ベ ク ト ル 量 の 相 關 測 度 に 就 い で(1) 會 員
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(2) 原. 著. ベ ク ト ル 量 の 相 關 測 度 に 就 い で(1) 會 員. 増. 目 緒. 緒. 山. 元. 三. 郎(中. 央氣 象壷調査 誤). 次 相 蘭 テ ンゾ ル. 論. 從 來 の理 論. 加 算 性 相 闘 係数. 相繭働度に対する要請. 緯 括. 正規 分布 函 鍛. 緕. 線 型 全独立. 文. と 批 判 語. 献. 表(D. 論. 新 しい 現 象 を研 究 す るに 際 しま して,屡. 々二 つ 又 は 夫以 上 の 事象 間 に 關係 が 有 る か 否 か,著. る と すれ ば,そ の 程 度 は どの 位か と云 つ た 問 題,即. し有. ち相 關測 度の 問題 が 起 りま す.. ス カ ラ ー量即 ち一 つ の 轍 で 表現 され ろ量 の 間の 相 關測 度の 理 論 は 多 くの 學 者の 手 に 依 り開 拓 され 實 用 に供 され て 居 ります が,理 論 上 の 取 扱 ひ の 容 易 さと,計 算 の簡単 さの 爲 に,實 際 は 關 聯 係 数 ・ 相關 係 数 が 主 と して 用 ゐ られ,僅 か に 相 關 比 も使 はれ る こ とが 有 る と云 つ た 有 様 で あ ります. 併 し乍 らベクトル 量,即 ち 座 標 饗 換 に 際 して 或 る一 つ の 決 つ た 法 則 に 從 つ て 髪 換 され る一 組 の 数 で表 現 され る 量 に 關 す る 相 關測 度 の 理 論 は,従 来 殆 ど未 開 拓 の 催取 獲 され て 來 た の で あ りま す. この 理 由 を 考 へ て 見 ま す と,先 づ 第一 に 轍學 者 は ベ ク トル は 殆 ん ど ス カ ラー と同 じ様 に 取 扱 へ る だ ら うと考 へ て 興 味 を持 た な い.例 へ て 申 しま す と,ス. カ ラー 量 の理 論 と ペ ク トλ量 の 珊 論 とは,. k凡 軍猫 微分 方程 式 論 と聯 立 徴 分 方 程 式 論 位の 困難 さの 差が あり,そ 斉ま ない で,不 饗 式 論的 制 限が 加 は つ て 参 りま す.併. の 上単なる 聯 立 方 程 式 論 で は. し乍 ら確 率 論,数. 理 統 計 學 の 分 野 に は,實. 函. 敗論 方 面 の 飛躍 的 濃達 に 伴 つ て,も つ と基 礎的 な 抽 象 的 な 面 白 い 問 題 が 澤 山 出 て居 りま すの で,放 置 され て 居 た の だ ら う と思 はれ ま す.一 は,ベクトル. 方 相 闘測 度 を最 もよ く利 用 す る生 物 界,社. 會経 濟 界 方 面 に. 量 が対象 と域 ろ こ と は殆 ん ど全 く無 い の で あ りま す か ら,問 題 に な らな い.尤. も全 然. 問題 に 域 り得 な い の で は な く,二 個 睦 の 莚:似の 測 度や 多 くの 目印 で表 現 され る 二 量 間 の 相 關 測 度 と して 研 究 の 必 要 性 は あ るの で あ りま す.最. も必 要 を感 ず る地 球 物 理 學 者 は,ベ. ク トル 量 の 相 關測 度. 論の 研 究 は 手 段 であ つ て 目的 で は な い の で除 は)亨を 出 さた か つた の で あ りま す. 併 し乍 ら,學 問 と して 未 だ 幼 い段 階 に 在 る天 氣豫 報 術 に とつ て は,或 馳で の 地 上 風 との な す 角 を統 計的 に 定 め る問 題,又 笥題,叉. る地 鐵 の 氣 墜 傾度 とそ の 土. 』 般流 が 地 形 の 影 響 で ど う歪 め られ るか と云 ふ. 地 上風 か ら上 腎 風 を豫 測 す る と云 ふ 問題,一 地 駐 の 風 か ら 他 地點 の 風 を豫 測 す る 問 題,叉. 局地 的 な 風の 日饗 化が 概週 期 函 鐵 の 一組 で 表現 す る こ とが 出 来 る か ど うか の 問 題等 々,何 れ も定 量.
(3) 換 報 術の基 礎 的 問 題 と して現 れ て 参 り,こ の 際 この 種の 漂 報 法 が どれ 位 うま くゆ くか の 判 定 に ,ベ ク トル量 の關測度論度が必要 と成る の で あり ま す .例 へ ば 理 想 流體 に対 す る簡単 な地 形 は,流速. を線. 翠 微分 方 程 式 で定 め ろ程 度 の 近 似 で は,理 論的 に は風の 場 の 歪 み で置 換 へ て 取 扱ふ こ とが 出來,地 形性 障 碍 物 の 存 在 す る場 合の 解 は ・存 在 しな い場 合の 解 に 線 型 演 算 を施 して得 られ る こ とに 域 りま す が,實 際 の 風は 理 想 氣體 の 流 れ で もあ りま せ ん し,又 理 論 で取 扱ふ や うな簡単 な地 形 は 實 在 しな い と云 つ て 良い 位の もの であ りま すか ら,實 際 どの 位 この 理 論 公式 が 正確 に域 立 す るか を 調 べ て 見 ない と,其 儘 定 量豫 報 に 使 へ な い わ け であ りま す・ 叉 二 組のベクトル の な す角の平 均 値 を 求 める 問 題 で も,角 を測 つ て平均 すれ ば 良 さそ うで あ りま すが,そ. う して 得 た 平 均 角が どれ 位定 量豫 報 に 役. 立 つ か を 調 べ て 置 く必 要 が あ りま す.從 來 實 用に 供 され て 居 ま した 平 均 角 を 求 め る二 三 の 方法1申 は,何 れ も有 意 義 な 角の 存在 す る爲 の 必要 且つ 十分 條件 の こ とを全 く考 へ て居 らず,從 つ て 實 用上 全 く無 意 義 な 角 を 兎 も角 も平 均 角 と して 採 用 して 居 た 場 合が あ る の で あ りま す.強. い て 云 へば 之. は 得 られ た平 均 角の 適 否 を判 定 す ろ に適 當 な相 關 測 度 論 が 無 か つ た 爲 に 無 意 義 な こ とに 氣 附 か な か つ た と も云(εるの で あ りま す. 元 へ戻 りま す.實 際 調 べ て 見 ま す と,ベ にDietzius2',Sverdrup毛. ク トル量の 相 關 渕 度 論 の 必 要 を認 め,之 に 手 を着 け た 人. 「・)二氏が 在 り,前 者 は 氣 象 學者,後. 者 は 著 名 な海 洋 學 者 で あt)ま して,. 共 に地 球 物理 學の 畑 に麗 す る 人 で あ りま す.以 下 先 づ 雨 氏 の 理 論 の 概 要 之 に対する 私 の 批 判,つ い で 未 完 域 で はあ りま すが 私の 理 論 を述 べ 皆 様の 御批 判 を仰 ぎた い と存 じま す.. 從 來 の理 論 1916年. にDietziusはYule・b方. 劃 に 従 ひ 最 小 自 乗 法 を 用 ゐ,一. 今 二 組 の べ クトル 系 を{xltt、},{x2(t、}と. し,tに. つ の 相 關 係 敏 を 求 め ま した.. 就 い て の 和(叉. は 積 分)を. 口. で 表 し,"・". で 内 械 を 表 す と して,. と して.乗. 定 常数. 均 を 採 り,符. ス・2を定 め,下. 號 を 適 當 に 約 束 して,次. こ の 相 關 係 敷 は,如 i)ま す が.併. 標1,2を. λ21を定 め,こ. 威 る の は,・rnの. 幾 何平. 相 關 係数 の 無 理 の 無 い拡 張 に 威 つ て 居. 作 り方 か ら直 ぐ解 る や う に. も こ の 時 に 限 る の で あ り ま す.こ. れ で は 夫 々 一 定 の 大 き さ を もち,而. 面 ベ クトル 間 の 角 が 符 號 を も考 へ に 入 れ て 一 定 で あ る 場 合 で も,必 ら な い の で あ り ま す か ら,實. の 二 二つ の 常数の. 式 を 得 ま した.. 何 に も ス カ ラ ー の 場 合 のPearsonの. し プノ=1と. の成 立 す る 時,而. 取 換 へ て 未 定 常数. 剤 上 甚 だ 雁 用 の 狭 い もの で,先. も剴 鷹 二平. ず し も相 闘 係数 の 半 方 は1と. 放. づ 役 立 た ぬ も の と云 つ て よ い と 思 は れ. ま す.' 彼 自身 こ の 致 命 的 訣 塩 に 氣 附 い て 居 た ら し く,そ の 原 著 の終. りの 方 に,一. 方が 他 方の 似 眞 窮 像 で.
(4) あ る 時1と 成 るや うな相 關測 度 を 求 め よ うと した 形 跡 は窺 へ るの で あ りま すが,墾 換 式の 係 轍の 集 りが 一つ の テ ン ゾル と して 現 れ て 來 る こ とを 考 へ な か つ た ら しく,こ の テ ン ゾルの 陽 な形 を 求 め る こ と さへ 成 功 せ ず,從 つ て 叉 相 關 測 度 を作 り上 げ る こ と も拙 來 な か つ た の であ りま す. 翌 年Sverdrupは,対応. 二 手 面ベ ク トル の 一 方 か ら他 方 ヘ ー 定 角 の 廻 轄 と一 定 倍 率 の 伸 縮 で 移 れ. る場 合 ・両 も この 場合 に 限 つ て1に. な る相 關測 度 を 求 め る こ とに 成 功 しま した .彼 の 考 へ 方 はxコ. の 絶 封 値 を 物 と す る と,. と云 ふ ベ ク トル を 考 へ,k12と. 云 ふ ベ ク トル は 一 般 に 方 向 を 饗 へ る が,x2と. て 一 定 角 を 爲 す 一 定 の 大 き さの ベ ク トル と 致 しま す.こ. 満足亥 る や うに 定 め るの で あ りま す ・次 に下 標1,2を. のkEの. は 符 號 を も考 へ に 入 れ. 大 きさを. 取 換 へ てk31と. 云 ふ ベ ク トル の 大 き さを 定. う最 後 に この 二 づ の 苓 ク トルの 大 き さの 幾 何平均 を採 り,之 を相 關測 度 とす るの であ りま す.之. を. 元の ベ ク トル 系の 要 素 を 用 ゐて 表 しま す と,㌦"で. 外 積 を表 す と して,・. と威 りま す・ 根 號 の 中の 分 子 の 第 一項 はDietziusの. 式 の 時 に 現 れ た もの と全 く同 じで あ つ て ,云. .はばXlの. 方 を規 準 と した と き,x2のx1方. 二 項 はXzのXlに. 向の 分 ベ ク トル とXlと. 垂 直 な方 向の 分 ベ ク トル とXlと. の 相 關程 度 を表 して 居 り,第. の 相 關 程 度 を 表 して 居 り,確 か にDietziusの. 致 命 的 訣 黙 を幾 分 救つ た 形 に 威 つ て居 りま す. この 測 度 論 の 第 一 の 訣 瓢 は,線 型変換 一 般 を考 へ て 居 ない こ とで あ りま す.例 へば 山 頂 の 風 と山 脈 か ら十 分 離れ た 地點 の 風 とは,二 方 か ら他 方へ 線 型墜 換 で 移 れ るの で すが ,こ の変換 は 廻 轄 と 伸 縮 の 舞 会 せ に 成 らな い の で あ りま すか ら,r,は1に. 成 り得 な いの で あ りま す.ll,第二 の 訣點 は ,導 き方が 甚 搾 技 巧 的 な の で ち の 解 析 的 性 質が よ く解 らな い こ とで あ りま す.例 へ ばr e=0が 何 を意. 味 ず るか ・r・=O・99が 何 を 意味 す る か,甚 だ 不 明瞭 で あ りま す .之 は 凋 立 の 定 義 と相 關 測 度 の 絶 封 規 準 力『與 へ られ て ない か ら で あ りま す ・r,=Oの. 場 合 か ら 申 しま す と,彼 は 至 極単純 に 之 は統 計. 的 濁 ‡ を意 味 す る と述 べ て 居 るの で あ りま すが,彼 の 公 式 を 一 次 元 の 場 合 に 當 填 め ま す と,根 號 内 の 第 二 項 は 消 え ・ 内 積 は 普 通 の 乗 算 に 鯖 着 しま すか ら,外 見 上r.はPears6nの 公 式 と全 く一̲yxし ま す ・併 し乍 らSverdrupはx]・x2の. 計 算 に 偏 差 を 用 ゐ な 、・の が 自 説の 特 色 で あ る と述 べ て 居 ま. すか ら・ 正 規分 布 を す る場 合 に 統 計 的独立 で も必 ず し もr ,は 零 で な く,そ の 上Sverdrupの. 公式. で は 同 一 の 二 現 象 が測 定 の 規 準 瓢 の 採 り方 で 種 々 の 相 關値 を採 る こ とに 放 りま す か ら. ,之 は 明 か に. 誤 りで あ りま す ・ この 黙 はSverdrupの. 主 張 を取 消 して 偏 差 を とる こ と と して ,修 正 したr.を 採 用 すれ ば よい わ け で すが ・それ で も絶 封 規 準 の 無 い 黙 は 矢 張 り困 りま す 。 ロ 例 へ て 申 しま す と,百 度. だ か ら熱 い と云へ る か と 申 しま す と ,そ う とは 限 らな 、 〜. その 目盛 が 何 を規 準 に して 作 つ て あ るか. が 解 らな い か ら であ りま す ・同 じ 百度 で も華 氏の 百度 は 掛 氏 の 三 十何 度 に しか 當 りませ ん.同 様 に ろ=0・99で. も 相 關 程度 が 大 きい か ど うか 解 らない わ け で す .第 三 の 駅點 は 彼の 技 巧 を 重相 關測 度.
(5) 論 に 擁 張 す る こ との 困難 な こ とで あ りま す. 私が ベ ク トル 量の 相 關測 度 論 に 就 い て 調 べ租 しま した 頃 は,5乏の様な 先 輩 の 業 績 は 相 闘 論 に 關 す ろ 革 行 本 中に は 見當 らず,大 分 後 に 成つ て 氣 候學 に 關 す る 文 献 を 調べ て 居 る時 に 偶 然 之 等 の 先 畳 者 の 業 績 を知 つ た 様 な次 第 で あ りま す・從 つ て 最初 か ら之等 の雨 氏 め 論 文 の 行 詰 つ た 虞 か ら掛 獲 した わけ で は ない の であ りま すが,考 へ の 筋道 は原 著 を 見て 頂 く と して,此処. で は ベ ク トル 系 の独立 の. 問 題か ら出獲 致 しま す.. 相 関 測 度 に対する 要 請5' 實 用 上 の 見 地 か ら,相. 關 測 度 に対して,次. の7箇. の 條 件 を 要 詩 して よ い だ ら う と 思 ひ ま す.電. 回 路 を 統 計 的 に 分 析 し,等 便 回 路 を 求 め る 場 合 へ の 適 態 性 を 考 慮 して,以 は 繕 て 〃 次 元 の ビ ベ ク トル 即 ち"箇 タ ーtに対して. 1。rkZl;z2)は. な い と,我. が 得 られ る もの と し,二 つ のビベクトル. 表 しま す.要. 實 数 不 攣 量 で あ る こ と,(変換. 實 数 でない. 下 断 ら な い 限 り ベ ク トル. の 複 素 域 分 を もつ ベ ク トル を 考 へ る 事 に 致 しま す 薗 パ ラ メ ー. 一 組 の ビ ベ ク トルZi(t),z3(t)等. {z:kt}}間 の 相 關 係 数 をr(Zl;Zz)で. 氣. と,Zlに対するZlの. 系 くZl(t)},. 請 は 次 の 通 り で す. 群 は 線 型変換. 關 係 とz3の. と して)・. 關 係 との 大 小 の 比 較 が 出 來 な い し,不. 々が 観測 の 寿 爲 假 りに 用 ゐ た 座 標 系 に 關 係 す る こ と に 域 つ て,事. 饗 量で. 象 そ の もの の 相 關 測. 度 と云 へ な い か ら困 りま す. 2。rllZl;z2)は. 規 矩 不 愛 性 を もつ こ と.. 之 は 相 關 測 度 は 二 つ の 事 象 そ の もの の 相 關 の 程 度 を 表 す もの で,そ. の 事象 を測 定 す る に 用 ゐ. た 物 指 及 び 規 準 鐵 の 選 び 方 に 依 つ て は 困 る か ら で す. 3。rt .Zl;ZL')=プ(z2;Zi) 之 はZtに対するzユ. の 相 關 程 度 と,z≧ic対するZlの. 相 關 程 度 とが 異 う と,相. 關測 度 の 常 識. と矛 盾 す るか らで す 。 4。1≧. 〆 ≧0で. 之 は0と1と. あ る こ と. に 特 別 な 意 味 は な く,實. け は,Pearsonの. 数 の 閉 匠 間 な ら よ い わ け で す.〆. 相 關 係 数 を ち で 表 しま す と,rpの. 一つのわけは適 當な條件の下 で. ,〆. をz2か. 自 乗 が[0,1コ. らz1を. を考 へ た 一 つ の わ. 間 の 値 を 探 る か ら で,・他 の. 豫 測 した 場 合 の 適 中 確 率 と 見 倣 せ る や う. に した い か ら で す.' 5つ. ヂ=1は{Zl},{z2}間. に 線 型 式 が 成 立 す る 場 合,而. もこの 場 合 に 限 る .. 線 型 關 係 の 在 る 場 合 だ け を 相 關 の 完 全 な 場 合 と 認 め る わ け で す が,線 の 概 念 を 利 用 して,こ 6。. の 場 合 に 節 着 さ せ る こ と が 出 來 る 場 合 が 實 用 上 少 く な い の で あ り ま す.. プ=0は{Zi},{Zz}が独立 で は 多 事 象 の独立. 確 率 をP(z=,z2…. 型 式 で な くて も重相 關. な 場 合,而. も こ の 場 合 に 限 る.. と は ど ん な 意 味 か が 問 題 と な りま 此処 す が,zユ,z2,…. …z、。 〉 と し,Zj(ノ=1,2・ P(zi,zユ,…. ・ … ・切. の 起 る 確 率 をRz.)と. …z、,、)=」P覧z三 、、P(ZL)… …Ptiz,r、'). …z.の す る 時,. 同時に起 る.
(6) で あ ろ こ と と致 しま す.併 7。Zl,Zt,…. …z,nが. し之 で もPt.z',の. 御 互 に独立 で,而. の 函 撤 六 ち)が 存 在 し,次. もzが. 陽 な 形 が 問 題 に た り ま す. 之 等 の 線 型 式 で 表 現 され ろ 場 合 に は,ろ=r(z;Zj'). 式 が 威 立 す る こ と.. 之 は プの 籔 値の 絶 封 規 準 を與 へ るの に 必要 で,こ の 様 な函数 ノ(プ)が存在 して 初 めてzへ ち の 寄 與 或 ひはZjの. 綜 型 式 を 用 ゐ てzを. 豫 測 す る と きの 適 中率 は 八rj、×100%と. の. 云へ ろと. 思 ひ ま す. 以 上の 要 講 だ け か らは,勿 論rの. 陽 な 形 は 定 ま らな い の であi)ま す か ら,更 に 假 定 を 加 へ て 行. きま す.以 上 の 要 請 か らrの 形 を求 め て 行 く際,中 心 に 成 る もの は,〆=1の とr=Oの. 場 合 の独立 の 意 味 と であ りま す.後 者 はP②7)陽. 通 しを 先 づ 申 しま す と,独立 な 二 つ の ビベ ク トル 系は,直. 場 合 の 線 型 式の 意 味. な 形 の 決 定 に關 係 しま す.大. 凡の 見. 交 す る 二 つ の ビベ ク トル 系に対応 しま す. か ら,之 を基 に して 直交 函 蝕 論 の 言 葉 に 璽 謬 して見 ま す と,規 矩 不愛 性 は 先 づ 偏 差 を採 つ た 上 で 規 .準 化の 操 作 で 規 準 系 を作 り之れ を利 用 すれ ば 自 ら満 足 され,7。 の 式 は 正 にParseyalの して 居 る わけ であ りま す.從 つ て 相 關 測 度 はFourier係 であ りま す.但. 等式 に対応. 敏 と密 接 な 關 係 を持 つ こ とが 豫 想 され る の. しこの 場 合 利 用 され る の は,通 常のFourier係. 敏 論 と準 同 型 な 理 論 で は あ りま す が. 係 数 自身 は ス カ ラ ーで な くテ ン ゾル と して 現 れ て 來 ま す.. 正 規 分 布 函 数 ス カ ラ ーの 場 合 か ら類 推 す る と,ビベクトル は,先 づGaussの. の 場 合 の 相 關測 度 で線 型 式 の 域 立 す る時1と. 域る量. 正 規 分 布 函 数 を 一 般 化 し乏 れ を 利 用 す る こ とに 依 つ て 達 し得 られ そ うに 思 はれ. ま す. 今 一 つPn次. 元 の 實 ベ ク トル4を. 固 定 して 考へ て 見 ま す と,xの. 與 へ る こ とを,一 先づ 直 交 規 準 デ カル ト座 標 系k().N.C.系)を. 座 標 成分 で あ る 一 組 の 實 数Xl,x2,…,x.、 を 與へ る こ と と等 頂 で あ. りま す.從 つ て この 一 組 の 實 数の 正 規 分 布 函 籔 を 求 めれ ばP(x)が. 知れ る わ け で あ りま す.と こ ろ. が この 一組 の 實 敷の 正 規 分 布 函 数 の 陽 な 式 は 既 に 得 られ て 居 りま す か ら,淺 る問 題 は夫 を ベ ク トル を用 ゐ て 不 饗 式 の 形 に 表現 す る こ とだ け で す.之 を 行 ひ ま す と,量=0と. と 域 りま す."一'「. まtに. 關 す る 平 均 を 意 味 し,xxは. ベ ク トルxか. して. ら作 つ た 二 階 の テ ン ゾル で. あ り ま す.11)・ ビ ベ ク トルzの ≧ の 時 はeの. 場 合 に はP(z)が. 實 数 で な け れ ば い け な い の で ,xxの. 用 ゐ ま す.. 肩 に 來 る 二 次 形 式 は エ ル ミー トニ 次 形 式 と 域 りま す.. 以 上 の 結 果 を 〃z箇 の ビベ ク トル 系 に 披 張 す る に は,〃 室 闇 を 考 へ れ ば よ さ そ う で す が,2〃 の で,7/z〃. 代 りにzz*を. 次 元空間 の0.配. 切 次 元空間. η2次 元 の 複 素空間. 即 ち2"η. の 一 般 の 正 規 分 布 で は 必 ず し もPが. ヱ次 元 の 實 数 實 に な ら ない. σ 系 で 書 い て 見 ま す と,丁 度 こ の 空 聞 で 一 っ の ビベ ク トルZを. 分 二 布函数 を 考 へ れ ば よ い の で あ り ま す.之. は7・‑Oと. して. 與へ る.
(7) 成 分 を0.N.C.系. で の 超 行 列 の 形 に 書 け ば,. 此処に 〔]は. 自τ就 い て の Ⅳ 箇 の 和 を表 しま すが,便. 宜 上 以 下 特 に 断 らな くて も括 弧 内 の 第 二. のビベクトル は 共 輻 複素 量 を と る もの ど決 めて 置 きま す.叉 實 用上 はtに 就い て の 積 分 は 恕 て 和 に 直 しま す か ら ⊂コ は 和 だ け を考 へ て 行 きま す.. で す か ら,ZZ*と. Zm}又. 云 ふ テ ン ゾル は エ ル. は{Z}の. ミ ー ト 性 で あ ろ こ と が わ か り ま す.ZZ象. 分 散 テ ン ゾル と 名 附 け ま す ・9)年≠0な. 以 上 の 形 か ら,{Zl},{z2},…. …,{Zm}が. 御 互 ひ に独立. ら'ZZ*を. を{Zl,4,…. …,. 撤 布 テ ン ゾ ル と 名 附 け ま す.5,. な こ と,即. ち. が 成 立 す る の は,. の 成 立 す る 時,し. か も こ の 時 に 限 る こ と が わ か りま す 。 テ ン ゾ ル の 代 り に 行 列 の 理 論 の 言 葉 を 用 ゐ. ま す と,{zエ},{z2},…. …,{z..}が. 御 互 ひ に独立. … … ,z。」・の 分 散 行 列 が 夫 々 の 要 素z,の 之 で独立. で あ る こ と は,正. 規 分 布 を 假 定 す れ ば,{Zl,z2,. 分 散 行 列 の 直 接 和 に 威 る こ と と 等 頂 で あ り ま す.. と云 ふ 言 葉 を 具 盟 的 に 式 で 表 す こ と が出來 た わ け で す が,在. 來 の ベ ク トル 函 数 の 直 交 と. 匿 別 す る 爲,. な ら ば{z:.}と{Zi}と 墾 換 舞,2iを. は 全 直 交 す る と 名 附 け ま す.{z.;}{Zt}'が. 施 した{St'zk},{9,・Zi}も. た か ら で あ り ま す.こ. の 性 質 が1。. 全 直 交 致 し ま す.之. 全 直 交 す れ ば,夫. 々に任意の線型. は. の 要 請 を調 べ る時 役立 ち ま す ・. 線 型 糺全独立 スカ ラーの場 合 に 完 全 な線 型 關 係の 威立 す ろ 時 は,襲. 々の 鴛 葉 で蓮 べ ま す と,分 散 テ ン ゾルが 特. 異 に 祓 る場 合 で あ りま す.之 を箋 々の 場 合 に嬢 張 して 見ま す と.
(8) の 場 合 で あ りま す.之. を(λ Ⅳ.C.系. で の 成 分 式 に 直 して 見 ま す と,こ. の 式 は正 に. と云 ふ テ ン ゾル 係 数 を 持 つビベクトル 式 の().1>寿.C.系 での 放分 式 のGramの. 行 列 式 に 域つ て 居 る. の で あ りま す.從 つ て 我 々の 線 型 式 は 二 階 テ ン ゾル を 係 数 とす る ビベ ク トル 間 の 一 次 式 で あ る こ と が 解 りま す.こ の 事 實 か ら逆 に 線型独立 の 定 義 を致 しま す.即 ち どの 様 に 二 階 の 一定 テ ン ゾル ㍉, ㍉,… … 脱 を 選 んで も,之 等 が 悉 く零 で あ る場 合 を 除 い て(52)が … … ,{z'縄}は鯉. と名 附 け ま す.さ. 成 立 た ない な らば,{Zl},{zユ},. うで ない 場 合 に は 墾型 全 壁墾量で あ る と云 ひ ま す!、. この 定 義 か ら直 ちに 線 型全独立 なビベクトル 系 の 中に は,撒 布 テ ン ゾルの 行 列 式 が 零 に 域 る もの が 一つ も存 在 し得 な い こ とが わか りま す.之 は0.Ⅳ.C.系. と対応 づ け られ ま す か ら,[zzコ. は 或 るn次. では. 元 行 列9tと その 複 素 共 親 行 列 鱒 との 積 に封 癒 する か. ら で す ・ 從 つ て[zzコ の 固有 値 は 賃 数 で あ る こ とは 勿論 負 で は あ り得 な い の で あ りま す.零 に な る の は[u]の. 行 列 の 階 数,從 つ て又?fの. 退 の 度 合 を ゐ と しま す と,{z￠)}は(〃. 行 列の 階 激 がnよ. り低 い 時 で ,固 有 値 中の 零 の 数即 ち縮. 一々〉一吹 元 の 部 分空間 を作 る こ と とな り,ビベクトル. 布 が 或 る 限 られ た 範 團 内 に牧 ま る こ と を 意 味 しま す.この様な. の撒. 場 合 に は ,特 異 で は あ るが 零 で は な. い テ ン ゾル$をi適 當 に 選 ぶと. と す る こ とが 閏 來 ま す ・ 從 つ て 若 し{Zi(t)}の. 散 布 テ ン ゾ ル が 特 異 な ら ,建2,S3…. と取 る と ・ 零 で な い テ ン ゾル 窪1を 用 ゐ て(5.2)形. の 式 が 成 立 つ こ とに 成 り. ,之. … 乾 、は 総 て 零 は 假 定 と矛 盾 致 し. ま す. 以 上 の こ と か ら ・ 線 型 全独立 {馬}を. な ビ ベ ク トル 系{zユ} ,{Zz}.…. …{z.}か. ら,系. 列{Ul},{u2},…. 線 型 結 合 で 作 り出 し,御 互 ひ に 全 直 交 す る 様 に す る こ と が 出 來 ま す 、 方 針 はSchmidtの. 交 化 法 と全 く同様 で あ り ま す ・ そ の 前 に 計 算 の簡単. … 直. さ と ,見 通 しの 容 易 さ と か ら 先 づ 我 々 の 意 味 で. の 規 準 化 法 を 考 へ ま せ う沖 我 々 の 場 合 に は ス カ ラ ー 函 数 の 積 が 二 階 の テ ン ゾル に対応 化 も. な る二 階 テ ン ゾルeが. 存 在 して. と成 る と好 都 合 の 檬 に 思 は れ ま す.. す るの で あ りま す か ら. ,{z(t)}の. 規準.
(9) [zzコ が エ ル ミ ー ト性 で,而 ゾ ル で あ りま す.從. も特 異 で な け れ ば,之. は前 に述 べ た こ とか ら正 定 値 形 に 劉 悉 す る 元 ン. つ て そ の 逆 テ ン ゾル 〔za]‑1が 存 在 し,[za〕. 一】も エ ル ミ ー ト正 定 値 形 に対応. し. ま す か ら,〔zzコ ー1の 固 有 値 λ3の正 な る 平 方 根 λ一 を 固 有 値 と し,λ2に対する. 固 有 ベ ク トル を 固 有 ベ. ク トル と す る テ ン ゾ ル をGと. し,勿 論 特 異 で は あ り. 得 な い わ け で あ りま す.こ. 致 しま す と,(三. の6を. は エ ル ミー ト正 定 値 形 に対応. 用 ゐ ま す と,.. と成 り,規 準 化 の 目的 は達 し得 ま す.こ の 操 作 を全 規 準 化 法 と名附 け ま す.zの. 成分 函 数 系 列 か ら. 見 ま す と,こ の 函 数 列 を通 常 の 意味 で 直 交 規準 化 した こ とに相 當 しま すが,之 はSdlmidtの. 直交. 規準 化 法 とは 一 般 に 異 ります.. 以 上 の こ とか ら線 型 全独立 なビベクトル 系か ら線 型 結 合 で全直 交 規準 化 系{▼1},{▼z},… …,{▼隅} が 作 られ ま す.'. と してCiを. と して,未. 前 の 檬 に 定 め て[▼1▼1]==Cyと. 定 テ ン ゾル. 之 を(5.9)に. と域 る様 に 亀 ら,特. しま す.衣. 四21を[u2▽i]・=Oと. に. 域 る 檬 に 定 め ま す と,. 入 れ た 上,. を 定 め ま す.以. 異 で は あ る が 零 で ない. と 成 り,{z1},{Zz}は. 下同様 で す.こ. の 場 合Eu2u￡. ㍉ を 適 當 に 選 ぶ と ミゴu2=0即. 線 型 全独立. が 特 異 だ と 困 りま す が,若. し特 異 な.. ち. で な い こ と に 球 り,假 定 と 矛 盾 しま す ・. 相 關 テ ンブ ル .之. れ か ら 訳 第 に 主 題 に 戻 りま す.今9(t)と. トル 系Zi(t),Zz(t),… {z}の. …,z,n④. 代 りに 全 直 交 化 系{u}又. ん か ら,先. 云 ふ ビ ベ ク トル が 在 り,之 れ を 線 型 全独立 な ビ ペ ク. の 線 型 函 数 で,最. 小 自 乗 法 の 意 味 で 近 似 さ せ る こ と を 問 題 と致 しま す.. は 全 直 交 規 準 化 系{▽}を. 用 ゐ て も,話. の 本 筋 に は 憂 参は あIL)ま せ. づ. と 置 き ま す.す. る と 亀,軌,…. …,軌,は,線. 型 全独立 の 定 義 と 最 小 自 乗 法 を基 に して 一 意 的 に 確 定.
(10) す る こ とが 出 來 ま す.夫. に は ベ ク トltの 内 積 は ・ く ク ト・ しか ら 作 つ た 二 階 テ;ゾ. ル を 縮 約 した もの に. 等 しV・こ と を 利 用 し ま す.13. 最 後の 二 項 は 一 定 で す か ら,ノ の 最 小 は. の 時,而. も こ の 時 に だ け 起 り,こ. が 得 ら れ ま す.等 の 線 型函数. テ ン ゾル. 號 は ノ=0の. 時,而. と して 表 さ れ た 場 合,而. 不 等 式 と して. も こ の 時 に 限 りま す か ら,之 も こ の 場 合 に 限 りま す.元. 〔9編 ・[恥叫 コー1を9・ ..t)を{u1},{u;,},…. 係 数 と 見 る こ と が 出 來 ま す.以 ん が,統. の 時 に はBesse1の. 上 の 導 き 方 で は9と. …{u.}で. の と 約 束 し ま す.こ. の 場 合[gu.,]・ ⊂U:u.,.:1'1を9をu.:.で. 一 般 の 場 合 に は9と. 叫 との 結 合 テ ン ゾ ル と 云 ひ ま す .. 逆 にhを9で. 虚 がhと. 近 似 さ せ た 時 の 第k項. 域 り. で す か ら,. 之 を{9}と{Uy,Uz,…. …,u.,t}間. 値 が 零 で あ る必 要 は あ りませ. 近 似 さ せ た 時 の 回 蹄 テ ン ゾ ル と云 ひ ま す.. 近 似 さ せ た 時 の 回 婦 テ ン ゾル は. 用 ゐ ま す と,b'L"=Cyと. のFourier. 計 の 方 へ 用 ゐ る時 は 平 均 値 は 零 で あ る も. 近 似 させ た 時 の 回蹄 テ ン ゾル は. し て(6.5)を. ▽1ゆ,▼ゴ 〔 ∫),……v.④. へ 戻 しま す と. かu.:.と か の平均. 計 學 へ応用 す る場 合 に は 偏 茱 を 用 ゐ ま す か ら,統. 以 上 の 定 義 か ら9をhで. は9〈t)が. の 重 相 關 テ ン ゾ ル と 名 附 け ま す.叉.
(11) を{9},{叫}聞. の 相 關 テ ン ゾ ル と名 附 け ま す.名. 前 は 同 じ で す が,流. 饅 力學 で 慣 用 す る相 關 テ ン. ゾル は 我 々 の 云 ふ 回 鋳 テ ン ゾル の 特 別 の 場 合 と考 へ られ ろ の で あ りま す.叉,一. 般 にSl(9;Uk)≠. :n(Ui;9、 で す. こ の 形 式 を 用 ゐ ま す と,. です か ら,ノ=0の. と な りま す.之. 場 合 即 ち9=hの. は 正 にParseva1の. 場合 には. 式 に 相 當 す る もの で あ り ま す.「'. 加算 性相關係数 く6.12)式が 正 に7。 の 要 請 で求 め て居 る 式 に対応 す る もの と考 へ られ ま すか ら,之 か らど ん な不 憂量 を作 るか が 問題 で す.一 番簡単 な の は,テ. ン ゾル の 行 列式 を利 用 す る 方 法 又 は テ ン ゾルの 縮 約. した もの を 用ゐ る 方法 で す ・虞 が 行 列 式 を用 ゐ た の で は,一 般 に. で す か ら,縮 =π. 約 す る 方 法 即 ち テ ン ゾ ル に 蜀 態 す る 行 列 の 跡 を 利 用 す る 方 法 を 調 べ て 見 ま す.12,Sp.9. で すか ら. と置 きま す と,衛. は相 關 テ ン ゾルの 固 有値 の 算術平均 で 殉 は 形 式 的 に は 夫 自身 で ㌍ の 要 請 を満. 足 して 居 ます. 衛 の 性 質 を知 るた めに,先. づ 相 關 テ ン ゾル の 権 造 を調 べ て 見 ま す.分 散 テ ン ゾル の 特 異 で ない. 二 つのビベクトル をZi(t),Zi(t>と. しま す と,定 義 か ら. 之 で は 複 雑 で 見 通 しが 敷 か な い の で,Zl,z2を. と しま す と,ε1,亀. 即 ち. 駅(Ul;Uz)は. 從 っ て 歌Zl;㊧. 全 規 準 化 して 見 ま す.之. を. は 共 に エ ル ミ ー ト性 で しか も特 異 でない 様 に 定 め 得 る の で す か ら. 田(Zt;Zz)と. 等 便 で あ り. の 代 りに 歌u三;u2)で. 調 べ て 良 い わ け で す.(4.9)に. 依 れ ば,Zl,Zzに. 夫 々特 異 で.
(12) な い 線 型変換. を 施 し た も の をa!.a?と. ナ る と,r.StZl二z2,=r、t・a!;arC"ナ. 別 な 場 合 と 見 ら れ ま す.こUiU2」,澱Ul,U3)を. 夫 々{Ul},{U2}間. ヵ・ら,7.5「. の 回 錨 テ ン のL,相. ま こ 、へ特 關 テ ン ゾルの. 規 準 形 と 呼 び ま す.. で す か ら, .規 準 形 の 相 關 テ ン ゾ ル は 規 準 形 の 回 蹄 テ ン ゾル の ノル ム と な つ て 居 り,二2し あ る ば か り で な く ・ 固 有 根 は 正 敷 又 は 零 に 限 る こ と が わ か りま す.從. で あ り ま す ・此処 で 等 號 の 域 立 す る の は ,Sl(Ul:u■)・=O即 ま す か ら,結. 局r」t(Zl;4)=oは[Zlz2]=Oと. 系 で は独立 な 場 合 而 も こ の 場 合 に 限 つ てrJ,=0で こ と が わ か り ま した.叉(7.5、. 即 ち3。. こ の.fを. に 屠 ゐ た9を. 時 而 も この 時 に 限 り. ひ換 へ る と 正 規分 布 を す る 二 つ の ビ あ りま す.之. で ち,は6。. を満 足 す る ベクトル. か ら直 ちに. の 要 請 を も 満 足 して 居 ま す.残. 今 第6節. つて確かに. ち91(Zl;z2、=Oの. 等 贋 で す.云. ミ ー ト性 で. る の は4。,5。. 全 規 準 化 した もの をfと. だ け で す.. し. 全 直 交 系u1・u2・ … …,眠 ・ ・で 近 似 させ た と しま す と. ,(6.4jのBesse1の. 不等式に相 當 し. て 次 の 式 を 得 ま す.. こ の 式 の 右 邊 を書 直 しま す と. 庭 がrM≧oで. 之 で4。. す か ら ・ こ の 式 か らr. ‑ltその もの が1を. 超え徽. ・・こ と が わ かi」 ま す .即. ち. を 満 足 す る こ と が わ か りま した. (・7・12)で等 式 の 威 立 す る 場 合 に1ま,・7・11,式. の確. 隷 て の 項 は 零 で な け れ ば な ら な い わ け で す.例. へば. の 一一 つ の 項 がIS・ 等 し・・場 合 で す か ら. ,他 の.
(13) とし ま せ う. 元 へ 戻 つ て 見 る と,之. は. を 意 味 しま す. 左 側 の 式 と(6.2)(6.3)の. 即 ち9がu1に. 正 常 な 一 次変換. 全 規 準 化 系f,Vlを. 等 號 の 械 立 す る 場 合 へ 更 に 戻 つ て 見 ま す と,. を 施 した 場 合,而. も こ の 場 合 に 限 る こ と が わ か り ま す.こ. 用 ゐ て 見 る と もつ と 明 瞭 に な り ま す.こ. で す か ら,r.v(f;▼1)=1な. ら,fは. ▽1に. の こ とは. の場 合 に は. 〔fVi]と 云 ふ ウ ニ テ ー ル 璽 換 を 施 して 得 られ る と 云 つ. て も よ い と 思 ひ ま す. 元 へ 戻 りま せ う.正. 常 な 線 型変換 の 場 合 而 も こ の 場 合 に 限 つ て プ刃=1と. 威 り ま した が,一. 般に. 線型式. 後 の 式 で[▼t▼ 己=δ. 」 護. を 利 用 してatを. 求 め 前 の 式 に 代 入 しま す と. ⊂gg]が 特 異 で な い な ら. 即 ち6が. 特 異 で な け れ ば 奄=9Jtで. 味 で す か ら,こ. す が,特. の 場 合 を 除 き ま す と,{3が. 即 ち 重 相 關 テ ン ゾル は 少 く と も1っA=1と. 異 だ と必 ず し も 低=3,〜 と云 へ ま せ ん.③=0は 特 異 な ら必 ず. 云 ふ 固 有 根 を 有 して 居 りま す.StJl≠Gな. が 放 立 つ 以 上 ⑤ は 必 ず 特 異 で な け れ ば な らない の で あ り ま す.こ. 知 で17・151式 の 彫. 形蜘. つ て 居 て も9を. の こ と は,▼1,▽2,…. ら ば(7.15) …,Vmが. 一 意 的1醸 定 し得 な い こ とを意 味 しま す・ 確 定 し徽. い と云 つ て も全 く不 確 定 と云 ふ わ け で は な いの で あ りま して,. と して[r・r]が. と 域 り ま す.之. 最 小 に 域 る檬 に 軌. か ら. 無意. を 定 め る と,Fourier係. 数 の と こ ろ で 申 しま した 通 り. 既.
(14) が 得 られ ま す か ら,[99コ. 從 つ てdet(@駅)=Oな. この こ と は,9を. が 正常な ら. らdet[99]‑1≠0で. す か ら必 ず. ▼1,▽2,……,▼鶴 で 近 似 させ た 時,最. 良 近 似 値 と9と. の 差 であ るrと. ク トル の 散 布 テ ン ゾル に 縮 退 の あ る こ とを 意 味 しま す.言 葉 を換 へ る とrは"次. 云 ふ ビベ. 元空間 の 線 型 部. 分空間 内 に 全 く牧 ま るの で す が,こ の 部 分空間 の 次 元 数 は 必 ず し も零 で ない場 合 であ りま す.こ の 場 合 は 同 じ く線 型 式 が 成立 す る に して も關 聯 性 が 低 い の で線 型 亜 關 聯 と名 附 け ま す.す る と 細 様な は豫 測 の う ま くゆか な い 線 型 亜 關 聯 の 場 合 を 除 い て,5。 の 要 請 を満 た して居 る こ とが わ か りま す. 以 上 で 我 々が 作 つたrMがビベクトル このrMを. の 相 關 測 度 と して 好 ま しい性 質 を持 つ こ とが 知れ ま した.. 加 算性 相 關 係 数 と呼 ん で 居 りま す.。. 比 較 と 批 判 DietziusのrDitSverdrupのrsよ. り態 用の 狭 い もの で あ りま す が ら,rsと. 比 較 を主 と して 申 しま す ・ 我 々の 研 究 に依 り,寿先づ 線 型 關 係 の 意義 が 蟹 張 され,實. 我kのrMと. の. 用上 便 利 な もの. に 成 りま した.一 つ のベクトル 量 か ら他 の 一 つ のベクトル 量 を豫 報 す るに 當 つ て は 回餓 テ ン ゾル の 形 が 陽 に 求 めて あ りま す の で,圓 計 算 で 一 方 か ら他 を容 易に 求 め 得 るの で あ りま す.こ の 際 この 豫 想 法 の 信 頓 度 は加 算 性相 關 係 敷 が 絶 封 規 準 を 有 す る の で容 易 に判 定 田來 る こ とに な りま した.又 正 規 分 布 の 霰 定 を基 に しま した の で,兎. に 角独立 の 意 味 は な の 場 合 よ り明 瞭 に 成 つ て居 りま す.叉. 重 相 關 係 数へ の 接 張 も全 直交 規 準 化 系の 導 入 で容 易 に 陽 な 形 で 實 行 出來 ま した. 此tSic注 意 を要 す るの は,賞 は 我 々の 修 正 したSverdrupのrsはrMの とで あ りま す.tS,即ちSverdrupの した が,之. 特 別 な場 合 に 島 す る こ. 考 へ た 線 型変換 が 一 定 角の 廻 韓 と一 定 比 の 伸 縮 との 二 つ だ け で. は正 に複 素 数 の 乗 算 の 時 現 れ る操 作 で あ りま す.今 我 々の 理 論 を一 衣 元の ビペ ク}ル 即. ち 複 素 数 に適 用 しま す と, 、. zの 實 部 と虚 部 と を夫 々O.N.C系. この 結 果 か らrsの. 解 析的 性 質 は 鮮 明 に 域 り,例 へ ば 修 正 したrs自. わ か りま す 。 叉Sverdrupの トル を表 せ ば,直. の 域 分 とす る 手 面 べ ク トル をxと. しま す と,. 身 は 加 算 性 を 有 しな い こ とが. 方 法 で 重 相 闊係 数 を 定 義 し難 い の で すが,複. ぐ出來 る こ とが わ か りま す.併. 素 数 を 用ゐ て 手 面 ベ ク. し,之 は 勿論 我 々の 理 論 を實 歎 の 雫 面 ベ ク トル に. 適 用 した もの よ り鰺 用 は 挾 い もの しか 得 られ な いの で あ りま す.又 當 然 期 待 され る 通 ヴこの 場 合 に.
(15) は 一F面ベ ク トル に対 す ろ 線 型 墾 換 の 形 を,廻 ろ と,之. が. 隠 に 一 致 す ろ こ と が わ か りま す.b「). 掬 自 身 に対する批判. に 移 り ま せ う.ち,が. く こ と の 出 來 な い 性 質 で あ りま す が,そ す る こ と か ら 知 れ る 様 に,rpと た.併. 縛 と 伸 縮 と に 限 つ た 上 て 我 々の 加 算 性 相 關 係 級 を 求 め. 加 算 牲 を 有 す る こ と は,結. 合 の 程 度 を 表 す 量 と して 訣. の 代 り 一 次 元 實 薮 の 場 合 にPearsonのrpの. 自1乗iに一 致. 異 り符 號 の 正 負 で 一 致 ・不 一 致 を 表 現 す ろ こ と は 出 來 な く な りま し. し之 は 本 質 的 な欠点 で は な く,實. ベ ク トル の 場 合 に は,回. 簾 テ ン ゾル の 行 列 式 の 符 號 が こ の. 役 を 演 じ て 呉 れ る の で あ りま す ρ 即 ち 正 な らば 雨 系 は 同 配 位,負. な らば 異 配 位 で あ る こ とが 直 ぐ澄. 明 出 來 ま す.こ. の 回 麟 テ ン ゾル は 衛 の 計 算 途 中 に 現 れ る もの で す か ら,特. い の で あ りま す.も ま す.先. つ. 別 に 計 算 す る必 要 は な. 一 つ 負 に な ら な い 衛 を 相 關 測 度 と して 採 用 した 理 由 を 述 べ て 置 きた い と 思 ひ. く7.14)式 を 見 て. で 定義 され る全 射 影 演 算 子 暁v]を 定義 しま す ・定 義 か ら直 ち に 次 の 性 質 が わ か りま す ・. こ の 射 影 演 算 子 を 用 ゐ る と,{▼1},{▼2},… よ いfの. 近 似 式 は(6.5)か. と域 りま す.之. …,{Vm}の. 線 型 式の うち に 最 小 自乗 法 の 意味 で 最 も. ら. を次 の 様 に 設 明 して よい と 思 は れ ま す.{Vl},{▼2},…. 型 の 線 型 式 を 用 ゐ て,fの. 最 も良い 推 測 を行 ふ に は,fに. …,{▽m}の 如 き全 直 交 規 準. この 系に 相 當 す る全射 影 演 算 子 を 作 用 さ. せ れ ば よい.之 は 言葉 と しは て 綺 麗 で すが 具 盟 的 に は豫 め 從 來 の測 定 値 か ら,回 饒 テ ン ゾル を 計 算 して 置 く必要 が あ りま す.こ の 場 合 適 中確 率 乃至 適 中牽 は,. が 完 全 加 算 性 を 有 して 居 ます か ら,. と解 稗 して 良い だ ら う と思 は れ ま す.勿 論 實際 に は この 種 の 方 法 叉 は 解 鐸 が 域 立 つ 爲 に は,一 種 の 外 挿法 を 行ふ わけ で すか ら,問 題の 過 程 が 恒 常 性 を 持 つ て 居 る こ と を 假 定 しなけ れ ば 域 りませ ん ・ !伺 ほ この 方法 の 根本 に 一 般 の 線 型変換 と ,最 小 自乗法 とを 用 ゐ て 居 ま すか ら,特 定 の 一i次式 を 用 ゐ て豫 想 した 場 合 に は,こ の 方 法 で豫 想 した場 合 よ り近 似 は 良 くは 成 り得 な い こ とが わ か りま す ・ 残 され た 犬 きな 問 題 は,高 次 の モ メン トの こ とは全 く考 慮 して 居 な い の で,r.Vt=0が. 必 ず しも. 素 朴 な独立 の 織 念 と一致 しない點 を ど う改 め るか,叉 上 述 の 函 数 關 係 の 議 論 を統 計 關 係 の 議 論 に ど う拡張 す ろ か と云 つ た 問 題だ と思 ひ ま す.叉 日的 に 依 つ て ば 他 の 婆 換 群 に対して 不 攣 と域 る相 關測 度論 も必 要 と成 ろか も知 れ ま せ ん.
(16) 結. 語. 以 上 で未 完 域 な拙 い話 を終 りま す.細 い こ とは 原 著 に就 い て 御 覧 廓ふ こ と と して,此処. で は この. 種 の 研 究 の 必 要 であ る こ と,並 び に 地 球 物 理 學 者 の 手 で現 在 迄 に 開拓 され て居 るの は この 程 度 で あ る こ と を御 報 告 し,合 せ て この 方面 の実用 的 問 題 の 解 決 に各 隣 接 域 か らの 御 協 力を 御 願 ひ す る 積 り で述 ぺ ま した.忌 揮 な い 御 意 見 を 承 る こ とが 出來 れ ば幸 ひ で す. 註. 賓 際 の 講演 で は,緒 論 の 部 分 を も 少 し詳 しく具體的 に 御 話 しま した が,纏 つ た 話 で は な いの で機 會 を 見 て 個 々の 問 題 と して 書 い て 見た い と思 ひ ま す.. 文 献 表(1): 1). Dietzius R.;. Anwendung. der Vektorrechnung. in der. statistischen. Meteorologie.. Meteorol.. Zeitschr., 32 (1915), 433. 2). Dietzius R.;. Ausdehnung. auf Vektoren, 3). Sverdrup. H. U.;. Aufgaben, 4). Sverdrup. Ueber Mitteiwerte. H. U.;. Masuyama. and der Methode der kleinsten. Quadrate. Abt. Ila, 125 (1916), 3. von Vektorpaaren. mit Anwendungen. auf meteorologische. Meteorol. Zeitschr., 33 (1916), 411. Ueber die Korrelation. logische Aufgaben, 5). der Korrelationsmethode. Wien. Berichte,. zwischen. Meteorol. Zeitschr.,. M.;. Correlation. M.:. Tensor. between. Vektoren. mit Anwendungen. auf meteoro-. 34 (1917), 285.. Tensor. Quantities,. Proc. Phys.-Math.. Soc. Japan, 21 (1939),. 638. 6) Masuyama. Characteristic. of Vector Set and its Application. to Geophysics,. ibid.. 21 (1939), 647. 7). Masuyama. M.;. On. 8). Sets, ibid. 22 (1940), 579. Masuyama M.; On the Subdependency,. 9). Masuyama. M.;. the Meaning. The Variance. of the Symmetric. Correlation. Coefficient. between. Vector. ibid. 22 (1940), 855.. Tensor of Vecfor Set and a Nature. of the Symmetric. Correla-. tion Coefficient, ibid. 22 (1940), 858. 10) Masuyama. M.:. The Standard. 11) Masuyama. M.;. The Normal Law of Frequency. 12) Masuyama. M.;. Correlation. On the Characteristic between. 13) 141asuyama M., Tensor, 14). Values. Vector Quantities,. for Vector Quantities, of the. Correlation. ibid. 23 (1941), 196.. Tensor. and a Measure. of. ibid. 23 (1941), 199.. The Totally Orthonormalised. Vector Set and the Normal Form of Correlation. ibid. 23 (1941), 346.. Masuyama •M.;. 15) Masuyama. Error of the Mean Vector, ibid. 23 (1941), 194.. M.;. The Mean Angle between Correlation. Two Vector Sets, ibid. 23 (1941), 351.. Coefficient between Two Sets of Complex Vectors,. ibid . 23 (1941).. 附 記 二 本 論 文 の 理 解 を深 くす る た め,編 輯 部 は 著 者 に 依頼 して次 の 計 算 例 を の せ て 頂 くこ と に・ しま した.(編 計. 算. 輯部 ノ. 例 ・ 地 上 尽 と千 米 上 屠 風 と の 相 闘 程 度. Leo,Vo・ と,之 と同 時 に 測 風 氣 球 で 観 測 した1粁. 第1表lt"B地 卜室 の 風 ・ 転Uと. で 冬期 朝7時. に 薮 渕 した 地 上 風. が 畢 げ て あ,)ま す .氣 象 學 界.
(17) の 習 慣 で,こ 絶 封 値yは. の 例 で ば 方 位 を 表 す 角9)は 北 を 規 準 と し,時. 計 廻 りに10。単位. で 表 して あ り,風. 速の. 通 常 秒 速 何 米 と して 表 して あ りま す ・. 第r表. 通 常 観 測 で得 られ るの はti,yの. 二 量 で す が,衛. の 計 算 に はベクトル の 直 交 威 分 を 用ゐ る 方が. 一 般 に便 利 で す .此処 で は 矢 張 り氣象 學 界 の 習 慣 に 從 ひ 北 分(・N')と東分(E)に. 分 けて 計算 しませ. う.計 算 の 順 序 は次 の 通 りで す. (1。)先 づ 各 成 分 の 和 を 求 め,之 を平 均 して 夫 々の 平 均 値 を 求 め る・(第1表)・ (2。)次 に 夫kの. 成分 に 蓑 い て 偏差 一対応. す る 小 文 宇no,e・.,… 等 で表 は す 一. を求 め,之 を. 第2表 の 如 き様 式 で 書 き並 べ る.●. 第2表. (3。)一. 般 に 二 次 元 實ベク. b,(t),bメ .t)と す る と3テ. 從 つ てtに. 就 い て の平均. トル の 場 合 に は,ベ. ン ゾルa〈t)b(t)に対応. を"一"で. ク トルaU),b②. の 直 交 威 分 を夫 々. α1①,a2(t);. す る 行 列 は 次 の 形 に 成り ま す ・. 表 しま す と,相. 關 テ ン ゾ ル 駅(▼o;Vl)に 劃 磨 す る 行 列 は.
(18) と成 りま す.こ の 式 を 見 る と,・ 般 にk次 N(k+kア. 回の 乗 寡 が 必 要Cは. 元 の 相 關 テ ン ゾル をN回. な く.同 じ もの が あ るの でNk〈2k+1)で. の 観 測1直か ら 計 算 す ろ に に 十分 であ ろ こ とが わ か り. ま す ・ 乗 算 表や 計 算 器 を利 用 する に は 第2表 の 様 に欄 を 作 る 方が 便 利 でせ う.乗 算 した 結 果 の 表 に は 正負 が 入 り混 るの で 見 誤 りを 生 じ易 い の で,之 を防 ぐた め 乗 算 を す る前 に 一 瞥 して 負 號 の 現 れ る べ き場 所 へ は豫 め赤 鉛 筆 で ハッチ を 入れ て 置 く と よい と思 ひ ま す .そ うす る と後 で 縦 に加 へ る時 も, 負 量 を加 へ る こ とは 赤 い 陰 影 の つ い て居 る 部 分 だ け 加 へ る こ と で すか ら見 易 くて好 都 合 で す.尚 ほ rNの 計 算 にn・2,nje・… … 等 の 平 均 値 を 用 ゐ る 必 要 は な く,和 そ の もの で よい の で すが,そ. うする. と一 般 に 数 値 の 桁 数 が 多 くな り不 便 なの で平均 値 を 用ゐ て 置 きま す.求 め る 相 關 テ ン ゾノしに対応 す る 行 列 は 第3表 の 通 りで す,. 第3表. (4。)行 列 の 乗 算 を 行ふ に は,最 初 の 二 項 と最 後の 二項 とを 先 づ 乗 け,得 られ た 二 行 列 を次 に 乗 け ま す ・之 は最 初 の 二 項 ・ 最 後 の 二 項 は夫 々回蹄 テ ン ゾルに対応 す る 行 列 で すか ら ,回 餓 テ ン ゾル を 知 つて 置 くと・rN大. きい場 合 に ー方の 組 のベ ク トルか ら他 の 組 の ベ ク トル を豫 測 す るS・i役 立つ か. ら で す ・此処 で は 勘 だ け を 求 める こ と に しま した.先. づ 第 二 項 第 四項 の 逆 行 列 の 計 算 か ら始 め ま. す ・3次 元以 上 の ベ ク トル の 場 合 に はFrazer,Duncan&Collar*の と便 利 で す が ・2次. 元 ベ ク トル な ら第3表. 著 書にある方法で 計算 する. に 見 る 通 り,要 素 の 位 置 の 入 れ 換 へ と符 號の 附 け換 へ と. 割算 とで 逆 行 列 が 得 られ ま す ・ 例 へ ば 第 二 項 で見 る 通i♪行 列 の(1「1,要. 素 と(2‑2)要. (1‑2)・(2‑1)両 要 素 は符 號 を婆 へ ま す ・ その 上,元 の 行 列の 行 列 式(=528.6)で りませ んが ・rMを. 素 を交 換 し ,. 各要 素 を割 らね ば な. 求 め る だ け な ら,各 要 素 を 一 々割 るの は 面 倒 で すか ら ㌣ 番 前 へ 纏 めて 出 して 置. きま す. (5。)前 半 ・後 半 を別 々に 計 算 して か ら得 られ た 二 つ の 行 列 の 乗 算 を 行 ひ ま す.こ の 際r .,tを得 る だ け な ら相 關 テ ン ゾルの 各成 分 を知 る 必 要 は な く,之 に対応 す る 行 列 の 主対角 線 上 の 二 つ だ け 計 算 すれ ば 十分 で す.不 要 な要 素 は*で. 示 して あ りま す .. (6つ、 主対角 線 に 沿ふ 要 素 の 算 術平均 を 求 め,前 に 括 り出 した 行 列 式 の 値 で 割れ ば ,求 む るr.ltが 得 られ る わ け で す. この 結 果 の 信頼 度 が 實 際 問 題 とな りま すが ,こ の 様 な小数 例の 誤 差 論 は 未 完成 なの で ハ ッ キ リ し た羅. の 限界 を極 め られ な い のは残 念 で す若. し資料数 が 十 分 多い な らば ,r、,の 計算1煙. 欄. 係.
(19) 蟹 の 計 算 の 組 合 せ に 引 直 せ せ るの で,こ. の 方か ら大 約 の 到 定 は 出 来 ま す .. 綴 りに 誤 差 が 無 い と しま せ う ・ こ の 結 果 か ら云 へ る こ と は,地 あ る が,一. 上 風 と1粁. 上 雪 風 とは 掘 關 關 係 は. 方 か ら 池 方 を 線 型 式 を 用 ゐ て 豫 想 し丁 もあ ま り適 中 し な い こ と で す.適. ふ に はr・lf〜0・85位 で な い と 困 りま せ う・ こ の こ と はr. .・,がづ に 相 當 し,Pearsonの. 〜 α9以 上 な い と 除 り適 中 率 は よ く な い こ と か らの 類 推 に 過 ぎ ま せ ん が 回 飼 テ ン ゾル を 用 ゐ,一. 中牽 が よい と云. ,賓. 際,上. 相 闘 係 藪7P の 計 算 に現 れ る. 方 か ら他 方 を 推 測 して 見 る と 蝕 り良 く は 一 致 しま せ ん.. R. A. Frazer,. W. J. Duncan. & A. R. Collar : Elementary. Matrices.. 1938. p. 108 ..
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