山下 剛

Kisin の修正 Taylor-Wiles 系

山下 剛

平成 20 年 11 月 21 日

目 次

0 序. 91

1 可換環論. 93

2 大域的な議論. 96

2.1 Galois側 — 位相的生成元の個数. . . . . 96 2.2 保型側 — O[∆_Q]自由性. . . . . 100

3 局所的な議論. 107

3.1 v -pの場合. . . . . 108 3.2 v |pの場合. . . . . 111

4 潜在的Barsotti-Tate表現の保型性. 116

0 _序 .

本稿は「R=T の最近の発展についての勉強会」(2008年3月17〜21日,八ヶ岳) におけ る講演「Modularity lifting for potentially Barsotti-Tate deformations after Kisin I.」の報 告書である. 本稿では, Kisinによる修正Taylor-Wiles系(あるいは, Kisin-Taylor-Wiles系 とでも言ったようがよいであろうか) と[K1]におけるその具体的な適用を紹介する. 本稿 の初稿にコメントを下さった加塩朋和さんに感謝する.

修正Taylor-Wilesの基本的なアイデアは,

∗2008/9/30版を少し改訂. EPSRC grant EP/E049109/1の補助を受けています.

• 代数体のGalois表現の普遍(枠付)変形環(以下, 大域普遍変形環という)を局所体の

Galois表現の普遍(枠付)変形環(以下, 局所普遍変形環という) の有限個の完備テン

ソル積上で考える

というものである. そのメリットは以下のとおり.

1. pで暴分岐(wildly ramified)な法p Galois表現を考える場合, (Skinner-Wilesの底変 換議論をした後)普遍変形環とHecke環はもはや局所完全交叉であることが望めない が, そのような場合でも修正Taylor-Wiles系は機能する.

2. 極小でない場合でも, “増分”の計算なしに直接修正Taylor-Wiles系から同型R^red→^∼ T が示せる. 特に,伊原の補題とその一般化([Y,命題4.9]参照)という代数幾何的(かつ 群論的)命題が不要になった.

1.について. [BCDT]において志村・谷山予想は証明されたが,そこでは最後に残された場 合として3で暴分岐拡大に制限すると準安定還元をもつ(つまり, 3での導手が27, 81, 243 である)ような楕円曲線が扱われた. その証明はBreuil加群のケース・バイ・ケースの計算 によってなされた. 今回のKisinの方法を用いると, ケース・バイ・ケースの計算ではなく より見通しのよい証明が得られる.

2.について. ユニタリ群では伊原の補題に対応する命題はまだ証明されておらず難しい 予想と思われている([CHT]参照)ので, 上記2.はユニタリ群でのR=T の証明([T4]参照) 及び佐藤-Tate予想への応用([HSBT], 本報告集津嶋氏・原氏の記事参照)では決定的な役 割を果たす([T4]で使われる修正Taylor-Wiles系はKisinのTaylor-Wiles系とは厳密には同 じものではないが, 大域普遍変形環を局所普遍変形環上で考えるというアイデアは同じで ある. [T4]ではKisinが[K1]で扱ったような有限平坦モデルのモジュライや[K3]で扱った ようなWach加群のモジュライを考えることはしない. “同型R^red →^∼ T を示したいR, T”

を“同型を示しやすい別のR⁰,T⁰”と関係付けるという議論を使っている. 本報告集千田氏・

安田氏の記事参照).

修正Taylor-Wiles系を適用する時に必要な事項は大雑把に言うと以下のとおり.

1. 大域普遍変形環の位相的生成元の個数の計算, 2. 局所普遍変形環の次元の計算,

3. 局所普遍変形環の一般ファイバーの形式的滑らか性(formally smoothness), 4. 局所普遍変形環の整域性,

5. Hecke加群のO[∆Q]自由性.

上記1. は[Y]の2章とほぼ同じ計算でなされる. 2.と3.は比較的容易に示される. 5.は正 定値四元数代数(positive definite quaternion algebra) 上の保型形式(Taylorによってそれ

に付随するGalois表現が構成されている[T1]のでそのような保型形式で考えてよい. 本報 告集の山上氏の記事参照)を用いることで([Y]の3章で扱ったよりも)容易に示される. 上 記4.が最も難しく,整p進Hodge理論の強力な応用により証明される(本報告集今井氏・望 月氏の記事参照). [K1]ではこの4.の証明にページの大部分があてられている. この4.が [K1]の鍵であり, この分野の新しいアイデアである.

本稿の構成は以下の通り. 1章では修正Taylor-Wiles系の純粋に可換環論の部分を示す.

2章では1章の可換環論の命題を適用する時の登場人物たちを定義し, 大域的な性質である 上記1.と5.を示す. 3章では局所理論を扱う. 3.1節でv - pの時, 3.2節でv | pの時を扱 う. 3.1節(v - pの時)では“Galois安定な1次元部分空間のモジュライ”を導入しv - pの 時の上記2.と3.と4.を示す. 3.2節(v |pの時)では本報告集の今井氏の記事で導入される

“有限平坦モデルのモジュライ” (本報告集望月氏の記事で解説される整p進Hodge理論に

より定義される)を用いてv |pの時の上記2.と3.と4.を示す. v -pの場合もv | pの場合 も局所普遍変形環の一般ファイバーの連結成分のなす集合が局所普遍変形環の上にあるモ ジュライの特殊ファイバーの連結成分のなす集合と標準的に全単射対応をもつことにより, 局所普遍変形環の整域性は,モジュライの特殊ファイバーの連結性に帰着される. v -pの場 合は容易であるが, v | pの場合, このモジュライは整p進Hodge理論により半線型代数的 データで記述されるので,具体的な行列計算により連結性を確かめる, というのが証明の大 雑把な方針である. ただし, “有限平坦モデルのモジュライ”の定義とその特殊ファイバー の連結性及び他の必要な性質の証明は今井氏の記事で扱うので本稿ではそれ以外を解説す る. 4章では, 応用として潜在的Barsotti-Tate表現の保型性持ち上げ定理を証明する.

1 _可換環論 .

EをQ_pの有限次拡大, O =O_E をその付値環, λを極大イデアル, Fを剰余体とする. E の代数閉包Eを固定する. 次の可換環論的命題が鍵である(適用する時は,Bは局所普遍変 形環, Rは大域普遍変形環, T は局所化されたHecke環, Hは局所化された保型形式の空間 で各々適当なものをとる).

命題 1.1 (Kisinの修正Taylor-Wiles系)BをNoether完備局所平坦O代数で,整域とする.

B[¹_p]はE は形式的滑らかであるとする. B[¹_p]のKrull次元をdとする. R ³ T を完備

Noether局所B代数の全射とする. T は平坦O代数であるとする. Hを0でない忠実T 加

群でO上平坦とする. ある自然数rとjが存在して,任意の自然数nに対して以下の可換図 式が存在すると仮定する.

B[[X1, . . . , Xr+j−d]]

²²²²

O[[S₁, . . . , S_r, Y₁, . . . , Y_j]] ^//R_n ^//

²²²²

End(H_n)

²²²²

R ^//End(H).

(1)

ここで,R_n³Rは完備Noether局所B代数の全射,H_nはR_n加群で以下を満たすもの.

1. R_n/(S₁, . . . , S_r)→^∼ R, H_n/(S₁, . . . , S_r)→^∼ H,

2. Ann_{O[[S1,...,Sr,Y1,...,Yj]]}(H_n)⊂((S₁+ 1)^pn−1, . . . ,(S_r+ 1)^pn −1) =:a_n, 3. H_n は O[[S₁, . . . , S_r, Y₁, . . . , Y_j]]/Ann_{O[[S1,...,Sr,Y1,...,Yj]]}(H_n)上有限自由.

この時,次が成立.

1. R/(p-tor)→^∼ T,

2. Rは有限O[[Y₁, . . . , Y_j]]代数, 3. H⊗_OEは有限射影的R[¹_p]加群. 2

注意 1.1.1 変数の個数についてr, j, r+j −dとあるが, rは“Taylor-Wiles型”の変形で 膨らませるパラメータの数であり, r+j−dというのはO[[S1, . . . , Sr, Y1, . . . , Yj]]の次元と B[[X₁, . . . , X_r+j−d]]の次元が一致するようにとったパラメータの数である. そして, jはあ まり重要ではない. 修正Taylor-Wiles系を適用する際, Galois表現を局所体のGalois群に 制限すると絶対既約でないことも起こり, その時には普遍変形環は存在しないので普遍枠 付変形(framed deformation)環を使う. その時に余分な変数としてY₁, . . . , Y_jが出てくるの であり,この変数は議論に本質的な困難を与えたることはない. 特に, 考えたいすべての局 所体についてのGalois群への制限が絶対既約の時にはこれらの変数は現れない. 2

注意 1.1.2 条件で, 以下の3点が重要である.

1. rとjはnに依存しない.

2. B[[X₁, . . . , X_r+j−d]]とO[[S₁, . . . , S_r, Y₁, . . . , Y_j]]の次元が一致している.

3. 各nに対して可換図式 (1)が存在することのみ仮定しており, nについての整合性は 仮定しない. 特に, Rn+1 →Rnなどの射の存在は仮定しない. B[[X1, . . . , Xr+j−d]]に ついての条件もR_nのB上の位相的生成元の個数がr+j−d個以下であることを言っ ているだけである. 2

証明 以下,O[[S, Y]] :=O[[S₁, . . . , S_r, Y₁, . . . , Y_j]],O[[Y]] := O[[Y₁, . . . , Y_j]],及びB[[X]] :=

B[[X₁, . . . , X_r+j−d]]とおく. イデアル(S₁, . . . , S_r)も(S)と略記する. [Y, 命題1.1]の証明で 用いた貼り合せの議論(patching argument)と同様にして可換図式

B[[X]]

²²²²

O[[S, Y]] _t ^//

&&

NN NN NN NN

NN R_∞

²²

End(H_∞)

が得られる. ここで, ∩_ma_m=0と仮定2., 3.より, H_∞は有限自由O[[S, Y]]加群であり, 斜 めの射が単射であることに注意. 従って, O[[S, Y]] → R_∞も単射であり, R_∞のKrull次 元はr +j + 1以上. もし全射B[[X]] ³ R_∞ の核が0でなければ, R_∞のKrull次元は r+j+ 1未満になるので,この全射は同型(ここでB[[X]]とO[[S, Y]]の次元が一致するこ ととBが整域であることを使った. Bが整域でなければ, ある既約成分が核に入っても最 大次元をもつ既約成分が核に入らなければ次元は下がらない). 同様に,B[[X]]はEnd(M_∞) での像Im(B[[X]])と同型. 同型B[[X]] →^∼ R_∞によりB[[X]]をO[[S, Y]]代数とみる. H_∞ はO[[S, Y]]上有限なので, B[[X]]∼= Im(B[[X]])もO[[S, Y]]上有限. よって,仮定1.を使う とB[[X]]/(S)→^∼ R∞/(S)→^∼ Rは有限O[[S, Y]]/(S)→ O[[Y^∼ ]]加群と分かる.

B[[X]]の勝手な極大イデアルqをとる. Bが整域であることから局所化(H_∞)_qのB[[X]]_q 上の階数は一定. ここでAuslander-Buchsbaum公式より

depthB[[X]][1/p]q(H_∞⊗E)_q+ proj.dimB[[X]][1/p]q(H_∞⊗E)_q = depthB[[X]][1/p]_q が成立. O[[S, Y]] ⊂ End(H_∞)よりdepthB[[X]][1/p]q(H_∞ ⊗E)_q ≥ r+jであり, B[1/p]は E上形式的滑らかなので, depth B[[X]][1/p]_q = r+jである. あわせると, (H_∞⊗E)_qは B[[X]][1/p]_q上自由であり, 従ってH_∞⊗EはB[[X]][1/p]上射影的であることが分かる. 仮 定1.を使うと, M_∞⊗E/(S)→^∼ M ⊗E はB[[X]][1/p]/(S)→^∼ R_∞[1/p]/(S)→^∼ R[1/p]上有 限射影忠実加群と分かる. よって合成

R[1/p]³T[1/p],→End(M ⊗E) は単射なので同型R/(p-tor)→^∼ T が分かる. 2

上の可換環論の命題を以下で

B := ˜R^σ,ψ,2_Σ,p , R:= ˜R^σ,ψ,2_F,S , R_n := ˜R^σ,ψ,2_F,S

Qn,

T :=T², H :=S_2,ψ(U,O)_m⊗_TT², H_n:=S_2,ψ(U_Qn,O)_mQn ⊗_TQn T²_Qn, r:= #Q_n, d:= dim ˜R_Σ,p^σ,ψ,2[1/p](= [F :Q] + 3#Σ_p), j := rel.dim_R˜^σ,ψ

F,S

R˜^σ,ψ,2_F,S (= 4#Σ_p −1)

に対して適応する.

次章ではこれらの記号の定義をし, それに対して命題 1.1の仮定1.と3.が満たされるこ とを証明する. また, jの計算と局所普遍変形環上の大域普遍変形環の位相的生成元の個数 の計算をし, その個数がr+j−dに一致するためのdの条件を出す. 命題 1.1の性質を満 たすようなBの構成とdの計算は次々章で行う.

2 _{大域的な議論} .

この章では,前章末に出した記号の定義をした後,局所的な議論は次章にまわして大域的 な議論の部分をこの章で示す.

2.1 Galois 側 — 位相的生成元の個数 .

簡単のためにp > 2とするp = 2の場合も[K5]と[KW3]で扱われている. p = 2だと (ad⁰ρ)¯^∨ ad⁰ρ¯であるため, Galoisコホモロジーの計算に修正がいる. 結論から言うとこの 修正による寄与はp= 2で存在する無限素点の寄与とキャンセルされる([KW3]参照. [K5]

もこの部分は[KW3]を使っている). また, 整p進Hodge理論のBreuil加群(p = 2では使 えない)を使うところはZinkのdisplaysとwindowsの理論を使う([K5]参照).

F を有限次総実代数体,G_F をその絶対Galoisとする. SをF の有限素点の有限集合で,p の上にある素点をすべて含むものとする. G_F,SをF 上S∪ {v | ∞}の外不分岐最大拡大の Galois群とする. 各素点v ∈Sに対して分解群Gvを選んで固定する. ΣをSの部分集合で, pの上にある素点を含まないものとする(実際に適用するときにはΣは考えている四元数代 数が分岐する素点を選ぶ. Skinner-Wilesの底変換議論によりΣが決まる. Skinner-Wilesの 底変換議論については本報告集加塩氏の記事参照). Σp := Σ∪ {v |p}とおく. AF をF の アデール,A_f = (A_F)_f をその有限部分とする. ψ :A^×_f/F^× → O^× をSの外不分岐な指標と する. 類体論を使った以下の射により,ψをG_F,Sの指標とみなす:

G^ab_F →^∼ (F ⊗_QR)^+,×\A^×_f/F^×→A^×_f/F^+,× →A^×_f/F^×→ O^{ψ ×}.

¯

ρ : G_F → GL₂(F)を連続なGalois表現とする. ¯ρの表現空間をV_Fとし, その順序付け された基底βFを選ぶ. 有限局所Artin O代数(A,mA)と同型A/mA ∼

→ Fの組のなす圏を AR_Oとおく. AR_Oの対象Aに対してG_F,Sの連続な作用付きの有限自由A加群V_Aと同型 V_A⊗_AF →^∼ V_Fの組の同値類をρ¯のAへの変形という. ここで同値関係はker{GL₂(A) → GL2(F)}による共役でいれる. 同様にρ|¯FvのAへの変形も定義される. ¯ρ|FvのAへの変形 V_AとV_Aの順序付けされた基底でβ_Fの持ち上げになっているものの組をρ|¯_FvのAへの持 ち上げ,あるいは枠付変形(framed deformation)という. 誤解の恐れがない時は基底β_Aを 明示せずに枠付変形VAということもある. ¯ρのAへの変形VAと各v ∈Σpに対してVAの 順序付けされた基底β_vでβ_Fの持ち上げになっているもの{β_v}_v∈Σpの組をρ¯のΣ_pについ

てのAへの枠付変形という. ARの対象Aに対してρ¯のΣ_pについてのAへの変形とそのあ いだの射の同値類(同値関係は定数倍でいれる)のなす(集合ではなく)圏D_VF(A)を考える とこれはファイバー付けされた圏(fibered category)を与え,これが亜群D_VF を与えること も分かる. 同様にρ¯の枠付変形のなす亜群D²_VFも定義される. また,各素点v ∈Σ_pに対して 制限ρ|¯_Fv を考え, G_vの表現としての変形, 枠付変形, 及びそれらのなす亜群D_VF|Fv, D²_VF|

Fv

も同様に定義される(ここで亜群を考えるのは, ¯ρ|_Fvが一般に絶対既約とは限らないためで ある). ¯ρの枠付変形のなす亜群D_V²_F は表現可能であることが容易に分かる. その普遍対象 をR²_F,Sとおく. これは完備局所O代数であるEnd_F[GF,S]VF = Fの時, ¯ρの変形のなす亜群 D_VFは副表現可能であることも分かる(こちらはさっきほど容易ではないがよく知られてい ることである). その副普遍対象をR_F,Sとおく. R²_F,Sの商で, detρ_A = ψεに対応するもの をR^ψ,2_F,S とする. ここでεはp進円分指標. ¯ρ|Fvの枠付変形のなす亜群D_V²_F|

Fv も副表現可能 であることが容易に分かる. その副普遍対象をR²_v とおく. R²_v の商で, detρ_A=ψεに対応 するものをR_v^ψ,2とする(Rv^ψ|Fv,2と書くほうが正確だが, 誤解のない時はψのG_vへの制限 もψと書くことにする). 以降,pを割る素点に対して, Σの素点と同時に扱わないときは記 号としてvではなくpを使うことにする. R²_p :=⊗b_p|pR²_p, R_Σ² :=⊗b_v∈ΣR²_Σ (O上のテンソル 積), R²_Σ,p :=R²_Σ⊗b_OR²_p とおく. R^ψ,2_p , R^ψ,2_Σ , R_Σ,p^ψ,2も同様に定義する.

R_F,S^ψ,2の位相的生成元の個数を計算するのが本節の目標である. 計算方法はだいたい[Y]

で説明したのと同様に行う. ただし,今回は枠付変形を考えていることと大域普遍変形環を 局所普遍変形環上で考えているので, そこの修正のために以下の補題を使う.

補題 2.1 1. EndF[GF,S]VF =Fの時,R^ψ,2_F,SはR^ψ_F,S上形式的滑らかで相対次元4#Σp−1(=:

j). 特に, R^ψ,2_F,S は形式的冪級数環R^ψ_F,S[[Y₁, . . . , Y_j]]と同型.

2. H_Σ¹_p(G_F,S,ad⁰ρ) := ker{H¯ ¹(G_F,S,ad⁰ρ)¯ → Q

v∈ΣpH¹(F_v,ad⁰ρ)}¯ とおくと, 大域普遍 変形環R_F,S^ψ,2は局所普遍変形環R^ψ,2_Σ,p 上位相的に

dimH_Σ¹_p(G_F,S,ad⁰ρ) +¯ X

v∈Σp

dimH⁰(F_v,ad¯ρ)−dimH⁰(G_F,S,ad¯ρ)

個の元で生成される. 2

上の記号H_Σ¹_p は [Y]の記号とは意味が違うことに注意 (v ∈ Σ_p で L_v = 0, それ以外で Lv =H¹(Fv,ad⁰ρ)¯ ととっている).

証明 1.を示す. 各v ∈ Σ_pについて順序付けされた基底の持ち上げβ_vのなす空間は1 + M₂(m_R^ψ,2_v )でありこの空間はR^ψ,2_v 上4個の独立な変数でパラメータ付けされる. よってす べてのv ∈Σpについての組を考えると4#Σp個の独立な変数でパラメータ付けされる. そ れらが同値で移りあうのはdim End_F[GF,S]V_F = 1次元分あり, 4#Σ_p−1個のパラメータが 決まれば最後のパラメータも決まるので,同値類で割った空間は4#Σ_p−1個の独立な変数 でパラメータ付けされる.

2.を示す. R^ψ,2_Σ,p の極大イデアルをm_Σ,pとする. R^ψ,2_F,S/m_Σ,pの余接空間はV_FのV_F[ε]/(ε²₎ への変形V_F[ε]/(ε²₎とβFの持ち上げの組{βv}v∈Σpで各v ∈ Σpに対して(V_F[ε]/(ε²₎|Fv, βv) ∼= (V_F, β_F)⊗_FF[ε]/(ε²)となるものの同値類と同一視できる(v ∈ Σ_pにたいしてH¹(F_v,ad⁰ρ)¯ では0になるという条件が(V_F[ε]/(ε²₎|_Fv, β_v)∼= (V_F, β_F)⊗_FF[ε]/(ε²)に対応している. [Y,補題 2.2]も参照). ¯ρのF[ε]/(ε²)への変形の空間はH_Σ¹_p(GF,S,ad⁰ρ)¯ で与えられる([Y,補題2.2]).

順序付けされた基底{β_v}_v∈Σpを別の{β_v⁰}_v∈Σpに取り替える自由度はP

v∈ΣpdimH⁰(F_v,ad¯ρ) 次元分ある. {β_v}_v∈Σpと{β_v⁰}_v∈Σpが同値になるのはdimH⁰(G_F,S,ad¯ρ)次元分ある. あわせ ると補題が従う. 2

¯

ρについて以下の仮定をおく:

1. ¯ρは総奇(totally odd), つまりdet ¯ρのすべての複素共役での値は−1, 2. ¯ρはpの上にある素点の外で不分岐,

3. ¯ρのF(ζ_p)への制限は絶対既約, 4. (ζp): p >3の時[F(ζp), F]>2, 5. v ∈S\Σ_pの時,

(S) : (1−Nv)((1 +Nv)²det ¯ρ(Fr_v)−Nv(Tr¯ρ(Fr_v))²)∈F^× (2) が成立. ここでNv := #O_F/vであり, Fr_vはvでの算術的Frobenius.

上記の条件2.はかなり強い条件と思われるかもしれないが,応用上はSkinner-Wilesの底変 換の議論を用いてこの場合に帰着される(本報告集加塩氏の記事参照). 条件3.と条件4.(ζp)は 双対Selmer群を消す時に使う(条件(ζ_p)については[T3, Lemma 2.5]の証明あるいは[Y,定理 2.6ステップ1の仮定2]参照). 条件5.(S)はρ(Fr¯ _v)の固有値をα, βとすると,FにおいてNv 6=

1,αNv 6=β, βNv 6=α であることと同値であり((Nv−1)(αNv−β)(βNv−α) = (Nv− 1)(((Nv)²+ 1)αβ−Nv((α+β)²−2αβ))/αβ = (Nv−1)((Nv+ 1)²αβ−Nv(α+β)²)/αβ), したがってad⁰ρ(1)(Fr¯ _v)は固有値1を持たない. これはSelmer群の計算でv ∈S\Σ_pでの 局所項の消滅に使う.

注意 2.1.1 条件(S)は保型側ではS\Σ_pに関する新形式と旧形式の間に合同関係式が存在 しないことを保障する([Y,系3.6]参照). これよりΣ_pを使って構成したHecke環, Hecke加 群はSを使って構成したHecke環, Hecke加群と適当な極大イデアルで局所化すると同型に なる(4章及び[Y, 3.3節]参照). 適用するときは補助的素点rを1つとりS\Σ_p ={r}に対 して使う(4章参照). 2

命題 2.2 各nに対して, Sの元を含まないF の有元素点の有限集合Q_nで以下を満たすも のが存在する:

• 各v ∈Q_nに対してNv ≡1 mod pⁿであり, ¯ρ(Fr_v)は相異なる固有値を持つ,

• #Q_n = dimH¹(G_F,S,ad⁰ρ(1))(=:¯ r)

• SQn :=S∪Qnとすると, 大域普遍変形環R^ψ,2_F,SQn は局所普遍変形環R^ψ,2_Σ,p 上

#Qn−[F :Q] + #Σp−1 個の元で位相的に生成される. 2

注意 2.2.1 補題 2.1のj = 4#Σ_p−1と補題2.2のr = #Q_nは最終的に命題1.1のjとrに それぞれなる. B[1/p]の形式的滑らか性とBの整域性以外にr+j−d= #Q_n+ 4Σ_p−1−d と上記#Q_n−[F :Q] + #Σ_p−1との一致

#Q_n+ 4Σ_p−1−d= #Q_n−[F :Q] + #Σ_p−1, つまり d= [F :Q] + 3#Σ_p を確かめないと命題 1.1が適用できない(条件を少し緩めて前者は≥,後者は≤でもよい).

次章の局所的な議論で各v ∈Σ_pに対してR^ψ,2_v の商R^ψ,2_v で整域かつpを可逆にするとE上 形式的滑らかであり

rel.dim_OR^ψ,2_v =

(3 v ∈Σ の時, 3 + [F_v,Q_p] v |pの時, であるものを構成する. するとB =⊗b_v∈ΣpR^ψ,2_v , R =R^ψ,2_F,S⊗b_R^ψ,2

Σ,pB, R_n=R^ψ,2_F,S

Qn⊗b_R^ψ,2

Σ,pBに

対して命題 1.1の仮定は満たされることになる. この数値的一致は重要である(注意 1.1.2 の2.参照). この数値的一致において, [F :Q]の項は一方は無限素点からの寄与から来てお り([F :Q] = #{v | ∞}. この命題の以下の証明参照),他方はpの上にある素点の寄与から 来ている([F :Q] =P

p|p[Fp :Qp])のは面白い. 2

証明 L = {L_v}_v を L_v = 0 (v ∈ Σ_p の時) L_v = H¹(F_v,ad⁰ρ) (v¯ ∈ S_Qn \ Σ_p の時), L_v = H¹(F_v,(ad⁰ρ)¯^Iv) (v /∈ S_Qnの時) とおく. 対応するSelmer群と双対Selmer群をそれ ぞれH_L¹(G_F,SQn,ad⁰ρ),¯ H_L¹⊥(G_F,SQn,ad⁰ρ(1))¯ とおく([Y, 2章]参照). これに対し[Y, 定理 2.3]を適用すると,

#H_L¹(G_F,SQn,ad⁰ρ)¯

#H_L¹⊥(GF,S_Qn,ad⁰ρ(1))¯ = #H⁰(G_F,SQn,ad⁰ρ)¯

#H⁰(GF,S_Qn,ad⁰ρ(1))¯

Y

v∈S_Qn∪{v|∞}

#L_v

#H⁰(Fv,ad⁰ρ)¯

を得る([Y,定理2.3]ではF =Qであるが,一般の場合も同様に証明できる). ここで[Y,定理 2.6]のようにQ_nをとってくるとH_L¹⊥(G_F,SQn,ad⁰ρ(1)) = 0かつ¯ #Q_n= dimH¹(G_F,S,ad⁰ρ(1))¯ となる(ここはH¹(GF,S_Qn,−)ではなくH¹(GF,S,−)である. nに依らないことが大事. [Y, 定理2.6]ではF = Qであるが, 一般の場合も同様に証明できる. 仮定(ζ_p)にも注意). [Y, 命題2.4]の1.と2.よりH⁰(G_F,SQn,ad⁰ρ) =¯ H⁰(G_F,SQn,ad⁰ρ(1)) = 0¯ である. 残りの項は 以下のように計算される:

1. v | ∞の時, _#H0(F^#Lv

v,ad⁰ρ)¯ = (#F)⁻¹, 2. v ∈S\Σ_pの時, _#H0^#L(Fv^v,ad⁰ρ)¯ = 1,

3. v ∈Σ_pの時_#H0^#L(Fv^v,ad⁰ρ)¯ = (#F)^{1−dimH0(Fv,ad¯ρ)}, 4. v ∈Q_nの時_#H0^#L(Fv^v,ad⁰ρ)¯ = #F.

3.は定義から明らか. 1.と4.はそれぞれ[Y, 命題2.4]の3.と4.から分かる. 2.は[Y, 命題 2.4]の4.とH⁰(Fv,ad⁰ρ(1)) = 0¯ から分かる(仮定(S)より, ad⁰ρ(1)(Fr¯ v)は固有値1を持た ないことから従う). よって,

dimH_L¹(G_F,SQn,ad⁰ρ) =¯ −X

v|∞

1 + X

v∈Σp

(1−dimH⁰(F_v,ad⁰ρ)) +¯ X

v∈Qn

1

=−[F :Q] + #Σ_p− X

v∈Σp

dimH⁰(F_v,ad⁰ρ) + #Q¯ _n を得る. 補題 2.1の2.とあわせると, 主張を得る. 2

R_F,S^ψ

QnのO[∆_Qn]代数構造を[Y, 2.4節]と同様に入れる. ここで各v ∈Q_nに対してρ(Fr¯ _v) の相異なる固有値のうち一方α_v を選んだことに注意する. O[∆_Qn]余不変部分について[Y, 系2.8]と同様に

R^ψ_F,S

Qn/a_Qn −→^∼ R^ψ_F,S (3)

が得られる. ここでa_Qn はO[∆_Qn]の付加(augmentation)イデアル. 射R^ψ_F,S

Qn → R^ψ,2_F,S

Qn

でR^ψ,2_F,SQnにもO[∆_Qn]代数構造が入る. 同型(3)と補題2.1の1.より

R^ψ,2_F,SQn/a_Qn −→^∼ R^ψ,2_F,S (4) も得られる.

2.2 保型側 — O[∆

] 自由性 .

簡単のためにp > 2とする. p= 2の場合も[KW3]で扱われている. 本節で出てくる仮定 (Neatness)はp= 2の時U を十分小さくとっても一般には成立しない([T3, Lemma 1.1]の 証明参照)ので, v | 2ではU_v =D^×_v ととり(非コンパクト!), ∆_Qも適当な商で取り替える.

[KW3, §6]参照([K5]もこの部分は[KW3]を使っている).

四元数代数上の保型形式の定義を復習する(本報告集山上氏の記事でも復習しているが, そこではΣ = ∅, ψ = 1なので, 記号の導入も兼ねてここでも一応復習する). Dを中心が F であるような四元数代数とする. ΣをDが分岐する有限素点の集合とする. 以下を仮定 する:

• F のすべての無限素点で分岐する,

• Σはpの上にある素点を含まない.

Dの極大整環O_D を固定し, Σに入らない各有限素点vに対して同型(O_D)_v ∼=M₂(O_Fv)を 固定する. U =Q

vU_v ⊂(D⊗_F A_f)^×をQ

v(O_D)^×_v に含まれるコンパクト開部分群で以下を 満たすものとする:

• 各v ∈Σに対してU_v = (O_D)^×_v,

• 各p|pに対してU_p = GL₂(O_Fp).

Aを位相的O代数とする. 各p|pに対して有限自由A加群上の連続表現τ_p :U_p →Aut(W_τp) を固定する(これは重さに対応するものである. 重さ(2, . . . ,2)に対応するものは各pに対 してτ_p = 1となるものである. 本稿では応用上は重さ(2, . . . ,2)のみを使うが, 定義のみ一 般のτ でしておく). W_τ :=⊗_p|pW_τp, τ :=⊗_p|pτ_p : Q

p|pU_p → Aut(W_τ)とおく. pの外では 自明表現としてτをU の表現とみる. 連続指標ψ :A^×_f/F^×→A^×で

• τ|^Q

p|p(Up∩O_F^×_p)=ψ|^−1Q

p|p(Up∩O_F^×_p),

を満たすものをとり固定する. A^×_f をW_τにψ⁻¹で作用させることでW_τをUA^×_f 加群とみ る. Sτ,ψ(U, A)を連続関数

f :D^×\(D⊗_F A_f)^×→W_τ で

• g ∈(D⊗_F A_f)^×,u∈U に対してf(gu) =τ(u)⁻¹f(g),

• g ∈(D⊗_F A_f)^×,z ∈A_f に対してf(gz) =ψ(z)f(g),

を満たす集合とする. S_τ,ψ(U, A)を重さτ, レベルU, 指標ψのD⊗_F A_f 上の保型形式のな す空間という. 全ての埋め込みσ:F ,→Eを含むようにEを十分大きくとっておく. すべ てのσ :F ,→ Eに対してk_σ ≥ 2であり, k_σ + 2w_σ がσによらないようなk = (k_σ)_{σ:F ,→E}, w= (w_σ)_σ,→Eに対してτが

τ_(k,w) :=⊗_{σ:F ,→E}(Sym^kσ−2A^⊕2⊗det^wσ), g7→ ⊗_{σ:F ,→E}(Sym^kσ−2(σg) det(σg)^wσ) という表現の時, S_τ,ψ(U, A) をS_(k,w),ψ(U, A)と書くことにする. k_σ + 2w_σ がσによらない という条件は中心指標を(F ,→ Af ではなく) F ,→ Q

p|pFp ,→ Af に制限したら埋め込み σ:F ,→Eによらないようなってほしいことから来ている. w= (0, . . . ,0)の時, S_k,ψ(U, A) と略記する. (τが自明表現の時はS_2,ψ(U, A)である. ここで2 = (2, . . . ,2)).

以下を仮定する.

• (Neatness): すべてのt∈(D⊗_F A_f)^×に対してp-#(UA^×_f ∩t⁻¹D^×t)/F^× を満たす.

[T3, Lemma 1.1]より#(UA^×_f ∩ t⁻¹D^×t)/F^× < ∞ であることと, この仮定はU を十分 小さくとると満たされることに注意([T3, Lemma 1.1]ではp > 3かつpはF で不分岐と 仮定しているので上の仮定は自動的に満たされる). [Kh1, Theorem 2.1]の証明と[Kh1, Lemma 2.2], 及び[K1, Theorem 3.5.5]の証明中で補助的素点をとるところ参照. この仮 定は命題 1.1を適用する時に仮定3.(Hecke加群のO[∆_Q]自由性)と仮定1.(O[∆_Q]余不変 空間をとると元に戻る)を確かめるのに必要である. D^×\(D⊗_F A_f)^×/UA^×_f は有限なので, (D⊗_F A_f)^× =`

i∈ID^×t_iUA^×_f とすると#I <∞であり,対応f 7→ {f(t_i)}_iにより S_τ,ψ(U, A)→ ⊕^∼ _i∈IW^(UA

×

f∩t⁻¹_i D^×ti)/F^×

τ (5)

を得るので, 上の仮定(Neatness)からS_τ,ψ(U, A)は有限自由A加群と分かる. 特に, 関手 A7→S_τ,ψ(U, A)は完全. W_τ(k,w)には

hx, yi_τ(k,w) := (x Ã

0 1

−1 0

! )^t·y

でペアリングh·,·i_τ(k,w) が定まる. pがAで0でないか, すべてのσに対してk_σ < p+ 1 (Sym^kσ−2 の分母にpが現れない)の時にはこのペアリングは完全である. これを用いて, Sτ,ψ(U, A)には

hf, hi_τ,ψ,U := X

t∈D^×\(D⊗FAf)^×/UA^×_f

hf(t), h(t)i_Wτψ⁻¹(dett)#(UA^×_f ∩t⁻¹D^×t/F^×)⁻¹

で完全ペアリングが定まる. 本報告集山上氏の記事参照(ここではψ⁻¹が入っている). こ

こで仮定(Neatness)を用いたことにも注意.

SをF の有限素点の有限集合で以下を満たすものとする:

• S⊃Σ∪ {v |p} ∪ {v |U_v 6= (O_D)^×_v}.

前節ではS\Σ_pに関して条件(S)を課していたが本節では(あとで出てくるρ¯について)この仮 定はしない. 4章で適用するときには,条件(S)を満たす補助的素点rをとってS = Σp∪{r}で 使うことになる. 各素点vに対して素元$_vを選ぶ. Sに入らない素点vに対して本報告集山上 氏の記事と同様にHecke作用素T_v =

"

U Ã

$_v 0

0 1

! U

#

とS_v =

"

U Ã

$_v 0 0 $v

! U

#

が定義さ れる. これは$_vの選び方によらない. また,pを割る素元pに対して半群GL₂(F_p)∩M₂(O_Fp) がS_τ,ψ(U, A)にf(g)7→˜τ(u)f(gu)で作用する. ここで˜τ(u)はQ

p|pGL₂(F_p)のW_τ⊗Eへの 自然な作用である. これより, pを割る素元pに対してHecke作用素Tp =

"

U Ã

$p 0

0 1

! U

#

が定義される. End(S_τ,ψ(U,O))の部分O代数でHecke作用素{T_v, S_v}_{v /∈S}でO上生成され るものをT⁰_τ,ψ(U)とおく. End(S_τ,ψ(U,O))の部分O代数でT⁰_τ,ψ(U)とHecke作用素{T_p}_p|p

でA上生成されるものをT_τ,ψ(U)とおく. これらはO上の可換代数であることが知られて いる. τが自明表現の時はそれぞれT⁰_ψ(U),T_ψ(U)と略記する. T⁰_ψ(U)あるいはT_ψ(U)の極 大イデアルm⁰がEisensteinイデアルとはF のあるAbel拡大で完全分解するようなF の素 点vに対して有限個のvを除いてT_v−2∈m⁰が成立するときにいう. S_τ,ψ(U,O)はT⁰_τ,ψ(U) あるいはT_τ,ψ(U)加群であり, その局所化S_τ,ψ(U,O)_m⁰ はT⁰_τ,ψ(U)_m⁰ あるいはT_τ,ψ(U)_m⁰ 加 群である. Hecke作用素[UgU]について

h[UgU]f, hi_τ,ψ,U =ψ(detg)h£

f, Ug⁻¹U¤

hi_τ,ψ,U が満たされる. 特に, ペアリングh·,·iτ,ψ,Uに関する随伴を(·)^∨とすると

"

U Ã

$v 0

0 1

! U

#_∨

=ψ($_v)

"

U Ã

$_v⁻¹ 0

0 1

! U

#

=

"

U Ã

1 0

0 $_v

! U

#

が分かる.

以降, τ =τ_(k,w)の場合を考える. 埋め込みQ,→Eを固定する. S_(k,w),ψ(U, E)のすべての

Hecke固有形式のHecke固有値が(固定した埋め込みQ,→Eで)Eに含まれるように十分E を大きくとる. Hecke固有形式f ∈S_(k,w),ψ(U,O)に対してGalois表現ρ_f,λ:G_F →GL₂(E) が構成される(Σ =∅の時は本報告集山上氏の記事参照. それ以外の時は本報告集三枝氏の 記事参照). これを束ねて, Galois表現GF →GL2(T⁰_(k,w),ψ(U)⊗E) が構成される. 擬表現 の理論(本報告集山上氏の記事参照)あるいは[Ca3]を用いると, 非Eisensteinイデアルm⁰ に対して, Galois表現

ρm⁰ :GF →GL2(T⁰_(k,w),ψ(U)m⁰) で

• v /∈Sに対して, ρ_m⁰ はvで不分岐で, Trρ_m⁰(Fr_v) =T_v,

• detρ_m⁰ =ψε

を満たすものが構成される(4章で適用する時には絶対既約で保型的なρ¯に対応する非Eisen- steinイデアルとしてm⁰をとることになる). m⁰をρ¯に対応するT⁰_(k,w),ψ(U)の極大イデア ルとする. m⁰ の上にあるT_(k,w),ψ(U)の極大イデアルmを1つ選ぶ(各p | pでの通常性

(oridinarity)データに応じてmが決まる. あるいはmにより通常性データが定まる. 4章参

照). ¯ρは既約なのでこれは非Eisensteinイデアルである. R^ψ_F,Sの普遍性より, 射

R^ψ_F,S →T⁰_(k,w),ψ,O(U)_m⁰ (6)

を得る. これが全射であることがTrρ_m⁰(Fr_v) =T_v (v /∈ S)からすぐに分かる. R =T を示 したいのはこの射ではなく, Tに対応するようなR^ψ_F,Sの商(に各p|pでの跡をRとTにそ れぞれつけ加えたもの)である.

以降, w = (0, . . . ,0)の場合を考える. ρ_m⁰の法m⁰還元をρ¯とおく. F の有限素点の有限 集合Qで各v ∈Qに対して