多様体上の非線形力学系による 制約条件付最適化に関する研究

多様体上の非線形力学系による 制約条件付最適化に関する研究

平成

16

増 田 和 明

目 次

第

1

1

1.1

. . . . 1

1.2

. . . . 4

第

2

6 2.1

. . . . 6

2.2

. . . . 8

2.3

. . . . 14

2.4

. . . . 20

2.5

. . . . 26

2.6

2章の結論 . . . . 33

第

3

34 3.1

. . . . 34

3.2

. . . . 36

3.2.1

. . . . 36

3.2.2

. . . . 46

3.3

. . . . 52

3.3.1

. . . . 52

3.3.2

. . . . 57

3.4

. . . . 60

3.4.1

. . . . 60

3.4.2

. . . . 65

3.5

3章の結論 . . . . 70

第

4

71 4.1

. . . . 71

4.2 Euclid

. . . . 73

4.2.1

. . . . 73

4.2.2

. . . . 76

4.3

. . . . 78

4.3.1

. . . . 78

4.3.2

. . . . 80

4.4

. . . . 85

4.4.1 3

. . . . 85

4.4.2 10

. . . . 89

4.5

4章の結論 . . . . 92

第

5

93 5.1

. . . . 93

5.2

. . . . 94

5.3

. . . . 97

5.4

. . . . 99

5.4.1

. . . . 99

5.4.2

. . . . 109

5.5

5章の結論 . . . . 119

第

6

120 6.1

. . . . 120

6.2

. . . . 122

6.2.1

. . . . 123

6.2.2

. . . . 124

6.2.3

. . . . 125

6.3

. . . . 131

6.3.1 3

. . . . 131

6.3.2

. . . . 135

6.4

. . . . 137

6.4.1

. . . . 137

6.4.2

. . . . 140

6.5

. . . . 144

6.5.1

. . . 144

6.5.2

. . . . 158

6.6

6章の結論 . . . . 172

第

7

173

付 録

A Li-Yorke

185

付 録

B

188

第 1 _{章 序論}

1.1

最適化手法は，工学の広範な領域におけるシステムの設計・計画の場で定式化される，

いわゆる最適化問題を解くための基盤的かつ重要な技法であり，種々の手法が提案・改良 されつづけている．しかしながら，あらゆる最適化問題を統一的な枠組みで解くための万 能な最適化手法は現在のところ存在せず，最適化問題をそれらの構造によって分類し，類 似構造を有するサブクラスごとに解法が提案されて，それらの性能が検討・評価されるの が通例である

[26]．本論文が対象とする最適化手法は，変数のとりうる値がある領域に制

[23, 65]．

非線形最適化問題において，決定変数の領域が実空間内の連続領域であって，目的関数 が連続微分可能な場合，目的関数の勾配情報を用いた勾配系モデルを最適化計算のモデ ルとして利用することができる．また，制約条件が課せられている場合には，この制約条 件を陽に考慮した線形化手法

[90]・射影手法 [85, 86]・縮約勾配法 [49]

さらに，勾配系モデルを直接用いる場合には，この制約条件の侵害に対する罰則効果や侵 害防止のための障壁効果を目的関数に付加的に組み込んだ拡大目的関数を構成し，この関 数を無制約の下で最適化する問題として元の制約条件付問題を緩和変換するのが一般的 である

[3, 7, 20, 64, 91]．

一方，近年において非線形力学系の研究が盛んにおこなわれ，たとえばカオスに代表 される非線形力学系固有の性質に関する解析研究において顕著な成果があげられている

[40, 41, 42, 93, 100]．とくに，神経生理学や数理生態学，統計力学において得られた現象

[22, 35, 36, 81, 88]．また，非線形最適化

る

[8, 9, 84]．このような最適化手法との関連性が指摘されている現象論的モデルに共通

する特徴として，

•

•

があげられる．すなわち，非線形最適化手法との相関をもつ現象論的非線形力学モデルの 多くは，計算機言語によるアルゴリズムの記述によって最適化問題の制約条件を陽に考 慮するモデルではなく，かつ制約条件の侵害に対する罰則効果や侵害防止のための障壁効 果を付加した緩和問題を解くための近似的なモデルでもない，いわば第

3

そこで，本論文における第

1

制約条件を陽には考慮せずに，また原理的には緩和法にもよらずに，制約条件に厳密に 束縛された力学系モデルの定式化，およびその特性解析を統一的な枠組みから議論する．

具体的には，制約条件への束縛機能を可変計量による非線形作用素として勾配系モデルに 取り込んだ「非線形作用素勾配系モデル」と，無制約な空間の定義域から制約条件が規定 する有界領域を値域とする非線形写像を介した勾配系である「非線形変数変換勾配系モデ ル」を考え，これらのモデルの一般的な定式化をおこなう．これら両モデルは相互に対応 づけることも可能であるから，制約条件に応じて定まる計量のもとで一般化された勾配 系とみなすことが可能であり

[4]，有界領域が Euclid

一方において，非線形力学モデルによって記述される現象は，その非線形性に起因する 様々な特異的な特徴を有している．その特徴の一つが，系の不安定化に伴って生ずる非線 形性固有の現象であり，たとえば非線形な物理現象や社会現象に見出される不安定性を，

カオス理論を用いて解明する試みがなされている

[5, 27]．ところが，このような不安定性

計算モデルとしては絶対的に排除されるのが一般的である．すなわち，計算モデルのある 種の平衡状態として計算結果を精度よく算出するには，非線形現象の不安定性こそ妨げに なるものである．しかしながら，安定な勾配系モデルは，多峰性関数の局所的最適解への 安易な停留をもたらし，大域的な最適解の探索にとって妨げになることもよく知られた事 実である．したがって，力学系としての計算モデルの安定平衡点である局所的最適解への 引き込み現象を回避することを目的として，計算モデルとしての非線形力学モデルをむし ろ恣意的に不安定化させ，そこに発現するまったく新しい特性を効果的に大域的最適化へ 利用する可能性を見出すことが期待される．

そこで，本論文の第

2

1

しての勾配系モデルにおいて，不安定性を発現させたときに呈する特性を利用した，大域 的最適化のための計算モデルを論じることにする．とくに，非線形力学モデルにおいて不 安定化を実現する手法として，

1.

2.

を取り上げる．前者に関しては，畳み込み積分型勾配系から慣性項付勾配系モデルとその 内部状態表現モデルを導出できることを示す．これらのモデルにおいて，制約条件の与え る有界領域に束縛されながら生じる非線形振動によって，局所的最適解からの離脱現象を 観測することができる．さらに，無制約最適化問題に対し慣性項付勾配系モデルの散逸項 を非線形化することによって，より能動的に局所的最適解への引き込みを回避する力学系

モデル

[24, 95]

逸項の非線形化を行うことによって，制約条件付大域的最適化も比較的容易に実現するこ とができる

[72]．

他方，本論文においては，後者の手法として，連続時間勾配系モデルを単純なオイラー 法で差分化して得られる離散時間勾配系モデルにおいて，差分化ステップ幅を粗くしたと きに生成されるカオスを大域的最適化のための計算モデルに用いた，「カオス大域的最適 化手法」を提案する．ところで，非線形力学モデルの不安定化と称しても，そのことは状 態量の発散を意味するものでは決してない．とくに計算手法の立場からは，その軌道があ る有界領域に束縛された状態で不安定化し，ある種の稠密さでもってその領域内を走査す ることによって，その領域を制約条件とする最適化問題の大域的最適解が探索されること が望まれる．非線形力学系の不安定化によるカオス軌道の発生と，その軌道が制約条件 の規定する多様体の有界領域内に束縛されることは，まさに表裏一体の関係にあり，カオ ス力学系モデルによる大域的最適化は，制約条件付非線形最適化問題のための制約条件 を陰的に考慮した計算モデルにほかならない．したがって，本論文の第

1

2

[29, 103]，離散化パラメータの調整によって，制約条件が規定する有界領域内に束縛され

ところで，カオス最適化手法は，カオスニューラルネットワーク

[1]

[67, 68, 94, 96]

縛されたまったく新しいカオス力学系を提案し，それらによる制約条件付大域的最適化手 法の計算特性について具体的に考察する．これらの新しいモデルの提案こそが，第

1

2

1.2

本論文の構成は以下のとおりである．

第

2章および第 3章は，本論文の第 1

ための非線形力学モデルとして， 「非線形作用素勾配系モデル」と「非線形変数変換勾 配系モデル」と称する

2

とくに第

2章では，直積集合への拘束を制約条件として，単位超立方体領域で与えた場

合を統一的に考察し，いわゆる

Hopfield

また，第

3章では，変数成分間に相互干渉が存在する単位シンプレックス領域や非負領

域内の単位超球面上に束縛される非線形力学系モデル，およびそれらと等価な内部状態表 現モデルを新たに提案したうえで，それらが制約条件付非線形最適化の計算モデルとし て有効であること確認している．とくに，単位シンプレックス上領域に束縛された力学系 と，集団遺伝学における進化現象を記述する複製方程式モデルとの関連性についても論じ ている．

第

4章は，制約領域に束縛された非線形力学系モデルによる最適化の応用例として，主

成分分析を取り上げている．主成分分析の力学系としては，原始的かつ不安定なモデルで ある

Hebb

Lagrange

Oja

様々なモデルが提案されているが，ここでは主成分方向は正規直交性を満たすことから，

非線形変数変換勾配系として単位超球面上の回転演算を考えて解構造を陰的に定める変 換関数を導入し，単位超球面への束縛のもとで主成分方向を同時並列的に探索する力学系 モデルを提案している．

第

5章では，畳み込み積分型勾配系から慣性項付勾配系モデルを導出している．ここで

は，第

2章で導入した 2

慣性項付勾配系モデルと，それらの内部状態変数表現モデルの導出をおこなう．さらに，

これらの演算回路実現を試みたうえで，数値シミュレーションを通じて，有界領域内で慣 性作用から惹起される非線形振動による局所的最適解からの離脱現象を確認している．

第

6章は，第 2〜5章から帰結する形で，これらの章で考察した連続時間力学系のオイ

ラー差分化による離散時間勾配系モデルを導入している．とくに，差分化のステップ幅を カオス特性の制御パラメータとしたとき，不安定化による分岐特性やカオス徐冷法の手 順，およびカオス現象を創発する制御パラメータの推定手法などを議論したうえで，単位 シンプレックス領域や非負領域内の単位超球面上に束縛されたまったく新しいカオス力学 系を提案している．そして，それらによる制約条件付大域的最適化手法の計算特性につ いて考察し，制約条件付非線形最適化の計算モデルとしてのそれらの有用性を確認して いる．

第

7章は，本論文全体の結論と今後に向けた課題について述べている．

第 2 章 直積集合に束縛された非線形力学 系による制約条件付最適化

2.1

本章では，制約付非線形最適化問題を解くさい，その条件を勾配系モデルへ直接的に組 み込んで変数を制約領域内に拘束させる，有界領域内で定義される勾配系の構築法につい て議論する．制約付最適化をおこなうための計算手法としては，制約条件からペナルティ 関数を生成し目的関数に付加した関数を与え，それを新たな目的関数とする無制約最適化 として解く

Lagrange

[3, 7, 20, 64, 91]．しかしながら，最適化は工

したがって，緩和によって制約条件を解消する最適化計算手法を考えるのではなく，制約 条件に支配された力学的システムとして勾配系モデルを構成する統一的枠組みを構築す ることが，現象論的モデルを構築・理解するうえで有益な立場であるといえる．

この目的のため，本章ではこのような制約付最適化問題に対し，有界領域に閉じ込めら れた力学的システムとして，「非線形作用系勾配系」および「非線形変数変換勾配系」な る

2

Riemann

包括的に「多様体上の勾配系」とよべる力学モデルである．

次に，制約条件として，比較的単純かつ代表的な直積集合領域である単位超立方体内部 への拘束を考えて，制約条件付非線形最適化問題に対して目的関数を最小化する軌道を 制約領域に閉じ込めた非線形力学モデルの具体的表現を与えながら，2種類の勾配系に関 する統一的議論をすすめる．また，これらの勾配系モデルが演算回路として相互結合型 ニューラルネットワークのモデルを実現する数理モデルとして位置づけられることも述 べる．

以下の議論では，制約条件付最適化問題

min

E(x) (2.1a)

subject to x ∈ X (2.1b)

を考える．ただし，x

= [x

, · · · , x

]

E

制約領域

X

X = { x | 0 ≤ x

≤ 1, i = 1, · · · , n } (2.2)

E

2.2

まず，単純な連続時間力学系モデルとして，最急降下法のモデル

dx(t)

dt = − c · ∇ E(x(t)), c > 0 (2.3)

の軌道を

(2.1b)

X

G(x)（n × n

で関数

E

∇ E(x)

dx(t)

dt = − c · [G(x(t)) ∇ E(x(t))], c > 0 (2.4)

∇ E(x)

X

E

2.1

条件

2.1 (2.4)

G(x)

(i)

X

(ii)

X

det G(x) = 0．

また，(2.4)式のモデルで右辺を

0

条件

2.2

(2.4)

E

∇ E(x)

(b)

(a) ∇ E(x) = 0，

(b) ∇ E(x) 6 = 0

det G(x) = 0．

がなりたつ．上の

(a)

E

X

さらに，

G(x) =



 



g

(x) · · · g

(x) .. .

g

(x) · · · g

(x)



 

 (2.5)

1本論文では，最適解が制約領域内部で関数行列G(x)の特異点として与えられる場合を含めて議論するため， 「正 定」より弱い条件である「半正定」とする．この場合は，領域Xへの制約として等式条件を含むときに起こり，3章の

とおいて成分表現すると，

dx

(t) dt = − c

X

g

(x(t)) ∂E(x(t))

∂x

, i = 1, · · · , n (2.6)

0

条件

2.3

(2.6)

(a)

(b)

(a) ∂E (x)

∂x

= 0, i = 1, · · · , n，

(b) ∃ k ∈ { 1, · · · , n } ∂E(x)

∂x

6 = 0

X

j=1

g

(x) ∂E(x)

∂x

= 0, i = 1, · · · , n．

を得る．なお，条件

2.3

2.2

ところで，内部状態量

u = [u

, · · · , u

]

f : R

→ X

x

(t) = f

(u(t)), i = 1, · · · , n (2.7)

x

t

dx

(t) dt =

X

∂f

(u(t))

∂u

du

(t)

dt , i = 1, · · · , n (2.8)

 

 

 

 du

(t)

dt = − c · ∂E(x(t))

∂x

, (2.9a)

∂f

(u(t))

∂u

= g

(x(t)), (2.9b)

i = 1, · · · , n, j = 1, · · · , n

が得られる．このとき，(2.9)式のモデルへ条件

2.3

(a)

2.3 (a)

du

/dt = 0, i = 1, · · · , n

(b)

2.3 (b)

1

0

ことが理解される．すなわち，(b)の場合，勾配系モデルの決定変数が収束しても，内部 状態量が発散することがあり得る．

そのうえ，

∂x

∂u

= g

(x), i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n (2.10)

f

(2.9a)

デルを

(2.6)

状態表現モデルで

f

X

x

f

2.1の演算回路として実現することができる．

ところで，非線形作用素勾配系モデル

(2.6)

(2.6)

f

x

なお，関数

f

f

u

(t) = f

(x(t)), i = 1, · · · , n (2.11)

1

1

f

G(x)

以下では，制約領域

X

(2.2)

G(x)

(2.10)

f (u)

x

0

1

g

(x) =

 



x

(1 − x

), j = i,

0, j 6 = i,

j = 1, · · · , n (2.12)

≤ x

≤ 1

g (x) ≥ 0, i = 1, · · · , n (2.13)

を満たす．したがって，対角行列の性質から，(2.12)式を成分とする

(2.5)

G(x)

∈ X

このとき，(2.6)式は，

dx

(t)

dt = − cx

(t) { 1 − x

(t) } ∂E(x(t))

∂x

, i = 1, · · · , n (2.14)

(2.10)

∂x

∂u

=

 



x

(1 − x

), j = i,

0, j 6 = i,

j = 1, · · · , n (2.15)

x

= f

(u) = 1

1 + exp( − u

) , i = 1, · · · , n (2.16)

f

(0, 1)

f

u

= f

(x) = log 1 − x

x

, i = 1, · · · , n (2.17)

なお，この

G(x)

M (x) = G(x)

= diag[1/g

(x)] (2.18)

ところで，最適化問題

(2.1)

X

Riemann

G(x)

Riemann

G(x) ∇ E(x)

[4]．

さらに，目的関数

E

2

E(x) = 1

2 x

W x + θ

x = 1 2

X

X

w

x

x

+ X

i=1

θ

x

(2.19)

where W =



 



w

· · · w

.. . . ..

w

w



 

 , w

= w

, i, j = 1, · · · , n, θ = [θ

, · · · , θ

]

とおくと，(2.9a)式は，

du

(t)

dt = − c · (

X

j=1

w

x

+ θ

)

, i = 1, · · · , n (2.20)

c = 1

− W

− θ

2.2に図示することができる．この場合，(2.16)

f

2.2はまさしく Hopfield

[35, 36]

i

2

x

E

[79, 80]．

図

2.1:

図

2.2:

2.3

制約条件付最適化問題

(2.1)

(2.1)

x

φ : R

→ X

min

E(φ(y)) (2.21a)

subject to y

∈ ( −∞ , ∞ ), i = 1, · · · , m (2.21b)

y

φ

X

y

φ

(2.1)

x

X

問題

(2.21)

dy

(t)

dt = − c ∂E(φ(y(t)))

∂y

= − c X

j=1

∂E (x(t))

∂x

∂φ

(y(t))

∂y

, i = 1, · · · , m (2.22)

x(t) = φ(y(t)) (2.23)

である．(2.22)式の右辺を

0

条件

2.4

(2.22)

(a)，(b)

(a) ∂E (x)

∂x

= 0, i = 1, · · · , n，

(b) ∃ k ∈ { 1, · · · , n } ∂E(x)

∂x

6 = 0

X

j=1

∂φ

(y)

∂y

∂E(x)

∂x

= 0, i = 1, · · · , n．

を与えることができる．

他方，yに関する関数行列

H(y)（m × n

≤ n）

H(y) =



 



∂φ1(y)

∂y1

· · ·

.. .

∂φ1(y)

· · ·



 

 (2.24)

を定義すると，(2.22)式は，

dy(t)

dt = − c[H(y(t)) ∇ E(x(t))], c > 0 (2.25)

条件

2.5

(2.25)

(a)，(b)

(a) ∇ E(x) = 0，

(b) ∇ E(x) 6 = 0

rank H(y) < m．

が条件

2.4

ところで，(2.22)式を

x

dx

(t) dt =

X

∂φ

(y(t))

∂y

dy

(t) dt

= − c X

j=1

X

µ ∂φ

(y(t))

∂y

∂φ

(y(t))

∂y

¶ ∂E(x(t))

∂x

= − c X

X

µ ∂φ

(y(t))

∂y

∂φ

(y(t))

∂y

¶ ∂E(x(t))

∂x

= − c X

j=1

"

X

k=1

µ ∂φ

(y(t))

∂y

∂φ

(y(t))

∂y

¶# ∂E(x(t))

∂x

, i = 1, · · · , n (2.26)

g

(x) =

"

X

k=1

µ ∂φ

(y(t))

∂y

∂φ

(y(t))

∂y

¶#

(2.27) i = 1, · · · , n, j = 1, · · · , n

のように

x

(2.6)

(2.27)

H(y)

dx(t)

dt = − c[(H(y(t))

H(y(t))) ∇ E(x(t))], c > 0 (2.28)

G(x) = H(y)

H(y) (2.29)

と表現される．したがって，実対称行列に対して知られる以下の定理

定理

2.1 n × n

A = diag[a

]

= B

B

m × n

行列

B = [b

]（m ≤ n）が存在するならば，A

から，(2.29)式によって与えられる関数行列

G(x)

∈ X

2.2

B

G(x)

任意の変換行列

H(y)

(2.29)

2.1

また，(2.22)式の非線形力学モデルは，図

2.3の演算回路として実現することができる．

さらに，関数

φ

y(t) = φ

(x(t)) (2.30)

x

y

1

1

以下では，具体的に

x

= φ

(y

), i = 1, · · · , n (2.31)

g

(x) =

 



 

·³

´

¸

, j = i

0, j 6 = i

(2.32)

となる場合で，単位超立方体領域への閉じ込めの場合を考えれば，

x

= φ

(y

) = 1

2 (sin y

+ 1) (2.33)

とおくと

[37]，

dφ

(y

) dy

= 1

2 cos y

= ± p

x

(1 − x

) (2.34)

であるから，

g

(x) =

"µ

dφ

(y

) dy

¶

#

= x

(1 − x

) (2.35)

である．やはり，関数

φ

2.1

G(x)

一方において，(2.23)式の関数

φ

f

g

(x) =

"

X

k=1

µ ∂f

(y(t))

∂y

∂f

(y(t))

∂y

¶#

=

 



 

·³

´

¸

, j = i

0, j 6 = i

(2.36)

となり，これから

(2.6)

df

(y

)

dy

= x

(1 − x

), (2.37)

g

(x) =

 



x

(1 − x

)

, j = i

0, j 6 = i

(2.38)

より，

dx

(t)

dt = − c { x

(t) }

{ 1 − x

(t) }

∂E(x(t))

∂x

, i = 1, · · · , n (2.39)

G(x)

2.1

( − a, a)，a > 0

[96]

以下では，非線形変数変換勾配系モデルにも内部状態量

u = [u

, · · · , u

]

(2.22)

y

(t) = h

(u(t)), i = 1, · · · , m (2.40)

t

dy

(t) dt =

X

∂h

(u(t))

∂u

du

(t)

dt , i = 1, · · · , m (2.41)

(2.22)

 

 

 

 du

(t)

dt = − c ∂E(x(t))

∂x

, (2.42a)

∂h

(u(t))

∂u

= ∂φ

(y(t))

∂y

, (2.42b)

2 (2.16)式の関数fiに対し，アフィン変換ai+ (bi−ai)fiを適用すると，値域を区間(0,1)から区間(ai, bi)に変 換することができる．

i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n

∂y

∂u

= ∂φ

(y)

∂y

, i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n (2.43)

h

(2.40)

(2.23)

2.4のよ

φ(h(u))

2.1中の関数 f

なお，単位超立方体領域への閉じ込めの場合には，

y

= h

(u

), i = 1, · · · , n (2.44)

h

(2.34)

dy

du

= 1

2 cos y

(2.45)

を解くと，hは

y

= h

(u

) = 2 tan

µ 1 − exp( −

u

) 1 + exp( −

u

)

¶

, i = 1, · · · , n (2.46)

(2.19)

2

2.2の関数 f

(2.16)

Hopfield

φ

(2.46)

h

2.5の演算回路を用いて等価的に表現される．

最後に，制約条件付最適化問題の解を求めることを考えると，制約条件から決定変数に 対する解構造を仮定することができる場合，2.2節の非線形作用素勾配系と比べて本節の 非線形変数変換勾配系モデルを選択するほうが効果的であると考えられる．非線形変数変 換勾配系は，変換関数を適切に与えれば降下法モデルとなることが保証できる点も利点で ある．他方，制約条件を充足させるような勾配の方向修正法が比較的容易に見出されるな らば，非線形作用素勾配系モデルが有効であると予想される．その理由として，両者のモ デルを比較したとき，一般に後者のモデルのほうが構造が複雑となることが挙げられる．

また，本章以降でも論じるように，現象論的モデルとの親和性が高い実用的モデルの多く は，非線形作用素勾配系と直接的な等価性をもつ傾向もみられる．しかしながら，非線形 作用素勾配系モデルは，必ずしも等価な内部状態表現モデルを解析的に与えられるわけで はなく，決定変数に関する連続時間勾配系モデルを数値計算によって解くとき，制約条件 を侵害しうる欠点がある．その点において，非線形変数変換勾配系モデルでは変換関数の 値域が制約領域に限定されているため，数値計算による制約侵害が起こることはない．

図

2.3:

(1)

図

2.4:

(2)

図

2.5:

2.2に対する等価演算回路

2.4

2.2節で導入した非線形作用素勾配系モデル，2.3節で導入した非線形変数変換勾配系モ

献

[7, 20, 64]

Lagrange

る．ただし，問題

(2.1)

(2.1)

[3, 91]

まず，障壁関数を

B

B(x)

 



< 0, for ∀ x ∈ intX

= 0, for ∀ x ∈ ∂X

(2.47)

X

X

F (x; r) = E(x) + rB(x), r > 0 (2.48)

intX

min

F (x; r) (2.49a)

subject to x ∈ intX (2.49b)

を考える．ただし，次の仮定をおく．

仮定

2.1

r > 0

(2.49)

intX

このとき，問題

(2.49)

x(r) ¯

v(r) = min

x

{ F (x; r) | x ∈ intX } = F (¯ x(r); r) (2.50)

補助定理

2.1

2.1

(2.49)

x(r) ¯

F (x; r)

v (r)

sup { v(r) | r > 0 } ≤ min { E(x) | x ∈ X } (2.51)