接ベク トル

多様体 y上 の点Pの まわりで定義された任意の∫∈σ∞(M)に 対して,実数υ

(∫)が

対応して

,

(i)υ(λ

∫

^+μ

g)=λυ

_(∫)十

μυ

(g)  (λ^,μ

∈

R,∫_,g∈

θ∞υ

^F))

(ii)υ(∫

g)=υ

_(∫

)gO)+∫

0)υ(g)

をみたす とき,υ を点

pに

お ける

yの

接ベク トル とい う。いま,し,υ を点

Pに

^おける

yの

_接ベ

ク トル とし

,接

ベ ク トルの和 鶴十υ とスカラー倍 λυ(λ ∈

R)を

(鶴+υ_)(∫

)=鶴

(∫

)+υ

(∫

),(λ

^υ)(∫

)=λ

(υ (∫))

と定めれば

,Pに

おける接ベク トル全体はベク トル空間になる。 このベクトル空間を多様体

Mの

点

Pに

おける接ベク トル空間 とよび

,場

(■√)で表す。

pを

_{含む座標近傍 (び;zl,・ 2,…・,″}

m)を

^{ひとつ固定する}

.点 _Pに

おいて,

(金 )P:卜 影 ⁰

と定 め る と

,(￡

)Pは

^点

^Pに

お け る接 ベ ク トル とな って い る。 この とき

,次

の命 題 が成 り立 つ.

命 題 駐

3(岳

)P,(発 )p… ^,G勇 ￨)Pは ,Ъ

α )の^{基 底 で あ 乙}

9」 ^:ξ

'lFこ

重 ^￨:卓 Ъ 里 就 吟 「鶴 ^[ll争 視堆 ^19墓 ● ^2子 』

^,と

す ない 丸

9*∫ :=∫

。9

と定めると

,9*∫

はPの まわりで定義されたσ∞級関数となる。このとき

^,υ

∈

TP(■

√

_)に

対して

,

((α9)P(υ))(∫):=υ(9*∫)

とお く と,(α_9)P(υ)∈ T12(P)(Ⅳ)と ^{な り},(α9)Pは

TP(M)か

_{ら し (p)(Ⅳ)へ}の 写 像 とな っ て い る。

こ の

(d9)P:場

(M)→ し。

)(Ⅳ⁾

を,点 _Pに おける9の微分とよぶ。この写像

(̀″)Pは

,線 型写像となっている。

さらに

,合

成写像の微分に関して次の命題が成 り立つ。

命題

5.4y,Ⅳ _,cを

それぞれ m,η ,9次 元の多様体

,9:ν

^{→ Ⅳ},ψ :Ⅳ → の を σ∞級写像 とす る。この とき

,M上

^の点

Pに

^おいて,

α_(ψ 。

9)P=(α

ψ)9(2)。 (α9)p:電わ(ルf)―→2Ъ。_9(p)(C) が成 り立つ。

5.2.2 

ベ ク トリレ場

多様体 ″ の各点

Pに ,pに

おける接ベクトル 為 ∈

TP(y)が

ひとつずつ対応 しているとき,

そ の 対 応

X=ゃ

_っ

}PcMを

χ 上 の ベ ク トル 場 と い う。

2つ

の ベ ク トル 場

X={Xp}p∈ M,y=

{yp}P∈

Mが ^{与えられたとき}

^,

X+y={XP tt yp}P∈ M

で定義されるベクトル場を ,Xと ^yの 和という。また関数∫

^:』

ビ→Rに 対して

,

∫ X={∫

_0)イp}p∈

M

で定義されるベクトル場を ,Xの _{∫倍とよぶ}

^.

多様体

Mの

座標近傍

QzL…

^っ

^Z紛

^において

^,び

^{上のベ ク トル場} _発 ^を

ぢ ^];={(￡

)P}P∈

び

と定める。いま ,M上 ^{のベクトル場 X={Xp}∈} Mに ^対して ,Pが び内の点であれば ,命 題

^5.3

より

,

ろ ^=a(岳 _{)P+。 (金 )p+…} ・ +れ (轟 )p

と表される。各

&は Pに

よって決まる実数であるから

,び

_{上の関数 ξを}:び→

Rと

_{考えられる。 こ}

こで

,ベ

^クトル場

Xを

び上に限って考えたものを XIび で表すことにすれば,

刑 ^{y=a岳 +&島} 一十 為島

と表すことができる。 この表示を

,ベ

クトル場

Xの

_(び;″1,…・,″π)上での局所座標表示 といい,

各関数

aを ^,ぢ

論 に関する

Xの

成分 という.

π次元多様体 yの _{座標近傍系を}

{じL;″lα ,″ 2α,…

・

,″mα}と

する。任意のα∈スについて ,X

をし L上 ^で

X=aα (非 )+6α (み )一 ^+れ α

(非

⁾

と局所座標表示 したときの成分 ξ^lα,6α,…。,a∫ が びα上の σ∞級関数となるとき

,Xは

^{χ 上}

の θ∞級ベクトル場であるという。この定義は座標近傍系のとり方によらない。以下では

,ν

上 の σ∞級であるベクトル場全体の集合を箕

(M)で

^{表すこととする。}

多様体 ″ と

,X∈

_Ц■イ),∫ ∈σ∞いど)を考える。このとき″ 上の任意の点

Pに

^おいて,

(X∫

)0):=ギ

ら^{(∫ )}

と定めることで

,関

数^X∫ ∈σ∞

(M)が

^{得 られる。この関数X∫ を}

,関

_{数 ∫にベクトル場}

Xを

作 用させて得られる関数 という。接ベクトルの性質から,∫,g∈ σ∞

(M),α ,bCRに

^対して,

X(α∫

+″ _)=α

X∫

+bXク , X(∫

ク

)=(X∫ )g+∫

(Xg) が成 り立つことが確かめられる。

X,y∈

χ_(1イ)に対して,

lX,y](∫

):=X(y∫

)一

y(x∫ )(∫

^∈σ∞(1イ))

によって定義されるベクトル場_lX,y]∈ χ

(M)を Xと yの

かっこ積 という。かっこ積について は以下の公式が成 り立つ。ただし

,X,xZ∈

^χ(″),∫ ,g∈ σ∞

(M)と

^し

,0は

任意の

PcMに

零ベクトルを対応させるベクトル場 とする。

(i)lX,y+z〕 =lX,y]+[乙

^Z]

(ii)lX,y]=―

[乙

X]

(i五

)[lX,y],Z]+[区 Zl,Xl+[[Z,XI+y]=0 (ヤ

_{コピの恒等式という。})

(市)[∫

X,gy]=∫ glX,y]+∫ (Xg)y―

θ(y∫

)X

5。

3  微分形式

5.3.l 

λ次 線 型 形 式

多様体上の微分形式 を定義す るための準備 として

,一

般のベク トル空間上の た次線型形式につい て述べてお く。

7を R上

の π 次元ベク トル空間 とする。

7上

の た次線型形式 (または た次形式

)と

^は, ω

:y× y×

…。

xy→ R

で,ω (Xl,X2,一^・,Xん)が各 為 に関 して線型 で あ るもの をい う。

y上

の た次形 式 の こ とを,た次 共変 テ ンソル ともい う。 と くに

,y上

^の

^1次

^{形 式 は}

yか

_ら

_Rへ

の線 型写像 で あ る

.y上

^の

^1次

形 式全 体 の集合 を

yの

_{双対 空 間 とよび}

,y*で

表 す。 また

,y上

の た次形 式全 体 の なす集 合 を

ん

∈ ^oy*で 表すこと にする 。

ん

こ こで,ω,η ∈●

y*と

_α∈

Rに

対 して

,和

^ω+η とス カ ラー倍 御 を,

(ω+η_)(Xl,… ^。,Xん

)=ω

(Xl,…・,Xん)+η(Xl,… ^。,Xん)

(ω)(Xl"…

,る )=α

(ω(Xl,…

"為

⁾⁾

と定 めれ ば

,● ^{y*は R上}

のベ ク トル空間 とな る。

まず

,yの

双対空 間

y*に

関 して次 の命題 が成 り立つ。

命題

5.5yの

任 意の基底 を el,e2,…・

,Cmと

^し

,1次

形 式 ωこ:1/→

R(j=1,2,… .,m)を

,

ωづ(C′

)=δ

″

に よっ て 定 め る と

,q,ω

2,…・_,ωれ は

y*の

基 底 とな っ て い る。 この とき ω

j:y→

R(を

=

1,2,… .,m)は,cl,C2,…・,Cれ に対応 す る双対基底 とよばれ る。

ここで,ω,η をそれ ぞれ

y上

_{の た次形式}

_,:次

形 式 とす る とき,ω と ηのテ ンソル積 ωΘ ηを^, 任意 の Xl,.… ,Xttz∈

yに

_{対 して,}

(ω● η)(Xl,…・,Xん+J):=ω(Xl,… 。,Xλ)η(Xλ+1,・ …,Xた十ι)

と定義する

.こ

_{のとき,ω ●ηは(た}

+7)次

形式 となる

.ま

た,ω,η ,ξ を共変テンソル とするとき,

結合法則

:(ω

_●η)●

(=ω

^{●(η ●()}

が成 り立つため

, 

これをωΘη●ξと表す。

た

また

,● ^y*の

基底および次元 について

,次

の定理が成 り立つ。

定理

5.2yの

基底 を el,e2,…・_,Cれ とし

,そ

れ に対応 す る双対基底 を ωl,ω2,…・_,ω

mと

^{す る。 こ}

の とき,

{ω

を

_(1)●

…・Θ

 

ω

j(ん)}j(1)"..,̀(ん)=1,2,…,れ

が _CDy*の 基底と なる .と く に _,● ^y*の 次元は m2で ぁる 。

以下では,ん 文字の置換群 を6ん で表 し

,置

^{換 σ∈6ん の符号 を ε}(σ)で表す こととす る。いま^, ん次形式 ωが

,任

^{意の置換 σ∈6ん に対 して,}

ω

(為

_①

,為

_{② …}

,為 0)=ω ^(Xl,れ

^{,̲っ 為 )}

となる とき,ω は対称 た次形式であるとい う。 また

,任

^意の

0で

ないベ ク トル

X∈ yに

_ついて

,

ω_(X,…。

,X)>0を

^{みたす とき,ω} は正定値であるとい う。 とくに

,対

^称

^2次

^{形式 ωで正定値で}

あるものを内積 とよび

,ベ

クトル空間

yに

内積 ωが与えられたとき

,X∈ ^yの

長さ ‖^X‖

,お

^よ び

,X,y∈ ^yの

^{なす角 θが,}

‖

^X‖

‐■ 口 ,CoS  ^θ =鰊

に よって定義 され る。

また,た 次形 式 ω が

,任

^{意 の置換 σ∈6た に対 して,}

ω

(為 0,為

_②…

^,為 0)=ε

^{O)ω(Xl,X2,… っ為 )}

となるとき,ω は交代 た次形式であるという。

y上

の交代 た次形式全体の集合を

,∧ ^y*で

表す。

ここ で ,∧ ^y*は cDy*の 部分ベクト ル空間となる。

ベクトル空間

y上

の交代 た次形式 ω と交代 ι次形式 ηの外積 ω∧ηを^, ω∧ηlXl,X2,… っれ ■

)=嘉

σ盈 ^:ε鮨)ω

(為

_{① …}

,為 _{0)η (為}

_。十⇒…

,為 0→

⁾

によって定義する。 この とき,ω ∧ηは交代 (ん

+J)次

^{形式 となっている}

.外

^{積に関 して以下の}

公式が成 り立つ。 ここで,ω_,ω′を交代 ん次形式,η,η′を交代 J次形式

,cを

交代

r次

形式 とし,

α_,b∈ σ∞_(」И_)とする。

(i)(αω

+b′

_{)∧ η}=αω ∧ η

+bω

^′Aη (ii)ω ∧^(αη tt bη′

)=α

^ωAη

^+bω

^{∧ η′}

(iii)ω ∧ η=(‑1)ん^{Jη ∧ω}

(市)(ω ∧η)∧ξ

=ω

^∧(η ∧ξ)

さらに

,1次

形式の外積については次の命題が成 り立つ。

命題

5.61次

形式 ωl,ω2,…・,ωλ∈

y*に

_{対 して}

,

が成 り立つ。

∧

y*の

基底 お よび次元 に関 して次 の定理 が成 り立つ。

定理

5.3yの

基底 を cl,c2,…・

,Cmと

^し

,そ

れ に対応 す る双対基底 を ωl,ω2,…・_,ωれ とす る。 こ の とき,

{ωj(1)∧

…・∧ωを

_(λ)}1≦

̀(1)<..・

<」_(λ)≦

れ

が

Ay*の

^{基底 となる。}

 

^とくに

^,∧

^{1/*の次元は}

(T)=肩

ぎ実≒下 である。

5。

3.2 

共 変 テ ン ソル 場 と微 分 形 式

前小節の準備のもとに

,多

様体上の微分形式を定義する

.以

下

,多

様体

Mの

点

Pに

^{おける接ベ}

λ

ク トル空 間 Ъ

(M)上

の ん次形 式全体 の集合 を

QITP*(M)で

^{表 す。 と くに}

,場 _(M)の

双対空 間 を TP*(■イ)で^{表 し}

,余

接ベ ク トル空間 とよぶ

.余

接 ベ ク トル空間 につ いて次 の命題 が成 り立つ.

命題 ^5。

7多

様体 ″ の座標近傍 を_(I1/;″1,・…,″れ)と す る。■^{1,.… ,″}れ を び 上 の σ∞級関数 とみ な した ときの

,各

^点P∈ ^{び にお ける微分}

・(α ^1)P,(ご_"2)P,・ …,(dZ")p は

,Ъ

_{α )の}基底

(岳 )P,(発 )pr… ,G勇 ￨)pに

対応 す る双対基底 になってい 乙

多様体 Mの _各点Pに ,場 _(M)上 のた次形式 %が ひとつずつ対応しているとき,そ の対応 ω

_={α

り}PcMを ″ 上のん次共変テンソル場という。とくにた =1の ^とき ,M上 ^の

^1次

共変テン ソル場のことを y上 _{の1次微分形式とよぶ} .y上 ^{のた共変テンソル場ω} ={%}Pc Mと ι共変 テンソル場η

^={77p}p∈

Mに 対して

,た

+J次 共変テンソル場ω●ηを

^,

ω●η

^:={ωP 

Θ

 77P}p∈

M

と定める。

例 ^5。

2多

様体 ″ 上の σ∞級関数 ∫の各点

Pに

^{おける微分}(″)Pは

TP(M)上

の線型写像であった から

,1次

形式であり,

″

^:={(″)P}p∈

M

は M上 の 1次 微分形式となる .こ のィ を∫の全微分とよぶ。これは,第 3章で定義した全微分 の一般化となっている。

ここで,多様体 M上 の

1次

微分形式ω={%}P∈ Mの 局所座標について考える。いま,多様体 χ の座標近傍を

_{(び ;zl,・}

…

^,″

^m)と すると ,命 題

5.7か

ら,び 上の点Pで %∈ Ъ *(M)は ,実数 AO),ん

0),…

・

,メ

mo)を 用いて

^,

%=AO)(α _"1)P+ん ^{0)(dZ2)p+… ・}

^+∫"(p)(dZm)p

と表される。ここで

,Jl(P),ん0),…

・

,∫

れ0)は 各点 Pに 対して決まる実数であるからび上の関数

で あ る

.し

^{たが つて},ω ^{は び 上で},″1,.… ,″れ の全微 分 山1,…。,山れ を用 いて,

ω =Aα _"1+ん ^{dZ2+… ・}

+∫

れ

^dZれ

と表すことができる。 この表示を ωの_(び;zl,"2,…・,″

m)に

関する局所座標表示

,A,ん

,…。,九 を ααl,α″2,・…,あれ に関するωの成分 という^.

次に

,た

次共変テンソル場ω ={吻 }PcMの 局所座標表示について考える。多様体 yの _座標近

傍 を_(び;″1,・…,π

m)と

^{す ると}

,定

^理5.2よ り

,び

の各点

Pに

^おいて,

%=  _Σ   ^な⇒

^,…

^{ズ o。}

^)C亀

^{① b● …● 0亀 Ob}

t(1),…・,づ(た )

と表される

.た

^だし

,九

_{(1),…■(ん})は び上の関数である。 したがつて,ω ^{は び上で,}

ω =  _Σ   ^なり

^,…

^{″ o山}

^<⇒

^●…●α

"づ

0

J(1),¨事(■ )

と表される。この表示をωの

(び;zl,・ 2,…

・

,■

m)に 関する局所座標表示 ,な

1),¨

事

^(ん)を ^d″,(1)●

・…●山 。(ん)に 関する ωの成分 とい う。

多様体

Mの

座標近傍系

S,M上

の た次共変テンソル場 ω に対 して

,Sに

属す る任意の座標近 傍 に関す る ωの局所座標表示 の成分が

,す

べて θ∞級関数 となるとき

,M上

の た次共変テンソル 場 ω は θ∞級であるとい う

.以

下では,た 次共変テンソル場 ωはすべて θ∞級であるとする。

多様体 ^y,Ⅳ とθ∞級写像 9:M→ ^{Ⅳ ,お} よびⅣ上のた次共変テンソル場ω _{={%}P∈ Nを}

考 える。

 

^{この とき},ω ^の

9に

よる引 き戻 し ゲ ω を

(9*ω)P(Xl,… 。_,Xた):=ω9(p)((d9)P(Xl),… ・,(d9)P(χ λ))

に よって定義 す る。引 き戻 しについて

,次

の命題 が成 り立つ.

命題

5.8多

様体

y,Ⅳ

_{,の とθ∞級写像}

9:ν

^{→ Ⅳ},ψ :Ⅳ→

C,お

よび の上の任意の た次共変 テンソル場 ωに対 して,

(ψ09)*(ω

)=9*(ψ

^*ω)

が成 り立つ。

定義 多様体 y上 のた次共変テンソル場ω={%}P∈ Mが た次微分形式であるとは ,各 点 _Pに お

いて

,%が ^TP(M)上

の交代 た次形式であることをいう.

定理5.3を用 いれば,た 次共変テンソル場の局所座標表示 と同様 に,

ω =  _Σ   ^なり

^,…

_・ ^{o daO∧ … ・ ∧亀 0}

」(1)<…^・<t(ん)

と局所座標表示することができる。

多様体 ″ 上の た次微分形式全体 の集合 を Ωん_(″)で 表す。 とくに

,Ω O(M)は

_σ∞

(M)と

^一致

す るもの とす る.

鶴 次元多様体 ″ 上の ω∈Ωん

(M)の

^{外微分 あ ∈Ωん}

+1(M)を

,

Ц ^Xl… ,4+→ =Σ ^←

^1ア

^{+Z。 (Xl…}

^,え,…

^{っ み +1)}

,=1

+Σ

(‑1ア^+′

∝区

^,XJ・1,…

っえ

^,…

_"為

^,…

_"為

⁺¹⁾

を<J

と定義する

.た

^{だ し}

,え

_,為 はそれぞれ 為 ,為 を除 くことを表す。 とくに,ω c Ω

l(M)の

_とき

に は ,

aズ

x,y)=x(ω _(y))̲y(ω

(X))一 ω(lX,y]) である。

命題

5.9任

意の ω∈Ωλ

(M)に

^{対 して,}

d(出υ

)=0

となる。

ドキュメント内 曲面の微分幾何と建築への応用 (ページ 75-82)