すなわち（3．L5）が成立する。
次にm＝1の場合，m＝Oのときと同様に以下の条件を考える。
Ml一｛1：llわ，，，わ、］（ ≧1）
仮に，［bo，611＝閉ならば，m・・0の場合より（3，1−4）または（？？）が成立する。［わ。，わ11＝
［略，略，…，わ㍍。1（m ≧1）の場合，
1 1 う。十一＝6合十
わ1 ・け・．1・
十r ㎜
3．自然対数の底eの無理数性
33
ゆえに，上式は以下のように書き換えられる。
6。十θ。＝わ合十θ。（O＜θ。≦1，O＜θ・≦1）
ここで，θ1＝θ2のとき，わ。：略が成立する。また，θ1≠θ2のとき，θ1＜1ならば，
Z∋ろ。一眺＝θ2一θユ￠Z
が成立するため矛盾である。θユニ1ならば，θ2＜1となるため，矛盾となる。ゆえに，わ。：略 となる。従って，
［・1一｛1111、ら，，、、、
を得，m＝Oの場合より，わ1＝叫またはm ＝2，61二b｛＿1，わら＝1が成立し，（3．1，4）または
（3．1．5）が成立する。
次に，m＝1（1≧1）の場合，命題が成り立つと仮定する。つまり，m＝m ＝Jならば，
［6。，…，6m1：跳，…，6㍍ 1 6ゴ＝6二 （1≦ゴ≦王）
あるいは，m 二m＋1＝五十1ならば，
6二＝bゴ （1≦ゴ≦王）
わ1＝わ三一1 6；。。＝1
が成立する。m一十1の場合，
［帆…ル1一｛1：ll、、，，、、、
ならば（3．1．4），（3，1．5）が成立することを示す。エろ。，わユ，．．．，6ミ，6；十1］＝［6ら］ならば，m＝Oの場
合により矛盾である。よって，
r60，61，…，6ミ，わ！十11＝［％，略，…，わ㍍11である。ゆえに，
［6。，うユ，…，6；。ユ1＝［6合，ら三デ・・，6㍍ll
ここで，上式は以下のようになる。
16王，…，6｛，6三十ユ1；［6｛，…，仏・1
ここで，m＝1の場合の仮定より，m ＝1＋1，6ゴ＝6二（O≦ゴ≦1＋1）。よって，
6；十1：・わ㍍1
もしくは，m＝1の場合の仮定より，m∫＝1，6ゴ＝わ二（0≦ゴ≦1）。よって，
わ1＋ユ＝6mL1−1 あi。。＝1
が証明できる。
定義3．1．6 o，…， 帆の多項式片（ o，…， 帆），Q、（ o，…， 帆）をつぎのように定める。
P−2＝0，P一ユ＝1，ρ一2＝1，Q一ユ＝0
片（ 。，1．．， れ）＝ ＾一1（ 。，＿，・九一。）十片一・（・・，＿， 。一・）（η≧O）
Qれ（π。，。一。， れ）＝叫Q九一。（π。，＿，π帆一。）十Q。一・（・。，＿，・れ一・）（η≧0）
またこのとき，以下のことも成立する。
Qη＞Qトユ〉…＞Q。≧！ （3．1−7）
例としては，
片（・。）＝ 。，Q。（・。）＝1，P・（ ・， ・）＝榊・十1，ρ・（・・， 1）＝ ・
命題3．1．76oを整数，わ1，．．1，6れを自然数とすれば，次の式が存在する。
片（6。，＿，6。）
16。，，6．1＝ （318）
Qη（6。，．一．，わ几）
さらに，
片。。（・。，＿， れ。。）Q帆（ 。，、一一，・几）一片（・。，＿，π。）Q几。1（・・，・。・，・η。・）二（一1）n（3・L9）
片（わ。，＿，6冊）
が成立し， は既約分数である。
ρ几（わ。，．．、，6帆）
証明まず，（3．1．8）式が成立することを定義（3．！．6）を使って帰納法を用いて証明する。
η＝Oのとき定義（3．1，6）の仮定より，片＝6o，Q1二1となる。ゆえに，
昂
一：6。：［6．l
QO
よって，η＝Oのとき（3．1，8）式が成立する。
続いてη＝1のとき，定義（3．1．6）の仮定より，P1＝わ。61＋1，ρ1二わ1となる。ゆえに，
p1 6061＋1 ！
一＝ ＝6。十一＝［b。，6．l
Q1 61 わ1
3．自然対数の底εの無理数性
35
よって，η：1のとき（3．1．8）式が成立する。
η＝ん（ん≧1）のとき（3．L8）式が成立すると仮定する。ここで，η二た十1のとき，η＝んが 成立しているので，以下のように計算できる。
1
［う。，6。，＿，軌，わる。。1＝16。，61，…，わ為十一1
6免十1
（6。十1／6為十。）Pた一。十片一。
（6冶十1／わ冶一。）軌一。十軌一。
（6たpト。十P馬一。）十1／6島十。片一。
（6ゐ軌一。十Qゐ一。）十1／6為十。Q。一。
片十！／6糾1片一 Qn＋1／6糾1Q卜1 6た斗1片十片＿1 6k＋1Qn＋Q几＿1 汽十1
軌十1
よって，η＝ん十1のとき，（3．1．8）が成立する。
ゆえに，全ての自然数ηにおいて（3．1．8）が成り立つ。
次に（3，119）式が成立することを示す。
片。。（・。，．．．，・仲。）Q、（・。1．．．，・れ）一片（・。，一．．，・、）Q、。。（・。，．．．，・れ。。）
＝｛ 。。。片（ 。，＿， 。）十片一。（ 。，一。一， 九一。）｝Qη（ 。，＿，・几）
一片（ 。，。、．，・れ）｛・。。工ρれ（ 。，。。一，・れ）十Q帆一ユ（・。ゾ＿， 卜。）｝
二耳一。（ 。，＿，・。一。）Qれ（ 。，。。一，・。）一片（ 。，。．一，・れ）Q。一ユ（ 。ゾ＿， れ一。）
＝（一1）耳（ 。，＿， 。）Q九一ユ（ 。，＿， 。一。）一片一。（ 。，。．．， 。一ユ）ρ。（工。，＿， 。）
＝（一！）叩。（ 。， 。）Q。（ 。）一片（ 。）Q。（ 。， ユ）
：（一1）几｛（榊・十1）・1一・。× 1｝
＝（一1）肌
引6。，＿6。）
次に， が既約分数でないとき，
ρη（6。，＿，う。）
∫㌃（6o，。一一，6れ）＝αう （α＞1，α，6∈Z）
Qn（わ。，。．。，6几）＝αc （α＞1，α，6∈Z）
とおける。これを（3．1．9）式に当てはめると，
（一1）n＝片。。（6。，＿，わ仲。）×α卜αろ×Qη十。（う。，＿，6η十王）
＝α｛・片十。（6。，＿，6。。。）一わ軌。。（60，＿，6れ十。）｝