対称空間入門 ( 第 3 回 )

対称空間入門 ( 第 3 回 )

—

— (

)

田崎博之

2011

(2012

3

7

–9

)

2010

(

1

2010

11

11

–13

)

(

2

2011

3

16

–18

)

はしがき

2010

3

Hermite

R

Riemann

Hermite

Hermite

R

Riemann

Hermite

R

R

Hermite

Hermite

次に対称空間の極地と対蹠集合に関する解説をします。極地とは

Riemann

Riemann

Riemann

型

Hermite

R

ます。コンパクト型

Hermite

R

Lie

Lie

Hermite

[11]

[9]、[10]

Hermite

Hermite

二つの実形の交叉は対蹠集合であるというこの講義ノートで述べた結果は、二つ の実形に関する

Floer

Lagrange

[4]

に応用できました。この実形の交叉の対蹠性の拡張とその応用については現在も 共同研究が進展中です。今後のこの方面の研究の進展にこの講義ノートが役に立 てばと願っています。

連続講義の第

3

2012

3

11

ii

講義概要

Riemann

R

型

Hermite

R

クト型

Hermite

Chen-Nagano

の導入した極地の基本的部分を説明します。これらを利用して対称

R

パクト型

Hermite

目 次

はしがき

. . . . i

講義概要

. . . . ii

第

5

R

1 5.1 Hermite

. . . . 1

5.2

Hermite

. . . . 5

5.3

R

. . . . 8

第

6

12 6.1

. . . . 12

6.2

. . . . 17

6.3

R

. . . . 22

6.4

Hermite

. . . . 25

6.5

Hermite

. . . . 29

参考文献

36

1

第 5 _{章 対称} R _空間

Riemann

R

説する。コンパクト型

Hermite

R

R

5.1 Hermite

定義

5.1.1 M

Hermite

x ∈ M

M

s

s

Hermite

定義より

Hermite

Riemann

命題

5.1.2 Hermite

M

G

G

M

∈ M

K = { k ∈ G | ko = o }

(G, K)

M

Riemann

M

K¨ ahler

Riemann

Riemann

[12]

2.1.5

Hermite

命題

5.1.3 [12]

2.1.6

o

J

= − 1

Ad(K)

G/K

G

J

J

Hermite

定理

5.1.4 Hermite

M

G

∈ M

= { k ∈ G | ko = o }

Lie

k

o

J

{ adT | T ∈ k }

s

K

上記の結果より、正則等長変換群の単位連結成分が半単純である場合、Hermite 対称空間の概複素構造を見つけだすためにはイソトロピー部分群の

Lie

例

5.1.5

(SU(r + n), S(U (r) × U (n)))

Grassmann

G

( C

)

S(U (r) × U(n)) = {[

A 0 0 B

] A ∈ U(r), B ∈ U (n), det A det B = 1 }

の

Lie

s(u(r) × u(n)) = {[

X 0 0 Y

] X ∈ u(r), Y ∈ u(n), trX + trY = 0 }

の中心

z(k)

z(k) = {[

r

1

0 0 −

1

] t ∈ R }

.

Lie

su(r + n) = s(u(r) × u(n)) + m

m = {[

0 X

− X

0

] X ∈ M

( C ) }

が成り立つ。ad(z(k))の

m

[[

r

1

0 0 −

1

] ,

[

0 X

− X

0 ]]

= [

0

X

− (

X)

0 ]

となる。mを

M

( C )

z(k)

i(r + n)t/rn

t = rn/(r + n)

i

J = [

r+n

1

0 0 −

1

]

∈ z(k)

(adJ )X = iX, (adJ)

X = − X (X ∈ m)

が成り立つ。さらに、

adJ

m

[12]

1.4 Grassmann

m

adJ

Grassmann

G

( C

)

G

( C

)

Hermite

r = 1

G

( C

)

n

C P

C P

C

1

z = (z

, . . . , z

) 6 = 0

∈ C

− { 0 }

C P

C z = C w

z

f (z)

C P

{C z ∈ C P

| f (z) = 0 }

{C z ∈ C P

| z

= 0 }

C P

と

Hermite

5.1. Hermite

3

5.1.6 r + n

R

r

G ˜

( R

)

G ˜

( R

)

Grassmann

G ˜

( R

)

G

( R

)

G ˜

( R

)

rn

SO(r + n)

G ˜

( R

)

R

o

{ k ∈ SO(r + n) | ko = o } = SO(r) × SO(n)

が成り立つことがわかる。これらによって、

G ˜

( R

)

SO(r +n)/SO(r) × SO(n)

( R

)

G ˜

( R

)

Riemann

を定め

Riemann

有向実

Grassmann

G ˜

( R

)

∧

R

x ∈ G ˜

( R

)

x

, . . . , x

x

∧

· · · ∧ x

∈ ∧

R

G ˜

( R

)

∧

R

この写像の像

{

x

∧ · · · ∧ x

∈

∧

R

x

, . . . , x

R

}

は

Euclid

∧

R

G ˜

( R

)

r = 2

SO(2) × SO(n)

Lie

o(2) × o(n)

z(k)

z(k) = o(2) × { 0 } . Riemann

Lie

o(2 + n) = o(2) × o(n) + m

m = {[

0 X

− X

0

] X ∈ M

( R ) }

.

A =



 

0 1 0

− 1 0 0 0 0 0



  ∈ z(k)

とおくと

(adA)

X = − X (X ∈ m)

が成り立つ。さらに、adAの

m

1.4 Grassmann

m

G ˜

( R

)

の概複素構造を定め、これによって

G ˜

( R

)

Hermite

v ∈ G ˜

( R

)

x, y

= x + iy ∈ C

C z ∈ C P

G ˜

( R

)

C P

{C (x + iy) ∈ C P

| x, y

R

}

∑

z

=

∑

(x

+ iy

)

=

∑

(x

− y

+ 2ix

y

) = 0

C P

Q

( C ) = {C z ∈ C P

| z

+ · · · + z

= 0 }

に含まれる。さらに、これらは一致することもわかる。そこで、これらを同一視 して

G ˜

( R

)

例

5.1.7

σ : H → H

σ(x

+ x

i + x

j + x

k) = x

+ x

i − x

j − x

k (x

, x

, x

, x

∈ R )

iqi

= σ(q) (q ∈ H )

が成り立つ。四元数行列の各成分に

σ

σ

= i1

IXI

= σ(X) (X ∈ M

( H ))

が成り立つ。これより

σ

Sp(n)

Sp(n)

σ

(σ, Sp(n)) = U (n)

(n))

Riemann

Lie

sp(n)

σ

± 1

sp(n) = u(n) + m, m = { X ∈ sp(n) | X ∈ M

( R j + R k) }

である。X

∈ m

IX = σ(X)I = − XI

J = I/2 ∈ u(n)

(adJ )X = 1

2 (IX − XI ) = IX, (adI)

X = I

X = − X.

これより

Sp(n)/U (n)

Hermite

5.2.

Hermite

5

補題

5.1.8 M

Hermite

連結成分

G

M

G

G = G

補題

5.1.8

Riemann

([12]

の定義

4.3.1)

Hermite

定理

5.1.9

Hermite

単連結コンパクト型対称空間の既約対称空間の

Riemann

([12]

4.3.7)

Hermite

Hermite

命題

5.1.10

Hermite

[12]

4.3.7

Hermite

Hermite

[12]

4.3.7

Hermite

定義

5.1.11 M

Hermite

0

X

X

1

2

X

定理

5.1.12

Hermite

パクト型

Hermite

定義

5.1.13 D

C

x ∈ D

D

s

s

定理

5.1.14

Hermite

Her- mite

Hermite

5.2

Hermite

定理

5.2.1 g

Lie

= Int(g)

G

h , i

∈ g, J 6 = 0

(adJ)

= − adJ

J

G

M = G · J

Hermite

クト型

Hermite

証明の概略

K = { k ∈ G | kJ = J }

G/K

K

Lie

k

k = { X ∈ g | [J, X ] = 0 } = ker(adJ )

が成り立つ。特に

J ∈ k

h , i

k

m

m = { [J, X] | X ∈ g } = im(adJ )

が成り立つ。(adJ)³

= − adJ

σ = e

g

σ

1

σ

− 1

G

σ

(G, K)

Riemann

m

adJ

|

)

= − 1

|

m

したがって、M

= G/K

Hermite

逆に、Mをコンパクト型

Hermite

G

Lie

g

g

J

(adJ)

= − adJ

Ad(G)J

定理

5.2.1

Hermite

よる表示を得る。そのために岩澤分解を準備する。

g

Lie

= k

+ p

Cartan

a

g

h

Lie

g

Cartan

3.2.5

h

h

= √

− 1k

∩ h

+ a

a

(h

)

h

∆

∈ ∆

g

∆

= { α ∈ ∆ | α > 0 }

P

= { α ∈ ∆

| α |

6 = 0 }

P

n = ∑

α∈P+

g

, n

= g

∩ n, s

= a + n

とおく。すると、nは

g

Lie

n

g

Lie

g

Lie

定理

5.2.2 (

)

= k

+ a + n

g

(g

, k

)

Riemann

n

G

Lie

A, N

K × A × N → G ; (k, a, n) 7→ kan

G

5.2.

Hermite

7

u = k

+ √

− 1p

, a

= k

∩ h

+ √

− 1a, n

= ∑

α∈∆⁺

g

とおくと、uは

g

u

g

Lie

定理

5.2.3 (

)

Lie

g

= u + a

+ n

g

G

a

, n

G

Lie

U, A

, N

U × A

× N

→ G

; (u, a, n) 7→ uan

G

Lie

注意

5.2.4

Lie

G

Int(g

)

定理

5.2.1

Lie

パクト型

Hermite

単純

Lie

Lie

命題

5.2.5 u

Lie

= Int(u)

0

X ∈ u

U · X

証明の概略 コンパクト半単純

Lie

Riemann

Lie

Lie

Riemann

([12]

2.2.4

2.3

H ∈ U · X ∩ a

U

= { u ∈ U | u · H = H }

とおくと

U · X ∼ = U/U

Lie

u

u

= { Z ∈ u | [H, Z] = 0 }

となり、

u

+ a

+ n

= h

+ ∑

α∈∆ α(H)=0

g

+ ∑

α∈∆+

α(H)6=0

g

は

u

= g

Lie

U

A

N

U

=

Int(u

) = Int(g

)

Lie

U/U

∼ = U A

N

/U

A

N

=

U

/U

A

N

例

5.2.6 su(r+n)

sl(r+n, C )

[12]

3.2.4

sl(r+n, C )

Cartan

h

5.1.5

J

3.2.4

{ α ∈ ∆ | α(J) = 0 } = { α

| 1 ≤ i 6 = j ≤ r } ∪ { α

| r + 1 ≤ i 6 = j ≤ r + n } . i < j

α

> 0

{ α ∈ ∆

| α(J) 6 = 0 } = { α

| 1 ≤ i ≤ r, r + 1 ≤ j ≤ r + n }

となる。命題

5.2.5

sl(r + n, C )

Lie

p

p = {[

X Y 0 Z

]

X ∈ M

( C ), Y ∈ M (r, n; C ), Z ∈ M

( C ) trX + trZ = 0

} . SL(r + n, C )

Lie

P

P = {[

X Y 0 Z

]

X ∈ M

( C ), Y ∈ M (r, n; C ), Z ∈ M

( C ) det X det Z = 1

}

が成り立つ。したがって、次の同型を得る。

G

( C

) ∼ = SU (r + n)/S(U (r) × U (n)) ∼ = SL(r + n, C )/P.

この同型は次のように考えても得られる。

[12]

1.4

SU(r +n)

G

( C

)

C

S(U (r) × U (n))

G

( C

) ∼ = SU(r + n)/S(U (r) × U(n))

+ n, C )

G

( C

)

{ g ∈ SL(r + n, C ) | g C

= C

} = P

G

( C

) ∼ = SL(r + n, C )/P

5.3

R

この節では対称

R

Hermite

Hermite

補題

5.3.1 Riemann

様体になる。

定義

5.3.2 K¨ ahler

実形と呼ぶ。K¨

ahler

K¨ ahler

Lagrange

5.3.

R

9

補題

5.3.1

Lagrange

がわかる。

例

5.3.3

Grassmann

G

( R

)

Grass- mann

G

( C

)

G

( R

)

G

( C

)

( C

)

W

W ¯ = { w ¯ | w ∈ W }

を対応させる写像は

G

( C

)

G

( R

)

( R

)

G

( C

)

定義

5.3.4

Riemann

M

Lie

例

5.3.5

Q

( C ) ⊂ C P

τ

(0 ≤ k ≤ n)

τ

( C z) = C (¯ z

, . . . , z ¯

, − z ¯

, . . . , − z ¯

) ( C z ∈ Q

( C ))

によって定める。対応する

G ˜

( R

)

τ

x, y ∈ R

τ

(x ∧ y) =



 

 

 

 

  x

.. . x

− x

.. .

− x



 

 

 

 

 

∧



 

 

 

 

 

− y

.. .

− y

y

.. . y



 

 

 

 

 

となる。

Q

( C ) = ˜ G

( R

)

G ˜

( R

) ⊂ ∧

R

S

S

= S

( R e

+ · · · + R e

) ∧ S

( R e

+ · · · + R e

)

τ

F (τ

, G ˜

( R

)) = S

が成り立つことがわかり、S^k,n−kは

Q

( C )

S

× S

/ Z

と等長的である。S^k,n−kと

S

Q

( C )

S

(0 ≤ k ≤ [n/2])

命題

5.3.6 (T.[11]

Tanaka-T.[10]) M

K¨ ahler

Lagrange

L

, L

∩ L

6 = ∅

M

証明

L

∩ L

= ∅

L

c(s) (0 ≤ s ≤ d(L

, L

))

K¨ ahler

J

c

(s)

c(s)

(s)

c(s)

c

(s)

L

L

, L

Lagrange

J c

(s)

L

L

(s)

c(s)

c

(s) = Exp

(tJ c

(s))

L

, L

, L

0

d

L (c

) dt

t=0

=

∫

{ h∇

J c

(s), ∇

J c

(s) i − h R(J c

(s), c

(s))c

(s), J c

(s) i } ds

= −

∫

h R(J c

(s), c

(s))c

(s), J c

(s) i ds < 0.

これは

c(s)

∩ L

6 = ∅

M

Lagrange

それらは交わりを持つことになり矛盾する。したがって、連結成分は一つだけに なり実形は連結になる。

命題

5.3.6

Hermite

形は必ず交わることがわかる。

定義

5.3.7 (G, K)

Riemann

G

Lie

g

g = k + m

∈ m

Ad(K)

Ad(K)X

m

Ad(K )

Riemann

Riemann

)X

R

注意

5.3.8

5.2.1

Hermite

Lie

Hermite

R

定理

5.3.9

R

Hermite

Hermite

R

証明の概略

Riemann

R

Riemann

Riemann