シミュレーション結果

-1 -0.5 0 0.5 1

0 100 200 300 400 500

θ

ij

[rad]

iteration

θ

₁₂

θ

₁₃

θ

₂₃

図 4.1: 3次元主成分分析例題における決定変数θの変化

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008

0 100 200 300 400 500 J ( w

i

), J

total

iteration J(w

₁

) J(w

₂

) J(w

₃

) J

_total

図 4.2: 3次元主成分分析例題における目的関数J(w_i)およびJ_totalの変化(1)

ところで，(4.34)式による回転では特異点が存在するため，人工衛星の姿勢制御やコン ピュータグラフィックにおいて回転をとり扱うとき，角度不定性に伴いジンバルロックと 称される問題を起こすことが知られている[99]．特に3次元では，(4.34)式でθ13=±^π₂ と なるとき，2つの回転軸が重なりあうため，θ12，θ23それぞれの値によるのではなく，両 者の差θ₂₃−θ₁₂のみによりR(θ)が決まる角度不定性を生じる．そこで，θ13 = ^π₂ とし，

θ₁₂ = ^π₅，θ23 = ^4π₅ とおいて与えられる(4.38)式のw₁，w2，w3がそれぞれ主成分方向を 与えるような共分散行列

C =





0.1313 0.0 0.0

0.0 0.1346 −0.1273 0.0 −0.1273 0.4849



 (4.47)

を恣意的に与え，この共分散行列を勾配法モデル(4.43)に適用して，回転の特異点が与え る影響の有無を調べる．

θ(0) =0からの決定変数θの変化をFig.4.3に示す．この場合に求められた解は

θ^∗ = [0.0, 0.0, 0.3142] (4.48)

で，あらかじめ与えた回転角の値とは異なっているが，(4.48)式から3つの主成分方向を 正しく得ることができた．

実際，提案手法には大域的最適解が複数存在し，試行初期点から勾配法モデルによりそ れらの1つを発見できればよいため，回転角そのものを一意に定めることを必要としな い．そのうえ，決定変数θは不定に陥ったとしても，非線形変換(4.31)を通して観測され るベクトルは一定値になるので，主成分方向の発見に支障を生じない．また，数値計算で

はJtotalの値を評価して反復の打切り操作を行えばθの不定性を排除することができるの

で，回転演算の特異性が提案手法の有効性にもたらす影響は小さいと考えてよい．

なお，このような回転の特異性を回避するために，四元数を利用した回転の表現[28]や，

回転角度の特異性を判定のうえ摂動させる方法[92]なども研究されている．

-1 -0.5 0 0.5 1

0 20 40 60 80 100

θ

ij

[rad]

iteration

θ

₁₂

θ

₁₃

θ

₂₃

図 4.3: 3次元主成分分析例題における目的関数J(w_i)およびJ_totalの変化 （回転に特異 性が存在する場合）

4.4.2 10次元主成分分析

4を上回る次元数の主成分分析では，元の探索空間の次元数nと問題(4.35)で考える決 定変数θの成分数，すなわち回転の自由度ⁿ⁽ⁿ₂⁻¹⁾ は一致しない．一方，この数はn次元 ベクトル（探索個体）をn個独立して与える場合の自由度n²より小さい．本条件のもと

でも問題(4.35)の解が適切に得られれば，自由度の数に過不足がなく，回転に帰着した問

題定式化の妥当性を認めることができる．

以下では10次元の例題を考える．このとき，回転の自由度は¹⁰⁽¹⁰₂⁻¹⁾ = 45である．3次 元例題と同様にして乱数データの共分散行列を与え，提案した勾配法モデルに適用したと

きのJ_totalの推移を図4.4に示す．変数の多さにもかかわらず，目的関数値は単調に減少し

ていることが確かめられる．

また，図4.5は，決定変数θの全45個の成分について，変化を重ねて表したものであり，

いずれの変数も収束することがわかる．それらの収束値θ^∗は表4.1に示すようであり，こ

れを(4.35c)式に代入して求めた10個のベクトルは表4.2のように得られた．10個のベク

トルは確かに正規直交条件を満足し，それぞれ主成分方向に対応することが確かめられた．

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015

0 200 400 600 800 1000 J

total

iteration J

_total

図 4.4: 10次元主成分分析例題における決定変数θの変化

-1 -0.5 0 0.5 1

0 500 1000 1500 2000

θ

ij

[rad]

iteration

図 4.5: 10次元主成分分析例題における目的関数J(w_i)およびJ_totalの変化

表 4.1: 10次元主成分分析例題における回転角の収束値θ^∗

θ₁₂ 0.3638631667 θ₂₉ 0.2091325246 θ₅₆ 0.2821923252 θ₁₃ 0.1373446582 θ₂₁₀ −0.1725605549 θ₅₇ −0.5152241996 θ₁₄ 0.7513807608 θ₃₄ 0.1687650706 θ₅₈ 0.5286604574 θ₁₅ 0.1942833047 θ₃₅ 0.2112673120 θ₅₉ −0.4303772541 θ₁₆ −0.0838502104 θ₃₆ 0.0065738319 θ₅₁₀ −0.3635289690 θ₁₇ −0.0591830599 θ₃₇ 0.3623206189 θ₆₇ 0.3378035484 θ₁₈ −0.0132447861 θ₃₈ 0.1171593427 θ₆₈ 0.1845530132 θ₁₉ −0.0160834135 θ₃₉ −0.0322593492 θ₆₉ −0.4476332793 θ₁₁₀ −0.1511450189 θ₃₁₀ 0.1473779970 θ₆₁₀ 0.6269378889

θ₂₃ 0.4276673318 θ₄₅ 0.1687872513 θ₇₈ 0.3793926031 θ₂₄ 0.7336867022 θ₄₆ −0.2484657926 θ₇₉ 0.0552415687 θ₂₅ −0.8384679140 θ₄₇ 0.1767236463 θ₇₁₀ 0.0694129744 θ₂₆ 0.2254761096 θ₄₈ 0.1356398410 θ₈₉ −0.4284864632 θ₂₇ 0.1908800842 θ₄₉ 0.3775189076 θ₈₁₀ 0.2093985609 θ₂₈ 0.5203537323 θ₄₁₀ −0.5903947422 θ₉₁₀ 0.2927387080

表 4.2: 10次元主成分分析例題における主成分方向w_i(θ^∗)の推定結果

i w_i(θ^∗) 主成分

1 [0.65258,0.248518,0.096516,0.658544,0.189818,

−0.082634,−0.058461,−0.013092,−0.015899,−0.150570]^T

第1 2 [−0.292733,0.275411,0.142102,0.345958,−0.582166,

0.183464,0.159315,0.479388,0.204917,−0.169748]^T

第8 3 [−0.059875,−0.456110,0.765275,0.122299,0.203374,

−0.019056,0.334005,0.115532,−0.026321,0.143015]^T

第3 4 [−0.229769,−0.511822,−0.370499,0.287677,0.189702,

−0.222320,0.118863,0.022985,0.278457,−0.536291]^T

第7 5 [−0.340153,0.195566,0.103648,0.023533,0.495820

0.158839,−0.378725,0.385365,−0.436775,−0.284560]^T

第2 6 [0.056580,−0.276226,−0.441957,0.271413,0.098237,

0.535462,0.232462,0.224105,−0.241482,0.438817]^T

第9 7 [0.013210,0.414824,−0.163236,−0.209771,0.357202,

−0.299722,0.673843,0.283237,0.060148,0.042012]^T

第6 8 [0.292048,−0.295778,−0.101745,−0.138564,−0.255912,

−0.514979,−0.217192,0.586315,−0.245480,0.125612]^T

第4 9 [0.165758,−0.022892,0.035098,−0.180758,0.291113,

0.223650,−0.315907,0.350204,0.742828,0.170571]^T

第5 10 [−0.447449,0.133246,−0.057256,0.422872,0.119936,

−0.438996,−0.216815,−0.103822,0.121517,0.565932]^T

第10

ドキュメント内 多様体上の非線形力学系による 制約条件付最適化に関する研究 (ページ 89-96)