ガウス 0ボ ンネの定理

本節では

,第 ^3章

で証明 したガウス・ ボンネの定理が

,よ

リー般的に リーマン曲面上で成 り立つ ことの証明を行 う。そのための準備 として

, 

リーマ ン曲面 のガウス曲率 を定義す る。

前節 と同様に,リ ーマン曲面 (M,αs2)の 座標近傍(び;zl,・2)上 に

,接

ベク トル空間の正規直交 基底の場 cl,c2お よび

,そ

の双対基底の場 ωl,ω2を とる。あ1,d″

2C 

^Ω2(び)は

,A,ん

^∈θ∞(び)

を用いて,

あ

1=A 

^ωl∧ω

2,  

^あ

2=ん

^ωl∧ω2

と局所座標表示される。 この とき,μ ∈Ω^l(び)を

μ

=―

Aω^l― んω² と定め

,cl,c2に

関する接続形式 とよぶ

.接

続形式 μについて^,

ω2∧μ

=伽 1,  

一ωl∧ μ=α^ω2

が成 り立つ ことがわか る。逆 に び 上の

1次

微分形式 μが この関係式をみたせ ば,μ は el,c2に 関 す る接続形式 となる。

接続形式の定義 は

,正

規直交基底 の場の とり方 に依存す る。そ こで

,2組

^{の同じ向きである正規}

直交基底 の場 に関す る接続形式の関係 について考 えよう。

補題

6.1正

規直交基底 の場 el,c2に 関する接続形式 を μ とし

,別

の正規直交基底の場 α_l,α2に 関 す る接続形式 を ル とす る。ただ し

,2組

の正規直交基底の場は同じ向きであるとす る。 ここで,θ を,

(::)= (」

^{:ifθ  :詭}

:)(::)

をみたすものとすると,ル,μ について,

ル

=μ

―αθ

,  

αル=α_μ が成 り立つ。

証明

 el,c2の

双対基底をωl,ω2と し,こ1,こ2の^{双対基底をあ1,あ}2と する。 この とき^,

(1:)= (f:ゴ θ

 ^:量

う

_{)(Z〕 )}

が成 り立つ ことを用いて あ1の 外微分^dう1を 計算すると^,

あ

1=α

(COS θωl+sln ^θ ω2)

=(―

^{Slll θ αθ∧ω}l+cOS ^θ伽1)+(coS ^{θ αθ∧ω}2+Sln ^θ漬ガ2)

=cos ^θ(ω2∧μ)+Sln ^θ(̲ωl∧ μ)+α^{θ A(―sln θ ω}l+Cosθ ^ω2)

=(―

^Sln θ ωl+cos ^θ ω2)Aμ^―(―sln θ ωl+cos ^θ ω2)A ^αθ

=あ

2A(μ ^{― αθ})

となる。同様に

,あ 2= あ

1∧ (μ―αθ_)と な り,こ1,こ2に 関する接続形式が,μ ―αθであること がわかる。

 

^さらに, 命題

59か

ら,

αμ=αμ―α(αθ

)=α

μ

が得 られ る。

      

^□

同じ向きでない正規直交基底の場 を とった ときについては

,正

規直交基底の場 el,c2に 関す る接 続形式 を μ とす ると

,正

規直交基底の場el,一e2に関す る接続形式 は 一μ となることが簡単な計算 で確かめられ る。 したがって

,上

の補題

61と

合わせ ると次の系が得 られ る。

系 接続形式の外微分 αμは同じ向きである正規直交基底の場の とり方 によらず

,同

^{じ向きでない}

正規直交基底の場をとると

,符

号が変わる。

接続形式の外微分 中 は

y上

_の

_2次

_{微分形式であるか ら}

_,あ

る正規直交基底の場 el,c2の 双対 基底の場 ωl,ω2と κ ∈σ∞

(び)を 用 いて^,

αμ

=K 

^{ωl∧ ω2}

と表す ことがで きる。前節で述べた ように,ωl∧ω2も

,同

じ向きである正規直交基底 の場 el,c2 の とり方 によらず

,同

じ向きでない正規直交基底の場 に対 しては符号が変わ る。 したがつて

,各

^点

P∈ ″ における κ の値 は一意的に決 ま り

,こ

^{の κ}

O)を

^点

^Pに

おける χ のガウス曲率 とい う。

次に ,M上 の曲線の曲率を定義する .M上 ^の曲線 cI→ χ が弧長パラメータ表示されてい るとし ,cの 速度ベクトルが,あ る接ベクトル空間の正規直交基底の場el={(el)p}PcM,C2=

{(e2)P}p∈

Mに 対して

,

C′(S)=ξ l(S)el(s)+6(S)e2(S)

と表されているとする。ただ し,cl(s),C2(S)は,そ^れぞれ(el)c(s),(C2)c(s)を 表す。 このとき

,測

地的曲率ベク トル λgを^,

た

g=(ξ

^{l′ +μ}(Cr)6)el+(&′ ―μ(Cr)ξl)e2 と定める。また

,曲

線c(s)の左向き単位法線ベク トル πg(S)を^,

η

g(S)=‑0(S)el(s)+ξ

l(S)e2(S)

と定 義 し

,測

地 的曲率 κgを^,

κ

g=(た

^g,ng)

と定 義 す る。 こ こで,

￨ICr(S)￨￨=ξ

12+02=1

であるから

,cl(s)か

らc/(s)への角をθ_(s)と して,

ξl(S)=COS  θ

(s), c(S)=SIn 

^θ(s)

となる

.よ

つて

,測

地的曲率に関して,

κ

_g=((ξl′

十μ

(ど

)6)el+(&′ ―μ

(Cr)ξ

l)e2, Oel+ξ

lC2〉

=ξ16′ ―_Oξl′ ―_(ξ

12+62)μ

_(び)

=θ′

―μ(cr)

が成 り立つ。 したがって

,次

の補題が成 り立つ。

補題 6.2リ _{ーマン曲面 (y,α}s2)と

,″

の接ベク トル空間の正規直交基底の場cl,c2が与 え られ ているとする。 この とき

,″

上の弧長パ ラメータ表示 された曲線c(s)に対 して,cl(s)と ^び_(S)の なす角を θ_(s)とする と,

κθαs+c*μ =α^θ が成 り立つ。

この補題 を用 いて

,次

の命題 を示 す。

命題 6.1リ ーマ ン曲面 ν 上 の単連結 な領域

Dの

境界が

,Dを

左手 にみ る弧長パ ラメー タ表示 さ れ た閉曲線

cI→ Mで

あ る とす る。 この とき,

Iκ

^g(S)α

S+兎

κ ω_l∧ ω

2=27r

が成 り立つ。

証 明

 

ス トー クスの定理 よ り,

I:」

【ω_l∧ω

2=兎

αμ

=Iμ

で あ るか ら

,補

^題

^61を

^{用 いれ ば,}

Iκ

^g(S)α

S+ノ

lKω

^l∧

ω 2=Iκ

g(S)α

S+Iμ =Iα θ

とな る。

Iα

^{θの値 は}

,閉

^{曲線 cを}一周 す る間 の θの変化量 で あ るか ら,27Tの^{整数倍 で あ る. ここ} で

, 

リーマ ン計量 の変形

α

s争

:=(1‑7)α

S2+7(α

″ _lα ″ _1+α ″ _2α

"2) (τ ∈

_[0,11)

を考 える。τが

0→

1と 動 くとき

,∴

αθの変化 は連続的でなければな らないが

,値

^は

^27の

^整数

倍であることか ら

,不

変であることがわか る。

7=1の

^とき, リーマン計量 は通常のユークリッド 平面の もの と一致す る。 さらに

,ユ

ークリッド平面上で閉曲線を連続的に変形 して小 さな円にすれ

ば

,elは

方向がほ とん ど変わ らず

,円

^{の接ベク トルは1回転す るので}

,Iα

θの値は^2π となる。

したが って,

Iκ

^g(S)α

S+ノ

lKω

^l∧

ω

2=27「

が得 られ る。

       

^□

この補題 を用 いて, リーマ ン曲面上の三角形 に関するガウス・ ボンネの定理 を証明する。

三角形に関するガウス・ ボンネの定理

向きづけられた リーマン曲面 _(M,αs2)上 の

,あ

る座標近傍 _(び,″1,″2)内 の

3つ

の曲線 Cl,0,C3に 囲まれた単連結な三角形領域を

,と

し

,Dの

内角を α,β,γ とする。このとき^, 境界 ∂

Dの

測地的曲率 κ

g'D内

の各点におけるガウス曲率

Kに

関して,

が成 り立つ。

ID gα ^S+ノ :K  ω

^l∧

ω 2= π

+α +β +γ

証明 領域

Dを _,そ

れぞれの角の近 くでなめ らかに丸めた領域 を^Dε とする (図

61参

照)。 ただ し,ε ―→0の とき,Dε ^→

Dと

す る。 この とき

,補

^題

^61よ

^り,

IDε

 

^θ==2π

となり

,補

題^6。1の証明から^,

αθ=‑7「 十α+β +γ が成 り立 つ。

証明 領域

Dを

鶴 個 の三角形 Dl,… .,Dれ に分割 した とき

*1,頂

_{点の総数 を η}

,辺

^{の総数 をJと}

す る。

ここで

,三

角形 の頂点の うち ∂

D上

にあるものの数 を たとす ると,∂

D上

の辺の数 も んである。

それぞれの三角形 は

3本

の辺 をもつ ことと,∂

D上

の辺 はひ とつの三角形 のみに含 まれ,∂

D上

^に

ない辺 はふたつの三角形 に共有 され ることか ら

,3π =た

+2(:一 ^ん_)と なってい る。 したがつて,

ん=2ι

‑3mと

な り

,Dl,…

^。

,D"の

^{内角の総和 は}

7rた +27「

(2‑ん )=2π

^{η ‑27Fι}

+37rm

図6.1:角の近 くで丸 め る

ID gα S+兎

^κ ω_l∧^ω

2=ID

□

大域 的なガ ウス・ ボ ンネの定理

向 きづ け られた リーマ ン曲面 (M,αs2)上^{の有界領域}

Dに

ついて

,そ

の境界 ∂

Dは

空集合

,ま

たは

,領

^域

Dを

左 手 にみ る有 限個 のなめ らか な閉曲線 とす る。 この とき,∂

Dの

測地 的 曲率 を ち とす る と^,

IDκ ^gdS+I:」

^{κ ωl∧ ω}

^2=27χ

^(Iフ)

が成 り立つ。 ここで,χ

(D)は ,領

域

Dの

オイラー数である。 とくに

,yが

^{コンパクトであ}

るとき,

IMκ

^{ωl∧ω2=27「χ(』}

^y)

が成 り立つ。

*1このような分割が可能であることは_[q参照

となる.

ゆえに

,三

^{角形 Dl,… 。},Dれ に関す るガ ウス・ ボンネの定理の総和を とれば,∂

D上

にない辺で は測地的曲率の積分が打ち消 し合い,

Σ E(IDt gJS+ノ l  ω

l∧

ω

2)

=ID g+ノ

:K  ω

l∧

ω

2

=‑7rm+(27rη

^{‑2πι+37r7稔})=27「

(2+m―

^:)

=2πχ(D)

が成 り立 ち

,定

^{理 は示 された。 □}

hら ∞ ― 訃 +1=

^{一１一ン∴√αθ＋}

6。

3  ポアンカレ・ホップの指数定理

ガウス・ ボンネの定理の応用 として

,ポ

アンカ レ・ ホ ップの指数定理 を示す。

Xを

χ 上の有限 個 の点_Pl,…^.,pれ を除いた ところで定義 された 0と ならないベ ク トル場 とす る。いま

,p=pJを

ひとつとり ,Pの まわりの単連結な座標近傍びを

,{pl,…

。

_,多

を

,.…,pπ}の

点を含まないようにと る。このとき ,び _{=び 、 レ}

_}と

おき ,pを 内部に含む弧長パラメータ表示されたθ∞級の単純閉曲 線

c:Ю,司

→ び を考える。

Xc(。)と Xc(s)の

なす角φ

(s)を s∈ ^p,月

において連続となるように 定めると

,Xc(。

)=X.)で ^あるから

^,φ(7)―

^φ

^{(0)は 2π}

の整数倍である。このとき,ベ クトル場

Xの _{Pに おける指数} indPxを

,

indPX:=二

^(J)一

φ

(0) 2π

に よって定義 す る

.す

なわち

,X9が ^pの

^{まわ りを1周まわ る間 に}

X9が

何 回転 したか を表 す値 で あ る。 この値 は整数値 であ る こ とか ら

,曲

^{線 cを}連続 的 に変形 して も変 わ らない こ とが わか る。

こ こ で,

Cl:={X9/IX91}9∈

び′

と定めることで

,び

上の単位ベク トル場

elが

得 られ

,cl,e2が

正規直交基底の場 となるようにe2 を とることがで きる。 この とき

,前

節 と同様 に^c′(s)が^Cl(S)と なす角を θ_(s)と お くと,

―_(θ(ι)一 θ

(0))+27=φ

^(J)一 φ(0)

が成 り立つことから,

となる。

ポアンカレ・ ホップの指数定理

向きづけられたコンパク ト

2次

_元多様体

M上

の有限個の点_{Pl,.… ,pれ} を除いた ところで定 義された 0と ならないベク トル場

Xに

対 して^,

Σ ^{hら X=ズ M)}

p=p.,.¨,Pη

証明

 

^{定理6.1よ り}

,Mに

^{は リーマン計量as2が入 り,} リーマン多様体 とみなす ことができる。

各^pた のまわ りの,pた 以外の_Pl,….,動 を含 まない座標近傍 内に,pん を中心 とす る半径 εの円 を描 き

,M上

^{に移 した ものを}%(ε):p,Jλ

]→ Mと

す る。 また

,各

^cん(ε)の 内部か ら^pん を除い た領域 をDん_(ε)と し

,Mか

^らcl(ε),…・,%(ε)の 内部 を除いた領域 を

Dと

す る。 この とき

,補

^題

6.2,ス トークスの定理およびガウス・ ボンネの定理か ら,

27χ_(■

イ )=ズ κ ω

^l∧

ω ^{2=Jι Kω}

^l∧

ω 2+']ノ

:ん_(ε)」

κ ω

^l∧

ω

²

=兎

^dμ

^+Σ

]/1(ε )ω

^l∧

ω ^2=兎 _D  十

,]ノ

^:ん(ε

)ω

^l∧

ω

²

=― Σ _l。 ^+Σ ん ん 。ω

^l∧

ω

2

=Σ l。 ∈

^g 

α ^{S α} の ^+Σ ん

^.。

^Kω

^l A 

ω

²

=Σ

_E(27「(inら

ま χ ^‑1)+Iん

(ε)κ

g as十

ブ

^:ん(ε

)K  ω

l∧

ω

2)

=27 

_Σ

 indPX

P=P■,・¨_,pπ

となる。

 

^{したが つて,}

□

Σ  indPX=χ ^(M)

p p■_,.¨,Pη

が成 り立つ。

付録 A 微分積分学の諸定理

本論文で用いた

,微

分積分学 に関す る定理・命題 を述べてお く。証明は省略 しているため

,微

^分

積分学の適当な教科書

^p]「01,常

微分方程式に関する教科書

^plな

どを参照していただきたい。

ドキュメント内 曲面の微分幾何と建築への応用 (ページ 86-93)