雪結晶のフラクタル次元について

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(1)Title. 雪結晶のフラクタル次元について. Author(s). 油川, 英明; 安武, 学. Citation. 北海道教育大学紀要. 第二部. A, 数学・物理学・化学・工学編, 47(1) : 7-15. Issue Date. 1996-08. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/1944. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 平成８年８月. 北海道教育大学紀要（第２部Ａ）第４７巻第１号４７ｉｉｌｔｔｔｙｏｆＥｄｕｃａｌｏｏｎｎＡ）Ｖｏｏｎ（ＳｅｆＨ欲永ａｉｄｏＵｎｉｖｅｒｓｉｃＪｏｕｍａ．１．，Ｎｏ. ９９６Ａｕｇｌ器ｔ，１. 雪結晶のフラクタル次元について. 油川. 英明・安武. 学＊. 北海道教育大学岩見沢校物理学教室＊北海道砂川市役所. ｏｎｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｓｎｏｗｃｒｙｓｔａｌｓ. ＨｉｄｅｋａｋｉＡｂｕｒａｋａｗａａｎｄＭ［ａｎａｂｕＹａｓｕｔａｋｅｉｃｓＬａｂｏｒａｔｏｒｙ，ｌｗａＰｈｙｓ］ｍＰａｓ，１ｍ迄ａｗａＣａｉｏｎｉＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｉｔｙｏｆＥｄｕｃａｔｖｅｒｓ. Ａｂｓｔｒａｃｔ. ｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｒｓｕｒ－Ｓｎｏｗｃｒｙｓｔａｌ］ｍｔｈｅｒｅｓｏｆｐｌａｎｅｔｙｐｅｗｅｒｅｆｏｕｎｄｔｈｅｉｒｐａｔｔｅｒｎｓｔｏｂｅｆｒａｃｔａｌｆｒｏｉｍａｔｅｄｆｒｏｍｔｈｉｉｏｎａｌａｒｅａｓａｎｄｔｈｅｉｒｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｗｅｒｅｅｓｔｓｒｅｌａ‐ ｒｏｕｎｄｉｎｇｌｅｎｇｔｈａｎｄｐｒｏｊｅｃｔ，ｉｒｐａｔｔｅｎ・ｓ‐ ｉｏｎｓａｂｏｕｔｔｈｅｉｏｎｂａｓｅｄｏｎａｆｅｗａｓｓｕｍｐｔｔＡｓｆａｒａｓｗｅａｎａｌｙｚｅｄＮａｋａｙａ’ｓｐｈｏｔｏ］ｍｉｃｒｏｇｒａｐｈｉｃｓｏｆｎａｔｕｒａｌｓｎｏｗｃｒｙｓｔａｌｓｗｈｉｃｈｗｅｒｅｓｈｏｗｎ ” ｉ ” ｆｄｔｈａｔｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｏｆｓｎｏｗｆｉｃｉａｌｉｉｎｈｉｓｂｏｏｋ，ＳｎｏｗＣｒｙｓｔａｌｓ，ＮａｔｕｒａｌａｎｄＡｒｔ，ｔｗａｓｏｕｎ. ００～１５５ａｎｄｔｈｅｍｏｒｅｐａｔｔｅｒｎｓｏｆｓｎｏｗｃｒｙｓｔａｌｓｗｅｒｅｃｏｍｐｌｅｘ，ｔｈｅｍｏｒｅｔｈｅｉｒｃｒｙｓｔａｌｓｗｅｒｅｌ ‐ ．ｆｒａｃｔａｌｄｉｍｅｎｓｌｏｎｓｉｎｃｒｅａｓｅｄ．ｌｌ，ｄｅｎ‐ ｌａｓｓｉｆｉｅｄｉｎｔｏｓｅｖｅｒａｌｇｒｏｕｐｓｂｙｔｈｅｉｒａｐｐｅａｒａｎｃｅｓｓｕｃｈａｓｐｌａｔｅＳｎｏｗｃｒｙｓｔａｌｓｗｅｒｅｃ，ｓｔｅｅｒ ’ ｌｉｌｔｈｉａｔｔｅｒｎｓｂｙｉｄｉｄｉｉｄｌｈｌｄｔｂｄｆｆｉｉｂｌｉＮｋｄｒｉｔｅ，ｓｏｃａａｓａａｙａｓｃａｓｓｃａｔｏｎ，ｕｔｔｅｙｃｏｕｎｏｅｅｎｅｎｖｕａｙｅｒｐｉｙｔｈｅｉｒｆｉｃａｔｉｏｎ‐ Ｂｙｆｒａｃｔａｌｄｉロｌｅｎｓｉｏｎｓｏｆｓｎｏｗｃｒｙｓｔａｌｌａｓｓｉ］ α Ｌｅｒｉｃａｉｔｈｅｃｓ，ｔｈｅｙｃｏｕｌｄｂｅｓｈｏｗｎｎｕｐａｔｔｅｒｎｓｏｎｅｂｙｏｎｅ‐ キーワード. 雪結晶. フラクタル. 回転半径法. 中谷の結晶分類. １. 角板型結晶. 羊歯状結晶. はじめに. ）により初めて形雪の結晶は２つと同じものがないといわれるほどその形は多様であるが，それらは中谷１）は中谷の分類を基に気象学的な観態学的な分類が行われ，４０種ほどにまとめられた．その後，孫野・李２，点から，それらを８０種ほどのより細かなグループに分類を行った‐ これらの分類法は，例えば「角板」「扇型」「樹枝状」「無垢厚板」「角柱集合」などのように，雪結晶の形が視覚的，定性的に表されたもので，結晶全体が簡潔にかつ系統的に整理され，その分類の名称から結晶の形が容易に想定される．しかし，その反面，このような分類法では類似した結晶がひとつの名称でまとめて表されているために，個々の結晶の独自な形態が表現されるまでには至らない．例えば，「樹枝状結晶」と分類されても，それらには比較的単純な形のものから相当に複雑なものまで，種々の異なった形態の「樹枝」が含まれているわけである．）雪結晶がその周一般に，雪結晶の形は雪雲のなかの温度と水蒸気量によって決められるとされている１．（７）.

(3) . ８. 油川. 英明・安武. 学＊. りの気象環境を反映して生成されるものであるならば，同じ分類に属する結晶であってもその形態にはいるなものが存在することから，分類上同じ結晶であってもそれらが全く同じ環境で生成されたということにはならない‐ このようなことから，個別の雪結晶の生成条件を特定するためには結晶の形及びその複雑さを併せた分類，あるいは形態そのものの指標化が必要になってくるものと考えられる．また，分類上のことに関して，結晶のなかには必ずしも分類名に合致した形のものばかりでなく，時にはその中間的な形の結晶が存在することもあり，多少分類に戸惑うような場合がある．このようなことは視覚的な分類法から必然的に派生してくる問題で，これを解消するためには，結晶の個々の形に関して何らかの量的な表示法が求められることになる．ところで，雪結晶がどのようにして生成されるのかについては，これまでにも結晶成長の理論や実験，観））５））等結晶生成に関わる形態学的な研究を進める・４・６・察等の結果に基づき多くの議論がなされてきているが３，. 上で，雪結晶全般についての形に関する数量的な分析は特に必要なことと考えられ，今後の雪結晶生成に関する研究においても重要な課題になるものと想像される．以上のようなことから，雪結晶の形態をより詳細にかつ定量的に表すために，雪の形に関するフラクタル的解析を試みた．これまで，雪結晶についてはフラクタルのコンピュータシミュレーションや溶液内におけ. ｝）等本研究は天然の雪結晶の形態をフラクタル次元に ’８る凝集体の作製による形態実験などが見られるカデ，よって数値的に示そうという試みである．雪結晶の形が定量的に表現されるならば，結晶の形態に関する数量的な解析が進められることになり，結晶の形とそれを決める物理量とが具体的に関係付けられ，雪結晶の生成機構を解明する上での一助になり得るのではないかと考えられる．. ２雪結晶の形とフラクタル次元２１. 雪結晶への「回転半径法」の応用. １）から抜粋された雪結晶雪結晶の形は，板状結晶の場合には特に多様で，例えば図１の中谷の「雪の研究」の例にも見られるように，角板，扇型，広幅六花，樹枝状と多種で，かつ後者ほど複雑な形態になっている．また，名称が同じでもその形はやはりいろいろで，例えば樹枝状結晶では枝の幅や長さあるいは樹枝の形がそれぞれ異なっている．このような結晶の複雑さを表現するためには，従来のような名称のみによる分類では困難があり，形を数量として表すことが必要となってくる．この数量として，雪結晶のフラクタル次元を求めることとした．｝等を応用することにより求められ今回の雪結晶のフラクタル次元は，図２に示したような「回転半径法」９た．この方法は，ひとつの複雑なパターン，例えばコロイド状の凝集クラスター等について，いろいろなス. ケールの下で構成粒子を計数し，構成粒子の総数とそれらが収まる回転半径（図２－Ａで，粒子は黒丸，回転半径はＲとして示されている）をそれぞれのスケールについて求め，それらの関係からフラクタル次元を算出するものである．この方法を雪結晶に応用する場合，雪結晶の形を決めている輪郭を適当な半径の小円で覆い（図２ーＢ），これらを形態の構成粒子に相当するものと考える．そして，その小円の数（粒子数）は結晶の輪郭の長さ（Ｌ）に関係した値と見なし，結局，輪郭の長さは形を構成する粒子数に比例した量として考えるわけである．次に，その要素全体が収容され得る円の回転半径として（図２－Ａの半径Ｒの値），その雪結晶の投影面積ｌ２／の関係より求められる．この時，回転半径法において（ｓ）に相当する円を考えれば，その半径はＲ～ｓ粒子数と回転半径との関係からフラクタル次元を求めるのと同じ手順により，ＳとＬとの間にｓ～Ｌ２／Ｄが成り立てば，その形はフラクタルな図形と見なすことができ，そのグラフからフラクタル次元Ｄの値を求め（８）.

(4) . . ９. 雪結晶のフラクタル次元について. ▼ ′ ＼．〆． ′ ．. ， “｝〆ノ：－．ゞ～. 広幅六花. 扇形. 角板. 図１. 樹枝状. 板状雪結晶の形と呼称の例. ることができるわけである．. ２．２雪結晶の計測とフラクタル次元の誤差）雪結晶のフラクタル次元は，中谷の図版１. の中から比較的形状が鮮明な２０９枚の写真資料について算定が行われた．これらの図版は. 謎能率夏鑑 ◎. 謬二ぎ鶏麗濯ぎ甑憂圭. . . することによって行われた‐ 図形の入力は図. Ｂ. デジタイザーを用いて結晶の形をパーソナル. コンピュータに入力し，その図形を演算処理. 萎ミミミ. 図２. 回転半径法による雪結晶のフラクタル次元. 版の上をカーソルでなぞって行うという手動であるため，その座標値には入力誤差が予想されるわけであるが，図３に示したような矩形入力のテストから，輪郭の長さと面積の誤差はそれぞれ±０ ‐３％という値が得られた．．８％及び±２. （９）.

(5) . １０. 油川. 英明・安武. １２３８. ｌａ１ｅ. ５１３. 図３. 学＊. ４９１３. ６ａＢ１. ８８６. ディジタイザーによる線分と面積の計算誤差. （左図は線分，右図は面積について横軸の値は真の値，縦軸の値はコンピュータによる計算値）. これらの値がフラクタル次元にどのような誤差をもたらすものか，大略見てみよう．ＳとＬからフラクタル次元Ｄを求めるには，上述の式ｓ～Ｌ２／Ｄから，比例係数をｋとすれば，ｓ＝ｋ．Ｌ２／Ｄとなり，これから，Ｄ＝２１０ｇＬ／ｌｏｇ（Ｓ／ｋ）これに，誤差の値を挿入して表せば２３）／ｋｌ１±０Ｄ＝２１０ｇＩＬ（ｏｇｉｓ（１±０．００８）｝／ｌ．０ここで，ｍ＝２１ｏｇ（１±００ｇ（１±０ｏｇ（Ｓ／ｋ）０ｇＬ／ｌ．０２３）と置けば．００８）， β ＝ｌ， α ；１. ｌＤニモｍ．ｌｏｇ（Ｓ／ｋ）＋βキｏｇ（ｓ／ｋ）十一／壬ニｍ十（α 一ｍ． β）. となり，結局Ｄ＝ｍ十｛（±０．００３）－（±０．０１０）．ｍｉとなる．これから平面図形としてのフラクタル次元Ｄの変動範囲である１から２までの間の誤差を計算すると，ｍは誤差の無い場合の真の次元であるから，これに１及び２の値を代入して，Ｄの範囲を求めると，Ｄ＝１士０．０１３～２±０．０２３. となり，単純平均としてＤ士０．０１８という値が得られる．つまり，以後コンピュータの演算処理から求められるフラクタル次元は，この程度の誤差を含んでいるものと判断されるということになる．９個の雪結晶の輪郭の長さと投影面積の値をこのような条件のもとに，コンピュータにより算出された２０まとめて図４のグラフに示す．これらは角板から羊歯状結晶まで，中谷の分類による典型的な板状結晶について全てプロットしたものである．この場合，樹枝状とか扇形とか，典型的な形の結晶に限ってプロットす０）その勾配からＤの値を求めることはできるが結晶によってはどれば一定の直線関係のグラフが得られ１，，必ずしも従来の分類に則べきかような境界領域のものも多く類す戸惑うってグラフが描けないの種類に分，ものもある．それ故，ここでは結晶の分類に応じたＤを求めるのではなく，逆にグラフ上の座標の値から演算によってＤを求め，その値から新たな分類を行い，それらと従来の分類とを比較をすることを試みた．２．３フラクタル次元の算定法図４に示されたグラフの各点は相当に広く散在しているが，直線Ａ及び弔の領域内に存在していることから，各々の点のフラクタル次元は，このＡとＢの値の間にあるものと考えることができる．（１０）.

(6) . . １１. 雪結晶のフラクタル次元について１. ｌｏｌ. ↑Ｓ（ｍｍ２）「。. ｏ. ・. ‘. 。。８／. 。。馨隷. 乙ｏ. ：ｌｏｅ‐. ／. ０／. 『夕. ｐず。ｄ珊希. ｇ. ００傍役ソザＯ. き夢み. 。 ‘ 。. 一. １１１１１１ ‐ ・. 等. …. －. １. ｏ. 。. ／。。も. ／. Ｌ（ｍｍ）１０ ‐Ｉ. １０２. １０１. １０６. 図４. １０３. 板状雪結晶の輪郭の長さ（Ｌ）と投影面積（Ｓ）の関係. ところで，直線Ａは角板の値に即したグラフであり，直線Ｂは羊歯状結晶の値によるグラフであり，これのグラフからフラクタル次元Ｄを求めると，それぞれ１．５５となる．つまり，直線ＡからＢに移るに．００，１. って雪結晶の形が角板から羊歯状へと複雑になっていることがＤの値にあらわれており，それが増加する向を示しているわけである．尚，角板のフラクタル次元が１．００になることは，簡単な図形の計算からも導れることである．. グラフ上の各点のフラクタル次元Ｄの値は，その座標の位置と直線Ａ及びＢの値から求められるわけであが，その算出にあたり以下の仮定を行った．すなわち，１）板状雪結晶の形は，単純な角板から最も複雑羊歯状結晶まで，その変化は連続的であるものと見なし，図４のＡとＢの２つの直線間の値は連続的な変をしていること，２）各点を通るグラフはＡやＢと同様に全てｓ～Ｌ２／Ｄの関係で表すことができること，ある点を通るグラフのＤの値は，Ａ，Ｂ二直線の値（１．５５）の間にあり，かつそれらの直線から．００及び１れた距離に比例した値であること，の３項目である．これらの仮定は，雪結晶の形の変化が全くの不規則なものではなくて，角板と羊歯状の間の形態変化には，何らかの系統性が存在しているということを前提したものであり，また，ひとつの結晶を単独で考えるのではなくて，あるＤの値を持ったグループの一員. して取り扱うということを意味している．）を通るグラフＳ＝ｋ・Ｌ上述の仮定を基に，グラフ上の一点のＤを求める方法を図５に示す．点Ｐ（Ｌｏｏ，Ｓ２ｎｉＤについて仮定より２／Ｄ（＝ｎとする）の値は角板のグラフＳ＝ｋ２・Ｌ，．Ｌｎと羊歯状のグラフＳ＝ｋ，，. 間の値として，それらの値の比例配分により算定されることになる．すなわち，図５においてａ＝Ｌｏ一Ｌ，－－Ｌ，ｂ＝Ｌ２. ，Ｌ２はそれぞれ角板と羊歯状のグラフの式から. ＬＩ＝２何遍２９何遍Ｌ２＝１．. １）（１.

(7) . . １２. 油川. 英明・安武. 学＊. となり，Ｐを通るグラフの勾配はａｂＬ，Ｌ２が比例関係にあるものとして，，，，，２ △ｎ＝ｌｏｇａ／ｌ９）ｏｇｂ．（２－１．. より１０１－Ｓ. （ｍｍ２）. ‐. ２ ′ 羊状ｋし／ ÷ ジ. 角板. Ｑよ／／. ．三. ん４. １０９. Ｄ＝１‐ ５５. Ｄ＝１．００. Ｌ（ｍｍ）１０ ‐１. １. １. ー１ｉ１１１. １０６. １. １. １１１１１１ー０２. １０ユ. １０３. 図５角板と羊歯状結晶の中間に位置する雪結晶のフラクタル次元の算出. ｎ＝２－ △ｎ. と求められ，これからＤ＝２／ｎ. として点Ｐの結晶のフラクタル次元が算定される．２．４雪結晶の分類とフラクタル次元このようにして，２０９の結晶について各々計算を行い，それぞれのフラクタル次元の値Ｄを求めた．その. ）から複写されたもので結晶の片括中から，幾つかの例を図６～図１１に示す．各々の雪結晶は中谷の図版１，弧の数値は中谷の図版番号を表し，その右側にフラクタル次元の値が示されている．図６は「角板」でフラクタル次元Ｄの値は１．０台の値，図７については後述することとして，図８は「扇形」で１．２台，図９は「広幅六花」で１．３台，図１０は「星状」で１ ‐４台，図１１は「樹枝状」及び「羊歯状」で１．５台となっている．ここで，図７は中谷により「樹枝付き角板」等に分類されていたものであるが，フラクタル次元では「角板」と「扇型」の中間の値で，１．１台となっていることから，その数値に基づいてひとつのグループとして分類することとした．. このようなフラクタル次元の数値によれば，同類の結晶でもひとつひとつの区別が可能となる．例えば，図８において，このような形の結晶はこれまで「広幅六花」と一括して呼称されてきたが，図においても明らかなように，これらはそれぞれ異なった形をしている．このことは，フラクタル次元Ｄの数値にその違いとして表されている．すなわち，形の複夏雑さに応じてＤの値が段々と大きくなっていることが判る．２は，各雪結晶について求められたフラクタル次元の値をまとめて，従来の中谷の分類に対比したもの図１（１２）.

(8) . １３. 雪結晶のフラクタル次元について. ５８）１６１１．３. ）１１９３９４．８. １８８９）１１．８. ６９６２）１１．２１７６）１１９．８. １９５）１８４．６９９）１５１４．８. 図６角板の形とフラクタル次元（結晶の右側の数字，以下同じ．各結晶の左側の片括弧数字は中谷の「雪の研究」の図版番号）. ９４７６）１１．３. 図９. ）１６５２１２．１. 広幅六花のフラクタル次元. ３３）１４５４１．. １３５）１５６．４. １３４）１１７．４. １４６）１８１ ‐４. ）１ａ５２５４．ｌ. 図７角板と扇形の中間型のフラクタル次元（中谷の分類では「樹枝付角板」）. 図１０星状結晶のフラクタル次元. ７）１１７１６．２. ３２８８）１１．２. . ３）ー４１９．５. ３）１３９６．４. ７２４５）１．４. ）Ｌ５２１４８. ３９）１１２．５. ５９）１４１ ‐５. ８８）１７８１．２）Ｌ２１８１１４. 図１１樹枝状及び羊歯状結晶のフラクタル次元. 図８扇形結晶のフラククル次元. （１３）.

(9) . 油川. １４. 英明・安武. 学＊. である．雪結晶の形状には鮮明な境界が存在するものではなく，フラクタル次元の数値においても「角板」の１．５５まで連続的に変化している．それ故，従来の分類をフラクタル次元で数値的に．００から「羊歯状」の１表すことは必ずしも容易なことではないが，この図に示したように，おおよその目安としては以下のように対比される．すなわち，「角板」. １．００～１．０１. 「角板－扇形の中間（仮に，つの付角板と呼称）」１．１５．０１～１「扇形」. Ｌ１５～１．２５. 「広幅六花」Ｌ２５～１．４０「星状」. １．４０～１．４５. 「樹枝状」. １．４５～１．５２. 「羊歯状」. １．５２～１．５５. 尚，中谷の分類における「角板付樹枝」及び「樹枝付角板」は，フラクタル次元ではそれぞれ１．３７～１．４４，１．２８～１．４８という値の領域になり，「広幅六花」から「樹枝状」までの範囲に重なっていて，固有の数値範囲を見出すことができなかった．これらをフラクタル次元の上でどのように位置づけるかは今後の課題と考えられる．１．８ａ. 酸. ｌ ‐１９. （っのｆ撹板）－ー. １ ‐２８. 扇形. １ ‐４８. １ ‐３９. 広幅域. ＝. １．５９. ー匪ロ巨匠コ陸ーーーー・ーーーー－．・ー・. ．. ・. －．．． ‐ ‐ －－－－．”． ‐ ‐ ‐ ．－－．－．・ ‐ ． ‐ ‐ －－－． ‐”－－－－－－－ ‐ ‐ －－ ““ －－ ‐ －－－『. ．：. 樹枝付角板. …. 図１２板状雪結晶のフラクタル次元と中谷の分類との比較. ３. おわりに. 板状雪結晶の輪郭の長さと投影面積の関係から，雪結晶がフラクタルな形状あることが示され，さらに，幾つかの仮定に基づいて，各々の結晶についてのフラクタル次元が求められた．雪結晶のフラクタル次元は，中谷の図版を資料として用いた限りにおいては１．５５までの値にあり，結晶の形に応じて複雑になれば ‐００～１なるほどその値が大きくなり，連続的に変化していることが見られた．これらを従来の分類と対比したところ，基本的な結晶の分類形については，フラクタル次元の数値の範囲として，それぞれ表すことができた．フラクタル次元はひとつひとつの結晶を具体的な数値で示すことができることから，従来の分類では表現が困難な，同種の結晶における個別的な表示を行うことが可能である．ただ，フラクタル次元を求めることに際して，より簡便な決定法が望まれることは確かである．雪結晶のフラクタル次元が，結晶の生成にどのような関わりを持っているか，あるいは関わりがあるとすれば結晶生成の如何なる因子と関連するものであるか等は，今後の研究課題であると考えられる．尚，本論文は著者の一人である安武学の１９９４年度卒業論文をもとにして執筆されたものである．. ４）（１.

(10) . １５. 雪結晶のフラクタル次元について. 引. 用. 文. 献. １６１９４６１）中谷宇吉郎，１，雪の研究，岩波書店，ｐｐ‐ ｉｄｏ. ｉｅｎｃｅｆｔｒａｌｓｎｏｗｃｒｙｓｔａｌｓｉｔｉｌｉｆ ‐Ｓｃ，Ｈｏｋｋａ，Ｊ‐Ｆａｃ２）Ｍａｇｏｎｏ，Ｃ－，ａｎｄＬｅｅ，Ｃ．Ｗ－，１９６６，Ｍｅｔｅｏｒｏｇｉｃａｌｃａｓｓｃａｏｎｏｎａｕ２４１４１１０１Ｕｎｉｖ ‐ ‐ Ｓｅｒ‐７，Ｎｏ‐ ，１. ３）Ｆｒａｎｋ，Ｆ．Ｃ．，１９８２，ＳｎｏｗＣｒｙｓｔａｌｓ，Ｃｏｎｔｅｍｐ‐ Ｐｈｙｓ．，ｖｏｌ．２３，Ｎｏ．１，３‐２２）Ｋｏｂａｙａｓｉ，Ｔ．，ａｎｄＫｕｒｏｄａ，Ｔ．，１９８７，Ｓｎｏｗ４. ４３４５７ｆＣｔｌ，６Ｃｒｙｓｔａｌｓ ‐ ，Ｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙｏｒｙｓａｓ. ｉｃｓｏｆｉｃｅｃｒｙｓｔａｌｓｆｒｏｍｔｈｅｖａｐｏｕｒｔｔｈｌ９８３Ｒｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｏｆｇｒｏｗｔｈｋｉｎｅｔ５）Ｋｕｒｏｄａ，Ｔ．，１，ｅｃｅｎｔｄｅｖｅｏｐｍｅｎｓｅｏｒｙａ. ３５５ｔｈ６ｆＣｔＩＧ ‐ ｉｒｇｒｏｗｔｈｆｏｒｍｓ，２７ｐｈａｓｅａｎｄｔｈｅ，Ｊｏｕｒｎａｌｏｒｙｓａｒｏｗｉ ‐ ｉｉｔｈｆｓｔａｌｓｏｃｃｕｒｒｉｎｇｉｎｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｋ６）Ｙｏｋｏｙａｍａ，Ｅ．，ａｎｄＴ‐Ｋｕｒｏｄａ，１９９０，ＰａｔｔｅｒｎＦｏｒｍａｔｏｎｎｇｒｏｗｏｓｎｏｗｃｒｙ３８ ÷ ２０４９ｆｆｕｓｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ，ＰｈｙｓｉｃａＩＲｅｖｉｅｗ， ▽ｏｌ‐４１，Ｎｏ．４，２０ｉｉｃｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｔｈｅｄｎｅｔｉｃｇｒｏｗｔｈｐａｔ－ｉａｌｔｅｎｓｉｏｎａｎｄｄｅｎｄｒｉｔｉｔｉｎｇｗｉｔｈｏｕｔｉｎｔｔｅｒｆａｃｐｓｐｌ）ＪｏｌｉａｎｎＮｉｔｔｍａｎｎａｎｄＨ‐Ｅｕｇｅｎｅｓｔａｎｌｅｙ，１９８６７，Ｔｉ. ６６８ ‐ ｉｓｉｎｇｆｔｅｒｎｓａｒｒｏｍｍｏｌｅｃｕｌａｒａｎｉｓｏｔｒｏｐｙ，Ｎａｔｕｒｅ，ｖｏｌ．３２１，６６３. ）ＢｓｈｅＩＢｅｎ－ＪａｃｏｂａｎｄＰｅｔｅｒＧａｒｉｋ，１９９０，Ｔｈｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｐａｔｔｅｒｎｓｉｎｎｏｎ－ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ８. ｇｒｏｗｔｈ，Ｎａｔｕｒｅ，ｖｏｌ．３４３，. ３５３０５２ ‐ ２５８９８７９）高安秀樹，１，フラクタル科学，朝倉書店，ｐｐ，１０）安武. 北海道教育大掛社会教育課程卒業論文，ｐｐ‐５８９４学，１９，雪結晶のフラクタルについて，. （１５）.

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