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平成

19

年度 卒業論文

グラフェン上の強磁性体

/

超伝導体接合

北海道大学 工学部

応用物理学科 物性物理工学研究室

吉田 敏寛

目 次

第 1 章 序論 2 1.1 超伝導現象と超伝導接合 . . . . 2 1.2 鏡面反射的 Andreev 反射 . . . . 3 1.3 本研究の目的 . . . . 3 1.4 本論文の構成 . . . . 4 第 2 章 グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合 5 2.1 グラフェン . . . . 5 2.2 DBdG 方程式を用いたグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合の記述 . . . . 7 2.3 常伝導体側の波動関数の導出 . . . . 8 2.4 超伝導体側の波動関数の導出 . . . 15 2.5 微分コンダクタンス . . . 24 2.6 鏡面反射的 Andreev 反射の起源 . . . 28 第 3 章 グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合 30 3.1 DBdG 方程式を用いたグラフェン上の強磁性体/超伝導体接合の記述 . . . 30 3.2 結果 . . . 33 第 4 章 本研究のまとめと今後の展望 36 付録 37 Dirac-Bogoliubov-de Gennes 方程式（DBdG 方程式）の導出 . . . 37

第

1

章 序論

1.1

超伝導現象と超伝導接合

超伝導は 1911 年 H.K.Onnes によって発見された巨視的な量子現象である．超伝導は，永久 電流が流れる，超伝導体内部に磁束は侵入しない (Meissner 効果)，零バイアス下で電流が流れ る (Josephson 効果) 等の電磁気学的に非常に特異な性質を示す．この様な超伝導現象が発現す る微視的な機構は発見から約半世紀後の 1957 年に，Bardeen，Cooper，Schrieffer による BCS 理論によって明らかになった．それによると，超伝導状態は 2 電子間に引力が働くことにより 対（Cooper 対）を形成して，それらが同じ位相の状態に凝縮し，位相コヒーレンスを獲得した 状態だといえる．上に示した特異な電磁気学的性質も，全てこの位相コヒーレンスが保たれる ために起きると理解されている．

その後 1959 年に Bogoliubov と de Gennes は，Cooper 対の存在を仮定した平均場の方法を用 いることで，BCS 理論を，境界や空間変化がある場合に適用できる形に一般化した [1]．それに よって，外部磁場が加えられている場合や，超伝導接合の問題を取り扱うことができるように なった．これらの問題は，一般化の際に導かれた Bogoliubov-de Gennes 方程式（以下 BdG 方 程式と呼ぶ）を解くことによって理解される． BdG 方程式は，超伝導現象を記述する最も基礎的な方程式であり，本研究の主題である超伝 導接合系における輸送現象を論ずる出発点も，この BdG 方程式となる．Bogoliubov-de Gennes の描象では，普通の金属と超伝導体の違いは，超伝導体の秩序変数であるペアポテンシャルが 零であるか，値を持つかによって特徴づけられる．このペアポテンシャルの変化により，例え ば常伝導体/超伝導体接合においては，Andreev 反射という現象が起きる（図 1.1）．Andreev 反 射とは，常伝導体側から超伝導体側に電子が入射するとき，超伝導体側に電子が透過するより も Cooper 対を形成するほうがエネルギー的に安定であるために，超伝導体側に Cooper 対が形 成され，常伝導体側にはホールが反射されるという現象である．この Andreev 反射は，電子の エネルギーが超伝導体のエネルギーギャップ ∆0よりも小さいときに起き，Andreev 反射された ホールは電子の経路を忠実に辿っていく遡及性という性質を持つ．以上は BdG 方程式を解くこ とで自然に導かれる． 現在，超伝導接合系の分野において強磁性体との接合が盛んに行われている [2]．強磁性体と の接合は，交換ポテンシャルの影響により，常伝導体との接合には見られない特異な性質が現 れることが知られている．また Josephson 電流が符号を変える π 接合は量子コンピュータに役 立つ可能性がある．さらには，電子の電荷と位相の他にスピンの自由度を利用できることから， 近年発展のめざましいスピントロニクスの分野とも関連してくる．このように強磁性体/超伝 導体接合の研究は，基礎・応用共に更なる発展が期待できる分野となっている．

ࠝˡݰ˳ᵍឬˡݰ˳

E

ᶃᶊᶃᶁᶒᶐᶍᶌ

ᶆᶍᶊᶃ

ᵡᶍᶍᶎᶃᶐᴾᶎᵿᶇᶐ ᵣᶌᶃᶐᶅᶗᴾᶅᵿᶎ 0 ∆ ᵤᶃᶐᶋᶇᴾᶃᶌᶃᶐᶅᶗ 図 1.1: Andreev 反射．

1.2

鏡面反射的

Andreev

反射

1.1 節で述べたように，常伝導体/超伝導体接合において，Andreev 反射されたホールは遡及 性を持って反射されるため，電子が辿ってきた経路を忠実に遡って行く．ところが，グラフェ ン上の常伝導体/超伝導体接合を考えると，Andreev 反射されたホールは遡及性をもたずに超伝 導体に対して鏡面方向に進んでいくということが，ライデン大学の Beenakker によって理論的 に予測された [3]． 図 1.4 に 2 つの Andreev 反射を示す．(a) は常伝導体/超伝導体接合において生じる，通常の Andreev 反射である．(b) はグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合において生じる鏡面反射的 Andreev 反射である．鏡面反射的 Andreev 反射はグラフェン上の超伝導体接合において生じる 特異な現象である． ឬˡݰ˳ h e ᡫࠝỉᵟᶌᶂᶐᶃᶃᶔӒݧ x y ឬˡݰ˳ h e ᦟ᩿ӒݧႎᵟᶌᶂᶐᶃᶃᶔӒݧ (a) (b) 図 1.2: (a) 常伝導体/超伝導体接合時の Andreev 反射．(b) グラフェン上の常伝導体/超伝導体 接合時の鏡面反射的 Andreev 反射．

1.3

本研究の目的

本研究では，グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における量子輸送現象の理解に基づき， グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合における量子輸送現象を解明する．このとき，どのよう

な現象が期待されるかを理論的に予測するのが目的である．具体的には，Andreev 反射の解析 や微分コンダクタンスの計算を行う．

1.4

本論文の構成

第 2 章ではグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における量子輸送現象について説明する． 第 3 章では第 2 章の結果に基づきグラフェン上の強磁性体/超伝導体接合における量子輸送現象 を解明する．第 4 章では研究のまとめと今後の展望について述べる．付録には本研究で用いる DBdG 方程式の導出をまとめている．

第

2

章 グラフェン上の常伝導体

/

超伝導体

接合

2 章ではグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における量子輸送現象について説明する．ま ず 2.1 節においてグラフェンについて簡単に説明する．2.2 節では，モデルの説明と DBdG 方程 式を用いた接合の記述を行う．2.3 節と 2.4 節では DBdG 方程式を解き，常伝導体と超伝導体に おける分散関係と波動関数を導出する．2.5 節では常伝導体と超伝導体を接合させた状況で散 乱問題を解き，微分コンダクタンスを計算する．2.6 節ではグラフェンのフェルミエネルギーと ペアポテンシャルの大きさの関係によって Andreev 反射の性質が変わることを述べる．

2.1

グラフェン

グラフェン [4, 5] とは，図 2.1(a) のように蜂の巣格子を持つ炭素の 2 次元電子系のことをい う．単位格子は破線で囲まれた正 6 角形で，2 つの炭素原子をそれぞれ A，B とする．グラフェ ンの平面内では，炭素は σ 結合によって互いに強く結ばれており，面に垂直な方向には π 軌道 が存在している． グラフェンの第 1 ブリルアンゾーンもまた図 2.1(b) のように正 6 角形となる．波数空間の原 点を Γ 点，6 角形の頂点を K 点および K’ 点，6 角形の各辺の中点を M 点と呼ぶ．グラフェン の Fermi 準位付近に存在するのは π バンドである．π バンドは第 1 ブリルアンゾーンの角にあ る K 点および K’ 点で線型の分散を持って交差し，Fermi 準位 E = EF = 0 は丁度その交差点 に位置する．したがってグラフェンの性質は K 点と K’ 点付近の状態で決まる．図 2.2 に波数を K → Γ → M → K のように変化させたときの π バンドの構造を示す． Γ K K M A B (a) (b) 図 2.1: (a) グラフェンの構造．(b) グラフェンの第 1 ブリルアンゾーン．

図 2.2: π バンドの構造． K 点と K’ 点近傍の波動関数は，質量を 0 とした Dirac 方程式で記述される．すなわち K 点に 対して γ ³ ˆ k · σ ´ FK_{(r) = ²F}K_{(r) (2.1)} K’ 点に対して γ ³ ˆ k · σ∗´_FK0 (r) = ²FK0 (r) (2.2) である．F (r) は各成分が A，B 副格子上の確率振幅を表す 2 成分の波動関数で， FK_{(r) =} Ã FK A FK B ! , FK0 (r) = Ã FK0 A FK0 B ! (2.3) σ = (σx, σy) は 2 次元パウリ行列で， σx= Ã 0 1 1 0 ! , σy = Ã 0 −i i 0 ! (2.4) ˆ k は波数に対応した微分演算子，γ はバンドパラメータ，² はエネルギー固有値を表している． この方程式の解は FK_{(r) ，F}K0 (r) ∝ exp (ik · r) (2.5) と置くことによりただちに求まり，エネルギーは ²(±)_{(k) = ±γ}q_k2 x+ ky2 (2.6) となる．ここで，波数 k の原点は K 点と K’ 点である．これはまさに静止質量 0 の相対論的な Dirac 電子であるニュートリノの分散を表している．この分散関係は光とまったく同じなので， ニュートリノの速度は波数とエネルギーによらず， v = γ ~ (2.7) となる．このようにグラフェンは相対論的な効果を簡単に実現できる系となっている．また最 近では

• 単層グラフェンが作製され，電気伝導や量子ホール効果が観測されたこと [6, 7] • グラフェンへの室温スピン注入が電気的に検出され，スピントロニクスへの応用の期待 が高まっていること [8] などがあり，現在，グラフェンは基礎応用ともに非常に注目されている物質である．

2.2

DBdG

方程式を用いたグラフェン上の常伝導体

/

超伝導体接

合の記述

図 2.3 のように，グラフェンの 2 次元平面に対して x 軸 y 軸をとり，x > 0 の領域に超伝導体 を取り付けたモデルを考える．グラフェンは非常に薄い物質であるため，超伝導体からのペア ポテンシャルの染み出しにより，x > 0 の領域のグラフェンは超伝導体化すると考える．それ により，x < 0 の領域には常伝導体としてのグラフェン，x > 0 の領域には超伝導体としてのグ ラフェンができることになり，グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合が実現できる．x < 0 の 常伝導体領域には，静電ポテンシャルを調節できるようにするためにゲート電圧を取り付ける ことを考える． ឬˡݰ˳ ἂἻἧỹὅ y

0

x

ዌጂ˳ ᣿ޓ 8) 図 2.3: グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合のモデル．N は通常のグラフェン，S は超伝導 体化したグラフェンであることを意味する． このモデルを記述する方程式は Dirac-Bogoliubov-de Gennes 方程式（DBdG 方程式）である． DBdG 方程式の導出は付録にまとめている． " H+ ∆ ∆∗ _−H + # " u v # = E " u v # (2.8) H+= −i~vσ · ∇ − µ + U = −i~v (σx∂x+ σy∂y) − µ + U (2.9) ペアポテンシャルは次のようにとる． ∆ (r) = ( ∆0eiφ if x > 0 0 if x < 0 (2.10)

ゲート電圧や，電子やホールのドープによる静電ポテンシャルの効果を次のようにとる． U (r) = ( −U0 if x > 0 0 if x < 0 (2.11) U0には次のような条件を課しておく． U0 À µ, ∆0 (2.12)

2.3

常伝導体側の波動関数の導出

常伝導体側においてはペアポテンシャルは零であるので，DBdG 方程式は " H+ 0 0 −H+ # " u v # = E " u v # (2.13)

となる．この方程式の十分解として，平面波 (u, v) × exp (ikxx + ikyy) を代入する．このときエ

ネルギー固有値は，電子に対して ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −µ − E ~v (kx− iky) ~v (kx+ iky) −µ − E ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0 (2.14) E = −µ ± ~v q k2 x+ k2y = −µ ± ~v |k| = E±e (2.15) ホールに対して ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ µ − E −~v (kx− iky) −~v (kx+ iky) µ − E ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0 (2.16) E = µ ± ~v |k| = E_±h (2.17) となる．図 2.4 に電子とホールの分散関係を示す． 電子について規格化した固有ベクトルは，E = E₊e に対して " u1 u2 # = √1 2 " 1 eia # eikxx+ikyy _(2.18) E = Ee −に対して _" u1 u2 # = √1 2 " 1 −eia # eikxx+ikyy _(2.19) eia _{= p}kx+ iky k2 x+ ky2 (2.20) と計算できる． ここで波動関数を電子が正方向，負方向に進む場合についてそれぞれ書き直す．

E

µ

F

k

−

0

k

F

k

µ

−

図 2.4: 常伝導体側の分散関係．赤は電子，青はホールの分散を表す． 1. E > −µ のとき，E = Ee + = −µ + ~v |k| のバンドが伝播を担う． E + µ = ~v q k2 x+ k2y (2.21) より， q k2 x+ ky2 = E + µ ~v > 0 (2.22) である．入射した波が伝播するためには， k2 x = µ E + µ ~v ¶₂ − k2 y > 0 (2.23) でなくてはならない．ここで、 q ≡ ky > 0 (2.24) k ≡ E + µ ~v s 1 − µ ~vq E + µ ¶₂ ≡ E + µ ~v cos α (2.25) sin α ≡ ~vq E + µ (2.26) を定義する．正方向に進む波は， kx = k = E + µ ~v cos α > 0 (2.27) のときである．このとき eia _{= p}kx+ iky k2 x+ ky2 = pk + iq k2_{+ q}2 = E+µ ~v cos α + i E+µ ~v sin α q¡_E+µ ~v ¢2 cos2_{α +}¡E+µ ~v ¢2 sin2_α = E+µ ~v cos α + i E+µ ~v sin α ¯ ¯E+µ ~v ¯ ¯ = cos α + i sin α = eiα _(2.28)

となる．よって波動関数は " u1 u2 # = √1 2 " 1 eiα # eikx+iqy _(2.29) と書ける．負方向に進む波は， kx = −k = − E + µ ~v cos α < 0 (2.30) のときである．このとき eia = pkx+ iky k2 x+ k2y = p−k + iq k2_{+ q}2 = − E+µ ~v cos α + i E+µ ~v sin α ¯ ¯E+µ ~v ¯ ¯ = − cos α + i sin α = −e−iα (2.31) となる．よって波動関数は " u1 u2 # = √1 2 " 1 −e−iα # e−ikx+iqy _(2.32) と書ける． 2. E < −µ のとき，E = Ee − = −µ − ~v |k| のバンドが伝播を担う． E + µ = −~v q k2 x+ ky2 (2.33) より， q k2 x+ ky2 = − E + µ ~v > 0 (2.34) である．入射した波が伝播するためには， k2_x = µ E + µ ~v ¶₂ − k2_y > 0 (2.35) でなくてはならない．正方向に進む波は kx = k = E + µ ~v cos α < 0 (2.36) のときである．このとき −eia _{= −p}kx+ iky k2 x+ ky2 = −pk + iq k2 _{+ q}2 = − E+µ ~v cos α + i E+µ ~v sin α ¯ ¯E+µ ~v ¯ ¯ = cos α + i sin α = eiα _(2.37)

となる．よって正方向に進む波動関数は " u1 u2 # = √1 2 " 1 eiα # eikx+iqy (2.38) と書ける．負方向に進む波は， kx = −k = − E + µ ~v cos α > 0 (2.39) のときである．このとき −eia = −pkx+ iky k2 x+ ky2 = −p−k + iq k2_{+ q}2 = −− E+µ ~v cos α + i E+µ ~v sin α ¯ ¯E+µ ~v ¯ ¯ = − cos α + i sin α = −e−iα (2.40) となる．よって波動関数は " u1 u2 # = √1 2 " 1 −e−iα # e−ikx+iqy _(2.41) と書ける．以上より (1)E > −µ，(2)E < −µ いずれの場合にも正に進む波は Ψe+_N = √1 2      e−iα/2 eiα/2 0 0     e ikx+iqy _(2.42) 負に進む波は， Ψe− N = 1 √ 2      eiα/2 −e−iα/2 0 0     e −ikx+iqy _(2.43) と書けることがわかる． 次にホールについて同様にして波動関数を求める．規格化した固有ベクトルは，E = E₊h に 対して _" v1 v2 # = √1 2 " e−ia −1 # eikxx+iqy _(2.44) E = Eh −に対して _" v1 v2 # = √1 2 " 1 eia # eikxx+iqy _(2.45) eia _{= p}kx+ iky k2 x+ ky2 (2.46) と計算できる．同様の手順で波動関数をホールが正方向，負方向に進む場合についてそれぞれ 書き直す．

1. E > µ のとき，E = Eh + = µ + ~v |k| のバンドが伝播を担う． E − µ = ~v q k2 x+ k2y (2.47) より， q k2 x+ ky2 = E − µ ~v > 0 (2.48) である．波が伝播するためには， k2 x= µ E − µ ~v ¶₂ − k2 y > 0 (2.49) でなくてはならない．ここで， k0 _≡ E − µ ~v s 1 − µ ~vq E − µ ¶₂ ≡ E − µ ~v cos α 0 _(2.50) sin α0 _≡ ~vq E − µ (2.51) を定義する．正方向に進む波は， kx = k0 = E − µ ~v cos α 0 _{> 0 (2.52)} のときである．このとき e−ia = pkx− iky k2 x+ ky2 = k 0 _{− iq} p k02_{+ q}2 = E−µ ~v cos α0 − i E−µ ~v sin α0 ¯ ¯E−µ ~v ¯ ¯ = cos α0− i sin α0 = e−iα0 (2.53) となる．よって波動関数は " v1 v2 # = √1 2 " e−iα0_/2 −eiα0_/2 # eik0_x+iqy (2.54) と書ける．負方向に進む波は， kx= −k0 = − E − µ ~v cos α 0 _{< 0 (2.55)} のときである．このとき e−ia = pkx− iky k2 x+ ky2 = −k 0_{− iq} p k02_{+ q}2 = − E−µ ~v cos α0+ i E−µ ~v sin α0 ¯ ¯E−µ ~v ¯ ¯ = − cos α0− i sin α0 = −eiα0 (2.56)

となる．よって波動関数は " v1 v2 # = √1 2 " eiα0_/2 e−iα0_/2 # e−ik0x+iqy (2.57) と書ける． 2. E < µ のとき，E = Eh − = µ − ~v |k| のバンドが伝播を担う． E − µ = −~v q k2 x+ k2y (2.58) より， q k2 x+ ky2 = − E − µ ~v > 0 (2.59) である．波が伝播するためには， k2 x= µ E − µ ~v ¶₂ − k2 y > 0 (2.60) でなくてはならない．正方向に進む波は， kx = k0 = E − µ ~v cos α 0 _{< 0 (2.61)} のときである．このとき eia _{= p}kx+ iky k2 x+ ky2 = k 0_{+ iq} p k02_{+ q}2 = E−µ ~v cos α0+ i E−µ ~v sin α0 ¯ ¯E−µ ~v ¯ ¯ = − cos α0− i sin α0 = −eiα0 (2.62) となる．よって正方向に進む波動関数は " v1 v2 # = √1 2 " e−iα0_/2 −eiα0_/2 # eik0_x+iqy (2.63) と書ける．負方向に進む波は kx= −k0 = − E − µ ~v cos α 0 _{> 0 (2.64)} のときである．このとき eia = pkx+ iky k2 x+ ky2 = −k 0_{+ iq} p k02_{+ q}2 = − E−µ ~v cos α0+ i E−µ ~v sin α0 ¯ ¯E−µ ~v ¯ ¯ = cos α0− i sin α0 = e−iα0 (2.65)

と書ける．よって波動関数は " v1 v2 # = √1 2 " eiα0_/2 e−iα0_/2 # e−ik0_x+iqy (2.66) と書ける．以上より (1)E > −µ，(2)E < −µ いずれの場合にも正に進む波動関数は Ψh+ N = 1 √ 2      0 0 e−iα0_/2 −eiα0_/2     e ik0_x+iqy (2.67) 負に進む波動関数は Ψh− N = 1 √ 2      0 0 eiα0_/2 e−iα0_/2     e −ik0_x+iqy (2.68) と書けることがわかる． 以上をまとめて，常伝導体側での波動関数は • 電子で正方向 Ψe+ N = 1 √ 2      e−iα/2 eiα/2 0 0     e ikx+iqy _(2.69) • 電子で負方向 Ψe−_N = √1 2      eiα/2 −e−iα/2 0 0     e −ikx+iqy _(2.70) • ホールで正方向 Ψh+ N = 1 √ 2      0 0 e−iα0_/2 −eiα0_/2     e ik0_x+iqy (2.71) • ホールで負方向 Ψh− N = 1 √ 2      0 0 eiα0_/2 e−iα0_/2     e −ik0_x+iqy (2.72)

と記述できる．また波が伝搬していく条件は（5.78），（5.105）式より |q| < qc= E + µ ~v (2.73) |q| < q_c0 = |E − µ| ~v (2.74) q = E + µ ~v sin α (2.75) である．これらをまとめて，Andreev 反射が起きる条件は α < αc= arcsin µ |E − µ| E + µ ¶ (2.76) となり，臨界角 αcによって定められる．

2.4

超伝導体側の波動関数の導出

DBdG 方程式 " H+ ∆ ∆∗ _−H + # " u v # = E " u v # (2.77) H+= −i~vσ · ∇ − µ + U = −i~v (σx∂x+ σy∂y) − µ + U (2.78)

において，超伝導体が一様な場合は，平面波 (u, v) × exp (ikxx + ikyy) が解となる．u = (u1, u2)

は電子，v = (v1, v2) はホールの振幅を表す．代入すると ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −µ + U − E ~v (kx− iky) ∆ 0 ~v (kx+ iky) −µ + U − E 0 ∆ ∆∗ _{0 µ − U − E −~v (k} x− iky) 0 ∆∗ _{−~v (k} x+ iky) µ − U − E ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 (2.79) という永年方程式になる．これを解くと E = q |∆|2 + (µ − U ± ~v |k|)2 ≡ ES ± (2.80) E_±S = q ∆2 0+ ξ±2, ξ± = ~v |k| ± (µ + U0) (2.81) となる．図 2.5 に超伝導体側の分散関係を示す．

ここで，U0 À µ, ∆0と仮定しているため，E = E−Sのバンドについて考える．E = E−Sに対

して十分解は      a b c d     k      e−ia¡_ES −+ ξ− ¢ ¡ ES −+ ξ− ¢ e−ia_∆∗ ∆∗      (2.82)

E

0 0

+ µ

>>

∆

U

0

k

−

0

0

k

k

0

∆

図 2.5: 超伝導体側の分散関係． と書ける． ここで波動関数を電子であるかホールであるか，さらに正方向に進むか負方向に進むかで分 類する． (1)|E| < ∆0のとき， Ω ≡ q E2_{− ∆}2 0 (2.83) に対して，平方根の中が負であるので Ω = i∆0 s 1 − µ E ∆0 ¶₂ (2.84) と書く． E ∆0 ≡ cos β (2.85) とおくと，−1 < E/∆0 < 1 より 0 < β < π である．このとき sin β > 0 より Ω = i∆0 s 1 − µ E ∆0 ¶₂ = i∆0sin β (2.86) と書ける．また E = q |∆|2+ ξ2 − (2.87) より， ξ− = ± q E2_{− |∆|}2 _{= ±i∆} 0 s 1 − µ E ∆0 ¶₂ = ±i∆0sin β = ~v |k| − (µ + U0) (2.88)

これより ~v |k| = µ + U0± i∆0sin β (2.89) と書ける．+ は電子の分枝，− はホールの分枝である．ここから k2_x = µ µ + U0 ± i∆0sin β ~v ¶₂ − q2 = (µ + U0) 2_{− ∆2} 0sin2β (~v)2 − q 2 _±2i∆0(µ + U0) sin β (~v)2 ' (µ + U0) 2 (~v)2 − q 2_{± 2i}∆0(µ + U0) sin β (~v)2 (2.90) と計算できる．途中 U0 À ∆0を用いて近似をした．ここで ky ≡ q (2.91) k0 ≡ s (µ + U0)2 (~v)2 − q 2 _(2.92) κ ≡ ∆0(µ + U0) k0(~v)2 sin β (2.93) で定義すると， k2 x = k02 µ 1 ± 2i∆0(µ + U0) k2 0(~v)2 sin β ¶ (2.94) kx ' k0± i ∆0(µ + U0) k0(~v)2 sin β = k0± iκ (2.95) と記述できる．また sin γ ≡ ~vq µ + U0 , −π 2 < γ < π 2 (2.96) で定義すると， k0 = µ + U0 ~v s 1 − µ ~vq µ + U0 ¶₂ = µ + U0 ~v cos γ (2.97) と書ける．この定義のもとで，以下で波動関数を求める．その際に，x 方向の波数で κ を落と すという近似を行う．

1. 電子で正方向 波数は (k0+ iκ, q) だが，κ は落とす． eia = pkx+ iky k2 x+ ky2 = pk0+ iq k2 0 + q2 = ~v µ+U0k0+ i ~v µ+U0q r³ ~vk0 µ+U0 ´₂ + ³ ~vq µ+U0 ´₂ = pcos γ + i sin γ cos2_{γ + sin}2_γ = e iγ _(2.98) となるので，確率振幅は      a b c d     k      e−ia¡_ES −+ ξ− ¢ ¡ ES −+ ξ− ¢ e−ia_∆∗ ∆∗     k      e−iγ_{(E + i∆} 0sin β) (E + i∆0sin β) e−iγ_∆∗ ∆∗      (2.99) となる． |a|2+ |b|2+ |c|2 + |d|2 = 2£¡E2 + ∆2₀sin2β¢+ ∆2₀¤ = 2∆2 0 "µ E ∆0 ¶₂ + sin2_{β + 1} # = 4∆2 0 (2.100) であるので，規格化すると      a b c d     k 1 2       e−iγ³E ∆0 + i sin β ´ ³ E ∆0 + i sin β ´ e−iγ_e−iφ e−iφ      = 1 2      e−iγ_eiβ eiβ e−iγ_e−iφ e−iφ      (2.101) となる．したがって波動関数は Ψe+_S = 1 2      eiβ eiγ+iβ e−iφ eiγ−iφ     e ik0x−κx+iqy _(2.102) と書ける． 2. 電子で負方向 波数は (−k0− iκ, q) だが，κ は落とす． eia _{= p}−k0+ iq k2 0 + q2

となるので，確率振幅は      a b c d     k 1 2     

−eiγ_eiβ

eiβ

−eiγ_e−iφ

e−iφ      (2.104) となる．したがって波動関数は Ψe− S = 1 2      eiβ −eiβ−iγ e−iφ −e−iφ−iγ     e −ik0x+κx+iqy _(2.105) と書ける． 3. ホールで正方向 波数は (−k0+ iκ, q) だが，κ は落とす． e−ia _{= p}−k0− iq k2 0 + q2

= − cos γ − i sin γ = −eiγ (2.106) となるので，確率振幅は      a b c d     k 1 2       −e−iγ³E ∆0 − i sin β ´ ³ E ∆0 − i sin β ´

−e−iγ_e−iφ

e−iφ      = 1 2     

−eiγ_e−iβ

e−iβ

−eiγ_e−iφ

e−iφ      (2.107) となる．したがって波動関数は Ψh+ S = 1 2      e−iβ −e−iβ−iγ e−iφ −e−iφ−iγ     e −ik0x−κx+iqy _(2.108) と書ける． 4. ホールで負方向 波数は (k0− iκ, q) だが，κ は落とす． e−ia _{= p}k0− iq k2 0+ q2

となるので，確率振幅は      a b c d     k 1 2      e−iγ_e−iβ e−iβ e−iγ_e−iφ e−iφ      (2.110) となる．したがって波動関数は Ψh−_S = 1 2      e−iβ eiγ−iβ e−iφ eiγ−iφ     e −ik0x+κx+iqy _(2.111) と書ける． (2)|E| > ∆0のとき E = ES − = q ∆2 0+ (~v |k| − µ − U0)2 (2.112) より (~v |k| − µ − U0)2 = E2− ∆20 > 0 (2.113) ~v |k| = ± q E2_{− ∆}2 0+ µ + U0 (2.114) となる．+ は電子の分枝，− はホールの分枝である．ここから k2 x+ ky2 = Ã µ + U0± p E2_{− ∆}2 0 ~v !₂ (2.115) k2 x = µ µ + U0 ~v ¶₂ − k2 y ± 2 (µ + U0) p E2_{− ∆}2 0 (~v)2 + E2_{− ∆}2 0 (~v)2 = k2₀± 2(µ + U0) p E2_{− ∆}2 0 (~v)2 + E2_{− ∆}2 0 (~v)2 (2.116) 近似を加えて k ' k0 " 1 ±(µ + U0) p E2_{− ∆}2 0 (~v)2k2 0 # = k0± (µ + U0) p E2_{− ∆}2 0 (~v)2k0 (2.117) となる．ここで cosh δ ≡ µ E ∆0 ¶ δ > 0 δ = arcosh µ E ∆0 ¶ (2.118)

で定義する． cosh2_{δ − sinh}2_{δ = 1 (2.119)} より q E2_{− ∆}2 0 = ∆0 sµ E ∆0 ¶₂ − 1 = ∆0sinh δ (2.120) と書ける．よって k = k0+ (µ + U0) ∆0sinh δ (~v)2k0 (2.121) となる．また

cosh δ = cos (iδ) (2.122) sinh δ = −i sinh (iδ) (2.123) の関係式において −iδ = β (2.124) で定義すると cosh δ = cos β (2.125) sinh δ = i sinh β (2.126) となる．このとき k = k0+ (µ + U0) ∆0sinh δ (~v)2k0 = k0+ i (µ + U0) ∆0sin β (~v)2k0 = k0+ iκ (2.127) となり，E < ∆0のときの表式を使えることになる．以下では波動関数を求める．E < ∆0のと きと同様にして，x 方向の波数で κ を落とすという近似を行う． 1. 電子で正方向 波数は (k0+ iκ, q) だが，κ は落とす． eia _{= p}kx+ iky k2 x+ ky2 = pk0+ iq k2 0 + q2 = ~v µ+U0k0+ i ~v µ+U0q r³ ~vk0 µ+U0 ´₂ + ³ ~vq µ+U0 ´₂ = pcos γ + i sin γ cos2_{γ + sin}2_γ = e iγ _(2.128)

となるので，確率振幅は      a b c d      k 1 2       E ∆0 + sinh δ ³ E ∆0 + sinh δ ´ eiγ e−iφ e−iφ_eiγ      = 1 2      cosh δ + sinh δ (cosh δ + sinh δ) eiγ

e−iφ e−iφ_eiγ      k 1 2      eiβ eiβ_eiγ e−iφ e−iφ_eiγ      (2.129) となる．したがって波動関数は Ψe+_S = 1 2      eiβ eiγ+iβ e−iφ eiγ−iφ     e ik0x−κx+iqy _(2.130) と書ける． 2. 電子で負方向 波数は (−k0− iκ, q) だが，κ は落とす． eia _{= p}−k0+ iq k2 0 + q2

= − cos γ + i sin γ = −e−iγ _(2.131)

となるので，確率振幅は      a b c d     k 1 2     

−eiγ_eiβ

eiβ

−eiγ_e−iφ

e−iφ      (2.132) となる．したがって波動関数は Ψe− S = 1 2      eiβ −eiβ−iγ e−iφ −e−iφ−iγ     e −ik0x+κx+iqy _(2.133) と書ける． 3. ホールで正方向 波数は (−k0+ iκ, q) だが，κ は落とす． e−ia _{= p}−k0− iq k2 0 + q2

となるので，確率振幅は      a b c d     k 1 2     

−e−iγ_{(cos β − i sin β)}

(cos β − i sin β)

−e−iγ_e−iφ

e−iφ     = 1 2     

−eiγ_e−iβ

e−iβ

−eiγ_e−iφ

e−iφ      (2.135) となる．したがって波動関数は Ψh+ S = 1 2      e−iβ −e−iβ−iγ e−iφ −e−iφ−iγ     e −ik0x−κx+iqy _(2.136) と書ける． 4. ホールで負方向 波数は (k0− iκ, q) だが，κ は落とす． e−ia _{= p}k0− iq k2 0+ q2

= cos γ − i sin γ = e−iγ (2.137) となるので，確率振幅は      a b c d     k 1 2      e−iγ_e−iβ e−iβ e−iγ_e−iφ e−iφ      (2.138) となる．したがって波動関数は Ψh− S = 1 2      e−iβ eiγ−iβ e−iφ eiγ−iφ     e −ik0x+κx+iqy _(2.139) と書ける． ここで U0 À µ, ∆0の条件で近似を行う．このとき γ = arcsin [~vq/ (U0+ µ)] → 0 となるの で，正方向に進む波動関数は Ψe+ S = 1 2      eiβ eiβ e−iφ e−iφ     e ik0x−κx+iqy _(2.140)

Ψh+ S = 1 2      e−iβ −e−iβ e−iφ −e−iφ     e −ik0x−κx+iqy _(2.141) となる．

2.5

微分コンダクタンス

前節で求めた波動関数を基にして，ここではグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における 散乱問題を考え，微分コンダクタンスを計算する．まず常伝導体側から超伝導体側に波数 k の 電子を入射させることを考える．このとき常伝導体側の波動関数は，入射電子，ノーマル反射 された電子，Andreev 反射されたホールの線型結合で， ψN = Ψe+N + ˜rΨe−N + ˜rAΨh−N (2.142) と書ける．超伝導体側では U0 À µ, ∆0という条件を課しているため，散乱問題では E = E−Sの バンドだけを考えればよい．したがって，超伝導体側の波動関数は，電子及びホールとして透 過した波動関数の線型結合で ψS = aΨe+S + bΨh+S (2.143) と書ける．波動関数の接続条件は x = 0 において値が等しいことである．すなわち Ψe+ N + ˜rΨe−N + ˜rAΨh−N = aΨe+S + bΨh+S (2.144) である．波数 k のホールを入射させた場合についても同様にして，波動関数を接続させると Ψh+ N + ˜r0Ψh−N + ˜rA0 Ψe−S = a0Ψe+S + b0Ψh+S (2.145) となる．2 式より，ノーマル反射係数と Andreev 反射係数は以下のように求まる． ˜ rA= ( e−iφ_X−1_{cos α if |α| < α} c 0 if |α| > αc (2.146) αc= arcsin µ |E − µ| E + µ ¶ (2.147) ˜ r = iX−1 · cos β sin µ α0 _{+ α} 2 ¶ − i sin β sin µ α0_{− α} 2 ¶¸ (2.148) ˜ r0_A= ( eiφ_X−1_{cos α}0 _{if |α| < α} c 0 if |α| > αc (2.149)

˜ r0 _{= iX}−1 · cos β sin µ α0_{+ α} 2 ¶ + i sin β sin µ α0_{− α} 2 ¶¸ (2.150) X = cos β cos µ α0 _{− α} 2 ¶ + i sin β cos µ α0_{+ α} 2 ¶ (2.151) ここで反射係数に速度の補正を加える．常伝導体側における，電子とホールの x 方向の速度は ve x+ = 1 ~ ∂Ee + ∂k = v k p k2_{+ q}2 = v ~vk E + µ = v cos α (2.152) ve x− = 1 ~ ∂Ee − ∂k = −v k p k2_{+ q}2 = −v cos α (2.153) vh x+ = 1 ~ ∂Eh + ∂k0 = v k0 p k02_{+ q}2 = v ~vk0 E − µ = v cos α 0 _(2.154) vh_x−= 1 ~ ∂Eh − ∂k0 = −v k0 p k02_{+ q}2 = −v cos α 0 _(2.155) となる．これより，速度の補正を加えた反射係数は以下のように求まる． r = s¯ ¯ ¯ ¯v e x− ve x+ ¯ ¯ ¯ ¯˜r = ˜r = iX−1 · cos β sin µ α0 _{+ α} 2 ¶ − i sin β sin µ α0_{− α} 2 ¶¸ (2.156) rA= s¯ ¯ ¯ ¯v h x− ve x+ ¯ ¯ ¯ ¯˜rA= r cos α0 cos αr˜A= (

e−iφ_X−1√_{cos α cos α}0 _{if |α| < α} c 0 if |α| > αc (2.157) r0 ₌ s¯ ¯ ¯ ¯v h x− vh x+ ¯ ¯ ¯ ¯˜r0 = ˜r0 = iX−1 · cos β sin µ α0_{+ α} 2 ¶ + i sin β sin µ α0_{− α} 2 ¶¸ (2.158) r0 A= s¯ ¯ ¯ ¯v e x− vh x+ ¯ ¯ ¯ ¯˜r0A= r cos α cos α0r˜ 0 A= e2iφrA (2.159) 反射行列 R = à r r0 A rA r0 ! (2.160) は E < ∆0のとき unitary 性 ¡ RR†¢ nm = δnmを満足していることを確かめられる．E > ∆0の ときは，超伝導体側において電子の透過とホールの励起があるため unitary ではない．以下で は入射角と反射角 α = arcsin µ ~vq E + µ ¶ (2.161) α0 _{= arcsin} µ ~vq E − µ ¶ (2.162) に対して，µ À ∆0と µ ¿ ∆0の 2 つの場合で近似を加える．

1. µ À ∆0のとき α = arcsin µ ~vq µ ¶ , α0 _{= arcsin} µ ~vq −µ ¶ (2.163) より α0 _{= −α (2.164)} という関係式が得られる． 2. µ ¿ ∆0のとき α = arcsin µ ~vq E ¶ , α0 = arcsin µ ~vq E ¶ (2.165) より α0 = α (2.166) という関係式が得られる． 次節で説明するように，µ À ∆0 すなわち α0 = −α の場合には通常の Andreev 反射が生じて おり，µ ¿ ∆0すなわち α0 = α の場合には鏡面反射的 Andreev 反射が生じている．この 2 つの 場合における電子の散乱過程を図 2.6，図 2.7 に示す．

E

µ F

k

−

0

_k

_F

_k

r

r

A

E

E

U

,

0 0

+ µ

>>

∆

0 ∆ 0

k

−

0

k

0

k

ࠝˡݰ˳ ឬˡݰ˳ 図 2.6: µ À ∆0 (通常の Andreev 反射) の場合の電子の散乱過程． 角度の関係を代入することで，Andreev 反射係数とノーマル反射係数はそれぞれ次のように 求まる． rA(E, α) = e−iφ_{cos α} (E/∆0) cos α + ζ , if µ À ∆0 (2.167) rA(E, α) = e−iφ_{cos α} E/∆0+ ζ cos α , if µ ¿ ∆0 (2.168)

E A

r

r

µ

F k F k −

k

E 0 0+ µ>>∆ U 0

∆

0 k −

0

_k0

_k

0

ࠝˡݰ˳ ឬˡݰ˳ 図 2.7: µ ¿ ∆0 (鏡面反射的 Andreev 反射) の場合の電子の散乱過程．

r (E, α) = iζ sin α

(E/∆0) cos α + ζ

, if µ À ∆0 (2.169)

r (E, α) = i (E/∆0) sin α E/∆0+ ζ cos α , if µ ¿ ∆0 (2.170) ζ =        r³ E ∆0 ´₂ − 1 if E > ∆0 i r 1 − ³ E ∆0 ´₂ if E < ∆0 (2.171) これより，E < ∆0の場合，|r|2+ |rA|2 = 1 が成立していることが確かめられる．さらに，α = 0 の場合は，|rA|2 = 1 が成立している． 微分コンダクタンスは Blonder-Tinkham-Klapwijk の公式（以下では BTK 公式と呼ぶ）より 計算できる． ∂I ∂V = g0(V ) Z _αc 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2+ |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα, (2.172) g0(V ) = 4e2 h N (eV ) , N (E) = (µ + E) W π~v , αc= arcsin µ |E − µ| E + µ ¶ (2.173) g0はバリスティックコンダクタンスで，N は伝導チャネル数，W は y 方向の接合幅である．今 の場合，µ À ∆0，µ ¿ ∆0のどちらにしても αc= arcsin (1) = π 2 (2.174) となり，積分範囲は 0 ≤ α < π 2 (2.175) となる．

• µ À ∆0のとき，eV /∆0 ≡ x < 1 に対して， ∂I ∂V × 1 g0(V ) = Z _π/2 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2+ |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα = ( 4 3 if x = 0 2£ 1 x2 + ¡ ₁ x2 − 1 ¢ ₁ 2xln ¯ ¯x−1 x+1 ¯ ¯¤ _{if 0 < x < 1} (2.176) eV /∆0 ≡ x ≥ 1 に対して， ∂I ∂V × 1 g0(V ) = Z _π/2 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2+ |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα = ( 2 if x = 1 2 − π√x2₋₁ x + 2 x2₋₁ x ln ¯ ¯ ¯√x+1 x2₋₁ ¯ ¯ ¯ if x > 1 (2.177) • µ ¿ ∆0のとき，eV /∆0 ≡ x < 1 に対して， ∂I ∂V × 1 g0(V ) = Z _π/2 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2 + |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα = ( 2 if x = 0 2 h 1 1−x2 + x 2 2(1−x2₎√_1−x2 ln ¯ ¯ ¯√√1−x2−1 1−x2₊₁ ¯ ¯ ¯ i if 0 < x < 1 (2.178) eV /∆0 ≡ x ≥ 1 に対して， ∂I ∂V × 1 g0(V ) = Z _π/2 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2+ |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα =    4 3 if x = 1 πχ + 4χ2_{− 2πχ}3_{+ 4χ}2p_χ2_{− 1 arcsin} µ√ χ2₋₁ χ ¶ if x > 1 (2.179) χ = √ x x2_{− 1} (2.180) と計算できる．図 2.8 に印加電圧の関数として，規格化した微分コンダクタンスを示した．

2.6

鏡面反射的

Andreev

反射の起源

常伝導体側の分散関係は，電子について E = Ee ± = −µ ± ~v |k| (2.181) ホールについて E = Eh ± = µ ± ~v |k| (2.182)

2 1.5 0 ∆ >> µ 0 ∆ << µ

(

)

V 1 0 g V I × ∂ ∂

(

)

2 0 eV _∆ 1 1 0 図 2.8: µ À ∆0（通常の Andreev 反射）と µ ¿ ∆0（鏡面反射的 Andreev 反射）の 2 つの場合 の微分コンダクタンス． である．それぞれのバンドに対して，図 1.2 における入射電子と反射ホールの y 方向の速度を 計算すると ve+ y = 1 ~ ∂Ee + ∂q = v q p k2 x+ q2 = v E+µ ~v ¯ ¯E+µ ~v ¯ ¯sin α = v sin α (2.183) ve− y = 1 ~ ∂Ee − ∂q = −v q p k2 x+ q2 = −v E+µ ~v ¯ ¯E+µ ~v ¯ ¯sin α = v sin α (2.184) vh+ y = 1 ~ ∂Eh + ∂q = v q p k2 x+ q2 = v E−µ ~v ¯ ¯E−µ ~v ¯ ¯sin α0 = v sin α0 (2.185) vh− y = 1 ~ ∂Eh − ∂q = v q p k2 x+ q2 = −v E−µ ~v ¯ ¯E−µ ~v ¯ ¯sin α0 = v sin α0 (2.186) となる．2.5 節の 2 つ近似を加えた場合におけるホールの y 方向の速度を考える． 1. µ À ∆0のとき α0 = −α となる．よってこのとき Andreev 反射された hole の y 方向の速 度は符号変化する．したがって通常の Andreev 反射が起きる． 2. µ ¿ ∆0のとき α0 = α となる．よってこのとき Andreev 反射された hole の y 方向の速度 は符号変化しない．したがって鏡面反射的 Andreev 反射が起きる． このように，入射角 α と反射角 α0の関係によって，通常の Andreev 反射が起きているか鏡面 反射的 Andreev 反射が起きているかを識別することができる．

第

3

章 グラフェン上の強磁性体

/

超伝導体

接合

第 3 章では，グラフェン上の常伝導体/超伝導体接合における量子輸送現象の理解に基づき， グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合における量子輸送現象を解明する．

3.1

DBdG

方程式を用いたグラフェン上の強磁性体

/

超伝導体接

合の記述

図 3.1 のように，常伝導体/超伝導体接合のモデルに対して，x < 0 の領域にさらに強磁性体 を取り付けたモデルを考える．このとき x < 0 の領域のグラフェンは交換ポテンシャルの影響 ឬˡݰ˳ x y0 ዌጂ˳ ᣿ޓ 8) ἂἻἧỹὅ ࢍᄬࣱ˳ 図 3.1: グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合のモデル．F は強磁性体化したグラフェン，S は 超伝導体化したグラフェンであることを意味する． を受け，強磁性体化すると考える．まずはじめに↑スピンの入射電子に対する DBdG 方程式を 考える．この場合，付録より DBdG 方程式には以下のように交換ポテンシャル Vex(r) が加わる． " H++ Vex(r) ∆ ∆∗ _−H ++ Vex(r) # " u↑ v↓ # = E " u↑ v↓ # (3.1) H+= −i~vσ · ∇ − µ + U = −i~v (σx∂x+ σy∂y) − µ + U (3.2) Vex(r) = ( 0 if x > 0 Vex if x < 0 (3.3)

∆ (r)，U (r) には以前と同じ条件を課す． ∆ (r) = ( ∆0eiφ if x > 0 0 if x < 0 (3.4) U (r) = ( −U0 if x > 0 0 if x < 0 (3.5) U0 À µ, ∆0 (3.6) このとき，超伝導体側の分散関係と波動関数は変更を受けないので，以前と同じ表式を用いる ことができる．強磁性体側では，十分解として平面波 (u, v) × exp (ikxx + ikyy) を代入すると，

エネルギー固有値は電子に対して ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −µ − E + Vex ~v (kx− iky) ~v (kx+ iky) −µ − E + Vex ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0 (3.7) E = E_±e = −µ + Vex± ~v |k| (3.8) ホールに対して _¯ ¯ ¯ ¯ ¯ µ − E + Vex −~v (kx− iky) −~v (kx+ iky) µ − E + Vex ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 0 (3.9) E = E_±h = µ + Vex± ~v |k| (3.10) と求まる．図 3.2 に強磁性体側の分散関係を示す．これより，交換ポテンシャルの影響により

E

ex

V

+

µ

0

k

ex

V

+

− µ

図 3.2: 強磁性体側の分散関係．赤は↑スピン電子，青は Andreev 反射された↓スピンホール の分散を表す． フェルミ面が Vexだけずれることが分かる．このフェルミ面のずれは，エネルギーに対して E → E − Vex (3.11)

という置き換えをすることに等しい．したがって，α, k, α0, k0をそれぞれ， α = arcsin · ~vq E + µ − Vex ¸ , k = E + µ − Vex ~v cos α α0 _{= arcsin} · ~vq E − µ − Vex ¸ , k0 ₌ E − µ − Vex ~v cos α (3.12) と定義し直すと，波動関数はグラフェン上の常伝導体/超伝導体接合時と同じ表式を用いること ができる．波動関数の表式が同じなので，ノーマル反射係数と Andreev 反射係数も以下のよう に同じ表式として求まる． r = iX−1 · cos β sin µ α0 _{+ α} 2 ¶ − i sin β sin µ α0_{− α} 2 ¶¸ (3.13) rA = (

e−iφ_X−1√_{cos α cos α}0 _{if |α| < α} c 0 if |α| > αc (3.14) X = cos β cos µ α0 _{− α} 2 ¶ + i sin β cos µ α0_{+ α} 2 ¶ (3.15) 伝導チャネル数 N と臨界角 αcは以下のように変更を受ける． N−(E) = |µ + E − Vex| W π~v , αc− = arcsin µ |E − µ − Vex| |E + µ − Vex| ¶ (3.16) 次に↓スピンの入射電子に対しては，付録より DBdG 方程式には以下のように交換ポテン シャルとペアポテンシャルに負号が付く． " H+− Vex(r) −∆ −∆∗ _−H +− Vex(r) # " u↓ v↑ # = E " u↓ v↑ # (3.17) したがって，強磁性体側のエネルギー固有値は電子に対して E = Ee ± = −µ − Vex± ~v |k| (3.18) ホールに対して E = Eh ± = µ − Vex± ~v |k| (3.19) と求まる．図 3.3 に分散関係を示す．このように↓スピンの入射電子に対しては，↑スピンの 入射電子とは反対方向にフェルミ面がずれる．このフェルミ面のずれはエネルギーに対して E → E + Vex (3.20) という置き換えをすることに等しい．したがって，α, k, α0, k0をそれぞれ α = arcsin · ~vq E + µ + Vex ¸ , k = E + µ + Vex ~v cos α α0 _{= arcsin} · ~vq E − µ + Vex ¸ , k0 ₌ E − µ + Vex ~v cos α (3.21)

E

ex

V

−

µ

0

_k

ex

V

−

− µ

図 3.3: 強磁性体側の分散関係．赤は↓スピン電子，青は Andreev 反射された↑スピンホール の分散を表す． と定義し直すことで，波動関数は同じ表式を用いることができる．ペアポテンシャルの負号は， 位相に対して φ → φ + π (3.22) という置き換えをすることに等しい．よってノーマル反射係数は φ に依存しないため同じ表式 として求まり，Andreev 反射係数は rA= (

e−i(φ+π)_X−1√_{cos α cos α}0 _{if |α| < αc}

0 if |α| > αc (3.23) と求まる．伝導チャネル数 N と臨界角 αcは以下のように変更を受ける． N+(E) = |µ + E + Vex| W π~v , αc+ = arcsin µ |E − µ + Vex| |E + µ + Vex| ¶ (3.24)

3.2

結果

以上の条件のもとで微分コンダクタンスを計算する．微分コンダクタンスは BTK 公式より 以下のように与えられる． ∂I ∂V = 2e2 h X s=±1 Ns(eV ) Z _αc 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2+ |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα, (3.25) Ns(E) = |µ + E + sVex| W π~v , αcs = arcsin µ |E − µ + sVex| |E + µ + sVex| ¶ (3.26) s = ±1 は入射電子のスピンを識別する量にである．ここで，Fermi エネルギー µ → 0 の極限 を考える．この極限は通常の金属においては考えることができないが，グラフェンにおいては 1.2 節より K 点及び K’ 点での Fermi エネルギーは零であり，その近傍においても電子とホール のドープによって Fermi エネルギーを零にすることができるので，この極限を考えることがで きる．このとき s = ±1 のどちらに対しても入射角 α と反射角 α0の関係は α = α0 _(3.27)

となる．これは 2.6 節より，鏡面反射的 Andreev 反射が起きることを意味している．臨界角 αcs は αcs = arcsin (1) = π 2 (3.28) となるので，微分コンダクタンスは ∂I ∂V = 2e2 h · W π~v · (|eV + Vex| + |eV − Vex|) Z _π/2 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2+ |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα, (3.29) Ns(E) = |µ + E + sVex| W π~v , αcs = arcsin µ |E − µ + sVex| |E + µ + sVex| ¶ (3.30) となる．積分は α = α0の条件のもとで解析的に計算できて，グラフェン上の常伝導体/超伝導 体接合における値と同じになる．すなわち • eV /∆0 ≡ x < 1 に対して， Z _π/2 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2+ |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα = ( 2 if x = 0 2 h 1 1−x2 + x 2 2(1−x2₎√_1−x2 ln ¯ ¯ ¯√1−x2₋₁ √ 1−x2₊₁ ¯ ¯ ¯ i if 0 < x < 1 (3.31) • eV /∆0 ≡ x ≥ 1 に対して， Z _π/2 0 ¡ 1 − |r (eV, α)|2+ |rA(eV, α)|2 ¢ cos αdα =    4 3 if x = 1 πχ + 4χ2_{− 2πχ}3_{+ 4χ}2p_χ2_{− 1 arcsin} µ√ χ2₋₁ χ ¶ if x > 1 (3.32) χ = √ x x2_{− 1} (3.33) となる．バリスティックコンダクタンスは，エネルギーの大小によって変化することがわかる． eV ' ∆0であるので • ∆0 > Vexのとき

|eV + Vex| + |eV − Vex| = 2eV (3.34)

• ∆0 < Vexのとき

となる．この様に，グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合においては，ペアポテンシャルと交 換ポテンシャルの大きさによって微分コンダクタンスのエネルギー依存性が変化することがわ かる． 以下では ∆0 < Vexの場合について考察する．通常，強磁性体の交換ポテンシャルは Andreev 反射を抑制する働きがあることが知られている [9]．そのため強磁性体/超伝導体接合における 微分コンダクタンスの値は，Vexが大きくなるにつれて減少し，Vex = µ において 0 となる．と ころがグラフェン上の強磁性体/超伝導体接合においては，(3.35) 式より ∂I ∂V ∝ Vex (3.36) となり，交換ポテンシャルが大きくなると微分コンダクタンスがそれに比例して増大するとい う通常とは逆の性質が現れることがわかった．

第

4

章 本研究のまとめと今後の展望

グラフェン上の強磁性体/超伝導体接合において，Fermi エネルギー µ → 0 の極限をとると， 電子の入射角 α とホールの反射角 α0との関係が α = α0となり，鏡面反射的 Andreev 反射が起 きることがわかった．また，ペアポテンシャルと交換ポテンシャルの大小関係が ∆0 < Vexのと き，微分コンダクタンスが交換ポテンシャルに比例して増大するという，通常とは逆の性質が 現れることがわかった．今後の課題としては， • 具体的に微分コンダクタンスを数値計算を用いて書いていくこと • µ が有限の場合についてはどうなるかを解析していくこと が挙げられる．

付録

Dirac-Bogoliubov-de Gennes

方程式（

DBdG

方程式）の導出

Fermi 準位付近のグラフェンの波動関数は，K 点と K’ 点における確率振幅を用いて ψ (r, µ, α) = √1 2 n Fµ(r, α) eiK·r+ Gµ(r, α) eiK 0_·ro = √1 2 © Fµ(r, α) eiK·r+ Gµ(r, α) e−iK·r ª (1) ψ†_(r0_{, ν, α) = √}1 2 n F† ν (r0, α) e−iK·r 0 + G† ν(r0, α) eiK·r 0o (2) µ, ν = A, B (3) と書ける．途中 K0 = −K であることを用いた．K 点の波動関数，K’ 点の波動関数はそれぞれ， ˆ F (r, α) = à FA(r, α) FB(r, α) ! (4) ˆ G (r, α) = à GA(r, α) GB(r, α) ! (5) α, β =↑, ↓ (6) である． 第 2 量子化の際には，次のような反交換関係を課す． © Fµ(r, α) , Fν†(r0, β) ª + = δµ,νδ (r − r˜ 0_{) δ} α,β (7) {Fµ(r, α) , Fν(r0, β)}₊ = 0 (8) © Gµ(r, α) , G†ν(r0, β) ª + = δµ,νδ (r − r˜ 0_{) δ} α,β (9) {Gµ(r, α) , Gν(r0, β)}₊ = 0 (10) {Fµ(r, α) , Gν(r0, β)}₊ = 0 (11) © Fµ(r, α) , G†ν(r0, β) ª + = 0 (12) ただし δµ,νδ (r − r˜ 0) = δ (r − r0) (13)

である．このとき，元の演算子は © ψµ(r, α) , ψ†ν(r0, β) ª + = δµ,ν˜δ (r − r 0_{) δ} α,β (14) {ψµ(r, α) , ψν(r0, β)}₊ = 0 (15) を満足する．

K 点，K’ 点の波動関数に対する一体の Hamiltonian は 2 次元 Dirac Hamiltonian である． ˆ H+= −i~vσ · D − µ = −i~v (σxDx+ σyDy) − µ (16) ˆ H− = −i~vσ∗· D − µ = −i~v (σxDx− σyDy) − µ (17) ただし，± は K 点及び K’ 点の指標，D = ∇ − i_~ceA はゲージ不変の微分演算子，v はグラフェ ンにおけるエネルギーに依存しない速度，µ は Fermi エネルギーを表す．スピン自由度も含め た Schr¨odinger 方程式は      ˆ H+ 0 0 Hˆ−

0

0

_Hˆ_{+ 0} 0 Hˆ−           ˆ F (r, ↑) ˆ G (r, ↑) ˆ F (r, ↓) ˆ G (r, ↓)     = E      ˆ F (r, ↑) ˆ G (r, ↑) ˆ F (r, ↓) ˆ G (r, ↓)      (18) と書ける．第 2 量子化の型式で，交換ポテンシャル V を入れた場合の Hamiltonian は， H1 = Z drh Fˆ†_{(r, ↑) G}ˆ†_{(r, ↑) F}ˆ†_{(r, ↓) G}ˆ†_{(r, ↓)} i      ˆ H++ V 0 0 Hˆ−+ V

0

0

_Hˆ_{+− V 0} 0 Hˆ−− V           ˆ F (r, ↑) ˆ G (r, ↑) ˆ F (r, ↓) ˆ G (r, ↓)      (19) となる．ここで Z dr ˆF†_{(r, α)}³_Hˆ ++ V ´ ˆ F (r, α) = Z dr ˆF†_{(r, α) (−i~vσ · D) ˆF (r, α) +} Z dr ˆF†_{(r, α) (−µ + V ) ˆF (r, α) (20)} について，1 項目は Z dr ˆF†(r, α) (σ · D) ˆF (r, α) = Z dr Z dr0 h F_A†(r, α) F_B† (r, α) i δ (r − r0) Ã 0 Dx− iDy Dx+ iDy 0 ! r0 " FA(r0, α) FB(r0, α) # = Z dr Z dr0_{δ (r − r}0₎h_(D x+ iDy)_r0F_B† (r, α) FA(r0, α) + (Dx− iDy)_r0F_A†(r, α) FB(r0, α) i = − Z dr h {(Dx+ iDy) FA(r, α)} FB†(r, α) + {(Dx− iDy) FB(r, α)} FA†(r, α) i = − Z dr h FA(r, α) ¡ −D_x∗− iD_y∗¢F_B† (r, α) + FB(r, α) ¡ −D_x∗+ iD_y∗¢F_A†(r, α) i = Z dr ˆFT (r, α) (σ∗ · D∗) n ˆ F†(r, α) o_T (21)

と計算できる．途中，反交換関係と部分積分を用いた．2 項目も反交換関係を用いることで Z dr ˆF†(r, α) (−µ + V ) ˆF (r, α)    = − Z dr ˆFT (r, α) (−µ + V ) n ˆ F†(r, α) o_T (22) と計算できる．よって Z dr ˆF†(r, α) ³ ˆ H++ V ´ ˆ F (r, α) = Z dr ˆFT (r, α) [−i~vσ∗· D∗− (−µ + V )] n ˆ F†(r, α) o_T = Z dr ˆFT _{(r, α)}³_{− ˆH}∗ +− V ´ n ˆ F†_{(r, α)}oT ₍₂₃₎ となる．同様にして Z dr ˆG†(r, α) ³ ˆ H−+ V ´ ˆ G (r, α) = Z dr ˆGT (r, α) ³ − ˆH₋∗ − V ´ n ˆ G†(r, α) o_T (24) となる．したがって H1 = 1 2 Z dr h ˆ F†_{(r, ↑) G}ˆ†_{(r, ↑) F}ˆ†_{(r, ↓) G}ˆ†_{(r, ↓) F (r, ↑)}ˆ T _{G (r, ↑)ˆ} T _{F (r, ↓)ˆ} T _{G (r, ↓)ˆ} T i ×               H++ V H−+ V H+− V H−− V

0

0

−H∗ +− V −H∗ −− V −H∗ ++ V −H∗ −+ V               × h ˆ F†_{(r, ↑) G}ˆ†_{(r, ↑) F}ˆ†_{(r, ↓) G}ˆ†_{(r, ↓) F (r, ↑)}ˆ T _{G (r, ↑)ˆ} T _{F (r, ↓)ˆ} T _{G (r, ↓)ˆ} T i† ₍₂₅₎ と書き直せる． 相互作用項は H2 = 1 2 X α,β Z dr Z dr0_ψ† α(r) ψβ†(r0) g (r − r0) ψβ(r0) ψα(r) (26) である．ここでは，spin-singlet であることを仮定し g (r − r0_{) = gδ (r − r}0_{) = gδ} µ,νδ (r − r˜ 0) (27) とする．g は負の定数で，引力相互作用であることを表わしている．このとき，反交換関係を