対称空間入門

対称空間入門

—

— (

)

田崎博之

2010

(

1

2010

11

11

–13

)

(

2

2011

3

16

–18

)

はしがき

2010

8

講義の内容はすぐに決まりました。この講義以前の私のホームページの「講義 ノートに関する説明」のページに次のように書いていました。「今までに対称空間 に関する幾何学の研究は数々おこなってきましたが、結局その基礎に関する講義 はしないままになっています。いずれは対称空間の基礎的な講義をしようと思っ ています。」こう思いながらもなかなかその機会はありませんでした。今回依頼を 受けた講義は対称空間の話をするいい機会だと感じ、講義の内容は対称空間に決 めました。

講義の内容が決まったといっても、対称空間の基本的事項を証明付きで解説す るとなると

Helgason

Grassmann

Lie

具体的に講義内容を吟味し始めると、対称空間の話を始める前に

Lie

Lie

Riemann

と感じました。これらについてはそれ以前に何度か講義をしていたので、その講 義ノートから必要事項を抜き出して並べるとこれらの基本事項の一般論の部分に なりました。古典型

Lie

Grassmann

準備の章がおおむねできあがりました。

次に

Riemann

展開しました。この一般論を

Grassmann

Lie

Riemann

大阪市立大学の数学事務から届いた連続講義の事務的手続きに関するメールに は、第

1

11

2

1

ii

2

(A)

Lie

(B) Chen-Nagano

(A)

2010

12

4

(土)

2

(A)

講義をした

11

11

(木)

13

(土)

感謝しています。その板書の記録を参考にしながら講義ノートを完成させました。

2010

11

29

講義概要

各点で点対称を持つ

Riemann

Riemann

射影空間や

Grassmann

Lie

Riemann

Riemann

Lie

Lie

さらにそれらを利用して

Riemann

Grassmann

Riemann

Riemann

Lie

第

2

この連続講義の第

1

2010

11

11

2

2

(A)

Lie

(B) Chen-Nagano

から対称空間の講義内容としては標準的な

(A)

2

3

16

(水)

18

(金)

通常の講義や入試の終わった後は比較的準備に時間をとることができ、3月

11

(金)

3

15

(火)

(TX)

10:30

20:00

TX

Helgason

[1]

講義初日の

16

Helgason

おかげさまで講義の準備に役立てることができました。今回の講義の最初に第

1

(定義 2.1.1)、対称空間か

(定理 2.1.3)、この対合的自己写

Riemann

(定義 2.1.5)、逆に Riemann

(定理 2.1.6)

2.1.5

義した

Riemann

Lie

Lie

のコンパクト型・非コンパクト型・Euclid型の定義、分解、双対性、既約分解、分 類などを扱うことと、そのためには複素半単純

Lie

3

Lie

4

Helgason

[1]

3

4

Lie

sl(n, C)

sl(n, R)

su(n)

Lie

Lie

[2]

Weyl

iv

2

この連続講義の第

3

2011

2

(B) Chen-Nagano

今回の講義期間

3

16

(水)

18

(金)

2

2011

3

23

第

2

対称空間の構造を詳しく調べるために、対称空間の性質を等長変換群の

Lie

Lie

Lie

Lie

Lie

Lie

Lie

Lie

目 次

はしがき

. . . . i

講義概要

. . . . ii

第

2

. . . . iii

第

2

. . . . iv

第

1

1 1.1 Lie

Lie

. . . . 1

1.2 Riemann

. . . . 7

1.3 Riemann

. . . . 10

1.4 Grassmann

. . . . 14

第

2

Riemann

19 2.1 Riemann

. . . . 19

2.2

. . . . 22

2.3

Lie

. . . . 25

第

3

Lie

31 3.1

Lie

. . . . 31

3.2 Cartan

. . . . 33

3.3

Lie

. . . . 37

3.4

Lie

. . . . 39

第

4

43 4.1

Lie

. . . . 43

4.2

. . . . 45

4.3

. . . . 46

4.4

. . . . 48

4.5

. . . . 48

4.6

. . . . 50

4.7

. . . . 51

参考文献

. . . . 54

1

第 1 _{章 準備}

この章では

Riemann

Lie

Lie

Riemann

Grassmann

R、複素数体 C、または四元数体 H

1.1 Lie

Lie

定義

1.1.1

G

G × G → G; (x, y) 7→ xy, G → G; x 7→ x ⁻¹

が

C ^∞

Lie

e

例

1.1.2 V

V

GL(V )

Lie

ⁿ )

GL(n, R)

)

複素一般線形群、四元数一般線形群も同様に定義する。

定義

1.1.3 Lie

G

g

L _g , R _g

L _g : G → G; x 7→ gx, R _g : G → G; x 7→ xg

によって定め、それぞれ

g

X

G

g

(dL _g ) _x (X _x ) = X _gx (x ∈ G)

を満たすとき左不変ベクトル場と呼ばれる。右不変ベクトル場も同様に定義できる。

定義

1.1.4

g

[ , ] : g × g → g

X, Y, Z ∈ g

[X, Y ] = −[Y, X], [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X ] + [[Z, X], Y ] = 0

が成り立つとき、gを

Lie

g

h

[ , ]

g

Lie

Lie

g

Lie

g

Lie

例

1.1.5

M

X(M )

Lie

[ , ]

Lie

例

1.1.6 V

End(V )

X, Y

[X, Y ] = XY − Y X

End(V )

Lie

Lie

gl(V )

ⁿ )

gl(n, R)

定理

1.1.7 G

Lie

g

G

Lie

X(G)

Lie

α : g → T _e G; X 7→ X _e

は線形同型写像になる。特に

dim g = dim T _e G = dim G

定義

1.1.8 Lie

G

Lie

g

Lie

G

Lie

定義

1.1.9 Lie

C ^∞

f : G → H

f

Lie

f

f ⁻¹

⁻¹

Lie

Lie

Lie

G

H

f : g → h

[f (X), f (Y )] = f ([X, Y ]) (X, Y ∈ g)

を満たすとき、fを

Lie

f

f ⁻¹

Lie

g

h

命題

1.1.10 G

Lie

G

G 0

0

G

Lie

Lie

G

G ₀

定理

1.1.11 GL(n, R)

gl(n, R)

T _e (GL(n, R))

gl(n, R)

GL(n, R)

Lie

g

∈ gl(n, R)

X ˜ ∈ g

X ˜ _g = (dL _g ) _e (X) (g ∈ GL(n, R))

˜ : gl(n, R) → g ; X 7→ X ˜

Lie

上記定理より

GL(n, R)

Lie

XY − Y X

1.1. Lie

Lie

3

1.1.12

R

Lie

Lie

G

Lie

G

定理

1.1.13 G

Lie

Lie

g

g

G

1

1

∈ g

X

c : R → G

c(0) = e

1

G

∈ g

c

G

c

1.1.7

dc

dt (0) ∈ T _e G

g

X

c

今後、Kは

R、C

H

定義

1.1.14 n

K

M _n (K)

∈ M _n (K)

e ^X =

X ∞

k=0

1 k! X ^k

によって

e ^X

命題

1.1.15 X, Y ∈ M n (K)

P ∈ GL(n, K)

(1) e ^{P XP}

= P e ^X P ⁻¹ .

(2) XY = Y X

e ^{X +Y} = e ^X e ^Y

(3) e ^X

^X ) ⁻¹ = e ^−X . (4) d

dt e ^tX = e ^tX X = Xe ^tX .

例

1.1.16 GL(n, K)

K)

gl(n, K)

∈ gl(n, K) ∼ = T e (GL(n, K))

GL(n, K)

X ˜

X ˜ _g = gX (g ∈ GL(n, K))

GL(n, K)

c

dc(t)

dt = c(t)X (t ∈ R), c(0) = e

e ^tX

定義

1.1.17 G

Lie

Lie

g

X ∈ g

1.1.13

X

c : R → G

c(0) = e

exp X = c(1)

exp : g → G

Lie

G

exp : g → G

C ^∞

例

1.1.18

1.1.16

GL(n, K)

Lie

gl(n, K)

X

e ^tX

K)

命題

1.1.19 G

Lie

Lie

g

1.1.13

X ∈ g

G

t 7→ exp tX

定理

1.1.20 Lie

G

Lie

g

exp

g

0

G

e

d exp ₀ = α : g → T _e G

exp

g

0

G

e

多様体

X

C ^∞

C ^∞ (X)

命題

1.1.21 G

Lie

Lie

g

X, Y ∈ g, f ∈ C ^∞ (G), g ∈ G

(Xf )(g) = d

dt f (g exp tX )

¯ ¯

¯ ¯

t=0

([X, Y ]f )(g) = ∂

∂s

∂

∂t f (g exp sX exp tY (exp sX) ⁻¹ )

¯ ¯

¯ ¯

s=t=0

.

(Xf )(g) = df (X _g ) = df(dL _g X _e ) = df µ d

dt

¯ ¯

¯ ¯

t=0

g exp tX

¶

= d

dt f (g exp tX)

¯ ¯

¯ ¯

t=0

.

1.1.22 Lie

G

G

Lie

g

X, Y

[X, Y ] = 0

定義

1.1.23 Lie

g

X, Y

[X, Y ] = 0

1.1.22

Lie

Lie

命題

1.1.24 Lie

Lie

Lie

定理

1.1.25 G, H

Lie

Lie

g, h

f : G → H

Lie

1.1.7

α _G : g → T _e G, α _H : h → T _e H

= α _H ⁻¹ ◦ df _e ◦ α _G : g → h

Lie

g −−−→ ^df h

α

 

y ^{∼ = ∼ =}

 

y ^α

T _e G −−−→ ^df

T _e H

1.1. Lie

Lie

5

1.1.26 Lie

f : G → H

= α ⁻¹ _H ◦ df _e ◦ α _G : g → h

f

1.1.25

Lie

Lie

命題

1.1.27 A, B, C

Lie

Lie

a, b, c

A

a

f : A → B, g : B → C

Lie

◦ f) = dg ◦ df : a → c

系

1.1.28 A, B

Lie

Lie

a, b

: A → B

Lie

: a → b

Lie

一般に上の系の逆は真ではない。被覆準同型写像は同型にはならないが、その 微分は

Lie

命題

1.1.29 G, H

Lie

Lie

g, exp _G

h, exp _H

: G → H

Lie

f(exp _G X) = exp _H (df(X)) (X ∈ g).

g −−−→ ^df h

exp

  y

  y ^exp

G −−−→ ^f H

定義

1.1.30 Lie

G

V

G

GL(V )

Lie

G

g

V

gl(V )

Lie

g

命題

1.1.31 Lie

g

X

ad(X)(Y ) = [X, Y ], Y ∈ g

ad(X) ∈ gl(g)

ad : g → gl(g)

Lie

定義

1.1.32 Lie

g

ad : g → gl(g)

g

定理

1.1.33 Lie

G

g

L g ◦ R _g

: G → G

G

) = d(L _g ◦ R _g

)

Lie

g

∈ GL(g)

g exp(X)g ⁻¹ = exp(Ad(g)X) (g ∈ G, X ∈ g)

Ad : G → GL(g)

Lie

Ad

g

ad

定義

1.1.34 Lie

G

Ad : G → GL(g)

G

g exp X = g exp Xg ⁻¹ g = exp(Ad(g)X)g

例

1.1.35

V

GL(V )

1.1.18

)

g ∈ GL(V ), X ∈ gl(V )

Ad(g)X = d

dt (ge ^tX g ⁻¹ )

¯ ¯

¯ ¯

t=0

= d

dt e ^tgXg

¯ ¯

¯ ¯

t=0

= gXg ⁻¹ .

定義

1.1.36 Lie

H

Lie

G

Lie

G

H

G

定理

1.1.37 G

Lie

H

G

G

Lie

定義

1.1.38

Lie

Lie

定義

1.1.39 V

SL(V ) = {g ∈ GL(V ) | det g = 1}

と表すと、SL(V

)

Lie

)

)

Lie

sl(V )

) = {X ∈ gl(V ) | trX = 0}

ⁿ

Lie

SL(n, R), sl(n, R)

K = R, C

− {0}

Lie

GL(V ) → K − {0}

Lie

d(det) = tr : gl(V ) → K

四元数の場合には、実数や複素数の場合のように行列式を定義できないので、特 殊線形群を同様に考えることはできない。

定義

1.1.40 R ⁿ

O(n)

O(n) = {g ∈ GL(n, R) | ^t gg = 1 _n }

となり、O(n)は線形

Lie

O(n) ∩ SL(n, R)

R ⁿ

h , i

hgX, gY i = hX, Y i (g ∈ O(n), X, Y ∈ R ⁿ )

が成り立つ。これを微分することにより

O(n)

Lie

o(n)

o(n) = {T ∈ gl(n, R) | hT X, Y i + hX, T Y i = 0}

= {T ∈ gl(n, R) | T

}.

これより、dim

O(n) = n(n − 1)/2

O(n) ₀ = SO(n)

SO(n)

Lie

1.2. Riemann

7

1.1.41 K = C, H

K ⁿ

Hermite

U (n), Sp(n)

∈ M _n (K)

X ^∗ = ^t X ¯

U(n) = {g ∈ GL(n, C) | g ^∗ g = 1 _n }, Sp(n) = {g ∈ GL(n, H) | g ^∗ g = 1 _n }

となり、U(n), Sp(n)は線形

Lie

U(n) ∩ SL(n, C)

(n), Sp(n), SU(n)

Lie

u(n), sp(n), su(n)

u(n) = {T ∈ gl(n, C) | X ^∗ + X = 0}, sp(n) = {T ∈ gl(n, H) | X ^∗ + X = 0},

su(n) = {T ∈ gl(n, C) | X ^∗ + X = 0, trX = 0}.

これらより、dim

U (n) = n(n − 1) + n = n ² , dim Sp(n) = 2n(n − 1) + 3n = n(2n + 1), dim SU (n) = n ² − 1

(n), Sp(n), SU(n)

1.2 Riemann

定義

1.2.1

M

p ∈ M

T _p M

h , i _p

C ^∞

X, Y

hX, Y i

M

C ^∞

, i

M

Riemann

h , i)

Riemann

Euclid

定義

1.2.2 Riemann

(M, h , i)

c : [a, b] → M

L(c)

L(c) =

Z _b

a

hc ⁰ (t), c ⁰ (t)i ^1/2 dt

∈ M

d(p, q) = inf{L(c) | c

p

q

}

d(p, q)

命題

1.2.3

1.2.2

d

Riemann

定理

1.2.4 Riemann

(M, h , i)

X, Y, Z

h∇ X Y, Zi = 1

2 (XhY, Zi + Y hZ, Xi − ZhX, Y i + h[X, Y ], Z i − h[Y, Z ], Xi + h[Z, X], Y i)

∇ _X Y

∇ _X Y − ∇ _Y X = [X, Y ], ∇ _X hY, Zi = h∇ _X Y, Zi + hY, ∇ _X Zi

定義

1.2.5

1.2.4

∇

Riemann

Levi-Civita

X Y

Y

X

R(X, Y )Z = ∇ _X ∇ _Y Z − ∇ _Y ∇ _X Z − ∇ _{[X,Y ]} Z

R

定義

1.2.6 Riemann

(M, h , i)

c

X

c

(t) X

c

(t) c ⁰ (t) = 0

c(t)

定義

1.2.7

∈ M

X ∈ T _p M

0

I

γ _X : I → M

γ X (0) = p, γ _X ⁰ (0) = X

を満たすことがわかる。Exp

_p (X) = γ _X (1)

_p : B _p → M

B _p

T _p M

T _p M

Exp _p

M

指数写像を使うと

p

X ∈ T p M

t 7→ Exp _p (tX )

Riemann

定理

1.2.8 (Hopf-Rinow)

Riemann

M

(1)

p ∈ M

Exp _p

T _p M

(2)

p ∈ M

Exp _p

T _p M

(3) M

d

1.2. Riemann

9

p, q ∈ M

p, q

定義

1.2.9

1.2.8

Riemann

Riemann

定義

1.2.10 M

Riemann

p ∈ M

X ∈ T p M

t(X) = sup{s > 0 | Exp _p (uX)(0 ≤ u ≤ s)

}

C ˜ _p (M ) = [

X∈TpM

|X|=1

t(X)X, C _p (M ) = Exp _p ( ˜ C _p (M ))

によって、Mの

p

C ˜ _p (M)

C _p (M )

C ˜ _p (M )

∞

X

M = E ⁿ

X

t(X) = ∞

C ˜ p (E ⁿ ) = ∅, C p (E ⁿ ) = ∅

M

S ⁿ

X

t(X) = π

C ˜ _p (S ⁿ ) = {Y ∈ T _p S ⁿ | |Y | = π}, C _p (S ⁿ ) = {−p}

一般の連結完備

Riemann

M

B _p = [

X∈TpM

|X|=1

{uX | 0 ≤ u < t(X)}

とおくと、B

_p

n

_p : B _p → M − C _p (M)

= (M − C p (M )) ∪ C p (M )

C _p (M )

M

定義

1.2.11

2

Riemann

M

p

T _p M

2

σ

K _σ = hR(X, Y )Y, Xi

|X ∧ Y | ² (X, Y

σ

とおき、K

_σ

σ

∧ Y |

X, Y

M = 2

Gauss

定義

1.2.12

2

Riemann

M

X, Y

Ric(X, Y ) = tr(Z 7→ R(Z, X)Y )

によって

M

(0, 2)

Ric

Ricci

単位接ベクトル

X

Ric(X, X)

X

Ricci

Einstein

完備

Riemann

定理

1.2.13 (Cartan) M

Riemann

0

p

Exp _p : T _p M → M

定理

1.2.14 (Myers) M

Riemann

c

任意の単位接ベクトル

X

Ricci

Ric(X, X ) ≥ c

π ₁ (M, p)

上の二つの定理は

Riemann

1.3 Riemann

定義

1.3.1 M

G

Lie

C ^∞

G × M → M ; (g, x) 7→

g · x

g ₁ , g ₂ ∈ G, x ∈ M

G

e

(g 1 g 2 ) · x = g 1 · (g 2 · x), e · x = x

が成り立つとき、Gを

M

Lie

x, y ∈ M

g ∈ G

g · x = y

G

M

定理

1.3.2 G

Lie

H

G

Lie

π : G → G/H ; g 7→

gH

G

H

G/H

{O ⊂ G/H | π ⁻¹ (O)

G

}

G/H

G × (G/H ) → G/H ; (g, xH) 7→ gxH

によって

G

G/H

Lie

G/H

定義

1.3.3 G

Lie

H

G

Lie

1.3.2

G/H

G

G/H

Lie

定理

1.3.4 G

M

Lie

G

∈ M

G _p = {g ∈ G | g · p = p}

とおくと、G

_p

G

Lie

α : G/G _p → M ; gG _p 7→ g · p

G/G _p

M

1.3. Riemann

11

1.3.5 Riemann

Lie

その

Riemann

Riemann

計量を、両側不変

Riemann

命題

1.3.6 Lie

G

Riemann

Lie

g

Riemann

Ad(G)

随伴表現

Ad

(定理 1.1.33)

g

Ad(g) = d(L _g ◦ R _g

) = dL _g ◦ dR _g

となり、Gの両側不変

Riemann

Ad(G)

定理

1.3.7 G

Hausdorff

G

Radon

µ _G

(1) µ _G (G) = 1

(2) G

µ _G

f

g ∈ G

Z

G

f (gx)dµ G (x) = Z

G

f(x)dµ G (x) (3) G

µ _G

f

g ∈ G

Z

G

f (xg)dµ _G (x) = Z

G

f(x)dµ _G (x) (4) G

µ _G

f

Z

G

f (x ⁻¹ )dµ G (x) = Z

G

f(x)dµ G (x)

定義

1.3.8

1.3.7

Hausdorff

G

Haar

注意

1.3.9

G

µ _G (X) = #X

#G (X ⊂ G)

によって

G

µ _G

f

Z

G

f dµ _G = 1

#G X

g∈G

f (g )

となり、µ

_G

1.3.7

Hausdorff

Haar