十∴」
十 ろ・十．．
もしくは，以下のようにも表される。
卜
C1 C2 Cm6162 わm
5．2 tan の無限連分数表示
1762年，工αm6e村によってπの無理数性が示された。ここでは，λ．〃伽g8帖｛mのアイデア により，πが無理数であることを証明する。それは，r≠0を有理数α／6とするとき．tan（α／6）
の無限連分数展開，
t・n（α／6）；
＿α2
1＋
3わ十・．． 一α2 ＋
（2η一1）わ十．．
を利用し，tan（α／6）の無理数性を示す方法である。
補題5．2．1q1〉O，ル，％共に整数としてすべてのηについて，
あるいは，すべてのηに対して，
を満たすときj／舟
O＜％≦ρ。
O＜21qれ1≦ρ。一1
・，ρ伽qユジ・・
・，ρn，q1，…
乱は無理数に収鮒
（5．2．1）
（5．2．2）
証明最初に，（5．2．2）が成立する場合，（5．2．1）に帰着されることを示す。まず，η＝1，．．．，j のとき，（5，211）式を満たし，q；十1＜Oのとき，
q正≦ρ！一1
1q；。ユ1≦ρ；十。一一1ql＋。1−1
であるので，次式が成立する。
％ ％
％十1 1
ρれ十 （ρn−1）十
ρ几・1＋β lq。。。1 1＋
ρη十1−lqn＋11＋β
これにより，η＝エ十1のとき，（5−2．1）を満たす連分数に書き換えることができる。
よって，（5．2．1）が成立する場合を考えれば十分である。
このとき，
Qユ＝q。≧1，Q2＝ρ2Q1＋q．Qo≧2
であり，
Q為≧ん，（ん；1，＿，η一1≧2）
とすれば，
Q几＝ρれQれ一1＋q。ρ。一・≧（η一1）十（卜2）≧η となる。また，
Qれ＝ρ帆ρ。一。十％Q。一。≧ρれQ九一ユ であるので，
Qn≧ρユ… ρ皿 となるため，
qユ・一qη十1 q1… ％十1 1 1
＜ ≦ ≦ →O（η→・・）
ρれρ兀＿1 レ1…ρη1Qれ＿1 Q帆＿1 n−1
が成蝋ゆ1に，交代級数1i｝。。ξ旨111千十11（一Σむ（一1÷÷％）
λ（O〕
は収束する。その極限値をαOとし，有理数 と仮定する。ここで，λ（O），B（0）は自然数で B（O）
ある。さらに，
q・ ．引ρ。，＿，ρ。。。，q。，、．。qη十。）
αO＝ ，α1＝11m
ρ・十α・ 帆刊Qη（ρ。，．．一，ρ。。。，q。，。、．q。。。）
5．円周率πの無理数性
59
として，有理数αユを定める。このとき，
qrρユα。B（O）q。一ρ1λ（O〕
O＜αユ＝ ＝ αO λ（O〕
が成立するため，
B（O）q。＞ρ。λ（O〕≧q。λ（0）
が成り立つ。ここで，α1＝λ（1）／B（ユ）と定めると，B（1」λ（O〕とおける。以上より，B（O）＞λ（O）
である。以下，帰納的に｛α㎜惰＝1を定めると，
qm ． 片（ρm，＿，ρn＿1＋m，qm，＿％＿1＋m）
αm＿ユ＝ ，α㎜＿ユ＝11m
ρm＋αm n→oo Qれ（ρmゾ．．，ρn＿1＋m，qm，＿％＿ユ十m）
が成立する。ここで，αm一ユが有理数なら，αmもまた有理数となるので，自然数λ（m〕，B（m）が 存在して，
λ（m）
αm；
B（m）
と書ける。ここで，αmは，
qm一ρmαm＿1 q㎜B（m−1）一ρmλ（m−1） λ（㎜）
O＜αm＝ ： ＝
αm−1 λ（m一〕 B（m）
と書けるため，B（m）＝λ（m−1〕とおく。このとき，
qmB（m−1〕＞ρmλ（m一工）＝ρmB〔m）≧qmB（m）
ゆえに，自然数｛B（m）｝箒一1はB（m■ユ）＞B（m）を満たす。よって，
B（O）＞B（ユ）＞＿〉B（m…1）＞B（m）＞．．、
となってしまうため，いずれB（oが自然数でなくなってしまうため，これは矛盾となる。□
次に，ρれ＝2η＿1（η≧1），qユ：z，q、二＿ 2（η≧2）として，
Q。（ ）＝Qη（ρユ，＿，ρ帆，q。，．．．，qη），
片（ ）＝島（ハ，。一。，ρ帆，q1，．。．，q几），
。。zn l
F（・一・）＝1＋喜η1。（。・1）・（。・η一1）（・＞O），
zF（z；m＋！）
G（・；m）＝
mF（・；m）
と置く。このとき，次の補題が成立する。
7r 1
補題5．2．20＜ ＜一，m＝一十N（N；非負整数）に対して，
2 2
G（一・2／4；1／2）；一t… （5．2．3）
2
・…≦F（一・2／4；m）≦…h・ （5．2．4）
一・2／4
G（一・2／4，m）＝ （525）
m＋G（イ2／4；m＋1）
島（・）十2G（一・2／41（2叶1）／2）片一ユ（ ） ta」n ＝ （526）
Q。（・）十2G（一・2／4；（2叶！）／2）Q。一・（ ） が成り立つ。
証明まず，（5．2．3）式の証明から行う。
。。（一1）几・2冊 1 。。（一1）肌 2η
F（一・2／4，1／2）一1＋ ?cη1（・／・）（・／・）（（・卜・）／・）：看（・肌）1
こCOS ，
。。（一1）帆・2帖1 1 。。（一1）Vη十1
・F（一・2／4，3／2）一叶 ﾅ…η1（・／・）（・／・）（（・η・1）／・）二着（・η・・）1
＝Sin
以上のことより，G（イ2／4；1／2）は以下のように示される。
一（ 2／4）F（一π2／4；3／2）
G（一・2／4；1／2）＝
（！／2）F（一 2／4；1／2）
Sin ＝ こ一一tan 2cos 2
次に，（5．2．4）の証明を行う。上で示したことより，F（＿ 2／4；1／2）二。os である。また，m≧
3／2のとき，
4m≧6＞π2／4＞・2
4（2ん十1）（m＋2ん）＞4・3・！／2＞・2（ん≧1）
となる。以上の2点に注意すると，m≧3／2のとき，以下が成立する。
。。 （一1）η 2n
F（ ・2／抑）＝1＋ ?E・中1）。（。・1）・（・・1−1）
一ト㌫・シ、（2た）1、、（、べ（、十。ん．。）（・一γ（。た十手、十。ん））
＞0
5．円周率πの無理数性
61
次に，
〜・）一〜・・1）一 l｛、（、、1）
1z
η乙
・（m＋η一1）
z z 1
。・1＋ Gll（・・1）（。・・）
（m＋1）（m＋2）…
（、、、）／
（、十、、。）｛去一、÷、｝
z z 1
＝。（。・1）十 G（上1）1（・・1）（…）
1
・（m＋η一1）m（m＋η），
・F（・；m＋2）
F（・；m）一F（・；m＋1）＝ （5，2．7）
m（m＋1）
であるから，F（一 2／4；m）≧F（一 2／4；1／2）＝cos が成り立つ。一方，
・（一価）一・・書（非、（、、1）1（、十、．1）
2れ 1
≦ユ十喜・・川1／・）／（・／・）・・／・・／（l／・）・η一1／
＝cosh
よって，（5．2．4）が証明された。特に，G（イ2／4≡m）が意味をもっことがわかる。
次に，（5．2．5）について証明を行う。ここでは，（5．2．7）式に注意すると，以下のようになる。
G（一・2／4；m＋1）｛m＋G（一・2／4；m＋1）｝
一・（一・／抑・！）
o・・一一讐㍗÷ξ）｝
一・（一心・・1）｛・・m｛F（一が宍㌻÷竿m＋1）｝｝
一 2^4F（一 2／4；m＋2）（m＋1）F（一 2／4；m＋1）
（m＋1）F（一・2／4；m＋王） F（一・2／4；m＋2）
2
− 4
よって，（5．2．5）が証明された。
最後に，（5．2．6）の証明を，ηについての帰納法により証明する。まず，η＝1のとき，（5．2．3）
式，（5．2．5）式，及び片（ ）＝O，Qo（z）：1，P1（ ）＝ ，Q1（ ）＝；1より，以下のように式変換で
きる。
2
t・n・＝一一G（一・2／4；1／2）
z
一一
G（1／。十言劣尖。／。））
p1（・）十2G（一・2／4；3／2）片（・）
Q、（ ）十2G（一 2／4；3／2）Q。（ ）
ゆえに，η＝1のとき成り立つ。次に，ηのとき（512．6）が成り立つことを仮定すると，以下の ようになる。
片（ ）十2G（一・2／4；（2η十1）／2）片一。（・）
tan ＝
ρ。（・）十2G（一・2／4；（2η十1）／2）Q帆一・（ ）
片（ ）十2（一 2／4）｛（2η十1）／2｝十G（一⑦2／4；2η斗3／2）片一。（ ）
ρ仰（z）十2（一 2／4）｛（2η十1）／2｝十G（一 2／4；2η十3／2）Qη一（ ）
｛（2n＋1）十2G（一・2／4；2η十3／2）凪（・）一・2牝。（・）
｛（2η十1）十2G（一 2／4；2η十3／2）｝Q几（ ）一・2Q九一1（ ） 片。1（・）十2G（一・2／4；2η十3／2）P几（π）
ρ。。1（ ）斗2G（イ2／4；2η十3／2）Q。（ ）
よって，η十1のときに（5．2．6）が成立する。以上より，全ての自然数ηについて，（5．2．6）が成
り立つ。 □
7「
補題5．2．3一 一＜＿で が有理数のとき，
2
tan ：1im
九一→oo 1＋
一 2
＿ 2
3＋
5＋・．．
十
＿π2
＿ 2
2η一1＋
2η十1
である。
5．円周率πの無理数性
63
証明0＜ ＜π／2のとき， 2＜π2／4＜5／2より，
P。（ ）： ，易（ ）＝3
恥）一・・（・・）一が一郎） i・一手）・・躰）
島（・）＝ρ＾一。十q＾一・＞2（η一1）札・（ ） が成立すると仮定する。すると，以下の式が成立する。
片。。（・）一（2付1）片（・）一・2＾一。（・）＞2ηP、（・）十｛2（η一1）一・2｝片一。（・）＞2出（・）
よって，Qη（ ）≧2n一［（η一1）！1 ＞Oが成立する。さらに，
・…｛Q・（・）十2g（一・2／4；（2叶1）／2）Qη一・（・）｝
＝耳（・）十2G…2／4；（2η十1）／2）片一。（π）
＞島（ ）〉｛（η一1）！｝π
π
ゆえに，O＜ ＜一と，大きなηに対して，
2
ρ。（・）t…〉t・・ψ、（・）斗2G（一・2／4；（2叶1）／2）Q九一。（・）1 ＞ηP卜1（ ）
＞｛（η一1）！｝P1（ ）
が成立する。よって，
島（・）片一1（・）（一1）れ■ユq．q。＿％
ρ。（ ）Qトユ（ ） ρ・ρ・。。。ρ。
π2れ十1 ＝ ＞O ρ1ρ2… ρ帆 以上を総合して以下の式が成立．する。
片一。（ ）
O＜tan 一
Qη一ユ（ ） 2・■1
ρ。一。（ ）｛ρれ（・）十2G（一・2／41（2叶1）／2）Qη一。（・）｝
2n−1
≦
一Q帆（ ）Qれ＿1（ ） ・2『卜3（t・n・）2
≦
■［（η一1川η一2）！1 一10（η→・・）
ゆえに，