謀 響 告 盟 ,4=
毛 =:濃 ギ島
,rib=
場 =
現
= 2G島 2(EG―
一 σGしF2) '
―FGυ2(EG―
F2)が得 られ る.
定理
3.3曲
面P(z,υ)の 第一基本量 をE,二 Gと
す ると,ガ
ウス曲率Kは
κ
=E(島
συ‑2几
G.υ+Gし
2)4(Eθ―F2)2
F(比
Gυ ―島 θし‑2島
鳥‑2凡
σし+4鳥
鳥)4(Eσ ―F2)2
G(比
Gし‑2島
島+島
2)4(Eθ ―F2)2
Eυυ
‑2島
υ+Gし
し 2o5θ一
F2) で与 え られ る。証 明
ク リス トッフェルの記号 を用 いて計算 す る と,
p、し υ pυ
=(p%し pυ)υ ― p。し pυυ
=((4占 %+「 ∴
pυ+Lπ
)pυ)υ―
(「Apυ+「 みぁ 十五π )(■ 尭
pし+長 島 L+Ⅳ π
)=(■ iF+■
lG)υ ―(■tE+ri F)r現 ̲(■ IF+■ lG)f曳
―LⅣ==ι
υ :Eυυ:Eし
ごゝ2‑(FL―
:Eυ・
)ご
2‑五
ハ「となる。一方,
pしυし Pυ =(pしυ・pυ)。 一IPしυ12
=((■ あ
pし+4ち
pυ tt yη)pυ)し―
￨二あ
pし十二ι
Pυ ttχη
12=(4あ F十 二 ι G)し 一 (■あ E+二 あ F)二 あ ― (■あ F+4ι G)二 ι
=:Gし し :Eυ ・
Iち―
:GしIIち
―χ
2となる
.こ
こでpししυ=pしυしより,pししυ pυ =pしυしpυ が成 り立つことから,五
Ar̲飛 r2==し
υ̲:Eυ
υ―:Eしごゝ
2‑(FL―
:Eυ・
)ご
2‑:Gし
し+:Eυ
ごミ2+:Gし
ごた2
が成 り立つ。 ここにクリス トッフェルの記号を第一基本量で表す式を代入 し
,両
辺をEθ ―F2で
割れば,
K=LⅣ ̲χ
2を第一基本量 で表す こ とがで き
,定
理 の式が得 られ る。□
3.6 測地線
+
平面上の直線 に相当す る曲面上の曲線 一測地線 ―を定義する。
定義
曲面P(%,υ)上 の曲線 P(t)=P(Z(ι),υ(ι))に ついて
,P(t)が
つねに曲面 に垂直であるとき,P(t)を 測地線 とい う。
この定義か ら
,測
地線P(ι)に ついて,P(ι )と P(ι)は 直交す ることがわか る。 したがって,勇レ 12=η p=0
が成 り立つ。すなわち
,測
地線のパ ラメータ tは 弧長 に比例する。ここで
,曲
面上の曲線P(ι)=P(Z(ι),υ(ι))が 測地線 となるための条件 について考 える。P(ι)t,pし +tι物 をさらに ιで微分 して
,ク
リス トッフェルの記号 を用 いれば,P(ι
)=η
pし+υpυ +雹2pしし+2zυpしυ+υ2pυυ=し +■っ 2+2「
1ち雹υ +場 υ
2)pし+(υ +」
咀 %2+2■
%zυ+巧ちυ 2)2
+(υ
2L+2zυ
χ +υ2Ⅳ)η
を得 る。 曲面上 の曲線P(ι
)=P(υ
(ι),υ(ι))が測地線 で あ るた めの必要十分条件 は,上
式 のpし,Pυの係数が0とな るこ とであ る こ とで あ るか ら
,次
の命題 が得 られ る。命題
3.5曲
面 p(%,υ)上
の 曲線 P(ι)=P(υ
(ι),υ(ι))が測 地 線 とな るた め の 必 要 十 分 条 件 は じ(ι),υ(ι)が{;￨:illI:‡ :北 I:‡
il力;:::
をみたす ことである。 これを測地線の方程式 とい う。
ここで
,色・ =れ
/αι ,0:=あ
/あとおけば ,測 地線の方程式は
24色 う一場 。
22毛
こう一 」あ う2とな る。定理A。
4か
ら,曲
面上 の点P(z。,υo)と その点での接 ベ ク トル ξPし (Zo,υo)十ηpυ(包o,υo)≠ 0 を与えれば,初
期条件Z(0)=Zo,υ
(0)=υo,こ(0)=ξ,0(0)=η
をみたす解が十分小さいtの範囲でただ一つ存在する。3。
7 測地的極座標
曲面上の一点
Pと ,Pで
の接ベク トルcを
ひ とつ固定す る。 さらに,実
数の組(r,θ)に 対 して,Pに
おける曲面の接ベク トルが cと 角 θをなすような測地線 を考 え,Pか
らの測地線の長 さが rと な る点Qを
対応 させ る。十分 に小 さいrに対 して,(r,θ)は 曲面 の局所座標 を与 える。 この局所座 標 (r,θ)を,点 Pを
極 とす る測地的極座標 とい う。補題 3.■ 測地的極座標表示 された曲面P(r,θ)に 対 して,
2・
レ =1,pr・
pθ=0,r騨 。 %井 =1
が成 り立つ。
証明
θを固定 したとき
,r曲
線P(r)=P(r,θ)は 弧長パ ラメータ表示された測地線 となるか らpr pr=1
が成 り立 つ。
この こ とか ら(pr・ pr)θ
=0で
あ る。 さ らに測地線P(r)=p(r,θ)に関 して,prrは
曲面 の法線 ベ ク トル方向を向いてい るか ら3r・ pθ=0が
成 り立つ。 したが って,θ を固定 した とき,lpr pθ)r=prr pθ
+pr pθr=:lpr・
pr)θ=0
が成 り立つ。すなわち,pr pθ は
rに
よらず一定である。さらに,p(0,θ)=Pよ
りpθ (0,θ)=0
を得 る。以上より
pr(r,θ)・Pθ (r,θ)=pr(0,θ)・ Pθ (0,θ
)=0
となる。
さらに ,pr(0,0)方 向の単位ベクトルを cl,pr(0,7/2)方 向の単位ベクトルを
c2とおくと
,Pr(0,θ
)=COS
θ el+sln θ e2と表す ことができる。 したがつて
,ロ
ピタルの定理 (定理A3)を
用い ると,r露 。 ≒弁 =r騨 。 7
=rh母 。
lprrθ・
Pθ +prθ prθ)=(―
SIn θ el+cosθ e2)( SIn θ el+cos θe2)=1
とな り
,示
された.
□この補題か ら
,測
地的極座標によってパ ラメータ表示 された曲面P(r,θ)の 第一基本量E,ュ G
および面積要素 α
Sは
,r彎
撃 。 子
==1,し た がっ て
, rll母。 gr=1
となる正値関数g(r,θ)を 用 いて,
E=1, F=0, G=ク 2,
αs=ク
dr dθと表す ことがで きる
.こ
の ときガウス曲率Kは ,定
理33か
らgrr
K= g
となる。 また
,曲
面P(r,θ)上の曲線P(s)=P(γ(S),θ(S))が測地線 となるための必要十分条件 は, 命題35か
ら{:II:￨′ ∫F![θ′ 2=0
となる。
補題
3.2測
地的極座標表示 された曲面P(r,θ)上
の弧長パ ラメータ表示された測地線P(s)P(r(S),θ(S))を考える。このとき
,ノ
(S)とPrの
なす角をφ(s)と すると,φ′
(S)=―
θ′(S)多(r(S),θ (S))が成 り立つ。
証明
曲面P(r,θ)の 第一基本量
E,ュ Gが
E=1, F=0, G=ク 2 (gは
正値関数)となることから
,prと
pθ/gは
接平面の正規直交基底をなす。よって,IP′(S)￨=1で
あること から,P′(S)=COSφ
pr+皇
聖二pθg と表す ことができる。一方,P′(s)=r′(S)pr+θ′
(S)pθ であるか ら