<論説>縮小写像の不動点定理(4)

全文

(1)論. 説. の. 木. 不動. 島. 洋. 定. 写像. 占ぃ. 縮. 小. 理. (4). 一. のコンパクト山部分集合Ⅹを考えるかわりに，. 1.. は. じめに. コンパクト距離空間Ⅹで，その距離に関して，ある不等式条件をみたすものを考えればよいと. この論説は藤田忠先生の退官を記念して掲載させていただいたものでもあり，著者は公私にわたる先生の厚情に対して謝意を表するものであ. る・. 本稿の目的は著者りによって最近得られた縮小写像の不動点定理を解説することにある・その定理は千横浜経営研究に縮小写像の不動点定理と題し㈲ ∼ (3)のシリーズを執筆中に得ら. いうことである，. 縮小写像の不動点定理は最近の非線形関数解析の発展と密接に関係しており，その重要性は今後ますます増大するものと期待されている・. 11. 不功点定理. 囲. Ⅹはコンパクト距離空間で，つぎの条件を. れたものである．. みたすものと. 縮小写像の不動点定理に関する研究の発端となったのは 1963 年に DeMarr" による定理「Ⅹ. ぁノモ. が Bma. すなわち，任意の点、 Ⅹに対して，ある点 zeX が存在して，. 不等式. 。h 空間のコン " クト山部分集合なら. (*). ば， X からそれ自身への縮小写像の commutative se 血 group. は共通不動点をもつ」であ. る・. この定理は 1969 年に T 荻 ahash げによって left. 皿lenable く. se ㎞ group. se ㎞ group の場合にまで一般化された・. さら. に， 1975 年に EguchP. ある. 合に一般化され，. オ Cz,ひ). く. がすべての点ぴ 6x. ん (ヱ，め十ん( ノ，め. 2. に対してなりたっ．ただ. しみはⅩの距離である．. の場合に一般化され，続. 1970 年に Mitchell 。 ) によって left reversible. left lnvarimt mean. 仮定する・. と著者によって，. 定理. Ⅹからそれ自身への縮小写像の left. reversible semigroup 尤は共通不動点をもつ・証明. Zo,n. の補題を用い，. 文 - 不変な空でな. を有する semlgroup の場. い admissible部分集合たちの中で包含関係に. 同時に， T 荻 ahashi の定理と. 関して極小であるものの存在が示される・極小. M 血 hell の定理の関係について一つの考察が得. Ⅹの部分集合が ad㎡ ssibleであるとは，そ. られた．. 著者は以上の諸結果に対して，縮小写像の性格上， B ㎝ ach 空間という枠組を取り去って距離空間という場で論じることが可能ではないかとっねづれ考えていたのであ. なものを A とする．. るが，それが実際. に可能であることが判明した・そのアイデアを簡単に言うと， Bmach. れが閉球たちの共通部分として表されることである． ad㎡ ssibIe 部分集合に注目したのほ T 荻 ahashi と著者めのアイデアによる． A は adInissible であることより，つぎの著しい性質を有する・すなわち. 空間. と点. 2. 。 Ⅹについて不等式. ，もし点ヱ，ノeA (,) がすべての点.

(2) 30 (30). ueX. 横浜経営研究 zeA. についてなりたっならば. 第Ⅷ 巻. である．. 第 1号. (1987). である．したがって，. 再び Zorn の補題を用い，冗 - 不変かつ空でな. ， C)玉サイ (9㌃ I,C)+サリ (.cn, の Ⅰ. ぱ (乙. い A のコンパクト部分集合たちの中で包含関. 係に関して極小であるものの存在が示される・極小なものを C とする．冗が left reversible であることと C が極小であることょり， C はすべての Te 丈について TCC=C という性質を有することが示される・これは Mitchell. い. (d"-2, め+. ま号声イ. Ⅰ. その点が共通. 不動点となって定理が証明されたことになるの十. で，背理法を用い，もし C が 2 点以上を含む. と仮定すると，ある矛盾が生じることを以下，ほとんど DeMa,,2). 示す・. 2"Ⅱ ピ (c2. め Ⅰ 上. 十. のアイデアによる・. C が 2 点以上を含むと仮定する・. く dianlC.. このとぎ，. A の部分集合 B をつぎのように定義する．. sup んね，めくdiamC ぉ e<7. がなりたつような点 aeA. 上 Ⅰ. 十手オ (C沖り. のアイデアである．. C がただ 1 点、よりなるならぱ，. ウん (Cn-l, め. すなわち，. の存在がつぎのよう. B 二 A の [ 臼 B(x, め ]. にして示される．. Ⅰモひ. C はコンパクトなので， ZO 「 n の補題を用い，虜 (、C 。，ら )=diamC. ただし Ⅰ 二 sup. (0 玉 i< ソ玉め. %任 0. がなりたつような極大な {c。， <,1,", 。")吏 C の存在が示される・そこで，点心，ロ，， ",. の. "eA. で， B( ヱ，めは中心ヱ，半径Ⅰの閉球を表す．. を，. 不等式. み焦%, ヱンノ 0. A は ad血 ssible部分集合なので， B の定義ょり B 自身も admissible部分集合である．再. ん (01Ⅳ ) 玉祝 (dk,ぴ). 圭. イ (、 co,め十ん. (cl,め. び B の定義より aeB. 2 虜 (クん. めが示されるので， B は A の空でない真部分. -T,ぴ) 十イ (cた，ぴ. 集合である．. Ⅰ. 2 く. ゐ二 2,3,".,. B がれⅠ. は. がすべての点 ueX に対してなりたつように選ぶ．それは定理の仮定によって可能で，まさにそこが著者のアイデアで， T 荻 ahash 田のアイデアをアレンジしたものであ o 二 aneA. る. とする。 C がコソパクトなことよ. り，ん㏄，め二. かつ免を B ㏄二 0 ， 1,",. sup んね，め珪ひ. 。 A かつ不等式み㏄，めくァがすべてのヱ。. C に対してなりたつことと同値であることに注意する・. A は光 - 不変であるので，すべての. Te 丈に対して Tb eA である，また，すべての Te 冗に対して TC 二 C であったから，任意のヱ eC と Te すが与えられたとぎ T ノニヱとなるようなノ 6C を選ぶことができるしたがら. って，ん (Tb, ヱ). がなりたつような点㏄ C が存在する・. (c。，免， ",c") が極大なことより，. み. 簿不変であることを示す．条件&eB. ある番号. ゐ. 二リ (T&,T ノ) く %0 ，ノリく Ⅰ. より T も 6B が示される・不等式み (728,Tノ). について，イ C偽，めくdiamC. 圭ピの，ノ). がなりたっことは， T が縮小写像であることに.

(3) 縮小写像の不動点定理 (4) (木島洋一 ). (31)@31. 定理の仮定において，距離空間x はコンパ. 他ならない．以上ょり， B は簸不変な空でない ad ㎡ ssible 部分集合で，しかも A の真部分集合であることが示された，. これは A が極小であることに. クトであるという他に不等式 (,)に関する仮定がなされている・便宜上，不等式い ) に関する仮定を仮定 (,) と言ことにする．う. 一般の距離空間 x について，つぎの 3 条件. 矛盾する，. を考える・すなわち，. I11.. 定理の検討と問題. い. ). ( 五). 定理の系として「Ⅹからそれ. 自身への任意の. 縮小写像 T は不動点をもっ」が得られる・. こ. の系を既知の不動点定理と比較してみるのほ興味深い・. Lefsche 比の不動点定理「Ⅹが完備な距離生間で，Ⅹからそれ自身への写像 T がつぎの条. X は仮定 (,)をみたす． X からそれ自身への任意の縮小写像は. 不動点をもっ． (iii) X は位相空間として連結である．距離空間Ⅹがコンパクトであるという前提のもとでは，上記の 3 条件の論理的な強弱は， (0 ， (め， Cmii)の順で，あとの条件ほど弱くなっている・いいかえれば，. (0)今 0i0)= 今 (iめ. 件をみたすならば， T の不動点がちょうどェっ. 存在する・その条件とは，Ⅹの距離をるとぎ，. イ. とす. X の任意の 2 点ヱ，ノに対して，つれ. に不等式イ」 Txヱ，T. がなりたっ．ただし. (i)今 ( めは定理の糸そのものであるから， ( め令 Ciji) を背理法によって示してみる．ただし位相空間と距離空間についての. が玉。オ鰻，力 c は O く。く 1 をみたす定. 数である」． Edelstein の不動点定理「 x がコンパクトな距離空間で，. である．. 基礎知識を. 必要とする． X が連結でないと仮定すると， X の空でない開部分集合 C 、， C, で， C 、 uC,. X からそれ自身への写像 T がつ. 二. Ⅹかつ C,nC,. 二め. ぎの条件をみたすならば， T の不動点がちょう. となるものが存在する・ X がコンパクトである. ど 1 つ存在する・. から，閉部分集合 C,, C, はともにコン " クト. その条件とほ， X の距離をイ. とするとぎ， X の任意の異なる. 2. 点ヱ，ノに村. が存在して，不等式. して，つねに不等式み (T. ヱ， T つくは㎏，の. がなりたっ」．縮小写像に関しては，その性格上，不動点の. 一意性を望むのは無理であるから，不動点の存在のみに注目して，定理の糸， Lefschetz の定理， Edelstein. である，これより，ある点 c 、 eC 、と点 c,eC,. の定理について，それらの内容. ピ㏄・， c,)三 %. ㎏、，ヱ， ) がすべての点篆。 C 、と点ヱ， eC, についてなりたつ．. X からそれ自身への写像 T を， c, (ヱ eC, のとき ) セ二 c, CreC ヱ。 C,。の O@:@) とぎ. 7. （. を比較検討してみる・距離空間Ⅹについての仮定の論理的な強弱は， Lefsche 比の定理， Edelsteln の定理，定理. である．. の糸の順で，あとになるほど強くなっており，. Cii)は必らずしもなりたたない・. 一方，写像T についての仮定の論理的な強弱. 周がそのょうな反例を与えるからである．それでは，㎝ ) 今㈲ほついてはどうか ?. は逆に弱くなっているのでいる・. ，. つじつまが合って. と定めれば，. 問題. T は不動点をもたない縮小写像. コンパクト距離空間について，. ⑪) 今. なぜなら，円. 仮定 (,) をみたすコンパクト距離空間の典型.

(4) 的な例はもちろん. 横浜経営研究. Bmach. 第Ⅷ巻. 空間のコン，; クト西. ?. また，前稿㈹∼ (3)と本稿に関連したものとし. 宜上， B タイプの距離空間とよんだ・コンパク. トな距離空間は B タイプである ) が仮定 (,) をみたすならば，Ⅹからそれ自身への任意の縮小写像は不動点をもっか ?. aL 1. て，つぎの問題をあげる．問項有限交叉性をもつ閉球の族は空でない共通部分をもっという性質を有する有界な距離空間 X( 前稿では，このょうな距離空間を，便. 7 4 5 6 ︶ 0ノ︶ムヘ O. 部分集合である．問題仮定 (,)をみたすコンパクト距離空間は，ある Banach 空間のコソパクト山部分集合と等距離同型になるか. 第 1 号 (1987). W6Ⅰf Ⅰ ニ・ー・駐. 32@ (32). 参考文献 1)@. M ， Eguchi ， Y ， Kijma. ， A@ note@. on@. Mitchell. ，s. ( きじまよ. う. いち. 横浜国立大学経営学部教授. コ.

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