非 線 形 フ ィー ドバ ッ ク制 御 器 に対 す る デ ー タ駆 動 型 制 御 器 設 計

非 線 形 フ ィー ドバ ッ ク制 御 器 に対 す る デ ー タ駆 動 型 制 御 器 設 計

指 導 教 員 増 田 上 朗

首都 大学 東 京 大学 院

シス テム デ ザ イ ン研 究 科 シス テ ム デザ イ ン専攻 経 営 シス テ ム デザ イ ン学 域

(平 成29年 度)

16892521

目 次

1は じめ に 1

2先 行 研 究

1 2 3 4 5 角 ∠ ︻ ∠ 2 2 自∠

デ ー タ 駆 動 型 制 御 の 概 要...,.,.,....,.

FictitiousReferenceIterativeTuning(FRIT)法...+■.

VirtualReferenceFeedbackTuning(VRFT)法..,..

非 線 形 シ ス テ ム に 対 す る デ ー タ 駆 動 型 制 御..,....

非 線 形 シ ス テ ム に 対 す る デ ー タ 駆 動 型 内 部 モ デ ル 制 御.

25.1対 象 と す る 非 線 形 シ ス テ ム の ク ラ ス と 問 題 設 定 2.5.2デ ー タ 駆 動 型IMCの 手 順.,,..,....,

2、6D2‑IBC法 2.6,1 2.6.2 2.6.3

問 題 設 定..,,..

D2‑IBC法 の 手 順

課 題 点,...

3準 備

3ユ 問 題 設 定...,.,,.

3.2フ ィ ー ド バ ッ ク 線 形 化.

4 4 5 6 7 8 8 9 0 0 1 2 1 1 1 直 ‑ 帽1 ⊥

4フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化 制 御 器 に 対 す る デ ー タ 駆 動 型 制 御 4.1状 態 量 の 非 線 形 関 数 が 既 知 で あ る 場 合,...,

4,2状 態 量 の 非 線 形 関 数 が 未 知 で あ る 場 合..,.,, 4,2.1

4.2.2 4.2.3

5理 論 解 析 5,1 5.2

ニ ュ ー ラ ル ネ ッ ト ワ ー ク を 用 い た 制 御 、,..,...

RBFネ ッ ト ワ ー ク を 用 い た 制 御 則 の 導 入.,,.,.,...,...

フ ィ ー ド バ ッ ク 線 形 化 法 に お け るRBFネ ッ ト ワ ー ク を 用 い た デ ー タ

駆 動 型 制 御 手 法,.,...,...,...,...,...

評 価 関 数 ノFBL(θ)の 最 適 パ ラ メ ー タ 理 論 値,...

擬 似 参 照 信 号 ア(θ)と 閉 ル ー プ シ ス テ ム の 関 連 性..

6数 値 例

6.1状 態 量 の 非 線 形 関 数 が 既 知 で あ る 場 合.,..,,.、,,...

6.1」 フ ィ ー ド バ ッ ク 線 形 化 制 御 器 を 初 期 制 御 器 に 用 い る 場 合.

6.1.2PID制 御 器 を 初 期 制 御 器 に 用 い る 場 合.,....,..,.

6.2状 態 量 の 非 線 形 関 数 が 未 知 で あ る 場 合....、...,,..,,.

ワ'7n600Q/ーユー1111

21

2 2 3 2 う ん う 畠 !0 7 7 2 4 つ 創 2 つ 帽 → ﹂ 3

7ま と め 38

参考文献

1は じめ に

化 学 プ ラ ン トや 鉄 鋼 ・非 鉄 金 属 等 の プ ロ セ ス に 代 表 さ れ る よ う な 実 際 に 稼 働 し て い る 工 業 プ ロ セ ス は,厳 密 に は 線 形 シ ス テ ム で は な く,何 ら か の 非 線 形 要 素 を 動 特 性 に 含 む 非 線 形 シ ス テ ム と な っ て い る.そ の た め,制 御 器 を 構 成 す る 際 に 対 象 の シ ス テ ム に 含 ま れ る 非 線 形 要 素 を ど の よ う に 補 償 す る か は,制 御 問 題 を 考 え る に あ た っ て の 重 要 な 問 題 と 捉 え ら れ て き た.こ の 非 線 形 要 素 の 補 償 方 法 と し て 従 来 か ら よ く 用 い ら れ て い る 手 法 が,制 御 対 象 を 線 形 近 似 す る こ と で 線 形 シ ス テ ム と み な し て 制 御 器 を 構 成 す る 方 法 で あ る.制 御 対 象 の 閉 ル ー プ シ ス テ ム を 平 衡 点 周 りで 線 形 近 似 し た も の は,そ の 平 衡 点 近 傍 に お け る 動 特 性 を 考 え る 限 り,非 線 形 シ ス テ ム と ほ ぼ 同 等 と な る.ゆ え に,動 作 範 囲 が 小 さ く平 衡 点 周 りで 出 力 を 安 定 化 さ せ る よ う な 制 御 問 題 に お い て は,制 御 対 象 の 線 形 近 似 シ ス テ ム を 基 に 構 成 さ れ る 線 形 制 御 器 を 実 装 す る こ と で 十 分 に 所 望 の 制 御 性 能 を 達 成 で き る.し か し,線 形 近 似 シ ス テ ム は シ ス テ ム 全 体 の 大 域 的 な 動 特 性 を 表 し て い る わ け で は な い.そ の た め,動 作 範 囲 が 大 き く平 衡 点 か ら 離 れ た 場 合 や 線 形 近 似 が 困 難 な ほ ど に 非 線 形 性 の 影 響 が 大 き い 場 合 は,線 形 近 似 シ ス テ ム と シ ス テ ム の 大 域 的 な 動 特 性 と の 間 に 誤 差 が 生 じ て し ま う た め,線 形 制 御 器 で は 所 望 の 制 御 性 能 を 達 成 す る こ と が 難 し い.よ っ て,そ れ ら の 場 合 に は 非 線 形 特 性 を 考 慮 し た 非 線 形 制 御 器 を 構 成 し 実 装 す る こ と が 有 効 な 手 段 と な っ て く る.

一 方,実 験 デ ー タ を 用 い て 準 最 適 な 制 御 パ ラ メ ー タ を 取 得 す る デ ー タ駆 動 型 制 御 手 法 が,多 く の 研 究 者 た ち の 注 目 を 浴 び て い る.主 な 手 法 と し て は,Iterative FeedbackTuning(】FT)1)やVirtualReferenceFeedbackTun孟ng(VRFT)2),Fictitious

ReferencelterativeTuning(FRIT)3}と い っ た も の が あ げ られ る.デ ・一 タ 駆 動 型 制 御 は,シ ス テ ム 同 定 を 行 う こ と な く,実 験 デ ー タ を 用 い て ア ル ゴ リ ズ ム に 従 い 計 算 機 上 で 計 算 さ せ る こ と に よ りパ ラ メ ー タ を 得 る こ と が で き る た め,簡 便 で 容 易 に 制 御 器 の 調 整 や 設 計 を 行 う こ と が で き る 手 法 と し て 実 応 用 上 で の 適 用 が 期 待 さ れ る 手 法 で あ る.特 にVRFrやFRITと い っ た 手 法 は,繰 り返 し 実 験 を 行 わ ず に1回 の 実 験 で 得 ら れ た 入 出 力 デ ー タ を 直 接 用 い て 制 御 パ ラ メ ー タ 調 整 す る こ と が 可 能 で あ る こ と か ら,よ り コ ス トや 時 間 を か け ず に 制 御 器 を 調 整 で き る と 注 目 さ れ て い る.

さ ら に 近 年 の 研 究 で は,デ ー タ 駆 動 型 制 御 を 非 線 形 系 に 対 処 で き る よ う に 拡 張 も 行 わ れ て き た.Campiら は 従 来 のVRFT法2}を 拡 張 し,非 線 形 シ ス テ ム で 表 現 さ れ た 制 御 対 象 に 対 し て,VRFT手 法 に お け る 評 価 関 数 と本 来 の モ デ ル ベ ー ス ド設 計 の 評 価 関 数 を2次 ま で テ イ ラ ー 展 開 し た も の が 一 致 す る よ う に フ ィ ル タ を 構 成 す る 手 法4〕 を 提 案 し た.ま た,若 佐 は 従 来 のVRFT法2},FRIT法3)に 対 し て,静 的 な 非 線 形 要 素 の 逆 シ ス テ ム と な る 補 償 器 を 用 い る 手 法5)を 提 案 し た.そ し て,金 子 は 非 線 形 シ ス テ ム に 対 し 内 部 モ デ ル 制 御 器 を 構 成 し,内 部 モ デ ル 制 御 器 をFRIT 法 を 用 い て 設 計 す る 手 法6}を 提 案 し た.こ れ ら の 手 法 に よ り,出 力 信 号 が 過 去 の 入 力 信 号 の 静 的 な 非 線 形 関 数 で 表 現 さ れ る 非 線 形 シ ス テ ム に 対 し て,デ ー タ駆 動

1

型 制御 器設 計 法 を用 い る こ とが 可能 とな った.し か しそ の一 方 で,こ れ らの 手法 で は状 態量 の非線形 関数 が含 まれる場 合,例 えば入 力 ア フィ ン系 の よ うな もの を 直 接扱 うこ とがで きなか った.ま た最 近 で は,Novaraら に よ り,非 線 形離 散 時間 シス テム をあ る基底 関数 の線 形和 で近似 した うえで,そ の近似 システ ム を同定 し, 同定 シス テ ムの逆 シ ステ ム に よる制 御器 の制 御誤 差 を既存 の線 形 系 の デー タ駆 動 型 制御器調 整i法であ るVRFT(VirtualReferenceFeedbackTuning)に よって補償 す る 手 法が提案 された7).こ の手 法 に よ り,状 態量 の動 的な非線 形 関数が含 まれる よ う な シス テム に対 して もデ ー タ駆 動 型手 法 を適 用 で き る ようにな った.し か し,こ の手法 は非線 形補償 器 を構 成 す る際 に シス テ ム同定 を行 う必 要 が あ り,非 線 形制 御 器 に直接 的制御 器調 整i法が 適用 され て いな い課題 が存在 す る.

そこで本 研 究 では,状 態 量 の非線 形 関数 が システ ムの動特 性 に含 まれ る場 合 に つ いて,非 線 形補償 器 も含 めて デー タ駆 動 型制 御器調 整 を適用 す る手法 を与 える.

具 体 的 に は,未 知 パ ラメ ー タ を含 む 入力項 が 線 形系 で与 え られ たマ ッチ ング条 件 を満足 す る1入 力1出 力 連続 時 間非線 形 ア フ ィ ン系 を考 え る.こ の よ うな シス テ ム は,非 線 形 要素 を打 ち消 す よ うな フィー ドバ ック線 形化 手 法 に よ って厳 密 な線 形 化 が実現 可 能 であ るが,シ ス テム に未知 パ ラメー タを含 む 場合 には,未 知 パ ラ

メ ー タを推 定 す る必要 が あ る.本 研 究 で は,こ の未知 パ ラメー タの推 定 に,デ ー タ駆動型 制御 器調整法 の一種 で あ るFRIT法 を用 い る.す なわ ち,閉 ル ー プ系 か ら 得 られ た入 出力 デー タが,安 定化 は され て い るが望 ま しい応答 でな い場合,そ の

デー タを用 いて,直 接 フィー ドバ ック線 形化 す る制御 器パ ラメー タを調 整す る.ま た本研 究 で は,状 態量 の非 線形 関数 が既 知 で あ る場合 に加 え,未 知 で あ る場 合 に 対 応 す る 手法 も提 案 す る.状 態 量の非線 形 関 数 が未 知で あ る場合 は,シ ス テ ムの 未知パ ラ メー タ と同 時 に非 線 形 関数 も推定 す る必要 があ る.こ の推定 に本 研 究 で はRadialBasisFunction(RBF)Networkを 用 いて推定 を行 う.RBFネ ッ トワー クは ニ ュー ラル ネ ッ トワー クの一種 で,放 射 基 底 関数 と重 みパ ラメ ー タの線 形和 で非 線 形 関数 を推 定 す る手 法 で あ る.本 研 究 で は,非 線形 関数 と未知 パ ラメー タ を同 時 に推 定す る こ とに よ り,1回 の閉ル ー プ実験 で得 られ た入 出力 デ ー タを用 い て制 御 器 を調整 す る.本 研 究 で用 い る制御器 のパ ラメー タ は,FRITと 同様 に擬似 参 照 信 号 か ら初期 出力デ ー タ まで の 閉ル ー プ特 性 を指定 され た望 ま しい特 定 と一致 す

る よ うに調 整 され る.

本 論文 の提 案 法の有 効性 は,液 面 レベ ル制 御 モデ ル に対 して,有 効 性 が確 認 さ れ る.デ ー タ駆 動型 制御器 調 整 法 は与 え られ た 制御器 構 造の も とで 最適 な制 御器 を求め る こ とがで き る とい う利 点が あ る.本 手法 は,制 御 器構 造 と して制御 対象 の モデ ル の構 造 を活用 した手 法 と位 置付 け られ る.ま た,デ ー タ取得 時 に用 い ら れ た制御 器 の構 造 に は依存 して いない とい った利点 が あ り,デ ー タ駆 動 型制 御器 調整 の特徴 を有 して いる とい え る.

本 論文 は,以 下の構 成 を とる.2章 で先行研 究 と して デー タ駆 動型 制御 の概 要 と

代表 的 な手 法 に関す る説 明 を行 う.次 に3章 で 問題設定 を行 な ったの ち,4章 で提

案法 に よ る制御器調 整法 を与 える.ま た,5章 で非線形 フィー ドバ ック制御 系 内の

信 号 の 一 意 性 に つ い て も 検 討 を 行 な う.6章 で,提 案 法 の 有 効 性 を 液 面 レ ベ ル 制 御 の モ デ ル に 対 し て 与 え,7章 で 本 論 文 の ま と め と 今 後 の 課 題 に つ い て 述 べ る.

な お,本 論 文 で は,sは 微 分 演 算 子 を 表 し,zは シ フ トオ ペ レ ー タ を 表 す も の と す る.

3

2先 行研 究

2.1デ ー タ駆 動 型 制 御 の 概 要

制 御 系 設 計 と は,あ る 対 象 の 動 き(振 る 舞 い)を 望 ま し い も の に す る た め に 重 要 な 役 割 を果 た す も の で あ る.そ し て 所 望 の 制 御 性 能 を 達 成 し う る 制 御 系 設 計 の た め に は,ま ず 制 御 対 象 の 動 特 性 と 制 御 シ ス テ ム に 入 っ て く る 外 乱 の 情 報 を 全 て 得 る 必 要 が あ る.し か し,一 一般 的 に 動 特 性 や 外 乱 と い っ た 情 報 は 不 明 で あ る か,部

分 的 に し か 明 確 に な っ て い な い こ と が ほ と ん ど で あ る.ゆ え に,所 望 の 制 御 性 能 の 獲 得 の た め に は,制 御 仕 様 を 反 映 し 対 象 の 動 特 性 を 適 切 に 表 現 し た 数 式 モ デ ル を 作 成 す る こ と が 必 要 と な っ て く る.こ の モ デ ル 作 成 の た め の 制 御 理 論 に 基 づ く 手 法 の 一 つ が,シ ス テ ム 同 定 で あ る.シ ス テ ム 同 定 と は,制 御 対 象 に 対 し て 実 験 を 行 い デ ー タ を 取 得 し,そ の デ ー タ を 基 に 制 御 対 象 の 動 特 性 を 表 す 数 式 モ デ ル を 獲 得 す る 手 法 で あ る.具 体 的 に は,PE(PersistentlyExciting)1性 の 高 い 同 定 用 の 励 起 信 号 を 印 加 し た 際 に 得 られ る 入 出 力 デ ー タ を 用 い て,設 計 者 に よ っ て 与 え ら れ た ク ラ ス の 中 か ら制 御 対 象 の シ ス テ ム と等 価 と み な せ る モ デ ル を 構 築 す る 手 法 を 指 す8).し か し,既 に 制 御 系 が 実 装 さ れ て い る シ ス テ ム の 調 整 や 再 設 計 を 考 え る と,

フ ィ ー ドバ ッ ク ル ー プ を 切1新 し,開 ル ー プ に し た 」二でPE性 の 高 い 同 定 信 号 を 実 プ ロ セ ス に 印 加 す る こ と は 不 安 定 状 態 を 招 く 恐 れ が あ り,ま た 時 間 も か か る こ と か ら,安 全 性 や 時 間,コ ス トの 観 点 に よ り難 し い 状 況 も 想 定 さ れ る.こ う し た 状 況 に 対 応 す る た め,様 々 な ア プ ロ ー チ か ら の 研 究 が 盛 ん に 行 わ れ て い る.

そ う し た 中 で,閉 ル ー プ 実 験 や 操 業rl‑1のデ ー タ を そ の ま ま 用 い て,モ デ ル 構 築 を 経 ず に 適 切 な 制 御 器 を 設 計 す る 手 法 と し て 提 案 さ れ た も の が デ ー タ 駆 動 型 制 御 で あ る9).デ ー タ 駆 動 型 制 御 は 制 御 対 象 の 数 式 モ デ ル が 不 明 と い う 状 況 の も と で, 実 験 時 に(あ る い は 操 業 時 に)得 られ る デ ー タ か ら評 価 関 数 が 最 小 に な る よ う に 制 御 器 の パ ラ メ ー タ を 最 適 な 値 に 調 整 す る 手 法 で あ る.モ デ ル 獲 得 を 行 わ ず に 適 切 な 制 御 器 を 構 築 す る こ と が で き る こ と は,そ れ だ け 設 計 に か か る 時 間 や コ ス ト を 削 減 す る こ と に つ な が る.ま た,シ ス テ ム 同 定 手 法 は 専 門 的 知 識 や 時 間 を 必 要 と す る た め,実 プ ロ セ ス に 対 す る 応 用 を 考 え た 際,簡 便 な ア ル ゴ リ ズ ム で の 調 整 が で き る 手 法 が 求 め ら れ る.デ ー タ 駆 動 型 制 御 は 入 出 力 デ ー タ を 取 得 し,ア ル ゴ リズ ム に 従 い 計 算 す る こ と で 制 御 器 パ ラ メ ー タ を 得 ら れ る た め,シ ス テ ム 同 定 を 経 て 制 御 器 を 設 計 す る モ デ ル ベ ー ス ド制 御 に 比 べ 簡 便 で あ る と い え る.そ し て,デ ー タ 駆 動 型 制 御 の 利 点 の 一 つ が 制 御 器 構 造 を 限 定 し な い と い う 点 で あ る.現 実 の 操 業 中 の プ ラ ン トや 組 み 込 み シ ス テ ム に 目 を 向 け た 際,PID制 御 器 な ど の 構 造 が 固 定 さ れ た 制 御 器 が す で に 実 装 済 み で あ る 場 合 が 圧 倒 的 に 多 い.そ の た め,既 に 実 装 済 み の 制 御 器 の ク ラ ス に 合 わ せ た 調 整 が で き る デ ー タ 駆 動 型 制 御 手 法 は 現 実 的 問 題 に 対 応 で き る と い え る.

デ ー タ 駆 動 型 制 御 は,そ の パ イ オ ニ ア と も 言 え るHjalmarssonら にIterativeFeed‑

backTuning(IFT)1)を 発 端 と し,VirtualReferenceFeedbackTuning(VRFT)2)・Fic一

・u(ρ)

o(ρ)

G

〃(ρ)

Fig.2.1:Theclosedloopsystem

titiousReferenceIterativeTuning(FRIT):)な ど とい っ た 手 法 が 提 案 さ れ て い る.IFT 法 は 制 御 器(補 償 器)パ ラ メ ー タ を 更 新 す る こ と に シ ス テ ム に 対 し 実 験 を 行 う 手 法 で あ る.し か し,繰 り返 す 実 験 を 行 う こ と に よ っ て 制 御 性 能 は 向 上 す る も の の, 調 整 ま で に 時 間 が か か る.そ れ に 対 し,VRFT法 やFRIT法 と い っ た 手 法 は 繰 り返 し 実 験 を 行 わ ず,1組 の 実 験(入 出 力)デ ー タ を 得 る こ と で 制 御 器 パ ラ メ ー タ 調 整 が 可 能 で あ る.VRFr法 やFRIT法 は 基 礎 理 論2・3)を 発 端 に,2自 由 度 制 御 系 へ の 拡 張1i・12),非 最 小 位 相 系 へ の 拡 張13"15}な ど,拡 張 研 究 が 盛 ん に 進 め ら れ て い る.

そ こ で2.2節 で は 本 研 究 の ベ ー ス と な るFRIT法 に つ い て,2.3節 で はVRFT法 に つ い て そ れ ぞ れ 基 本 的 な ア イ デ ィ ア を 述 べ て い く.

2.2FictitiousReferencelterativeTUning(FRIT)法

こ こ で 問 題 設 定 と し てFig.2.1の よ う な 一 入 カ ー 出 力 線 形 時 不 変 シ ス テ ム に 対 し て 制 御 器 を 構 築 す る こ と を 考 え る.な お,Gは 制 御 対 象 で あ る プ ラ ン ト,C(ρ)は 制 御 器 で あ る.

前 節 で 述 べ たIFT法 は,制 御 器 に 依 存 す る 出 力 デ ー タ を 目 標 軌 道 に 近 づ け る こ と を 目 的 と し て い た.IFT法 が パ ラ メ ー タ の 更 新 ご と に 繰 り返 し実 験 を 要 求 し て い た の は,出 力 デ ー タ が 制 御 器 パ ラ メ ー タ に 依 存 し て い る か ら で あ る.し か し,FRIT 法 はIFT法 と は 異 な り,制 御 器 に 依 存 す る 目 標 軌 道 を 出 力 デ ー タ に 近 づ け る こ と を 考 え て い る.す な わ ち,一 度 取 得 し た デ ー タ を 固 定 し て,制 御 器 パ ラ メ ー タ に 依 存 す る 参 照 信 号 を 通 し た 閉 ル ー プ シ ス テ ム の デ ー タ を 合 わ せ て い く こ と を 考 え る.そ の た め にFRITで は 擬 似 参 照 信 号F(ρ)を 導 入 し て い る.以 下,擬i似 参 照 信 号 戸(ρ)を用 い た パ ラ メ ー タ 調 整 法 を 述 べ る.

ま ず,最 初 に 初 期 パ ラ メ ー タ ρi。iを用 い て,初 期 制 御 器C(ρi,i)の 性 能 実 験 を 一 回 行 い,参 照 信 号r(ρi。孟)に対 す る 初 期 入 出 力 デ ー タeti。i==U(ρini),:yi。i==y(ρi。i)を取 得 す る.な お,初 期 パ ラ メ ー タ ρ皿iは,閉 ル ー プ シ ス テ ム を 安 定 化 す る よ う な も の

と す る.一 回 の 性 能 実 験 で 得 られ た 初 期 入 出 力 デ ー タtti、i,:yi。iを用 い る と,Fig.2.1 に お け る 擬 似 参 照 信 号 ア(ρ)は

7(ρ)=C(ρ)‑1Uini+yi。i

(D

5

の よ う に 表 す こ と が で き る.そ し て,任 意 に 設 定 で き る パ ラ メ ー タ ρ を 用 い た 擬 似 参 照 信 号i(ρ)とrか らyま で の 望 ま し い 伝 達 関 数Tdを 用 い る と,評 価 関 数 は 次 の よ う に 表 さ れ る.

,1'F(ρ)‑11:yi。i‑Td7(ρ)112(2)

明 らか に,(2)式 はJF(ρ)は 初 期 入 出 力 デ ー タ と パ ラ メ ー タ 化 さ れ た 制 御 器 で 構 成 さ れ て い る の で,オ フ ラ イ ン で 最 適 化 計 算 を 行 う こ と が で き る.こ れ がFRIT法 の 主 な 特 徴 の 一 つ で あ る.最 適 化 計 算 を 行 う た め に デ ー タ を 何 度 も 取 得 す る 必 要 が あ る 他 の デ ー タ 駆 動 型 制 御 の 手 法 と 比 べ,一 回 の デ ー タ 取 得 の み で 最 適 化 計 算 を 行 う こ とが で き るFRIT法 は,時 間 や 費 用 な ど の 労 力 を 削 減 す る 点 で,実 プ ロ セ ス で の 調 整 に 有 力 な 手 法 で あ る と い え る.

こ の 最 適 化 計 算 に つ い て,直 感 的 に 理 解 が しや す く な る よ う説 明 を 加 え る 、yi。i=

GUi。iを 取 得 す る 最 初 の 実 験 と 閉 ル ー プ シ ス テ ム の 目 標 値 か ら 出 力 ま で の(D式 に 関 す る 伝 達 関 数 丁(ρ)と の 関 連 は,設 計 者 が 任 意 に 設 定 で き る パ ラ メ ー タ ρ を 用 い る こ と に よ り

T(ρ)ア(ρ)= .Yini(3)

と 記 述 す る こ と が で き る.こ れ よ り(2)式 は,(3)式 を 用 い て 次 の よ う に 書 き 直 す こ と が で き る.

」F(ρ)一(1‑T(

ρ))IYi・ill2(4)

(4)式 は(2)式 と 同 等 な,lyi。iの 影 響 下 に あ る 望 ま し い 閉 ル ー プ 伝 達 関 数 乃 と 実 際 の 閉 ル ー プ伝 達 関 数T(ρ)の 相 対 誤 差 を オ フ ラ イ ン で 最 適 化 す る の た め 評 価 関 数

で あ る.

2.3VirtualReferenceFeedbackTuning(VRFT)法

FRIT法 と は 独 立 し た 手 法 で は あ る が,や は り 同 様 に1回 の 実 験 デ ー タ の 取 得 で パ ラ メ ー タ を調 整 で き る 手 法 と してVRFTが あ る.FRIT法 で は 出 力 に 着 目 し て い た こ と に 対 し,VRFT法 は 入 力 に 着 目 し て い る.ま た,基 礎 的 な ア イ デ ィ ア に お い て はFRIT法 は 閉 ル ー プ 実 験 で 初 期 入 出 力 デ ー タ を 取 得 す る の に 対 し,VRFT法 で は 開 ル ー プ で デ ー タ を 取 得 し て い る と い う 点 が 異 な る.以 下,VRFT法 に つ い て 簡 単 に 説 明 を 行 う.な お,問 題 設 定 は2.2節 と 同 じ と す る.

FRIT法 の 時 と 同 様 に 何 ら か の 参 照 信 号 を 用 い て 入 出 力 デ ー タ を 取 得 す る.た だ し 開 ル ー プ 実 験 で デ ー タ を 取 得 す る.そ し て,初 期 入 出 力 デ ー タtt(ρo),y(ρo)を 用 い て 仮 想 参 照 信 号 アを

y(ρo)=Td7

(5)

と な る よ う に 計 算 す る.そ して 偏 差 信 号 を 百=F‑y(ρo)を 構 成 し,制 御 器C(ρ)に 印 加 す る こ と で 仮 想 的 な 操 作 量,

距(ρ)=c(ρ)6

(6)

を 生 成 し た と す る.こ の 時,最 小 化 す る べ き 評 価 関 数 と し て

・v(ρ)一 ￡@(ρ 。)‑c(ρ)げ

tニ1

(7)

を 考 え る.こ のJv(ρ)も 初 期 入 出 力 デ ー タ"(ρo),y(ρ 。)と 制 御 器C(ρ)の み に 依 存 す る の で 最 適 化 計 算 は オ フ ラ イ ン で 実 行 可 能 と な る.こ の 評 価 関 数 を 最 小 化 し た 際 はti(ρ)=u(ρo)と な り,ま た こ の 時 フ ィ ー ドバ ッ ク 系 はTdと な る 、 ゆ え に,最 適 な パ ラ メ ー タ を 得 ら れ た と き,そ の パ ラ メ ー タ を 設 定 し た 制 御 器 を 実 装 し た シ ス テ ム は 閉 ル ー プ 系 が 所 望 の 規 範 モ デ ル 伝 達 関 数 と な る シ ス テ ム に な る.

2.4非 線 形 シ ス テ ム に 対 す る デ ー タ 駆 動 型 制 御

2、2節でのFRIT法 と2.3節 で のVRFT法 は線形 シ ステ ム に対 す る制御 器 に対 し パ ラメー タ調 整 を行 うこ とで所望 の制御 性能 を獲 得 す るもの で あ る.し か し,非 線形 シス テ ム に対 して制 御 を行 お う とす る時,線 形 制御 器 で は対 処 し きれ な い こ

とが あ る.特 に,平 衡 点 よ り離 れ た 目標 値 に対 して の制御 を行 う時,シ ステ ムの 非線 形 特性 の影 響 に よ り,動 特性 が 目標 値 の変 動 に よ って変 化 して し ま う.そ う

な る と,従 来 の線 形 制御 器 で は その変 化 に対 応 で きず,所 望 の 制御性 能 は達 成で きない.仮 に所望 の制御 性能 が達成 で きた として も,入 力 が非 常 に大 き くな って しま う とい う問題 が発 生 す る.

そ う した課 題 を受 けて,非 線 形 システ ムに対 す るデ ー タ駆 動 型制 御 の研 究 は近 年 盛 ん に行 われ て い る.一 般 的 に非 線 形 シス テ ム に対す る制 御 には,非 線 形 特性 に対 す る補 償 器 を線 形制 御 器 と一緒 に用 い る手 法や,非 線形 シ ステ ムの 逆 シス テ ム とな る よ うな フ ィー ドバ ック制御 器(補 償器)を 導入 す る手法,非 線 形 フィー ドバ ックに基 づ く線 形 化手 法 等 が考 え られて い る.そ の 中で,デ ー タ駆 動型 制御 にお ける非線 形 シス テム に対 す る制御 で は,非 線 形 シス テム で表現 され た制 御対 象 に対 して,VRFT手 法 に お ける評価 関 数 と本 来 の モデ ルベ ー ス ド設 計 の評 価 関 数 を2次 まで テ イラー展 開 した もの が一 致す る よ うに フ ィル タ を構成 す る手法4), 従来 のVRFT法2)やFRIT法:・1)に 対 して,静 的 な非 線形 要素 の逆 シス テ ム とな る 補 償 器 を用 い る 手 法5},非 線 形 シ ス テ ム に対 し内 部 モ デ ル 制 御 器 を構 成 し,内 部 モ デル制御器 をFRIT法 を用 いて設 計す る手法6)が 提 案 され てい る.そ こで,次 節 で は金子 の 手法6)と,そ れ を拡張 して外乱 が印加 され る場 合 に対応 した著 者 らの手 法16}に つい て簡単 に述べ て い く.

7

2.5非 線形 シス テ ム に対 す るデ ー タ駆 動 型 内部 モデ ル 制御

2.5.1対 象 と す る 非 線 形 シ ス テ ム の ク ラ ス と 問 題 設 定

この 手法 に お け る制御 対 象の シス テム を単 入 力単 出力 で 時不変 な動 的非線 形 シ ス テム と仮 定 し,入 出力 の関係 は,

ン[,「 嚇 圃,y[,‑2],…,y卜n]:u〔,一.],…,u[,一 。]ユ(8)

と仮 定 す る.な お,玩:R2n‑v+11→Rは プ ラ ン トの 動 的 非 線 形 シ ス テ ム を 表 す 集 合 の 写 像 で あ る.ま た,整i数vは 入 力 信 号 の む だ 時 間 に 相 当 す る.加 え て,初 期 状 態 に つ い て の 仮 定 を 以 下 の よ う に お く.

y[o]==Y{i]=■ ■・=JyT[n‑1]=0(9)

初 期 条 件(9)の 仮 定 お よ びRN+1→RN+1の 写 像 と 見 な す こ と が で き る こ と か ら, (ueを 定 義 す る .

IY[n]

y[i・i+1]

y[t]

={)!Zn[u[o

,。‑1]]

=弱 ・+1[u[o ,。11

=例 配[o

,i‑1]]

(10)

y[tV+1]=:鮪+1[躍[咽1 y[N+nl=鮪+n[u[o,N]]

な お,%は 過 去 の 入 力 時 系 列 信 号tt[o ,卜1]と 現 在 の 出 力 信 号y{,]の 非 線 形 写 像 で あ る.

ま た,{グ は 全 単 射 で あ る と仮 定 す る.こ の 仮 定 を お く と,取 り扱 う非 線 形 シ ス テ ム の 集 合 はrが 時 系 列 的 に 連 続 で は な い 場 合 を 除 き,可 逆 性 を も つ こ と が 言 え る.

な お,こ れ 以 降 の 議 論 で は 記 述 の 簡 単 化 の た め に,y[n ,N+nl=》[u[o,Ni]を 〉,=例 司 と 記 す.

以 上 で 仮 定 した 条 件 の 非 線 形 シ ス テ ム の ク ラ ス で 表 現 さ れ るFig.2.2の 内 部 モ デ ル 制 御(IMC)シ ス テ ム を 考 え る.こ こ で,e(ρ)と"(ρ),y(ρ)は そ れ ぞ れ 偏 差 信 号, 制 御 入 力,制 御 出 力 を 表 し,rは 参 照 信 号 を 表 す,ま た 外 乱 は 制 御 対 象 の 出 力 端 に 加 わ る.ま た,》 は 制 御 対 象 で あ る 実 際 の プ ラ ン ト,望(ρ)は パ ラ メ ー タ 化 し た 非 線 形 シ ス テ ム の 内 部 モ デ ル と し,乃 を 望 ま し い 線 形 時 不 変 な 伝 達 関 数 と す る,な

お,本 稿 で は 制 御 対 象9に つ い て,9の 構 造 は 既 知 で あ る が,パ ラ メ ー タ 化 さ れ た 非 線 形 シ ス テ ム の 真 の パ ラ メ ー タ が 未 知 と 仮 定 す る.

以 上 の 設 定 を 踏 ま え,ノ ミ ナ ル パ ラ メ ー タ を 用 い て 構 成 さ れ た 制 御 系 の 閉 ル ー プ応 答 に よ っ て 得 られ た 一 組 の 入 出 力 デ ー タUini,yin,を 用 い て 制 御 器 パ ラ メ ー タ を 更 新 し,与 え られ た 目標 値 追 従 特 性 を 達 成 す る パ ラ メ ー タ を 求 め る 問 題 を 考 え る.

d

e(ρ)

9(ρ)‑1

一CIMC(ρ)・ ・・・・・・…

u(ρ)

9(ρ)

〃(ρ) 十

Fig.2.2:TheIMCstructurefornonlinearsystemswithdisturbance

2.5.2デ ー タ 駆 動 型IMCの 手 順

ま ず,最 初 に 望 ま し い 伝 達 関 数 η を 設 定 す る.そ の 後 η と初 期 制 御 器 パ ラ メ ー タ ρiniが実 装 さ れ て い る 初 期 の 非 線 形 フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器 笥MC(ρini)を 用 い て, FRIT法 と 同 様 に 一 回 の 閉 ル ー プ 実 験 を 行 う.こ の 実 験 に よ り得 ら れ た 初 期 入 出 力 デ ー タUi。i,Yiniは,外 乱d=0の 時 は

Ui。i‑4(ρi,i)N'[Td(・‑yi、i+4(ρi。i)[Ui。iD]

yi。i={lf[Ui,i]

と 表 さ れ る.ま た,外 乱d=αb・ δ の 時 は

配δi。,‑y(ρ δi。i)‑1[Td(r‑〉,δi、i+げ(ρ δi、i)[Uδi。i])]

Yδi。i=r[uδi。i]+αb・ δ

(ID (12>

(13) (14) と表 され る.

こ こか ら初期 入出 力 デ ー タを用 い て,擬 似 参 照信 号 戸(ρ)を次 の よ うに求 め る.

外 乱 が加 わ らな い場合 の擬 似参 照信 号 は

戸(ρ)==Td"‑1妙(ρ)[∬ ゴini]十Ydini‑9(ρ)[Udini]

(15)

9

ドバ ック制御 器 に対 す る外乱dの 影 響 を回避 す るた め に外乱 の情 報 を除 いた擬似 参 照信 号 の関係 式 を次 の よ うに与 え る.

ア(ρ)一(X。 ・δ 一Tc「'4(ρ)レ δi。i]+9[Uδi。i]‑4(ρ)[Uδi。i]

そ し て,外 乱 が 含 ま れ な い 場 合 はr(ρ)を 用 い て 以 下 の 評 価 関 数(17)式 を,

JF(ρ)=11yini‑Td7(ρ)12

‑11yi、i一 則 ㌶f14(ρ ルi。i]+[yi。i一 ψ(ρ ルi・i])1 2

‑[j(1‑Td)(yi。i‑4(ρ)望 一1[:yi。i])12

外 乱 を 含 む 場 合 は7(ρ)‑dを 用 い て 以 下 の 評 価 関 数(18)式 を ,IFδ(ρ,(X)‑Hyi。i一 乃 戸(ρ)H2

‑ll(1‑Td)(:Yδi。i一 α ・δ4(ρ ル δ1n1Dl2

を設 定 し,評 価 関数 を最 小化 す る制御 器 パ ラメー タ を求 め る.

(16)

(17)

(18)

この評 価 関数(17)式 また は(18)式 の最 小化 を実 行 す る際 に要求す る もの は初 期 入 出 力 デー タ と規 範 モ デル伝 達 関 数%お よび 外乱dの みで あ り,評 価 関 数 はオ フライ ン下 で最適 化 計算 で きる.ま た,外 乱 が加 わ った場合 も内部 モ デル 制御 系 が設 計可 能で あ る こ とを示 す こ とが で きる.

2.6D2.IBC法

25節 で取 り上げた デー タ駆 動 型 内部 モ デル制御 手 法6・16)や,Campiら4),若 佐 5)の 手法 は ,出 力信 号が過 去 の入 力信 号 の静 的 な非線 形 関数 で表 現 され る非線 形 シス テム に対 して,デ ー タ駆動 型 制 御器 設 計 法 を用 い る こ とが可 能 と した.し か しそ の一 方 で,こ れ らの手 法で は状 態 量 の非 線形 関数 が含 まれ る場 合,例 えば入 力 ア フ ィン系 のよ うな もの を直 接扱 うこ とがで きなか っ た.実 際 の プ ロセ ス を考 え る際,タ ンクシ ステ ム の液面 制御 の よ うに状態 量 の非 線形 関数 が 含 まれ る場 合 は多 く存 在 す る.そ の た め,状 態量 の非線 形 関数 が含 まれ る場合 に対 応 で き る手 法 が課題 点 と して挙 げ られて いた.そ の 中で,状 態 量 の非線 形 関数 が 含 まれ る場 合 に対応 で きる手 法 として提案 され た のがNovaraら の手 法7)で あ る.

2.6.1問 題 設 定

D2.IBC法 の シ ス テ ム はFig,2.3の よ う に フ ィ ー ド ブ オ ワ ー ド制 御 器Kniと フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器Kiinの2つ か ら な る2自 由 度 制 御 系 の シ ス テ ム で あ る.な お,Sは 制 御 対 象 で あ り,離 散 時 間 単 入 力 単 出 力 の 非 線 形 シ ス テ ム と す る.麗,=占̀ダ+㍑ 仰 は シ ス テ ム の 入 力 を 表 し て お り,謬 はK"iの 操 作 量,ulinはKlinの 操 作 量 で あ る.ま た,

Fig.2.3=ThefeedbackcontrolsystemofD2‑IBC

ytは シ ス テ ム の 出 力,る は シ ス テ ム に 加 わ る観 測 雑 音,rtが 参 照 信 号,et=rt‑yt が フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器 の 誤 差 信 号 で あ る.フ ィ ー ド フ ォ ワ ー ド制 御 器 に は 非 線 形 シ ス テ ムSの 逆 シ ス テ ム と な る よ う に 構 成 さ れ た ニ ュ ー ロ コ ン ト ロ ー ラ,フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器 に は フ ィ ー ドフ ォ ワ ー ド制 御 器 の 制 御 誤 差 を 補 償 す る た め の 線 形 制 御 器 が 用 い られ て お り,フ ィ ー ド フ ォ ワ ー ド制 御 器 は シ ス テ ム 同 定 に て 構 成 し, フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器 はVRFT法 を 用 い て 適 切 な 制 御 器 パ ラ メ ー タ を 推 定 し て い る.

2.6.2D2‑IBC法 の 手 順

ま ず フ ィ ー ド フ ォ ワ ー ド制 御 器 の 調 整 方 法 に つ い て 述 べ る.フ ィ ー ド フ ォ ワ ー ド制 御 器 の 構 成 の た め,ま ず 開 ル ー プ で シ ス テ ム に 対 し 白 色 雑 音 を 加 え る こ と に よ りL個 の デ ー タ セ ッ トで あ る 入 出 力 デ ー タa,yを 取 得 す る.こ の と き,基 底 関 数 と重 み パ ラ メ ー タ を 使 用 し た 近 似 式 は 以 下 の よ う に な る.

ノ(q,,碕)一 Σ α'φ'(q,,Ut) f=1

こ こ で φ は 多 項 式 関 数 で あ り,tl=1‑L+n,t2=‑1と す る と

テ ≡(y,【+且,…,夕 ∫ユ+1)

Φ≡「1::li:∵ 認1:1:1:]

(19)

(20)

(21)

の よ う に 表 さ れ る.

ll

適 切 な 重 み パ ラ メ ー タ の 選 定 を 行 い,近 似 式 を構 成 した 後,出 力 夕=∫(4t,Ut)が 参 照 信 号rtと な る よ う に 入 力 を 求 め る.入 力 と 出 力 の ト レ ー ド オ フ 関 係 を 考 慮 し

た,非 線 形 フ ィ ー ドフ ォ ワ ー ド制 御 器 κ用1が生 成 す る 操 作 量 は

uYi‑argmin」(u)

̀̀

」(u)一 ⊥(rt+1‑f(卿)2+Eu2

ρit ρy

た だ し,こ こ で ρyと ρ、、は そ れ ぞ れ

(22) (23)

Pv≡ll幅 …,夕 ・)1  (24)

P。1111(∬1‑L,…,∬ ・)13(25)

と 定 義 し,μ ≧0は 設 計 パ ラ メ ー タ で あ る.同 定 した 近 似 式 が 十 分 にr,1!f(qt,t{t) と な っ た と き,フ ィ ー ド フ ォ ワ ー ド制 御 器 は シ ス テ ム の 逆 シ ス テ ム と な っ て お り, 目 標 値 信 号 を ほ ぼ 達 成 す る 入 力 認 を 生 成 す る こ と が で き る.

し か し,フ ィ ー ド フ ォ ワ ー ド制 御 器 に よ っ て も シ ス テ ム の 非 線 形 特 性 を 完 全 に 補 償 で き る わ け で は な く,非 常 に 小 さ い 誤 差 が 発 生 し て し ま う.そ こ で 線 形 制 御 器 で 構 成 さ れ る フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器 を 用 い て,非 線 形 フ ィ ー ドフ ォ ワ ー ド制 御 器 の 制 御 誤 差 の 補 償 を 考 え る.ま ず,フ ィ ー ド フ ォ ワ ー ド制 御 器 を シ ス テ ム に 実 装 し,

フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器 の 初 期 パ ラ メ ー タ を 何 ら か の 形 で 決 め 初 期 入 出 力 デ ー タ を 取 得 す る.こ の 実 験 は 閉 ル ー プ で 行 い,フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器 の 初 期 パ ラ メ ー タ は 少 な く と も 初 期 入 出 力 デ ー タ を 安 定 化 さ せ て い る も の と す る.そ し て,VRFT法 2)の 考 え に 基 づ き

,適 切 な 制 御 パ ラ メ ー タ を 選 定 す る.選 定 方 法 は2.3節 と 同 様 で あ る た め,こ こ で は 割 愛 す る.そ し て,得 ら れ た パ ラ メ ー タ を フ ィ ー ドバ ッ ク 制 御 器 に 実 装 す る こ と に よ り,シ ス テ ム は 所 望 の 性 能 を 達 成 で き る.

2.6.3課 題 点

この手 法 に よ り,従 来 の非線 形 シス テ ム に対す るデー タ駆 動型 制御 で は取 り扱 うこ とので きなか った クラス の非線 形 シス テ ムに対 して も適 用 で きる よ うにな っ た,し か し,こ の シス テ ムは非線 形制 御 器 の構 成 の際,シ ス テム 同定 を必 要 とす

る.非 線 形 シス テムに対 し,シ ステ ムの同定 の ため にPE性 の高 い励 振信 号 を加 え る ことはシ ステ ムの不 安定 化 に繋 が りやす く,実 応 用 を考 えた 際 は適 用 しに くい.

そ して,シ ス テ ム 同 定 は 高 度 な 制 御 理 論 の 知 識 を 求 め る た め,簡 便 な 手 法 で あ る とは言 えな い.ま た,VRFT法 やFRIT法 の よ うに1組 の実験 デ ータで制御 器 を構 成 で きな い とい う課題 も存在 す る.

その た め,実 応 用 を考 えた際 は1回 の実 験 の みで簡便 な アル ゴ リズ ム を使 用 す

る こ とで 制御 器 のパ ラメー タ調整 が 可能 とな る手法 は必 要 とな る.そ こで,本 研

究 におい て は1回 の実 験 の み で状 態 量 に非線 形 関数 を含 む よ うな非線 形 シ ステ ム に対 して デ ー タ駆 動型 制御 手 法 を適用 す る こ とを考 え てい く.

次章 か らは本 研 究 の提案 法 につ いて述 べ てい く.

13

3準 備 3.1問 題 設 定

P

礁) ^9(孟)

》 6ち

十

》

L

α

Fig.3.1:TheblockdiagramofTheplant

制 御 対 象 をFig.3.1の よ う な1入 力1出 力 連 続 時 間 非 線 形 シ ス テ ム と し て,(26) 式 で 表 さ れ る シ ス テ ム を 考 え る.

d

認 ω 一aTf(y(t))伽(')(26) な お,α,∫ は

aT=[aba2,.一 一7an](27) fT(・)二[プ1(・),f2(・),…,fn(・)](28)

で あ る.y(り は 制 御 量,u(t)は 制 御 入 力 で あ り,f,(・),[i=1,…,n]はLipschitz連 続 な 非 線 形 関 数 と す る.ま た,α は η 次 元 の 未 知 実 数 ベ ク トル,わ は 有 界 な 未 知 の 実 数 定 数 で あ る.

本 研 究 で は,こ の 制 御 対 象 に 対 し デ ー タ 駆 動 型 制 御 器 調 整 に よ っ て 望 ま し い 目 標 値 応 答 特 性 を 実 現 す る こ と を 制 御 目 的 と す る.な お,望 ま し い 制 御 特 性 は,

ンt+(')=Pr(s)・r(t)(29)

α

Pr(s)=(30)

∫十 α

で 表 す も の と す る.こ こ で,r(り は 設 定 値 信 号,Pr(s)は 規 範 モ デ ル 伝 達 関 数(α>0 は 設 計 パ ラ メ ー タ)と す る.

Fig.3.2:ThesystemwithFeedbacklinearizationcontroller

OFBL(θ)

γ(孟)

α

雄) 9ω 》

》

一ト

1

α

》

^》

一

ノ(・),》

》

Fig.3.3:Thefeedbacklinearizationcontroller

3.2フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化

(26)式 の よ うな動 的 な非線 形 シス テム に対 して制御 を行 う場合,非 線形 システム の線 形 化 は有 力 な アプ ローチ であ る17).そ の 中で も,厳 密 な線 形化 や 入 出力線 形 化 な どの非 線形 フィー ドバ ックに基 づ く線 形化 手法 であ る フィー ドバ ック線形 化 は 非線 形 シス テ ムの線 形 化 法 として最 も有用 な 手法 と して知 られ て い る.テ イ ラー 展 開 を利 用 した線 形近 似 化 は平 衡 点近 傍 での み線 型 が成 り立 つ のに対 し,フ ィー ドバ ック線 形 化 は座 標 変換 お よび非線 形 フ ィー ドバ ッ クに よ り広範 囲 で稼 動 す る よ うな シス テム に も適 用 す る こ とがで きる手 法で あ る18).

そ こで本 論 文 で は,(26)式 の制御 対 象 に対 して フ ィー ドバ ック線 形 化 を施 す よ うな制御 器 を構 成 す る こ とに よ り,(29)式 の 目標 値 応 答 特性 を実現 す る こ とを考 える.

15

一 般 にFig .32の よ う な フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化 を 用 い た 制 御 則 は,

u(')‑1{一 轍)1一 αy(')+卿)} (31)

は 以 下 の よ う に 記 す こ と が で き る.

卸 一 ・T鯛+わ ・1{‑aT側 一卿)+㈱}

=一 αy(オ)+αrω

(32)

α

r(の と 表 さ れ る.

こ こ で(32)式 よ り,r(t)か らy(')の 伝 達 関 数 は 当 然 にy(')=

s十 α

ゆ え に(30)式 の 目 標 値 応 答 特 性 が 得 ら れ て い る こ と が わ か る.(31)式 に お い て,a, bは プ ラ ン トパ ラ メ ー タ で あ り,こ れ ら が 既 知 で あ る と き は(31)式 を 用 い る こ と

で シ ス テ ム の 入 出 力 特 性 の 厳 密 な 線 形 化 が 実 現 で き る.し か し,a,bは 一 般 に 未 知 パ ラ メ ー タ と想 定 さ れ,本 論 文 で も そ の よ う に 仮 定 し て い る.そ の 場 合 は(31) 式 を 実 装 す る こ と が で き ず,所 望 の 目 標 値 応 答 特 性(32)式 を 実 現 す る こ と は で き な い.ま た,非 線 形 シ ス テ ム 特 性 が 物 理 的 に わ か っ て い る 場 合 に は,そ の 既 知 の 非 線 形 特 性 ∫[yω]を 利 用 す る こ と に よ り フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化 補 償 器 を 構 成 す る こ と が で き る が,未 知 で あ る 場 合 は 非 線 形 特 性 の 推 定 を 行 う必 要 が あ る.そ こ で, 本 論 文 で は 未 知 で あ る プ ラ ン トパ ラ メ ー タ 及 び 非 線 形 特 性 の 推 定 を デ ー タ 駆 動 型 制 御 手 法 に よ り行 い,フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化 制 御 器 を 構 成 す る 手 法 を 提 案 す る.

4フ ィー ドバ ック線 形 化 制 御 器 に対 す るデ ー タ駆 動 型 制 御

こ あ 章 で は,提 案 法 で あ る フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化 制 御 器 に 対 す る デ ー タ 駆 動 型 制 御 手 法 に つ い て 述 べ る.ま ず,4.1節 で 状 態 量 の 非 線 形 特 性 ∫レ(t)]が 既 知 で あ る 場 合 を,次 に4.2節 で ル(')]が 未 知 で あ る 場 合 を 考 え,そ れ ぞ れ に 対 す る 手 法 を 述 べ る.

4.1状 態 量 の非 線 形 関数 が既 知 で あ る場 合

α

まず,所 望 の 目標値応 答特性 を達 成す る よ うな規 範 モデル伝達 関数Pr(s)=

s十 α

を 設 定 す る た め に,設 計 パ ラ メ ー タ α を 決 め る.こ の 時,参 照 信 号r(t)と 規 範 モ デ ル 伝 達 関 数Pr(s)を 用 い た 規 範 モ デ ル 出 力yr(t)は 線 形 シ ス テ ム で あ る.そ の 後, 線 形 シ ス テ ム のFRIT法3〕 と 同 様 に,初 期 制 御 器 パ ラ メ ー タ θ1niを用 い て 初 期 制 御 器 を 実 装 す る.こ の θiniは閉 ル ー プ シ ス テ ム を 安 定 化 さ せ て い る も の と す る.そ

し て,初 期 制 御 器 パ ラ メ ー タ を 実 装 し た 初 期 制 御 器 に 対 し,時 刻0か らTま で の1 回 の 閉 ル ー プ 実 験 を 行 う こ と に よ り,初 期 入 出 力 デ ー タUini,Yiniを 入 手 す る.な お,Uini,yiniの 関 係 は 以 下 の 式 の よ う に 表 さ れ る.

Ui・i一 θ圭

i{"‑rθTinif(yini)‑CtYi・i+α ・(t)}(33)

こ こ で,初 期 制 御 器 パ ラ メ ー タ は θini=[θ 丑ni,θ2ini]7で あ る.な お,制 御 器 パ ラ メ ー タ と プ ラ ン ト の 真 値 パ ラ メ ー タ と の 関 係 は θ*=[elT,θ 歪ユT=[aT,b]Tで あ る.

次 に,初 期 制 御 器 パ ラ メ ー タ を 用 い て 得 ら れ たtti。i,yi。iを 用 い て,擬 似 参 照 信 号F(θ)を 定 義 す る.擬 似 参 照 信 号7(θ)は,Fig.4.1の よ う に 制 御 器 パ ラ メ ー タ を 初 期 パ ラ メ ー タ θi。iか ら 任 意 の パ ラ メ ー タ θ に 変 化 さ せ た 場 合 で も,初 期 入 出 力 デ ー タUini,yi。iを 発 生 さ せ る こ と が で き る よ う な 擬 似 的 な 参 照 信 号 で あ る.ff(θ) は(33)式 か ら,

θう θl

F(θ)=一 二Uin1十 一f(iYini)十:Vini(34)

α α

→OFBL(θ)

Fig.4.1:Thefictitiousreferencesignal 17

と 求 め る こ と が で き る.規 範 モ デ ル 伝 達 関 数Pr(s)に 擬 似 参 照 信 号 ア(θ)を加 え た 際 の 出 力 が,初 期 出 力 デ ー タyi。iと な っ た 場 合,そ の 時 の パ ラ メ ー タ を 用 い る 制 御 器 を 実 装 し た 閉 ル ー プ伝 達 関 数 の 特 性 は,Pr(s)に な っ て い る と考 え ら れ る.そ の た め,こ の 提 案 法 の 目 的 はy皿i=Pr(s)f(θ)と な る よ う な 準 最 適 な 制 御 器 パ ラ メ ー タ を 如 何 に し て 獲 得 す る か に 帰 結 す る.

仮 に 準 最 適 な パ ラ メ ー タ を び と し た 際,制 御 器 パ ラ メ ー タ が ど の 程 度 び か ら 離 れ て い る の か を 表 す 指 標 と し て,つ ぎ の 評 価 関 数 を 設 定 す る.

ノFBL(θ)

イ(畑 一瞳(碗

⁽³⁵⁾

こ の 評 価 関 数(35>式 は 非 凸 の 非 線 形 最 適 化 問 題 で あ る.本 手 法 で は,最 終 的 に(35) 式 の 評 価 関 数 を 最 小 化 す る よ う な 制 御 器 パ ラ メ ー タ び を 最 適 化 計 算 で 求 め る こ と に よ り,所 望 の 目 標 値 応 答 特 性 を 達 成 す る 準 最 適 な 制 御 器 パ ラ メ ー タ を 獲 得 す る.

な お,初 期 制 御 器 構 造 は フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化 制 御 器 以 外 の も の を 実 装 し て も 提 案 法 に よ り フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化 制 御 器 を 調 整 す る こ と が で き る.こ れ は 擬 似 参 照 信 号 を 定 義 す る た め に 必 要 な デ ー タ が1.ti。i,:yi、iのみ で あ る た め で あ る.

4.2状 態 量 の 非線 形 関 数 が未 知 で あ る場 合

4.1節 で は,状 態 量 の 非 線 形 関 数fLv(̀)]が 既 知 で あ る 場 合 を 取 り扱 っ た.し か し, 一 般 的 に 考 え る と 非 線 形 関 数 ノレω]は 未 知 で あ る 場 合 も 多 い.そ う し た 場 合 は4.1 節 で の 手 法 で は 所 望 の 制 御 性 能 を 達 成 で き な い.状 態 量 の 非 線 形 関 数 ∫[y(t)]が 未 知 で あ る 場 合,フ ィ ー ドバ ッ ク 線 形 化 制 御 器 を 構 成 す る た め に は 何 ら か の 方 法 で fLy(')]を 推 定 し,推 定 し た も の を 制 御 器 に 実 装 し な け れ ば な ら な い.そ こ で,4.2

節 で は,4」 節 で の 手 法 を 拡 張 し,状 態 量 の 非 線 形 関 数 ル(t)]を 推 定 し,フ ィ ー ド バ ッ ク 線 形 化 制 御 器 を構 成 す る 手 法 を 提 案 す る.

4.2.1ニ ュ ー ラ ル ネ ッ ト ワ ー ク を 用 い た 制 御

未 知 の 非 線 形 関 数 を 含 む シ ス テ ム に 対 して は,ニ ュ ー ラ ル ネ ッ トワ ー ク を 用 い て 非 線 形 要 素 の 推 定 を 行 う 手 法 が 有 効 な 手 段 と し て 知 ら れ て い る.1980年 代 に な っ て 脚 光 を 浴 び て き た ニ ュ ー ラ ル ネ ッ ト ワ ー ク は,従 来 の 計 算 機 と 比 較 し て,学 習 能 力 が あ り し か も 未 知 環 境 に も 適 用 可 能 な 汎 化 能 力 が あ る.そ の た め,そ の 能 力 を 利 用 す る こ と に よ っ て,従 来 の 制 御 技 法 と は 異 な っ た 自 動 化 技 術 を 得 る こ と が で き る19).特 に,ニ ュ ー ロ コ ン ト ロ ー ル は ニ ュ ー ラ ル ネ ッ トワ ー ク に 基 礎 を お き, ニ ュ ー ロ ン と い う 非 線 形 素 子 を 単 位 と し た 制 御 方 式 で あ る.し た が っ て ,ニ ュ ー ラ ル ネ ッ ト ワ ー ク を 用 い る こ と に よ っ て 非 線 形 シ ス テ ム の モ デ ル 化 が 可 能 で あ り, し か も 非 線 形 シ ス テ ム に 対 す る コ ン ト ロ ー ラ の 設 計 も 行 え る.近 年 は,ア ル ゴ リ

中間層

入 力層 出 力層

Fig.4.2:TheRBFnetwork

ズ ム の 進 化 や ハ ー ド ウ ェ ア の 進 化 も あ い ま っ て,ニ ュ ー ラ ル ネ ッ ト ワ ー ク を 利 用 し た 制 御 技 術 の 発 展 が 著 し い.

そ の 中 で もRBFネ ッ ト ワ ー ク はFig.4.2の 通 り,そ れ ぞ れ 複 数 の 素 子 数 を 持 つ 入 力 層,中 間 層,出 力 層 の3層 か ら な る 階 層 型 の フ ィ ー ド フ ォ ワ ー ド型 の ニ ュ ー ラ ル ネ ッ ト ワ ー ク で あ る20).中 間 素 子 の 出 力 関 数 と し て は,主 に ガ ウ ス 関 数 が 用 い ら れ る こ と が 多 い.出 力 素 子 か ら の 出 力 は 中 間 層 素 子 か ら の 出 力 と 重 み パ ラ メ ー タ と の 積 の 総 和 で 表 現 さ れ る.RBFネ ッ ト ワ ー ク は 計 算 の 手 軽 さ や 幅 広 い 非 線 形 関 数 に 対 応 で き る こ と か ら 制 御 シ ス テ ム の 同 定 な ど に 用 い ら れ て い る.

そ こ で,提 案 法 で はFig.4.2の よ う なRBFネ ッ ト ワ ー ク を 用 い る こ と に よ り未 知 の 非 線 形 関 数 」fレ(')]の推 定 と プ ラ ン トパ ラ メ ー タ の 推 定 を 同 時 に 行 う.こ の 手 法 はNovaraら の 手 法7)と 異 な り,1回 の 実 験 か ら得 ら れ る 入 出 力 デ ー タ で 非 線 形 関 数 と プ ラ ン トパ ラ メ ー タ を 推 定 し,制 御 器 を 調 整 す る こ と が で き る.

4.2.2RBFネ ッ ト ワ ー ク を 用 い た 制 御 則 の 導 入

状 態 量 の 非 線 形 関tWfty(')]をRBFネ ッ ト ワ ー ク を 用 い て 近 似 す る と き,近 似 式 は 以 下 の 通 り に な る.

の

ル]7scip(ン)一 Σ ・'φ'(y),'‑1,…,n ごこ じ

㈲ 一調C書 望)

(36)

(37)

こ こ で,φ(・)は ガ ウ ス 関 数 を 用 い た 基 底 関 数,Cは 実 数 ベ ク トル で あ る 重 み パ ラ メ ー タ 行 列 と す る.ま た,刑 は 基 底 関 数 の 数 で あ る.す な わ ちCφ(y)はn個 のc,

19

CRBF(θnn)

r(オ)

u(の

》

α

9(オ)

》

十

》

一

α θnn2

》 2

」

φ(・)

》 θnn1

》

Fig.4,3:ThefeedbacklinearizationcontrollerusingRBFnetwork

φ(y)の 積 か ら な る 線 形 和 で あ る.近 似 式(36)式 を 用 い る と,シ ス テ ム の 動 特 性(26) 式 は

dT

認'(')=αCφ(y)+b・ ・(t)(38)

と 表 す こ と が で き る,十 分 な 数 ηの 基 底 関 数 φ(γ)を 用 意 し た 上 で,適 切 な 重 み パ ラ メ ー タ ベ ク トルCを 推 定 す る こ と に よ っ て,Cφ(y)はf[y(')]を 近 似 す る こ と が で き る.そ し て 十 分 に 近 似 が で き た 場 合,(38)式 と(26)式 は 十 分 に 等 し い と 見 徹 す こ と が で き る.以 降,提 案 法 の 導 出 に 用 い る シ ス テ ム の 動 特 性 は(36)式 を 用 い る こ と と し,次 に 推 定 パ ラ メ ー タennを 導 入 す る.こ こ で,プ ラ ン トパ ラ メ ー タ aT及 び 重 み パ ラ メ ー タ 行 列Cは 共 に 未 知 で あ り,実 数 ベ ク トル で あ る.そ の た め,

(36)式 に お い て,a,Cを そ れ ぞ れ に 推 定 す る の で は な く,aCを ま と め て1つ の パ ラ メ ー タ と し て 扱 っ た と し て も 問 題 な い.以 上 の 点 を 踏 ま え,推 定 パ ラ メ ー タ と 初 期 パ ラ メ ー タ,プ ラ ン トの 真 値 パ ラ メ ー タ の 関 係 は そ れ ぞ れ 以 下 の 式 で 表 さ れ る 通 り で あ る.

eT,、 一

θ1,i。i‑

efil一

[el。be・ ・2]

「θ1。li。i,θ・・2i司 [a'c・b]

そ し てennを 用 い た 場 合,(31)式 の 制 御 則 は,

̀'(')=

誌2{一 θ1・lip(y)一 αy(')+α ・(の}

(39) (40) (41)

(42)