与 え られた境界 をもつ曲面 の うち
,表
面積が極小 となるもの
,す
なわち,境
界 を固定 した まま曲面 を どの よう に微小変形 して も,面
積が減 らない ものについて考 えよう.いま
,境
界 ∂びでは0となる領域 び上の関数を ∫とする。曲面の単位法ベクトルをπ とし,ε をイヽさい実数 として,多(0,υ
)=P(Z,υ
)+ε∫π(Z,υ)とすれ
￨∴ pり,υ)は,PC,υ
)を∂び上で固定したまま変形した曲面となる。いま
,ρ(υ ,υ)の面積 を■
(ε)とし ,も し,あ る∫に対して〃(0)<0と なれば,十分小さいεに対して多は pよ りも面
積が小 さいことになる。すなわち,P(し,υ)は 微小変形によって面積を減 らす ことができる。 この ことから
,境
界 ∂び をもつ曲面のうち,P(し,υ)の 面積が極小 となるためには,任
意の ∫に対 して, 五′(0)=0と
なっていなければならない。まず,
″
=の
十ε∫αη+ε げπ より,″ ″
=の
の キ2ε∫の 流 +ε2(ん流+ん
あ)(九山+ん
あ)=(E‑2ε
∫L+ε
L亀2)流れ+2(F‑2ε
∫M+ε
L亀ん)αzあ +(G‑2ε
∫Ⅳ +ε亀ち2)αυ αυ である。ゆえに,(E‑2ε ∫L+ε
2九2)(θ̲2ε∫Ⅳ
+ε2九2)̲(F̲2ε ∫″
+ε 2んん
)2ぁ
ぁ
ス(ε)
嵐 ん だ し ︐
一一 一一
となる。 た
yEG― F2̲2ε
(EⅣ+LG‑2Fy)+ε
2(Φ)αしぁ
Φはし,υ の関数である。したがつて,
=:lu[・
塵霊l):≒手誓≒弄ξ
三型望
2dzα
υ=̲llu∫
∬ヤノ′」ヮ
G̲F2ご
鶴αυ五′ (0)
となる。
ここで,ん を びの内部では正
,境
界 ∂び上では0となる関数 とし,∫=ん∬ とおけば,五 ′ ⑨―嵐ん ∬ 2約G̲F2山 α υ
となる。このことから,任 意の∫に対して ,〃 (0)=0と なるためには,曲 面上の各点において
〃 =0で なければならない。逆に曲面上で〃≡ 0で あれば,任 意の∫に対して〃 (0)=0が 成り
立つ。
この こ とか ら
,曲
面上で平均 曲率が恒等 的 に0とな る曲面 は極小 曲面 とよばれ る.建築 において
,軽
量膜構造 とよばれ る構造 で は,膜
に働 く張力 に比べ,自重 が十分 に小 さいため,同 じ く表面張力 に対 して 自重が十分 に小 さい石鹸膜 を用 いた模型 を用 いて
,建
築 の形状 を決定 す る 手法が とられ る ことが あ る.こ
の とき石鹸膜 の形 は,表
面 張力 に よって,与
え られた枠 に対 して表 面積が極 小 とな る形,す
なわ ち極小 曲面 とな る。■軽量膜構造
石鹸膜 の模型 を用 いて軽量膜構造 の建築 の形状 を決定 す る手法 を よ く用 いた建築家 の代 表 として
,シ
ュツ ッ トガ ル ト大 学 の軽量膜構造研究所 の所長 を務 めた フライ 。オ ッ トーが い る.と
くに,1967年
のモ ン トリオール万 国博 覧会 におけ る ドイ ツ館 や,1972年
の ミュンヘ ンオ リ ン ピ ック会場 は極小 曲面 を用 いた建築 として有名 で あ る。 また,ま
だ未 完成 で はあ るが,同
じ く オ ッ トーの設計 したシ ュツ ッ トガル ト駅 の建築案 (図 4.16)に も極小 曲面が用 い られ てい る。図
4.15:軽量膜構造研究所での石鹸膜による実験
(出典
:ptt p.140).´ ・ 1■1
十二̲.瞥警=■￨■■
郎
図
4.16:シュツットガルト駅の建築案
(出典
:p司)ここで
,回
転面 とな る極小 曲面 につ いて,次
の命題 が成 り立つ。命題
4.5z軸
を軸 とす る回転面 の うち極小 曲面 で あ る曲面 は,z軸
と垂直 な平 面,も
し くは,″ z 平面上 の懸垂線 :″
=arcosh(:)
を母線 とす る回転面 (懸垂面
,図 417a)の
みで あ る。証 明
zz平
面上 の,弧
長パ ラメー タ表示 され た曲線C(S)=("(S),Z(S)) (″ (S)>0)
をz軸
まわりに回転させてできる回転面p(鶴,υ)=(″(Z)COS υ,"(%)Sln υ,Z(%))
が極小 曲面 とな る
,す
なわち,P(し,υ)の平均 曲率 ″ が恒等 的 に0とな る ときにつ いて考 え る。まず,z′
(Z)=0と
なる部分では,回
転面はz軸
と垂直な平面 となり,逆
にこの平面は,命
題3.4 より,極
イヽ曲面 となっている。次に,z′(z)≠ 0の ときには
,補
題4.2よ り,〃 =勇 一 嚇
とな る。 い ま,z′
2=1̲″
′2でぁ るか ら
,平
均 曲率 ∬ が0とな るのは,z″″=1‑z′ 2 が成 り立 つ ときで あ る。
この とき,
(″″′
)′ ="′2+zz′′
=1
で あ る。 これ を積 分 す る と
,Qを
定 数 として,等 =″″′==υ
+σ
lとな る。鶴
+α
を改 めてパ ラメ ー タzと して とれ ば,定
数 の を用 いて,"2=鶴 2+c2,
したがつて, z=ν
Ъ2+c2
が得られる。このとき,鶴
2+c2>0で
なければならず,
z′
2=1̲″
′2 C2
υ
2+c2
であるから
,c2>0で
なければならない。よって,α2=c2(α >0)と
おき,Z(o)=oと
なるよ うにz軸
をとりなおせば,″
(υ)=ャ
/Z2+α2, z(υ)==」(υ]フ
電 デ ≒ 戸 扇 フ α
Z==a7slnh 1(告 ) が得 られ る。 ここか ら しを消去 すれ ば,・ こ=α COSh(:)
で あ るか ら
,回
転面P(z,υ)は懸垂面 とな る。逆 に懸垂面 が回転 面 かつ極小 曲面 で あ るこ とも,の計算 か らわか る。
本章 の終 わ りに
,線
織 面かつ極小 曲面 とな る曲面 につ いて,次
の命題 を示 す。命題
4.6線
織面 の うち極小 曲面 で あ る曲面 は,平
面,も
し くは,常
螺旋面 (図417b):
p(Z,υ)=(0,0,αZ tt b)+υ (COSし ,Sln鶴 ,0)
のみである。
証明 命題
34よ
り,可
展面 かつ極小 曲面 で あるもの は,平
面 で あ ることが わか る。以下 で は,可展面 で ない線織 面 が極 小 曲面 とな るた めの条件 を考 え る。 この とき
,線
織 面 の標 準 的表示 バZ,υ)=C(υ )+υα(Z)に 対 して,pし =C′十υ♂, pυ
=d,
さらに pしし=p′′+υd″, Pしυ
=♂
, pυ υ=o
であるか ら
,第
一基本量E,二 Gは
,E=ど
・cr tt υ2, F=c′ d, G=1
であ り
,曲
面の単位法ベ ク トルを2(%,υ)とす ると,第
二基本量 五,y,Nは
,L=lp′
′+υ ♂′)π , y=♂
・η,
Ⅳ=o
となる。 したがって
,平
均曲率 ″=0と
なるとき,2(Eσ ―F2)∬
=EⅣ ‑2F″ +GZ=‑2(ご
d)♂ π+(ど′+υ ♂′)η =0
が成 り立つ
.こ
の両辺にlpυ ×pυl≠ 0を 掛け,行
列式の性質を用いれば,‑2(ご d)det(α′
,C′,α)十 υ(det(Cr′ ,d′,α)+det(d″ ,Cr,d))+υ2det(d″,♂
,d)=o
ン﹂
□
な る す な 面と
曲 小 が極 面 曲 ば ０ れ
討 Ｊ
注 ｃ′