特徴的な曲面 と建築への応用

本章では

,ガ

ウス曲率・平均曲率が特徴的な値 をもつ曲面について述べ る。 まず

,ガ

ウス曲率が 一定である曲面 と平均曲率が一定である曲面 は

,互

いに一方か ら他方を構成することができること の証明をおこない

,ガ

ウス曲率が一定 となる回転面 を具体的に構成する.

その後

,線

織面や極小曲面 といった

,ガ

ウス曲率・平均曲率が特徴的な値 をもち

,か

つ建築への 応用例がみ られ る曲面 について述べ る。 とくに

,第 ^2章

^で扱つた

^2次

^{曲面の うち}

,一

葉双曲面・双

曲放物面 については多 くの建築への応用例がみ られ るため

,詳

し く考察 をおこなう。

4.1  ガ ウス 曲率 一 定 曲面 と平 均 曲率 一 定 曲面 の 関係 4.1.1  _平行曲面

ガウス曲率一定曲面か ら平均曲率一定曲面 を得 るために平行曲面 とい う概念 を導入する。 まず,

平行曲面のガウス曲率および平均曲率 を計算す る際 に用 いる

,ワ

インガルテンの式を示 してお く。

命題

^4。

■曲面

_{pO,υ )の}

第一基本量を ^E,二 G,第二基本量を ^L,y,Ⅳ ,単 位法ベクトルをπ

(z,υ)

とす る とき,

G五 一

FM  EM― FL

ηし

= Eσ

―

F2pし ̲Eσ

―F2pυ σ

y― _FⅣ   EⅣ

―

FM

πυ

= EG― _F2pし ̲Eσ

―

F2pυ

が成 り立つ。

この関係式 をワインガルテ ンの式 とい う

.ワ

イ ンガルテ ンの式 は

,行

列 を用 いて,

と表示 す るこ ともで きる。

証 明

 

^曲面

^pし

,υ)の単位法 ベ ク トル η につ いて

,π  

π

=1の

^{両辺 を し},υ で それ ぞれ偏微分 すれ ば

,π

し。η

=η

υ

 

^π

=0を

みたす

.し

たが つて

,π

し,πυは曲面 の接平面 にの つてお り,

崚

ヽ一 １

︐ ノ

Ｆ σ

Ｅ Ｆ

／ ｒ ｔ

＼ ヽ

ｌ

′ ノ ｙ

Ⅳ Ｌ 豚

／ ｒ

︲

＼

一

ヽ １

′ ノ し   υ

η  π

／

′

︲ ヽ

＼

πし=α

P%+bpυ

πυ

=CPし

+αPυ

と表す ことができる。 これ らとPし ,pυ それぞれ との内積を とれば,

πし^pし =α

E+btt 

_πυ pし

=J ttα F

πし^pυ =α

F+bG, 

πυ pυ

=cF+α G

を得 る。 これは

,第

^{二基本量の定義か ら}

(Fg)(::)=― ^{(ル F)}

と表す ことができる。

 

^{この両辺 に左か ら}

(I [) 1を

^{掛 ければ,}

(::)=一 ^{万 ぎ ≒ 戸} (g影

ぜ 碗 :gFIF錫

)

となり

,命

題の式が成 り立つ。

この命題から,ηしとηυとの外積を考えると^,

□

η しX _{η υ}= ^{(G五 一}

Fル

の (EⅣ ^―

Fy)̲(EM― FZ)(GM一 FⅣ

)

(EG̲F2)2

^{pし ×pυ}

=皇 翌量

晨発多 ^yf5与 型

=2Pし ×

_Pυ

=K(pし

^×pυ)

を得 る。 さ らに

,η

し^x pυ とpし ×πυの和 を考 える と,

0し

×

"IL× → ^=← 罫 ― 欅 _)L× ^L

EⅣ ‑2FM+GL

EG̲F2  pし

^×

%

=‑2〃

^{pし ×pυ}

となる。以上より次の系が得 られる.

系

 

曲面_P(z,υ)の 単位法ベク トルを π とし

,ガ

^{ウス曲率を κ}

,平

^{均曲率を∬ とすると,}

ηし × πυ

=κ

^{pし ×pυ}

(π

し× %)+0し ^×πυ )=‑2〃

^pし

^×

^pυ

が成 り立つ。

曲面_{pO,υ )の}単位法ベクトル η_(z,υ)に対して

, 

入を定数として,

多(鶴 ,υ

)=P(Z,υ )+λ

^π(%,υ)

で与えられる曲面を

,pし

,υ)の平行曲面という。ただし,多り^,υ)は ,多し,ρυが 1次独立とならな い点を含む可能性がある

.こ

のような点は

,平

行曲面の特異点 とよばれる。

定理

4.1曲

_{面P(z,υ)のガウス曲率を}

K,平

均曲率を″ とし

,pし

,υ)の平行曲面

j(鶴_,υ

)=p(し

^,υ

)+λ

^η(し ,υ)

のガウス曲率を″

,平

均曲率を■ とするとき,

i=   _{瀬 =}

が成 り立つ。

証 明 命題4.1お よび

,そ

の系 を用 いれ ば,

多し×^jυ =lpし +ληし_{)× (pυ tt} λπυ)

=pし ^×pυ +λ_((ηし×^pυ)+lpし ^×ηυ))+λ^2πし×πυ

=(1‑2λ

^″+λ

^2K)1%×

^pυ

とな る。 したが つて,P(υ,υ),多 (Z,υ)の単位法 ベ ク トル をそれ ぞれ π_,免 とす る と,

免

=織 =  

満

=  

^π

が成 り立つ。 とくに

,免

し×免υ

=η

u× ηυとなる。ゆえに

,再

^び命題

41の

系から

″(1‑2λ^″+λ^2)pし ×_Pυ

=χ

うし×ρυ

=元

し×免υ

=π

し×πυ

=KPし

^×pυ

であるか ら,

K=

1‑2λ

″+λ^2」κ が成 り立つ。

さ らに

,命

^題

41と ,そ

の系 を用 いれ ば,

‑2■

_(1‑2λ

∬

_+λ^2K)pし

×

_Pυ

=‑2iう し x島

=(免 し×

^jυ)十 (ρ

し×免υ

) κ

《 %×

"I九 ^{× %D}

・ し×

(← ^Pυ)―

卜

_lpし

×πυ

)J卜2λ 

πし×πυ

)

=       (‑2∬ +2Kλ

)pし ×pυ

となる

.し

^たがつて,

∬ = ^{″ ― λκ} 11‑2λ^″ +λ2KI が得 られ

,定

理 は示 された。

ここで

,ガ

ウス曲率

Kが

正 の定数であるような曲面^p(し,υ)の 平行曲面

ル ^{,0=pし ,0+寿} η し ^,0

を考える。_P(z,υ)の 平均曲率 を ∬

,主

曲率 を κl,κ2と すれば^,

4(Л「

2̲K)=(κ _l+κ

_2)2̲4κ

lκ

2=(κ l κ

2)2≧ 0

であり

,III≧ yπ >0が

成 り立つ。よって

,必

要であればυの向きを入れ替えることで

,〃 >0

としてよい。このとき

,P(Z,υ)が

済点をもてば ,暦 点では∬ =/π ^{であるから}

^,

うし×

^jυ

=(1‑2c乃 ^へκ西 )+1〉 為×

^pυ

=0

となり _,pり

,υ)の

騎点は

_{,c,υ )の}

特異点にうつる。

P(z,υ)の

騎点でない点では∬ >/π であ

るから

,定

理

41よ

_{り,p(し,υ)の}平均曲率 〃 は,

.=ば ― √ )√ =ギ

となり,曲面

,o,υ )は

平均曲率一定の曲面となる。同様に,曲面

P(z,υ)の

平行曲面

ドキュメント内 曲面の微分幾何と建築への応用 (ページ 43-46)