曲面の微分幾何と建築への応用

曲面の微分幾何 と建築への応用

兵 庫 教 育 大 学 大 学 院 教 科 内容・ 方法 開発 専 攻

L/1121431

学 校 教 育 研 究 科

認 識形 成 系 教 育 コー ス

大

川

謙

第

1章

第

2章

第

3章

第

4章

第

5章

第

6章

付録

A

付録

B

参考文献 準備

2次

曲面 曲面の微分幾何 特徴的な曲面 と建築への応用 多様体 リーマン曲面上の定理 微分積分学の諸定理 線型代数の諸定理 1 8

18

38

67

79

88

91

94

研究の 目的

本研究では

,数

学的に特徴 のある形状 をもつ曲面が用い られた建築 について考察することを目的 とする

.曲

面の形状 は

,曲

面上の各点 における曲面の曲が り方によって決定 され

,こ

の「曲面の曲 が り方」は

,数

学的には

,曲

率 とよばれ る量 を用 いて表 され る

.す

なわち

_,数

学的に特徴的な形状 の曲面 とは

,曲

率が特徴的な値 をもつ曲面であると考えられる。そこで本研究では

,曲

面の曲が り 方 を表すガウス曲率・ 平均曲率 を定義 し

,曲

面の微分幾何 について述べた上で

,こ

れ らの曲率が特 徴的な値 をもつ極小曲面や線織面 とよばれ る曲面の

,建

築への応用 について考察 をおこなう。

研究の背景

建造物 には

,様

々な曲線・ 曲面が用 いられてお り

,数

学 的な意 図 を もつて形状 が決定 された もの も少な くな い

.た

とえば

,レ

ンガ造 りの橋 を支 えるアーチには

,鎖

や ロープの両端 を固定 して垂 らした ときに自然 にできる 曲線 ―懸垂線 ―を上下反転 させた形が使われているもの が ある。 これは

,引

っ張 りに強い という特性 をもつ鎖や ロープが 自重を支 えるために形成 され る形 を

,圧

縮 に強 い という特性 をもつ レンガに応用 したものである。懸垂 線が用 い られている例 としては

,橋

のほか にも

,ス

ペイ ンの建築家 アン トニ・ ガウディの設計 したカサ 。ミラの 屋上階のアーチ構造や

,エ

ーロ・ サー リネ ンによるジェ ファーソン・ メモ リアルのゲー トウェイ・ アーチ (図 1) な ど多 くのものがある

.ま

た

,ガ

ウデ ィは

,サ

グラダ・ フアミリアな どの曲面の建築 を設計する際にも

,ロ

ープ に

_,各

ドームの重 さに対応 したお もりを吊 り下げた模型 (懸

垂模型

)を

作ることで

,曲

面の形状を実験的に決定していたことが知られている

_(p]参

照

)。 ドイツの建築家 フライ・ オ ットー も懸垂模型を用 いて

,

ドーム型の曲面建築の形状 を決定 してい る (図 2).また

,オ

ッ トーは

,ザ

_{イルネ ッ ト構造や軽量膜構造 とよばれ る曲面建築の設計で も有名}

図

1:ゲ

ートウェイ・アーチ

(出

典

:pttp・114)

である

.軽

量膜構造の最大の特徴 は

_,膜

に働 く張力に比較 して

,自

重が十分小 さい ことである。 こ の特徴のため

,軽

量膜構造の設計の際 には

,与

えられた枠 に張つた石鹸膜を用いた模型 によって形 状 を決定す る手法 を とることが多い。表面張力に比べて 自重が無視 で きるほ ど小 さい石鹸膜では, 曲面 は

,表

面積が極小 となる形 を とる。 この ような曲面 は極小 曲面 とよばれてお り

,数

学的には, 曲面の曲が り具合 を表す量の 1つ である「平均曲率」が

,曲

面上の各点で 0と なる曲面 として得 ら オ■る。 一方

,曲

面の中には

,直

線 の族 によって構成 され る曲面 ―線織面 ―が ある

.線

織面の形 をもつ建 築では

,用

い られる部材 自体 は直線でよいため

,古

くか ら建築 に応用 されてきた。 とくに

,ね

じれ の位置にある

2直

線間をむすぶ直線の族 によって形成 され る双曲放物面 (hyperbolic Paraboloid) の形状をもつ構造 は

,HP構

造 とよばれ

,様

々な建造物に用い られている。双曲放物面は

,数

学的 には

_,3次

元空間における

2次

方程式の解集合 として与 え られ る曲面

,す

なわち

,2次

曲面の 1つ である

.同

じ く

2次

曲面の1つである一葉双曲面 も

,線

織面であ り

,建

築への応用がみ られ る。 (a)マ ンハイムのマルチホール

(b)形

状発見のための懸垂模型

図

2:ド

ーム型建築と懸垂模型

(出

典

:pq)

論文の構成

第

1章

では

,第

2章

以降の準備 として

,3次

元空間内の座標変換

,外

積の定義お よび性質

,曲

線 や曲面 に関す るい くつかの定義および性質 を述べている。 第

2章

では

,1次

方程式の解集合 として表される平面の次に簡単な曲面であり

,建

築にも古 くか ら応用 されている

2次

曲面について

,「

_{到 を参考に分類を与えている。また}

,2次

曲面の中でも代 表的なものについては

,パ

ラメータ表示および図を与えている。本章で扱った

2次

曲面は

,第

3章

および第

4章

でも

,重

要な例 として用いられている。

第

3章

では

,ド

]と [η

を参考に

,ま

ず

,空

間曲線の弧長パラメータ表示を考え

,曲

線の曲がり方

を表す曲率・捩率の概念 を導入 している。そ して

,曲

面の第一基本量 を用 いて曲面の面積 を表 し,

さらに曲面の第二基本量 を用いて

,曲

面の曲が り具合 を表す量である

,ガ

ウス曲率・平均曲率の定 義 を与 えた。 また

,ク

リス トッフェルの記号 を用 い ることで

,第

一基本量 と第二基本量の両方 を用 いて定義 されたガウス曲率が

,第

一基本量 とその

2階

偏微分 までで表 され るとい う「ガ ウスの驚異 の定理」を示 している

.さ

らに

,平

面上の直線 に相 当す る

,曲

面上の測地線の概念 を導入 し

,3本

の測地線で囲まれた領域 (測地三角形

)に

お けるガ ウス曲率の積分 に円周率 πを加えた値が

,測

地 三角形の内角の和 と一致するというガウス・ ボンネの定理の証明をお こなった。 これは

,平

面上の 三角形の内角の和が π となることの

,曲

面への一般化 となっている。 また

,こ

れを用いて

,閉

曲面 全体 における大域 的なガウス 。ボンネの定理 の証明を与 えた。 第

4章

は

_,本

論文の中心的課題である

,数

学的な意味をもつ曲面の建築 への応用 について述べて い る。 とくに

,第 3章

で導入 したガウス曲率 。平均曲率が特徴的な値 をもつ曲面 については

,詳

し く考察 をおこな う。 まず

,平

行曲面 の概念 を導入す ることで

,ガ

ウス曲率が正の一定値 をとる曲面 と

_,平

均曲率が

0で

ない一定値 を とる曲面 は

,一

方か ら他方 を構成 す ることがで きることを示 し た。 また

,具

体 的にガ ウス曲率が正 または負で一定 となるそれぞれ

3種

の回転面 を構成 し

,図

を与 えている。次に

,直

線族 によって構成 され る曲面 (線織面

)に

ついて

,第

2章

で扱つた

2次

曲面の うち

,双

曲放物面 と一葉双曲面 の線織面 としての表示 を与 えた

.さ

らに

,双

曲放物面 と一葉双曲面 の作 り方に関する命題 を示 し

,具

体的な建築 に応用 されている例 を述べている。 また

,ガ

ウス曲率 が恒等的に 0と なる線織面 (可展面

)は

柱面・ 錐面・接線曲面の

3種

類 に限 られ ることの証明 を与 え

,接

線曲面 に似た形状 をもつ建築 の例 を挙 げた。 さらに

,平

均曲率が恒等的に 0と なる曲面 (極 小曲面

)に

ついて

_,表

面積が極小 となることの数学的な考察 をお こなった上で

,建

築への応用例 を 述べ

,回

転面である極小曲面 の唯一性

,お

よび

,線

織面である極小曲面の唯一性 に関す る命題 の証 明を与 えている。 第

5章

では

,「

_{鋼 を参考 として}

,曲

面を一般化 した概念である可微分多様体

,曲

面の接平面の一 般化である接ベクトル空間などの定義をおこなっている。また

,多

様体上の微分形式および微分形 式の積分を定義 し

,境

界をもつ多様体上の微分形式に関する重要な定理であるス トークスの定理を 証明なしで述べている。 第

6章

では

,接

ベク トル空間に内積の与えられた

2次

元可微分多様体 としてリーマン曲面を定義 し,リ ーマン曲面上の接続形式およびレビ 。チビタの共変微分の概念を用いて

,第 3章

で証明 し たガウス 。ボンネの定理が

,よ

リー般に

,

リーマン曲面に対 して成 り立つことを証明している。さ らに

,ガ

ウス・ボンネの定理の一つの応用であるポアンカレ・ホップの指数定理の証明をおこなっ た

.こ

_{れ らの証明の際にも [4を 参考 としている。}

本論文では,卜

1で

扱われている集合と位相に関する用語や性質は既知のものとしている。また

,

微分積分学

,線

型代数についても,そ れぞれ

pl,「

qぉ

_{ょび卜」で扱われている基本的な用語や}

性質は既知とするが

,

とくに必要と考えられる概念や記号,定理については付録に与えておいた。

1。

1 3次

元空間での座標変換

3次

元空間において

,原

点

Oと ,互

いに直交する単位ベ ク トル el,c2,C3を 定めることによって,

直交座標系が定まる。この座標系を

_{{O,cl,C2,C3)と}

表し

,{el,C2,C3}を

この座標系の基底と

よボ.

空間内に

2つ

の直交座標系

{0,cl,e2,C3}と {O′ ,Cl,Cち,Ct}が

与えられたとき

,空

間内の点P

のそれぞれの座標系における座標 にはどのような関係が成 り立つかを考 える。いま, という関係があるとする。

A=

とおくと

,c.。c′ =C:・

弓

=場

_(0,′

=

て

,{O,el,c2,C3}

諄

=

赫

+

=ξ

el+η

Cち

十

Ce:+″

oCl+蜘

e2+約

e3

=(αllξ+α12η tt

α

13C+ZO)el

十

(α21ξ+α22η +α23ξ

+蜘

)C2 +(α31ξ+α32η +α33ξ

+掏

)e3 亀 ｒ ” ｒ 豹 α３ 偽 Ｑ ＋ ＋ ＋ ＋ ｃ ｅ ｃ ｅ

¨

動

し

＋

α

２

３

〆 Ｑ ｑ ｑ ″ ・１ ・２ ・３ 一 一     α   α   α

甜

↑

ケ

↑

ｒ ｉ ｌ ｌ ′ ヽ ｌ ｌ ｌ ヽ ら カ ヽ ︱ ︱ ノ   と Ｑ の Ｑ   ン ﹂ る

α

・

２

の

の

 

も

１   １   １     ３ α   α   α     ︵ Ｚ ／ １ １ ヽ   ・ ， ヽ ︱ ︱ ノ   し ０ ０ １ 対 ，

０

・

０

 

は

従

勉

吻

噛

動

鶴

１ ２ ３ る ′

仲

感

動

０

一 一   列 ＞ ， ち 座 ニ ユ る り す

減

︲

こ関

お

*la′ _{はクロネッカーのデルタとよばれ,o=′ ならばδ} η

=1,0≠

′ならばδη

=0で

ある。

となる。 したがって,

(:)= (lli:￨1言

￨:II::警 )=ス (i)+(警

)

が成 り立つ。 これを座標変換の式 とい う。座標変換の式は と表す こともできる。

逆に

,直

交座標系

{0,cl,C2,C3}と

直交行列五および

(″o,νo,約)が

与えられたとき,座標変換

の式が上の式となるような直交座標系

{O′,cl,Cち,Ct}を

つくることができる。

1.2

外積

3次

元空間の

2つ

のベ ク トル α=(αl,α2,α3),b=(bl,b2,b3)に対 して,外積 (またはベク トル 積)α

xbを

::￨ て確かめ られ る。ただ し,ι α   ２                     っ ヽ 、 ︲ ′ ノ ー ー ー α よ ﹄ の   鈍         こ 車           算 計 ｈ Ｌ 冨 馴 鈍 ，             接

亀

﹄

Ｑ

Ｑ

 

 

 

 

疸

る

_。

力 ヽあ

﹄

降

れ

 

 

 

趾

”

暉

州

引

引

加

知

の 亀 め の 角 ﹄ ︲ α３ α α α

／

１

１

_＼

 

Ｑ

 

﹂

＝

ｂ

Ｆ

一 一       〓 〓 ｂ × α て   は し ヽリ 関   Ｑ

は

﹄

る。



↑

す   ， 義 数 定 実 と   は ｂ ｂ α   α Ｑ ＋       ｃ＞ 副 利 ＝   ｂ ， ■ υ   ■ υ                 ， α

牝

隆

具

一 一       一 一     カ

¨

  

  

 ″

い

 

 

 

 

鋭

を れ こ つ ニ ユ ｈ ソ

減

カ (1)a7×

b=―

b× a7 (ll)ι(ar× b)=(ιC)×

b=α

×(ιb) (iil)α ×

(b+C)=α

×

b+α

×C (iV)a7× α

=0

さらに,

1.2.1

外積の幾何学的性質

{α,b}が

1次

独立のとき

,α

×

bは

次のような幾何学的性質をもつ。

(1)α ×bは 0,bに直交す る。

(il)lα X blは α,bで張 られ る平行四辺形 の面積 に等 しい。 (ili){α ,b,α

×

b}は

右手系をなす。

証明 (i)(o×

b)。

α

_{=det(a,b,α)=0,(α}

×

b)b=det(0,b,b)=0よ

り成り立つ

(11)lα ×blを

,成

分 を用 い て展 開 。整 理 す る と, la7× bl=(α2b3 α3b2)2+(α3bl αlb3)2+(αlb2 α2bl)2 =(α12+α22+α

32)(b12+b22+b32)_(α

lbl+α2b2+α3b3)2 =lα

121b12_(ab)2

とな り

,こ

れ は α_,bで張 られ る平 行 四辺形 の面 積 と等 しい。 (111)det(0,b,0×

b)=(α

×

b)(a×

b)=lα ×

b12>0で

ぁ るか ら

,命

題 B.2よ り成 り立 つ 1。

3

空間内の平面

点P。 _{=(■o,拗,Zo)を}通 り,η _{=(α,ら,C)≠}

0に

垂直な平面上に点

P=(″

_{,ν,Z)があるための} 条件は,

π

P請

_=o

で表 され る。成 分 表 示 す る と, α(″_・― o)+b(ν ― 拗

)+C(Z―

掏

)=0

となり,α

=―

α "。 一bν_。―cれ とおけば, α "―+bν ―_{十CZ―十α==0} とも表 され る。

2を

,この平面 の法ベク トル とよび,と くに_lπ

_l=1の

とき単位法ベ ク トル とよぶ。 また

,点

P。 _{=(″o,∽ ,ZO)を}通 り

,点

P。 における2つの1次独立なベクトル a7=(α_l,α2,α3), b=(bl,b2,ら 3) に よって張 られ る平 面 上 に点

P=(″

,ν,Z)があ るた めの条 件 は, P。

言

_=λartt

μ

b (λ

_,μ

∈

R) □

で表 され る。 この条件 は

,Pi言

,α,bが 1次従属であることを表 しているため,

Fl″

°

ν

l∽

Zl約

￨=0

と書 くこともできる。 1。

4

空間内の曲面

1.4.1

曲線 空間内の曲線は

,Rの

区間上で定義されたtの連続関数 ″(ι),ν(ι),Z(ι)を用いて, C(ι_)=(Z(ι),ν (ι),Z(ι)) と表 され る。 これ を,ι をパ ラメー タ とす る

,曲

_{線 のパ ラメー タ表示 とい う。 ここで は空間内の曲} 線 につ いて考 えてい るが,z(ι)≡ 0と して考 えれ ば

,以

下 の ことは平面上 の曲線 に対 して もいえる こ とに注意す る。 曲線 が滑 らか な とき

,す

なわ ち,″,ν

,zが

ιにつ いて σ∞級 関数 で あ る とき

,こ

の曲線 の各点 c(ι_)にお ける接ベ ク トル は_,

o=ua動

,o←

=弊

″

=写

彦

=紛

で与えられる。さらに,曲線上の各点において

c(ι_)≠

0が成り立つ曲線を正則曲線という。

ここで,曲線

c(ι_{)=(“(ι),ν(ι),Z(ι))(ι}

∈

[α,司)に

対して

,卜

,司

から

[α,可

への単調増加関数

ι

_{=t(Z) (ι}

_(c)=α,t(α

_)=b)

が与 え られた とす る。この とき, こ(Z)・=C(t(Z)) (ι ∈[c,」) は

,曲

線c(ι_)と集合 として同じ曲線を与える

.こ

の曲線 こを曲線

cか

_{らパラメータ変換によって} 得 られた曲線 といい, とくに誤解のおそれがないときにはこ_(2)のことをc(z)と_表す。 また

,曲

線c(ι_)(ι ∈_[α,切)が, C(α

_)=C(b)

をみたすとき,c(ι)は閉曲線であるという。さらに,ιl≠ι2で あるιl,ι2∈ [α,b)に対しては, C(ι_l)≠ C(ι2) が成 り立つ閉曲線c(ι_)を

,単

純閉曲線 とよぶ。

1.4.2

曲 面

R2の

開集合 び 上で定義 された し,υ の連続関数 ″(z,υ),ν(鶴 ,υ),Z(し,υ)に 対 して, P(Z,υ

)=(バ

し_{,υ),ν(Z,υ),Z(鶴,υ))}

とおく。このとき

,pび

→R3が単射である場合に

,pり

,υ)は

曲面片を定義するという。それぞ

れ

R2の

領域 硫 で定義 され た曲面片Pα(鶴α,υα)に対 して

,空

間内の集合 ν が,

y=∪

pα_(鴫)

となっているとき

_,Mを

曲面という

.こ

の定義から

,1つ

の曲面片

pし

_,υ)は 1つ

の曲面であり

, ズ し,υ)の ことを,z,υ をパ ラメータとする曲面のパ ラメータ表示 とい う。 曲面のパ ラメータ表示P(z,υ)=(Z(%,υ),ν(Z,υ),Z(Z,υ))において,υ =ろ を固定 して しを動か した とき, C(鶴_{)・=P(鶴 ,b)=(Z(Z,b),ν (鶴,b),Z(Z,b))} は,P(し,υ)上の曲線を表す。この曲線を

,pり

,υ)の

z曲

線という。同様に

z=α

を固定して υを 動かしたときにできる曲線を,P(し,υ)の υ曲線という。 曲面P(%,υ

)=(″

(し ,υ),ν (鶴 ,υ),Z(Z,υ))に対 して,■,ν,zが 鶴,υ に関して θ∞ 級関数であり, かつ

,曲

面上の各点におけるυ曲線,υ 曲線の接ベクトル pし (Z,υ)=(″ しし,υ),%(Z,υ),れ(し ,υ)), 多ら(し ,υ)=(″ υし,υ_),場(υ ,υ),ぁ(Z,υ)) が

1次

独立で あ る とき

,す

なわち,

rank(多

多

)=2

で あ る とき,P(鶴,υ)は正則 で あ る とい う

.ま

た

,曲

面

yが

正則 な曲面片 の和集合 となってい る と き

,Mは

正則 曲面で あ る とい う。

正則 な曲面 片_P(し,υ)では

,各

点P。 =P(Zo,υ o)においてp。(z。 ,υo)と Pυ(Zo,υo)に よって張

られ る平面が定 まる。 この平面 を曲面 の点P。 _{にお ける接平面 といい}

,接

_{平面 の単位法 ベ ク トル}

η =満

を

,点

P。 における曲面の単位法ベク トル とよぶ。

また

,び

上で定義 された正則曲面P(z,υ)に ついて

,び

内の任意の点

Pで

,

のうち

,少

な くとも1つは

0で

ない。いま

,点 Pの

まわ りの十分小さい領域

y⊂

び で, 11: 務_￨≠ 0 であるとする。 このとき

,R3内

の領域

_P(y)の

_{″ν平面への射影を}y′ _とすれば

_,逆

_{関数定理 (定} 理

A2)よ

り,し,υ はy′ 上の σ∞級関数 となる。同様にして

,び

上の各点のまわ りで,(%,υ )は, (・ ,ν),(ν,Z),(Z,・)の いずれかの σ∞級写像 として表すことができることがわかる。 ここで

_,曲

面上の領域

Dが

,鶴υ平面上の領域 び で定義された正則な曲面片P(し,υ_{)と ,ξ}η平面 上の領域

yで

定義された正則な曲面片9(ξ,η)に 含 まれているときについて考える。いま,

pび

→P(び

), 9y→

c(y) はそれぞれ全単射であるから

,逆

写像が存在する。そこで, ク

.=p-1(D),

フ・

=9 1(D)

とお くと

,同

相写像

9:=lp 11D)。

(c障

)フ

→」

が得 られ る。また

,91yは

σ∞級写像であ り

,先

に述べた ように

,び

上の各点のまわ りで(%,υ) は,(Z,ν),(ν,Z),(Z,")の いずれかの σ∞級写像 として表 されることか ら

,9は

θ∞級写像 となっ ている。同様に

,逆

写像

9 1も

σ∞級である。この写像

9(ξ

,η

)吟

し,υ

)=0(ξ

,η ),υ(ξ,η )) を

,座

標変換 という。また

,合

成関数の微分公式から, ヽ １ ︲ ′ ／ 物 飾 物 ｔ 欽 そ ／ １ ヽ 〓 ヽ ︱ ノ ％ ％ ｔ ｔ ／ １ １ ＼ ヽ ｌ ︲ ︲ ′ ／ Ъ ％ ろ 為 ％ れ ／ １ ︲ １ ＼ が成 り立ち

,rank(賛

務

)=2で

あるから,

det(:: :I)≠

0 でなければならない。この行列

(:: :￨)を

, 座標変換

_9の

_{ヤコビ行列 」り とよび}

,,ヤ

コビ行 列式det(」

9)>0の

ときりは正の座標変換

,det(J9)<0の

とき

_9は

負の座標変換であるという。

逆に,曲 面

pC,υ )と

,θ∞級写像 ψ

:(ξ,η

)吟

9(ξ,η

)=(Z(ξ

,η ),υ(ξ,η))で

,各

(ξ,η

)で

det(J9)≠

0で

あるものが与えられたとする。このとき,逆 関数定理

(定

理

A2)よ

りθ∞級であ

る9 1が存在し

, ,(ξ,η

)=P(9C,η

))

は,曲 面

P(z,υ )と

集合として同じ曲面を与える。この

,(ξ,η)を

,曲面

P(z,υ)か

ら座標変換9に

よつて得られる曲面といい

,誤

解のおそれがない限り

,P(ξ,η)と

表す。

命題

1.1曲

面

P(z,υ)と

,座

標変換 9(ξ

,η

)→

9(ξ,η)=(Z(ξ,η ),υ(ξ,η))に

よって得られた曲

面

P(ξ,η)に

対して

, 満

=土

赫 が成 り立つ。 ただ し

,正

負 の符号 はヤ コビ行列式 の符号 と一致 す る。 証 明 合成 関数 の微分公式 を用 いれ ば, pξ ×pη _=(zξ″し

+驚

_{Pυ)× (Zη}pし+υ_ηpυ_{)=det(」9)pし} ×pυ とな る。したが ってpξ ×pη と_{Pし ×物 は}

,det(J9)>0の

とき同 じ向 き,det(Jり

_)<0の

とき逆 向きとなることから

,命

題が成 り立つ。

□ ここで

_,偏

微分可能な ″,ν,zの 関数F(″,ν,Z)を 用いて, F(″,ν

,Z)=0

で与えられる集合を考える。ただし,各点で

,島

,ら ,民

の少なくとも

1つ

は

0で

ないとする。た

とえば

_,F(″,ν

,Z)=0上

の点

P。 =(″o,∽,る)に

おいて鳥 ≠

0の

とき

,陰

関数定理

(定

理

Al)

から,点

P。

の近傍で

F(″,ν

,Z)=0を

zに

ついて解き

,z=∫

(″ ,ν)と

表すことができる。このと

き

,P(・,ν)=(″,ν,∫(",ν))と

すれば

,

2=(1,0,ん

), pυ =(0,1,ん), p“

×

pυ

=(―

_ん

_,一

_ん

_,1)≠0

であるから

,z=∫

(Z,ν)は

点

P。

の近傍で正則な曲面片を表し,曲 面上の点

P。

=(zo,艶

,ZO)に お ける接平面 の方程式 は,

一■ズ″―″

o)一

ん

(ν

一νo)+(Z― 掏

)=0

と表される。ここで

,F(",ν ,Z)か

ら陰関数定理によって得られた

z=∫

(″ ,ν)の

偏微分は

,そ

れぞ

れん=―鳥

/鳥 ,ん

=―為

/鳥

であることから

,両

辺に鳥 ≠

0を

掛ければ,接平面の方程式は

, 島(″_・―

o)+乃

(ν ―蜘

)+鳥

(Z―

Zo)=0

となる。 鳥 ≠0,乃 ≠0の ときにも同様に考えれば,F(■,ν

,Z)=0は ,正

則な曲面片の和集合 となって お り

,正

則曲面を表すことがわかる。さらに

,接

平面に関 して次の命題が得 られる。 命題 1.2F(″,ν

,Z)=0で

表される曲面の

,点

P。 =(■o,蜘,約)に おける法ベク トルは

(島(Zo,νo,ZO),FtJ(Zo,釣 ,約),鳥(″o,∽,約))

であ り

,接

平面 の式は

翼 ズ ″o,蜘,約)("一″_{o)+ら (″o,釣,約)(ν ― 蜘 )十鳥 (″0,節,ゐ)(Z―掏 )=0}

第

2章

2次

曲面

最 も簡単 な曲面 として は

,平

面 が あ る。平面 は前章でみた ようにz,ν_,zの

1次

方程式 α″+bν

+α

+α

=0

をみたす点の集合 として与 え られ る。本章 で は

,次

に簡単 な曲面 と考 え られ る,″,ν,Zの

2次

方程 式 で表 され る曲面

-2次

曲面 ―の分類 を与 え る。 その際

,「

_4で

扱 われ てい る線型代数学 に関す る 基本 的な命題・ 定理 につ いて は既知 の もの としてい るが,と くに必要 な ものにつ いて は

,付

録

Bに

証 明 な しで述べ てい る。 2。

1 2次

曲面

実数 αη(o,′

=1,2,3)と

bl,b2,b3,Cを 用 いて,″,ν,zの

2次

方程式 F(Z,ν

_,Z)=α

ll・

2+α

22ν

2+α

33Z2+2α23ν

Z+2α

31ZZ+2α12Zν+2bl″ +2b2ν

+2b3Z tt C=0

をみたす点の集合 として与えられる曲面を

2次

曲面 という。ただし

,2次

_{の係数 αη}(o,′

=1,2,3)

の少な くとも1つは

0で

ないとし,αzθ

=%。

とする。 こ こ で,

ス

== (￨:￨ ￨:: ￨::) , b:==(bl,b2,b3)

ジ

1 = (11 i:)

と定め

,ジ

ーゲルの記号

: を用 いれ ば, F(″,ν

,Z)=ス

[",ν

,Z]+2b(■

,ν

,Z)+C=ス

レ

,ν,Z,11 と表す ことができる。 ＼ ︱ ︲ ︲ ｌ ノ ｚ ν ｚ ｌ ／ ｆ ︲ ︲ ︱ ＼ ＾ ス １ Ｚ ν Ｚ 〓 Ｚ ν レ ＾ 五 ヽ ｌ ︲ ′ ／ ″   ν ｚ ／ ′ ︲ ︲ ︲ ︲ ヽ ヽ ス Ｚ ν Ｚ 〓 Ｚ ν レ ス

ヽ ︱ ︱ ︱ ノ   座                 ｃ

＾

ノ

 

 

 

 

， Ｐ



 

 

 

 

 

 

 

／﹂

ド

ヽ

ヽ

肌

ｒ

ｒ

一

 

︲

_＋

_２

_ｂ

¨

あるいは, F(″,ν

,Z)=ス レ

,ν

,z,1]=tpス

pに,η ,ξ,11

となる。ここでス

,ス

が対称行列であることから

,ι

PA民 呼磁pも 対称行列であることがわかる。

したが って, この

2次

曲面 の式 を F′_{(ξ,η ,ξ}

)=五

′

_に

_,η,(1+2b′ (ξ,η ,ξ)+C′

=ス′

に

,η

,c,11=0

(ス

′

,″

は対称行列

)と

すれば

, ス′

=tPA二

_{b′ =((″0,約,約)ス}

_+b)二

_ご

_=F(″

_0,νo,約

_),

_ス′

_=tpス

_♪

が成 り立つ。二

pは

直交行列であるから

,A,ス

の行列式det,階数rankおよび符号数sgnは座標 変換に対 して不変であることがわかる。ただ し

,実

対称行列の符号数 とは

,正

の固有値の個数 と負 の固有値の個数の差を表す。 ここで

,2次

_{曲面がある点に関して対称 となる条件について考える。このような点が存在すると} き

,そ

の点を

2次

曲面の中心 という。

2次

曲面の中心が存在するとき

_,中

_{心を原点 とするような座} 標変換 をおこなえば,F′(ξ,η

,C)=0を

みたす(ξ,η ,ξ)は ,F′_(―ξ,一η,一ξ

)=0を

みたす。 よっ て

,2次

曲面上の各点_(ξ,η,C)に おいて, ス′_K,η,ξ]+2b′ (ξ,η ,ξ

)+ど =五

′[―ξ,一η,一ξ]+2b′ (―ξ,―η,―ξ

)+Cr

が成 り立ち,b′

=oと

ならなければならないことがわかる

,逆

にb′

=oと

なるような座標変換を おこなえば

,2次

_{曲面は原点に関して対称 となる。したがって}, b′ =((″_o,卸,約

)A+b)P=0

とな るよ うな座標 変換 を考 えれ ば よい。い ま

,Pは

正則行列

,ス

は対称行列 で あ るこ とか ら

,こ

の 条件 は ・ (努

)=―

(￨:) となることと同値である。ゆえに

,И

I≠

0の

とき

,上

の式をみたす(″0,∽,約)は 一意的に定ま り

,2次

曲面の中心が一意的に決まる。このような

2次

曲面を有心

2次

曲面 とよび

,中

心が一意的 に定まらない

2次

曲面を無心

2次

曲面 とよぶ。

2.2 2次

曲面の分類 と標準形

実数 αη(o,′

=1,2,3)と

bl,b2,b3,C,お よび

,前

節で定めた ■,b,ス を用いて, F(″_{,ν,Z):=αll″}

2+α

_22ν

2+α

_33Z2+2α23ν

Z+2α

_31Z"+2α12″ν+2bl″ +2b2ν

+2b3Z+C

=ス レ

,ν

,Z]+2b(″

,ν

,Z)+C=A[″

,ν,Z,11 とした とき, F(″,ν

,Z)=0

で与えられる

2次

_{曲面の rankス ,rankス による分類を考える。ただし,α}z′ (0,′

=1,2,3)の

少な くとも1つは

0で

ない とし

,■

,ス はその定め方から

,零

行列でない実対称行列である。 ■ は実対称行列であるから

,定

理

B2よ

り固有値は実数である。 この固有値を αl,α2,α3と した とき

_,定

理

B3よ

り,

tPAP=(1 1 1)

となる直交行列

Pを

つ くることができる。 この直交行列

Pを

用いて

,座

標変換の式が (I)=P (i)

となるような座標系

(ξ,η,C)を

とると

,2次

曲面の方程式は

,

スレ

,ν

,Z]+2b(",ν

,Z)+C

=tPAPIξ

,η ,ξ]+2(bP)。 (ξ,η

,C)+C

=α

lξ

2+α

2η

2+α

3(2+2biξ +2bち

η

+2b:ξ

+c=0

となる。ただし

,(bl,bち

,b3)=bPと おいた。

改めて

(ξ,η ,ξ)を (z,ν,Z)と

して

,bl,bち,b3を bl,b2,b3と

してとりなおせば

, F(″,ν

,Z)=α

lZ2+α

2ν

2+α

3Z2+2bl″ +2b2ν

+2b3Z+C=0

ここか ら, とも

1つ

は

0で

ないか ら, rank五 _≠

0で

ある。 (I)rank五

=3の

場合 このときαl≠0,α_2≠0,α_3≠

0で

あるから, F(″,ν

,Z)=α lZ2+α

2ν

2+α

3Z2+2bl■+2b2ν

+2b3Z+C

=α

l(Z+:キ

)2+α

2(γ

■

::)2+α

3(Z+::)2+ど

と平方完成できる。ただ し,ご

=c―

生重_二重 _二_{重 とぉぃた。 したがって}

_,座

_標変換 `Vl (12 Cγ3

(i) = (:)+ (￨:′ i:)

をお こなえば

,2次

曲面の方程式 は αlξ

2+α

2η

2+α

3(2+c′

=0

となる。 さらにこの とき, る             く な             な

狂

ハ

Ｊ

秒

こ               ゝ つ 類     一 一       ， 分     五     し

¨

血

う

_。

た

だ

２             な い           値 と             の γ β α 数 実   ０ ⇒ ⇒ ⇒ な         一 一     一 一     一 一     〓 当 五 五 五 五 適 ｇｎ ｇｎ ｇｎ 騨 ざ   ｓ ｓ ｓ ｓ う 。 ヽえれ きる ． ︲〓２ ︲〓０ ︲〓２ ︲〓４ ＾ ス     ︿ Ａ     ＾ 五     ＾ 五 ｎ ｎ ｎ ｎ ｇ ｇ ｇ ｇ ｌ         ｌ ｌ     ｌ     一 一     一

♂

_一

デ

♂

_一

デ

で

マ

♂

_一

γ

２

升

升

工

″

弁

弁

弁

幕

弁

面   面     ︰ ・ ・   曲   曲   面

師

靭

靭

翻

楕     一     一 一   虚

そ

_＾

こ

_¨

で

_，

¨

¨

る 。 ｒａ こ を

も

＜

．

＞

(11)rank五

=3の

場合 この とき ご

=0で

あるか ら

,必

要 に応 じて座標軸 を とりかえれば

,適

当な実数 α,β,γ を用 いて

,2次

曲面の方程式は次のいずれかの形 に変形できる。

十

_手

=0師

幻―

Sgn到

_=助

―

_手

=0師

A Sgn川

=⇒

(II)rankス

=2の

場合 必要であれば座標軸をとりかえることで,α l≠ o,α_2≠ 0,α

3=0と

してよい。このとき, F(″,ν

,Z)=α l%2+α

2ν2+2bl″+2b2ν +2b3Z tt C

=α

l(″

+:キ

)2+α

2(ν

+:i)2_卜

2b3Z+ご

となる。ただし

,cr=c_塾

重

_墨

_{重とぉぃた}

_.さ

_{らにこのとき}

, α_l α2 となる。ここから

,rankス

の値によってさらに細かい分類をおこなう。

(1)rank A=4の

場合 このとき

,b3≠

0で

あるから, F(",ぃ

Z)=α

l(″

+:き

)2_+α2(ν

+:急

)2_+2b3(Z 卜

尭

) と平方完成できる。 したがって

,座

標変換 (i) = (:)+ (携 :) によ り

, 2次

曲面 の方程式 は ヽ １ ︲ ︲ ︲ ′ ／ ０ ０ 亀 び ０ ０ ０ 亀 Ｏ α２ ０ ０ 鈍 ０ ０ ０ ／ １ ︲ ︲ ︱ ＼ となる。 を用いて, た 次   ｒ ｌ り ヽ ｉ ｔ し αlξ

2+α

2η2+2b3ξ

=0

がってこのとき

,必

要に応じて座標軸をとりかえれば

,適

当な実数 α,β のいずれかの形に変形することができる。 翻 勘 面

:手

十 多

=2ξ

伸 均 Sgn川

=幼

幼 鋤 面

:S―

多

=て

師 均 Sgn川

=o

(11)rankス

=3の

場合

このとき

b3=0,C/≠ 0で

あるから

,

■

■

%の

=■

+

と平方完成できるので

,座

標変換 ' (i) = (:)+ (::￨]:) をおこなうと

,2次

曲面の方程式は αlξ

2+α

2η

2+ど

=0

の形になる。したがって必要に応じて座標軸をとりかえれば

,適

当な実数 α,β を用い て

,次

のいずれかの形に変形することができる。 Ｃ ＋ ヽ １ ′ ノ の 一 の ＋ ν ／ １ ＼ α ＋ ヽ １ ′ ノ ﹄ 一 鈍 楕 円柱面

:

手 十_多

=1

双

曲

柱

面

:

_手―

:9=1

虚楕 円柱面

:

手

+多 =-1

(ISgn41=1,ISgnス

￨=2)

(ISgn五￨=1,ISgnス

￨=0)

(ISgnス￨=3,lsgnス

￨=3)

(111)rankA=2の

場合 この とき

b3=Cr=0で

, により

,2次

曲面の方程式は ヽ １ ︲ ′ ／

わ

た

ｏ

ｂ ｂ ／ ｆ ︲ １ ＼ ＋ ヽ １ ︲ ′ ノ ｚ   ν   ｚ ／ ′ ︲ ︲ ︲ ヽ ヽ 〓

融

０

座 て 用                       き ， を と β ，                           の α       場   の       こ 数         一 一     一 一         ・

蒔

押

掏

一

ば         ＾ 州     ＾ ■         ０

０ 



な

 

 

 

 

﹄

¨

 

 

_ｇｎ

 

 

 

 

〓

一 一   か       ０   ０       α 〓 υ           ︵ Ｕ ︶                       ， “ 一         一 一             α

一

″

ゲ

一

″

 

 

却

Ｔ         一                 １

一

′

２

■

′

 

 

 

範

と じ   こ             ｍ         な 応 る

必

_物

要

︲

こ

 

・

¨



”

 

 

 

¨

一

¨

︲

_直

_線

︲

_一

_ｒ

_、

妨

_﹃

し れ 。 ず

る

い

 

 

 

 

 

¨

_¨

な の と 次 (III)

で と こ る ヽ え ＼ ︱ ︲ ︲ １ ／           ヵ Ｏ め ﹄ ご         り       ｚ と         亀

評

 

 

 

 

 

 

働

＜

．

＞

(:)= (う

)―

(:i(it)

α

lx2+2b2y+2b3Z=0

cos

θ

_==b2/ヽ/b22.b32, sll.θ ==b3/ヽ_{//b224_b32} に よって となる。 さらに θを, ヽ ｌ ︲ ′ ノ Ｆ ヽ η ξ ／ ｆ ｉ ｌ ヽ ヽ １ ︲ ′ ノ Ｏ ｓ・ｎθ ｏｓθ 一   Ｃ θ θ Ｏ ｏｓ ｉ_ｎ Ｃ   Ｓ みたすように定め

,座

標変換 (う )=(: をお こなえば

,2次

曲面の方程式 は

α

lξ2_.2、

/b2 +b3

η

==0

となる。したがって

,適

当な実数α≠

0を

用いて,次 の形にできる

.

ξ

2_4α

η

=0(放

物柱面

)

(il)rankス

=2の

場合 この とき

_{,b2=b3=0,Cr≠}

0で

あるから, αlξ

2+ご

=0

となる。 したがって

,適

当な実数 α≠0を用いて

,次

のいずれかの形に変形すること ができる。

{看

'こ

I]‡

面

:」 If二 1樽

_1二

:=1二

]

(111)rankス

=1の

場合 この とき

b2=b3=び

_=0で

あるから

,2次

曲面の方程式は

平面

:

_ξ

2=0(lsgn4=lsgnス

_￨=1)

となる。 以上の ことか ら

,2次

曲面 は

,表

2.1の ように分類することができる。 rankス

=4で

ある虚でない

2次

曲面

,す

なわち

,楕

円面 。一葉双曲面 。二葉双曲面 。楕円放物 面・双曲放物面の

5種

類を固有

2次

曲面 という。これらの曲面の概形は図

21の

ようになる。 2。

3

接平面

前節 まで と同様 に

,2次

曲面 が F(",ν

_,Z)=α

_llχ

2+α

_22ν

2+α

_33Z2+2α23ν

Z+2α

31Z″ +2α12″ν+2bl″ +2b2ν

+2b3Z+C=0

で与 え られ て い る とす る。 この とき, 鳥 (・ ,ν,Z)=2αll″ +2α12ν+2α

13Z+2bl

乃 (",ν,Z)=2α21″ +2α22ν+2α

23Z+2b2

鳥(",ν,Z)=2α31″+2α32ν +2α

33Z+2b3

で あ る。 したが つて

,命

題

12に

よ り

,2次

曲面 上 の点 (z。 ,νo,約)にお け る接 平 面 の方 程 式 は, (αllZo+α12節 +α13掏+bl)(″_・― o)+(α21″

0+α

22蜘 +α23ゐ +b2)(ν νo) +(α31■

0+α

32節 +α33匈

+b3)(Z 絢

)=0

とな る。 点 (z。 ,νo,約)は

2次

曲面 F(■,ν

,Z)=0上

の 点 で あ るか ら

,一

bl″。― b2節

b3ZO=

bl″_0+ら2節

+b3約

+Cが

成 り立 ち

,接

平 面 の方程 式 は

(αll・

o+α

12節+α 13ZO+bl)″ +(α21″

0+α

22ν

O+α

23れ +b2)ν

十(α31″

0+α

32節 +α33豹

+b3)Z+blZo+b2節

+b3掏

+C=0

(a)楕円面 (b)一葉双曲面 図 2.1:固 有

2次

曲面 (c)二葉双曲面 (e)双曲放物面 (d)楕 円放物面

rank И rankス _ISgnス ￨ ISgn41

2次

曲面 標 準形 4 3 2 Ｏυ _{楕 円面} 〓■■ ′ 一 ′ ＋

′

フ

＋ ′ 一 ′ 4 3 0 1 一葉双曲面 １ 〓 ′ 一 ′ 一 ノ フ ＋ ′ 一 ′ 4 3 2 1 二葉双 曲面 手

+手

―手

=-1

4 2 2 2 楕 円放物面

ノ

フ

＋ ′ 一 ′ 〓 Ｚ 4 2 0 0 双曲放物面

ノ

フ

＋ ′ 一 ′ 一 〓 Ｚ Ｏ υ _{3 1}

2次

_錐面 手

+手

―手

=0

3 2 2 楕円柱面 〓１ ノ フ 十 ′ 一 ′ 3 2 0 双 曲柱面 〓■■

ノ

フ

一 ′ 一 ′ 3 1 放物柱面 手 十 手

=-1

2 2 0 0 交 わ る

2平

面 多 ― 手 =1 2 0 1 平行

2平

面

z2_α2=0

3 3 3 3 点 ０ 〓 ′ 一 ′ ＋

ノ

フ

＋ ′ 一 ′ 2 2 2 2 直 線 〓０ ノ フ ＋ ノ 一 ′ 1 ■ ■ 1 平 面 π

2=0

4 3 4 Ｏυ _{虚楕 円面} 手

+手 +手 =-1

3 2 3 2 虚楕 円柱面 ′ フ ＋ ′ 一 ′ _=-1 2 2 1 虚の平行

2平

面

z2+α2=0

表

212次

曲面 の分類

第

3章

曲面の微分幾何

本章で扱 う曲線 。曲面 は

,そ

れぞれ正則曲線 。正則曲面であるもの とし

,関

数 は σ∞級であるも の とする。曲面の微分幾何では

,基

本的には1つの正則な曲面片 に注 目する。そのため微分幾何 に おいては

,曲

面上の各点にお ける量が

,そ

の点を含む曲面片の とり方 によらないこと

,す

なわち, 座標変換 によって不変な量であることが重要 となる。

3.1

空間曲線 の曲率

0捩

率

ιをパラメータとする区間レ

,司

で定義された曲線

c(ι

)=(″

(t),ν(ι),Z(ι))の

長さ

(弧

長

)五(c) は

五

(C)=ノ

ibl(11)2+(1等

_)2+(1等

_)2油

ι

=」

4bヾ

π

2+ν

2+z2(洸

_=ノ

iblこ (ι)1洗 で与 え られ る。 命題 3.■ 曲線 の長 さは曲線 のパ ラメー タの取 り方 に よらない. 証 明 パ ラメー タ変換 によって曲線 の長 さは不変で あるこ とを示せ ば よい。

区間

_b,司

上で定義された曲線

c(ι

)=(・

_{(t),ν(t),Z(t))を}

考える。区間卜

,司

からし

,司

の上への

単調増加関数ι

=ι (z)(ι(C)=α

,t(d)=b)に

対して

,こ

_{(Z)=C(t(Z))(Z∈}

_卜

,切)の

長さ五

(こ )

は

, L(こ

)=Iα

l(1:)2+(1:)2+(1争

)2α

z=Idl(1静

)2+(1等)2+(1等

)21争

α

鶴

=Ibl(1静

)2+(1等)2+(1静

)2満

ι

=L(C)

となり

,パ

ラメータ変換によって曲線の長さは不変であるから

,曲

線の長さは曲線のパラメータの 取 り方によらない。

□

パラメータ表示された曲線

c(ι

)=(″

_{(ι),ν(ι),Z(ι))(ι}

∈レ

_,切)に

対して

,区

間

_la,」

に対応する

部分 の長 さs(ι_)は

0=ItK劇

洸

で与えられる。両辺をιで微分すれば

,c(t)≠ 0よ

り

穿

=IC(ι

)￨>0

が得 られる。このことから

,曲

線の長さ

J=Z(C)と

おけば,S(t)は区間b,司 から Ю,司 への全単 射である単調増加関数 となっている。 したがつて

,逆

関数定理 (定理

A2)よ

りι(s)も sに 関 して σ∞級 とな り

,パ

ラメータ変換によって, C(S)。_=C(ι(S)) と表す ことがで きる。 このパ ラメータ sを 曲線の弧長パラメータ とい う。

ご

_(S)=#洸

C(t)

αS IC(ι)￨ であるか ら, とくに_lc′

_(s)￨=1で

あることがわかる。

3.1.1

平 面 曲 線 の 曲率 弧長パラメータ表示された平面曲線 c(s)=(″(S),ν(S))を考える。 このとき,

2(S)=(一

ν′(S),"′(S)) は,Cr(S)=(″′(S),ν′(S))と直交す る単位ベ ク トル となる。 この η(s)を

,曲

線上の点 c(s)に おけ る

,進

行方向に対 して左向きの単位法線ベク トル とい う。 いま,c′ c′

=1の

両辺 を微分すれば, ご′_(S)C′

_(S)=0

が得 られ る。 したがつて,c″(S)は C′_(S)に直交す るか ら

,実

数 κを用 いて ご′_{(S)=κ(S)η (S)} と表す ことがで きる。 この κ_(s)を平面曲線 c(s)の 曲率 とよぶ. 3.1。

2

空 間曲線 の 曲率・ 捩 率 弧長パラメータ表示された空間内の曲線c(s)=(Z(S),ν_(S),Z(S))を考える。 C(S)=C′ _(S)

κ_{(S)2(S) C(S)} 2(5) C′_(S) C″_{(S)=κ (S)η(S)} (b)κ

(S)<0の

場合 C′′_(S)= (a)κ

(S)>0の

場合 図3.1.平面 曲線 の曲率 とすれ ば

,lc(S)￨=1で

あ る。 これ を空間 曲線 の単位接ベ ク トル とい う。 ここで, の両辺 をsで微分 すれ ば, C′

(S)C(S)=0

を得 る。 したが って,c′(S)は 単位接 ベ ク トルc(s)と直交 す る_{.κ (s)=IC′(S)￨}

率といい

,κ(s)≠

oの

とき

,c′(s)方

向の単位ベクトル,す なわち

C(S)C(S)=1 を曲線 c(s)の 曲 を主法線ベク トル とい う。 さらに,

20=器

以下では

,κ(S)≠

0で

あるとする。

b(S):=C(S)× _η(S) と定義 し

,従

法線ベ ク トル とよぶ。外積 の性質 か らb(s)は C(S),電_{(S)の 張 る平面 に直交 す る。} ここで η・π

_=1を

微分 す る と ″ η

=oと

な るか ら

,η

′_{(s)は η(S)に 直交 す る。 したが って}, η′_{(S)は C(S),b(S)の}

1次

結合 として表 され る

.こ

の ときのb(s)の係数

7,す

なわち 7(S):=η′_(S)b(S) を曲線c(s)の捩率 とい う

.ま

た,c・

2=oを

微分 す る と, C′・η

+e

π′

=κ

π 。

2+cげ

=κ

tte

η′

=o

で あ るか ら, η′

_(S)=―

κ_{(S)e(5)+7(S)b(S)} であ るこ とがわか る。

図

32空

1間

曲線

c←_)の

主法線ベクトルー

η

_ls)と

従法線ベタトル

b(sl

3.2

≦圏開

tザ

)

本節を通

￨し

て

,vほ

R2の

領域を表すものとする。

関数‐

ノ

:び

→

lRに

対し

_,そ

のし

_,υ)∈

びにおける微分ヴリ

_,″

_)細

酔→

Rを

,

0←

,→

_)(o,0=:ん

_0,υ)a十

九

(%o)b

によつて定める。こ―

のとき

,″

0,υ)力

鞣型写像であることは容易にわ―

かる。いま

,%υ

をそれぞ

れび上で定義された

C°

・級関数と考え

,そ

の

￨に_,)に

おける微分を求めると

, (れ

にυ

))に

b)=% (昴

(■ ,υ))(a,0=ι

であるから―

,各

(電:→

∈びにおける∫の微分は

,

″しb)=ん

0,υ

)れ

し

,0+‐

んし

,υ

)れ

し

,0

と表すこと力ゞ

できる。

さらに

,関

数∫

=び

→

Rの

動

″ を

,

″

:=・_{IdJし,υ)}←}

_″

_)cy

と定義する。また

,関

数 ∫

,ク

ty→

Rに

関し―

■ 全微分

4む

の和ぽ

+々

,お

よび

:″

の0倍

クげ を

,

″

+4声

=〔

_″

(・ ,υ

)+む

(し,υ)}(・p)(●

, gヴ

:=‐

七れ

,→

″し

,。)}(ヽ

→

cυ

と定める。このとき

,∫

の釧 分げ は

,

″

=ん

れ

+ん

あ

と表すことができる。

全微分について,以 下の公式が成り立つ。

(1)ご(∫

+g)=げ +の

(il)α(∫

g)=ク

″

+∫

む

次に

,2つ

の関数∫

,gび

→

Rの

全微分げ

,む

の積″の を定義しよう。まず,c,υ

)∈

びにお

いて

_,げ

_む

_)(0,υ

_):R2×

R2→ Rを

,α

,bc R2に 対して

,

(げ

の

)し,υ))(0,b)・

=げ

°

'υ ))(α)(の(し ,υ

))(b)+げ

(Z,υ))(b)(の C,υ))(a) 2

であるものと定める。これを用いて,全微分J,む の積

Jヵ

を

,

げの

={げ

の

)(Z,υ)}(し,0∈

び

と定義する。このとき,び 上の関数∫

,g,ん

の全微分〃

,の,α

んに対して

, (i)″

む

=の

げ

(11)J(む +α

ん

)=げ

む

+″

dん

が成り立つ。以下

,″

とィの積

Jげ

はげ

2と

表す

.

3.2.1

ベク トル値関数の全微分

R2の

領域 び に対 して

,ベ

ク トル値関数

P

び →

R3が

,P(z,υ

_)=(″

_し,υ ),υ(Z,υ),Z(Z,υ))に よって与 えられている とす る。 この とき

,Pの

全微分 の を

,Pの

各成分 ″(鶴 ,υ ),ν (鶴 ,υ),Z(し,υ)の 全微分 を成分 として もつ もの として定義す る。すなわち,

の

=(山

,ぬ,αZ) =(″しれ +″υあ

,%れ +%あ

,れα鶴

+ろ

あ) =(″し

,%,れ

)αυ+(″υ,ぃ,ろ)あ =pしα

z+pυ

αυ である。 2つのベク トル値関数

p:び

→

R3,9び

→

R3の

座標関数 を, P(Z,υ

)=(・

(υ ,υ),ν(し ,υ),Z(Z,υ)), 9(し,υ)=(ξ(し ,υ),η(Z,υ),ξ (υ ,υ) とする。その全微分

ф

=(α ",ご

ν

,α

z)=pし

ご

%+pυ

α

υ

,

α

9=(dξ

,α

η

,α

ξ

)=9し

ご

Z+9υ

dυ

に対して

,ф

“

を

,R3の

標準的な内積と同様に

,

確

)。

α

g。=αZα

ξ

+α

ν

α

77+αZα

ξ

=lpし 9し

》施

2+0し

.%+%〆

pυ)あ

あ 十

(pυ

%)あ

2 と定義する。

3.2.2

曲面 上 の 関数 曲面 ″ 上の関数 ∫:″ →

Rを

考える。曲面 χ に含まれる

,び

上で定義された曲面片P(z,υ) 上 で は,

∫

(Z,υ)。

=∫

lp(Z,υ))

と考えることで

,∫

をび上の関数とみなすことができる。この∫

(z,υ)を

,曲 面上の関数∫のび

における局所座標表示という。ここで

P(z,υ)か

ら座標変換

9(ξ

,η

)吟

(Z(ξ,η ),υ(ξ,η))に

よっ

て得られる曲面

P(ξ,η)を

考えると

,∫

のξη平面上の領域

yに

おける局所座標表示∫

(ξ,η)が

得ら

れる。このとき

,y上

の関数としての∫

(ξ,η)の (ξ,η)に

おける微分げ

(ξ,η)に

ついて

, J(ξ,η

)=た

α

ξ

(ξ,η

)+島

蒟

(ξ,η)

=(九

Zξ

+ん

■

_)((ξ,η

)+(ん

Zη

+ん

υ

_η

_)鉤(ξ,η)

=ん

(Zξ

質

(ξ,η)+Zη

鉤

(ξ,η

))+ん

(υ

ξ

質

(ξ,η)+υ

η

動

(ξ,η))

=ん

(ξ,η)あ(ξ,η

)+ん

(ξ,η)あ(ξ,η)

が成り立つ。したがって,関 数∫を

y上

の関数としてみたときにも,全微分げ は

,

J=九

れ

+ん

あ

と表され,曲 面上の関数∫の全微分げ は座標変換によって不変であることがわかる。

このことから,曲 面

pし

_,υ)上

_{で定義されたベクトル値関数}

_9(z,υ

_)=(″

_{(Z,υ),ν(%,υ),Z(Z,υ))}

の全微分α

9の

各成分あ

,α

ν

,αzは

座標変換9(ξ

,η)吟 (Z(ξ,η ),υ(ξ,η))に

よって変わらない

,す

なわちご

_{9が座標変換によって変わらないことがわかる。}

3。

3

第一基本形式

曲面P(z,υ)の 第一基本形式 Iを,

I=の

_の =Pυ Pし激′+2Pυ pυ αzαυttpυ pυごυ2 によって定義する。全微分 の が座標変換によって不変であるから

,第

一基本形式Iも座標変換に よつて不変である。

さらに,pし,pυ 間の内積で与 えられ る

3つ

の関数

E:=p%pし

_{, F=pし}

pυ _{=pυ pし}

, G=Pυ

_Pυ を第一基本量 とよぶ。第一基本量をもちいれば第一基本形式 Iは

I=Eα

鶴

2+2F

α

υ

α

υ

+G dυ2==(α

し

,α

υ

)(F g)(:サ

) と表 され る。 ここで_{,P(%,υ )が}正則 曲面 で あ る とき, lpし X Pυ12=lpし121pυ12_(pし pυ

)2=EG_F2>0

で あ る こ とに注意す る。

定理

3.1%υ

平面上の領域びで定義された曲面

pり

,υ)の

面積Sに ついて

,

S=lluν

ttG―

F2ご

しα

υ

が成り立つ.た だし

,E,ュ Gは

曲面の第一基本量を表す。

この定理の証明については

,「

qな

どの標準的な微分積分学の教科書を参照していただきたい。こ

の定理から, α

S=√

百

G―

F2αz αυ とおき

,曲

面P(z,υ)の 面積要素 とよぶ.

ここで,座標変換によって第一基本量がどのように変わるかをみておく。曲面

pり

_,υ)の

_第一

基本量を

E,民

Gと し,座標変換

9:(ξ,η

)吟

_0(ξ,η ),υ(ξ,η))に

よって得られるパラメータ表示

P(ξ,η)=P(Z(ξ,η ),υ(ξ,η))の

第一基本量を

E,F,Gと

する。し

,υ

の全微分れ

,α

υは,座標変換9

のヤコビ行列」

_{9= (礎}

務

)を

用いて

, 質 鉤 ／ １ １ ヽ ９ Ｊ 〓 ヽ １ ′ ノ

れ

あ

／ １ ︲ ＼ とな るか ら

,第

一基 本 形 式Iは I=(αZ,αυ

_{)(F 5)(::)}

=(α ξ,α

77)t(J9)(f g)(」

9)(所

)

となる。したがつて

_,第

^基_{本形式Iが座標変換によって不変であることか ら} ,

GD」

の

G Dσ

の

が成 り立つ。

3。

4

第二基本形式

曲面P(し,υ)の第二基本形式

Hを ,曲

面の単位法ベクトル π(z,υ)の全微分 αηを用いて, Ⅱ

_=―

_{の αη}

_=-0し

_πしい勉2_lpし ηυ+pυ・ηしいにαυ―_(pυ πυ)αυ 2 と定義 す る。 先 に述 べた よ うに

,確

)は座標変換 に よって変 わ らない。 さ らに命題

11よ

りπ は

,正

の座標変 換 に対 して不変

,負

の座標 変換 に対 して は符号 のみ入れ替 わ る。 したが って

,第

二基本形 式 Ⅱ は 正 の座標 変換 に対 して不変

,負

の座標 変換 に対 して は符号 のみ入れ替わ る。 ここで,η はpし_{,pυ と直交 してい るか ら} Pし η

=0, Pυ

π

=0

が成 り立つ。 この式 を 鶴,υ について偏微分 すれ ば, pし_{し π+pし} 。ηし

=0, Pし

_υ・π+pu・ πυ

=0,

pυ_{し η}+Pυ ηυ

=0, pυ

_{υ・η+pυ ηυ}

=0

が成 り立つ ことがわか る。 この とき第二基本量 五

,y,Ⅳ

を

L=Pし

し η

=―

Pし πし,

y=pし

_{υ π}

_{=_pし}

_。ηυ =pυし π

=―

pυ _ηし,

Ar=pυ

_υ η

=―

pυ _ηυ と定義す る。第二基本量を用いると第二基本形式は と表すことができる。 ここで

,座

標変換

_9(ξ

,η

)吟

_0(ξ,η ),υ(ξ,η))に よって第二基本量が どのように変化するかを 見てお く。曲面P(z,υ)の 第二基本量を

L,χ

,Ⅳ とし

,座

標変換

9に

よって得 られる曲面のパ ラ メータ表示P(ξ,η)の 第二基本量を

Z,ル

,■ とする。まず

,9が

正の座標変換のときには

,第

二基 本形式 Ⅱ は不変 となるから

,第

一基本量の ときと同様に計算すれば,

CD」

00じ

_Юば

0

が得 られ る。次 に りが負の座標変換であるときには

,第

二基本形式 Ⅱ が符号 を変えることに注意 すれば,

F)(J9)

ヽ １ ′ ノ 山 あ ／ ｆ ｉ ＼ ヽ １ ， ノ

″

Ⅳ

五

χ

／

１

１

_＼

あ Ｚ α 〓 υ α Ⅳ ＋

あ

れ

″

２ ＋

山

Ｌ 〓 Ⅱ

Ｚ

ν

／ ′ ｌ ＼ ９ Ｊ 一 〓 ヽ １ ′ ノ

″

″

″

Ⅳ

″

Ｌ

″

″

／ ｆ ｌ ＼ となる。

3。

5

ガウス曲率

0平

均曲率

曲面P(%,υ)上 の

,弧

長パラメータ表示された空間曲線

P(s)=pし

(S),υ(S))を考える。曲面の 単位法ベクトルをπ とすれば

,曲

線P(s)上の各点においてPし,Pυ,π は

R3の

基底 となっているか ら

,曲

線の加速度ベクトルメ′(s)は

,曲

面の接平面上のベクトル ん,と π方向のベクトル κπηを 用いて, p′′_(S)=た

g+κ

_ππ と表 す こ とがで きる。 この たgを測地 的曲率ベ ク トル といい,π の係数 κれを曲線p(s)の法曲率 と セゝっ。こ こで, P′ ′ η+p′ η′=(p′ 2)′

=0

であること,お よびた

g π

=0,レ

_12=1で

ぁることから

, κれ=p′′η

=―

P′ °π′

=―

(PしZ′ +Pυυ′

)(π

_%Z′ +pυυ′₎ =zz′

2+2■

fz′υ′

+Ⅳ

υ′2 が得 られ る。z′_,υ′は接ベク トル_P′(s)によって決 まるか ら,κれは接ベ ク トルP′(s)によって定 ま る。さらにいま

,曲

線 は弧長パ ラメータで表 してい ることよりIP′

(s)￨=1で

あるか ら

,法

曲率 κπ は接ベク トルの向きのみによって定 まることがわか る。 ここで法曲率の幾何学的な意味について

,次

の定理が成 り立つ. 定理

3.2曲

面

Pし

,υ)上 の弧長パ ラメータ表示 された曲線 P(s)上 の点

P=P(so)に

おいて,P′(s。) と曲面の単位法ベク トル π の張 る平面 を π とする。ただ し平面 πは,P′(s。)に 対 して π を左回 り とす る向きをもつ とす る

.こ

の とき,π による曲面の切 り回として表れ る曲線*1を c(ι_)と す ると, 曲線 p(s)の 点

Pに

おける法曲率 κれ(sO)は,C(ι)の 点

Pに

おける π上の平面曲線 としての曲率に 等 しい. 証明 必要で あれ ばパ ラメー タを取 り替 え るこ とで

,c(t)は

弧長パ ラメー タ表示 され てい る と して よい。

P=c(to)と

す る と

,c(t)は

点

Pに

お いて_{P′ (s。)を}接 ベ ク トル として もつ か ら, こ_{(ιo)=P′(So)が成 り立つ。 さらに}

,法

曲率 は接ベ ク トルの方向に しか よらないか ら,κls。)は, c(ι_{)の 点}

Pに

おける法曲率 と一致す る。すなわち, C(to)η

=κ

れ(So) *1こ の ような,曲面 の法 ベ ク トル をふ くむ平面 に よる曲面 の切 り口 として表れ る曲線 は,曲面 の直 戴 口 (nOrmal sectЮn)と よばれ る。

が成 り立 つ

.ま

た,こ(ιo)は C(to)と直 交 す る平 面 π上 の ベ ク トル で あ るか ら,c(ι。

)=λ

η(λ ∈R) とな る。 これ を上 の式 に代 入 すれ ば λ

=κ

π(50)と 求 ま り, C(to)=κπ(So)π が成 り立つ ことがわか る

.い

ま

,π

は平面曲線c(ι_{)の 点}

Pに

おける左向きの法線ベク トルで もあ るか ら

,

_{この式は κれ(so)が}C(ι_{)の 平面曲線 としての曲率であることを表 している。}

□ この定理か ら

,法

曲率は

,法

線 を含 む各平面 と曲面の交線の曲率 を表す こととな り

,各

方向の曲 面の曲が り具合 を表す ことがわか る。 命題 3.2 zυ 平面上で

z軸

と角度 θをなす方向に対応する曲面上の法曲率 κれは

L cos2 θ

+2“

「_{cos θ sln θ+A「sln2 θ} κπ

=E cos2

θ+2F cosθ sln θ+G sln2 θ

となる。

証明 弧長パ ラメータ表示 された曲面上の曲線 P(s)=P(Z(S),υ (S))について,(Z′(So),υ′(So))が

z軸

と角 θをなす とす ると,

(Z′(So),υ′(So))=(ρ COS θ,ρ SIn θ)

とな る正 の数 ρが存在 す る。 い ま

,sは

弧長 パ ラメー タで あ るか ら,

IP′(So)12=lpし z′(So)+pυυ

′

(SO)￨

=E(鶴

′(So))2+2F鶴′(so)υ′(So)+G(υ′(50))2

=ρ2(E cos2 θ_{+2F cosθ}sln θ+G sl■2θ

₎₌₁

が成 り立つ。 したが って,E cos2 θ+2F cosθsln θ+G sln2 θ

>0で

ぁ るこ とがわか り,

κπ

=Z鶴

′(sO)2+2yz′(so)υ′

(So)+Ⅳ

υ′(So)2

=ρ2(五cos2 θ+2M cosθ sln θ

+Ⅳ

sin2 θ₎

L cos2 θ+2y cosθ sln θ

+ハ

rsln2 _θ

E cos2 θ+2F cos θ sln θ+G sln2 θ が成 り立つ。 κれは,θ を変数 とする周期 πの連続関数 となるか ら

,最

大値 。最小値 をもち,

そ

,→

=

の最大値 。最小値 と一致 す る。 この式 を変形 して, □ Lξ

2+2■

√

ξ

η

+Ⅳ

η

2_(Eξ2+2Fξ

η

_{tt Gβ}2)λ

=0

とする。この両辺をξ

,η

で偏微分すれば

,最

大値・最小値を与える

(ξ,η)で

は∂λ

/∂

ξ

=∂

λ

/∂

η

=0

が成り立つことから

,

{1湖

「

協

ltlt

が得られる。これをみたす(ξ,η)が存在するためには,

det(み

■

等

_:VI貪

₅₎₌₀

すなわち,

OG_F2)λ

2_(EⅣ

+G五

-2Fル

_のλ

+五

Ⅳ ―■イ

2=0

でなければならない。 この

2次

方程式の解 を κl,κ2と す る と

,解

と係数の関係か ら κ

_l+κ

2=EⅣ

+θ

五

-2F些

_乳

κlκ

2=脚

が成 り立つ. κl,κ2を 主曲率 といい

,主

曲率を与える接ベクトルの方向を主方向 という。κ

l=κ

2と なるよう な点を曲面の騎点 という.κl,κ2は 法曲率の最大値 と最小値であったから

,暦

点では法曲率は一定 であり

,す

べての方向が主方向となる。この主曲率を用いて

,曲

面のガウス曲率および平均曲率を 次のように定義する。 定義 曲面P(z,υ)の ガウス曲率

K,平

均曲率 ∬ を, ′レr2 _F2

EⅣ

-2FM+GZ

2(EG―

F2) と定義 す る。 い ま,

A=(F 5) 1(1′

_F)=I乏

IL可

再

,(m

傭

₎

とい う行列を考えると,

det A=五

Ⅳ

χ

2=K, tr A=呈

≒ 云

F当

需

￨二

=2〃

が成 り立つ。さらに

Aの

固有値 は

入

2_2〃

λ

+K=0

ここで

_,座

標変換

_9(ξ

,η

)0(%(ξ

,η ),υ(ξ,η))によって行列

Aが

どのように変化するかを考え る。

_9が

正の座標変換のときには

A=〔

の

_Caげ

→

4〔

σ

の

じりげ

→

=00‐

Ц

め

となる。 したがつて

,定

理

Blか

ら

,正

の座標変換 によって

Aの

固有値

,す

なわち主 曲率 κl,κ2 は不変であることがわかる。 また

,9が

負の座標変換 の ときには

A=―

_{(J9) lA(J9)} と変わ るか ら

Aの

固有値

,す

なわち κl,κ2は符号が入れ替わる。 これ らの ことか ら次 の命題が得 られ る。 命題

3.3ガ

ウス曲率お よび平均曲率は正の座標変換で不変である。負の座標変換では

,ガ

ウス曲 率 は不変であ り

,平

均曲率は符号が変わる。 次の命題 は

,ガ

ウス曲率および平均曲率が曲面の曲が り具合を表す量であることを示 している。 命題

3.4ガ

ウス曲率 と平均曲率が恒等的に 0と なる曲面 は

,平

面 に限る。 証明 平面 は,zν 平面 に含 まれ るように座標軸 を設定すれば, P(Z,υ

)=(し

,υ,0) と表す ことがで きる。 この とき

,pり

,υ)の 第二基本量 は

,い

た る ところ

L=y=Ⅳ

=0で

ある か ら

,平

面のガウス曲率 κ お よび平均曲率 ″ について,

K≡

0, I≡

0 が成 り立つ。 逆 に

,曲

面P(%,υ)のガ ウス曲率 と平均 曲率 が ともに恒等 的 に0とな る とき

_,曲

面 上 の各 点 にお いて主 曲率 κl,κ2は どち らも

0で

あ る。 したが つて

,曲

面 上の任 意 の曲線P(z(s),υ(S))の 法 曲率

κ

れは

0と

なる。とくに

,鶴

υ平面上で

z軸

となす角がそれぞれ

0,7/4,7/2と

なる方向に対応する

法曲率について考えれば,命題

32よ

り

,曲

面

pC,υ_)の

第二基本量

L,y,Ⅳ

は

,

L=y=Ⅳ

=0

とな る。 よつて

,第

二基本量 の定義か ら

,曲

面 の単位法 ベ ク トル π は定 ベ ク トル となり,P(z,υ) □ は平面であることがわか る。 ここで

,ガ

ウス曲率 を第一基本量 のみで表示 す る際 に用 い るク リス 入 してお く。パ ラメー タ表示 された曲面P(し,υ)に おいて,Pし,pυ,π は トッフェル の記号 を導

R3の

基底 をなすか ら,