2 日本航 空 字宙 学 会 誌 第41巻 第470号(1993年3月)
− 特 集 −
乱 流 モ デ ル と 圧 縮 性*1
吉 澤 徴*2
Key Words : Turbulence, Modeling, Compressibility
1.ま
え
が
き
時 間 ・空間 的 に複 雑 に変 動 する流れ は通常 「
乱 流」
と総 称 され,理 工学 の様 々な分野 に現 れ かつ多 くの場
合 それ ぞれ の分野 で本 質的 な役割 を担 ってい る.関 連
す る分野 は水 や空気 の流動 を主 た る対 象 とす る航 空工
学,機 械 工学,地 球物 理学 等 か ら電離 気体 を扱 うプ ラ
ズマ物理学,天 体物理 学 まで広 が ってい る.乱 流 が主
要 な役割 を演 じる意外 な例 は,わ れわ れ に大 変 身近 な
地磁 気 であ る.地 球 の中心付 近 に は内核 と呼 ばれ る固
体部 分が あ るが,地 磁 気 はその外 側 にあ る熔 融 した鉄
を主 成分 とす る外核 中の電 導性流 体の 乱流運 動 に よっ
て維 持 され てい る と現 在考 えられて い る1).
航 空工学 にお ける乱 流 は,プ ラ ズマ を含 む電導 性流
体 にお ける電磁 流体乱 流 と並 んで知的好 奇心 を駆 り立
てる数学的,物 理学 的要素 を持 って い る.後 者 にお い
ては磁 場 と電流 に よる ロー レンツカ は水等 の 中性 流体
には見 られ ない流動効 果 を生 み,そ の流動 は逆 に磁 力
線 をね じ曲 げる とい う複雑 な様相 を作 り出す.本 小論
の主題 と密 接す る前者 で は,超 音 速等 の高速 効果 に よ
って密度変 化す なわ ち圧縮 ・膨張 によ る内部 エ ネル ギ
ー の変化 が生 じ
,力 学 エ ネル ギー と熱 力学 エ ネルギ ー
の相 互変換 が本 質的要 素 とな る.そ の 結果,密 度 変化
の影 響 を無 視 で きる低 速の流 動現 象 には見 られ ない特
徴が 生 じ,非 圧縮 性乱 流の知 識 を利用 して圧 縮性 乱流
著
者 紹
介
吉澤 徴 昭 和17年 生,東 京 都 出身.昭 和 45年 東 京大学 大学 院理学 系研 究 科 博士課程(物 理学専攻)修 了 現在, 東京大学生産技術研究所教授,流 体 物理学,特 に乱流理論 を専攻.乱 流 モ デ リン グ を通 し て,天 体 ・核 融 合 プ ラ ズ マ現 象 を含 む種 々 の 乱 流 現 象 の 研 究 に従 事. の 特 性 を推 測 す る 際 様 々 な 注 意 が 必 要 とな る. 上 述 の 典 型 的 な 例 と し て,圧 縮 性 乱 流 の モ デ リング が あ る.航 空 工 学 等 で 遭 遇 す る よ うな 高 レ イ ノル ズ数 流 れ を計 算 機 実 験 す る と き,そ の 中 に含 まれ るす べ て の 変 動 ス ケ ー ル を 取 り扱 う こ とは,次 節 で 述 べ る よう に か な り遠 い 将 来 を考 え て も可 能 性 は な い.こ のた め,エ ネ ル ギ ー 散 逸 と関 係 す る 小 ス ケ ー ル の 乱 流 効果 を 適 当 な モ デ ル を 用 い て 補 足 せ ざ る を得 な い.現 在 は 大 き な ス ケ ー ル で の 密 度 変 化 を 考 慮 す る代 わ りに,乱 流 モ デ ル は非 圧 縮 性 乱 流 モ デ ル を ほ とん どそ の ま ま使 用 し て い る.し か し,衝 撃 波 と乱 流 の 干 渉 が 生 じる高 マ ッハ 数 流 れ に お い て は この よ う な 方 法 は 満 足 す べ き 結 果 が 得 ら れ な い2∼4）.その 主 要 原 因 の 一 つ に,乱 流 成 分 に圧 縮 性 の 効 果 が 考 慮 され て い な い こ とが あ る. 本 小 論 で は,乱 流 モ デ ル の 概 観 を与 え る と共 に,圧 縮 性 か ら生 じ る特 性 に つ い て 述 べ る.筆 者 は 流 体 物理 学 の 立 場 か ら圧 縮 性 乱 流 を研 究 し て い る た め,航 空工 学 を専 門 とす る読 者 に は 応 用 面 へ の 言 及 に お い て物 足 りな い部 分 も多 い と思 わ れ るが,そ の 点 に 関 して は引 用 文 献 で 補 充 さ れ た い. 2.基 礎 方 程 式 圧 縮 性 を考 慮 し た 流 体 運 動 の 基 礎 方 程 式 は,質 量, 運動量，内部 工ネ ル ギ ーの各保存則で記述される： ∂ρ／∂t+▽ ・(ρu)=0,(1)
(∂/∂t)ρui+(∂/∂xj)ρujui =-∂P/∂Xi+(∂/∂xj)μSji,` ,(2)
(∂／∂t)ρe+▽ ・(ρue)=-P▽ ・u+φ
+▽ ・(x▽ θ).
(3)
こ こ で,ρ は 流 体 密 度,μ は 速 度,eは 内 部 エ ネ ルギ ー,Pは 圧 力,θ は 温 度,μ は 粘 性 率,xは 熱 伝 導 率,エ ネ ル ギ ー 散 逸 率 φ とSijは φ=μ[(∂uj/∂xi)2十(1/3)(▽ ・μ)2],(4)
sij=∂u丿/∂xs+∂ui／ ∂xj 一(2/3)▽ ・uδij(5)
で 定 義 さ れ る[繰 り返 し添 え字 に つ い て は和 を と る(縮 約 の 規 則)]. ＊1平 成3年4月 ,日 本 航 空宇 宙 学 会 第23期 年 会 に て講 演. 平 成3年6月10日 原 稿 受 理Turbulence Modeling and Compressibility ＊2東 京 大 学 生 産 技 術 研 究 所Akira YOSHlZAWA (116)乱流 モ デ ル と圧縮 性(吉 澤 徴) 3
理想気体 に対 す る熱 力学関 係式 は,
P=(γ-1)ρe,e=Cv(θ)θ(6)
と な る(γ=Cρ/Cv;Cρ,Cvは 定 圧,定 積 比 熱 で あ る). 3.エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ル 以 下7節 まで は 密 度 変 化 を 無 視 して 非 圧 縮 性 乱 流 に っ い て考 察 す る.細 か い 変 動 の 少 な い流 れ は乱 流 に 対 比 して層 流 と呼 ば れ る が,こ の 種 の 流 れ で は エ ネ ル ギ ー散 逸 す な わ ち粘 性 効 果 は 固 体 壁 近 傍 等 に 代 表 され る 強 い速 度 勾 配 を持 つ領 域 に 限 定 され る.換 言 す る と, 層流 で は上 記 以 外 の 領 域 で は速 度 の 空 間 変 化 が 小 さ い た め,「 乱 れ が な い 」 とい う状 況 が 生 じ る. で は,固 体 壁 近 傍 以 外 で 粘 性 作 用 が 重 要 と な る場 合 何が その ス ケ ー ル(エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ルld)を 決 定 し,そ れ は どの 程 度 の 大 き さ に な る の で あ ろ う か. ｌdの評 価 に は 固 体 壁 近 傍 で な い こ と か ら 固 体 壁 ま で の距 離 等 の 長 さ ス ケ ー ル は 本 質 的 で は な く,動 粘 性 率 νが 重 要 と な る こ とは 明 らか で あ る.ま た,散 逸 さ れ るエ ネ ル ギ ー量 も重 要 な物 理 量 で あ る こ とか ら,単 位 時 間,単 位 体 積 当 た り流 体 中 で 散 逸 され る エ ネ ル ギ ー εをldを 決 定 す る も う 一 つ の 物 理 量 と 考 え る と,次 元 解析 よ り, ｌd=0[(ν3/ε)1/4](7)
とな る.(7)を 用 い てldの 大 き さ を評 価 す る た め に は,ε が どの 程 度 の 大 き さか を 知 る必 要 が あ る.散 逸 され る エ ネ ル ギ ー 量 は 注 ぎ込 ま れ る エ ネ ル ギ ー 量 を 越 える こ とは な い の で 後 者 を決 定 す る物 理 量,例 え ば 円 管流 な ら断 面 の 半 径,断 面 平 均 速 度 等 の 基 準 と な る 長 さL,速 度Vを 用 い て ε も量 ら れ る は ず で あ る.す なわ ち, ε=O(V3/L).(8)
(7),(8)よ り ｌd/L=O(R-3/4),R=VL/ν,(9)
ここで,Rは レ イ ノル ズ 数 で あ る. で は,(9)が 正 し い と し た ら何 を 意 味 す る の で あ ろ う か.ま ず レ イ ノ ル ズ 数Rが 大 き い と い う こ と は, 流 れ の 中 にLで 測 ら れ る 長 さ ス ケ ー ル か ら微 小 なld の もの まで 非 常 に 多 数 混 在 す る こ と を意 味 す る.す な わ ち,わ れ わ れ が 流 れ を乱 流 と呼 ぶ の は,そ の 中 に変 化 の早 い 小 ス ケ ー ル の 変 動 が あ る と きで あ り,(9)は 正 にRが 大 き い と き に そ の よ う な こ とが 起 こ り得 る こ とを示 して い る. 一 方,乱 流 の 数 値 計 算 上 か らは(9)は 必 要 とす る 自 由度(領 域 分 割 数 あ る い は モ ー ド数)に 強 い 制 約 を課 す こ と に な る.(9)が 正 しけ れ ば,乱 流 状 態 を計 算 機 上 に正 し く再 現 す る に は,N=O[(L/ld)3]=O(R9/4)
(10)
の 自 由 度 が 必 要 と な る.航 空 工 学 に お け るRが ど の 程 度 の もの で あ り.ま た計 算 時 間 ま で 含 め る と一 次 元 当 た り102程 度 の 自由 度 を と る こ と が 現 在 の 流 れ の 数 値 実 験 の 限 界 で あ る こ とを 考 慮 す る と,(10)の 持 つ意 味 の 重 大 さ を容 易 に理 解 で き る で あ ろ う 現 在 お よ び 将 来 予 見 し得 る計 算 機 ハ ー ド ウ エ ア の 能 力 を 考 え た と き,ldス ケ ー ル の 現 象 を 何 ら か の 方 法 で 補 わ な い か ぎ り,乱 流 の 数 値 実 験 は 信 頼 性 に乏 し い とい え る. 4.ε の 評 価 の 重 要 性 前 節 の 議 論 は(9)の 正 否 に か か って い るが.現 在 の 乱 流 の 理 論 か つ 実 験 的 研 究 か ら は これ を 否 定 す る理 由 は ま っ た くな い.こ の よ う な と き,小 さ な ス ケ ー ル に は興 味 は な い の で,数 値 粘 性 等 で 小 ス ケ ー ル を適 当 に 処 理 す れ ば 流 れ の 主 要 部 分 とな る大 き な ス ケ ー ル の 運 動 を 再 現 で きる とい う粗 野 な 意 見 も散 見 す る.こ の よ うな 推 論 に 意 味 が な い こ と を示 す た め に,非 圧 縮 性 乱 流 に お け る時 間 な い し ア ンサ ン プ ル平 均 量 を考 え て み よ う.こ の 種 の 平 均 量 は流 れ の も っ と も大 き な ス ケ ー ル と 関 係 す る量 で あ る か ら,こ の 種 の 量 す ら εの 正 しい 評 価 な し に は 的 確 に求 め ら れ な い こ と を 示 せ ば 十 分 で あ ろ う.物 理 量fを 平 均 部 分fと そ の ま わ り の 揺 ら ぎf'に 分 け る:f=f+f'.
(11)
こ こ で,fはdu,P等 を 表 し,平 均 は 時 間 な い し ア ン サ ン プ ル 平 均 と す る. (1),(2)よ り, ▽ ・u=0,(12)
(∂/∂t)ui+(∂/∂xj)ujui =-(∂/∂Xi)(P/ρ) +(∂/∂xj)(Rji+νSji).(13)
こ こ で,Rijは レ イ ノ ル ズ 応 力 で あ り. Ｒij=-u'iu'j(14)
で 定 義 さ れ る.Rijは 本 来 の 運 動 量 保 存 則 と そ の 平 均 部 分 を 区 別 す る唯 一 の 量 で あ る こ とか ら,そ の 重 要 性 は 自明 で あ ろ う.Rijの 対 角 和 は 乱 れ の エ ネ ル ギ ー に 密 接 して い る.す な わ ち, ｋ=u’2/2=-Rii/2.(15)
kは ∂k/∂t十▽ ・(uk)=P-ε+▽ ・T(16)
に よ っ て 記 述 さ れ, P=Rij∂uj/∂xi,(17)
ε=ν(∂u‘i/∂xi),(18)
T=-(u'2/2+P')u'+ν ▽k(19)
で 定 義 され る.(17)の 各 量 は それ ぞ れ 時 間 な い しア ン サ ン ブ ル 平 均 下 で の 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 成 率,散 逸乱流 モ デ ル と圧縮 性(吉 澤 徴) 3
理想気体 に対 す る熱 力学関 係式 は,
P=(γ-1)ρe,e=Cv(θ)θ(6)
と な る(γ=Cρ/Cv;Cρ,Cvは 定 圧,定 積 比 熱 で あ る). 3.エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ル 以 下7節 まで は 密 度 変 化 を 無 視 して 非 圧 縮 性 乱 流 に っ い て考 察 す る.細 か い 変 動 の 少 な い流 れ は乱 流 に 対 比 して層 流 と呼 ば れ る が,こ の 種 の 流 れ で は エ ネ ル ギ ー散 逸 す な わ ち粘 性 効 果 は 固 体 壁 近 傍 等 に 代 表 され る 強 い速 度 勾 配 を持 つ領 域 に 限 定 され る.換 言 す る と, 層流 で は上 記 以 外 の 領 域 で は速 度 の 空 間 変 化 が 小 さ い た め,「 乱 れ が な い 」 とい う状 況 が 生 じ る. で は,固 体 壁 近 傍 以 外 で 粘 性 作 用 が 重 要 と な る場 合 何が その ス ケ ー ル(エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ルld)を 決 定 し,そ れ は どの 程 度 の 大 き さ に な る の で あ ろ う か. ｌdの評 価 に は 固 体 壁 近 傍 で な い こ と か ら 固 体 壁 ま で の距 離 等 の 長 さ ス ケ ー ル は 本 質 的 で は な く,動 粘 性 率 νが 重 要 と な る こ とは 明 らか で あ る.ま た,散 逸 さ れ るエ ネ ル ギ ー量 も重 要 な物 理 量 で あ る こ とか ら,単 位 時 間,単 位 体 積 当 た り流 体 中 で 散 逸 され る エ ネ ル ギ ー εをldを 決 定 す る も う 一 つ の 物 理 量 と 考 え る と,次 元 解析 よ り, ｌd=0[(ν3/ε)1/4](7)
とな る.(7)を 用 い てldの 大 き さ を評 価 す る た め に は,ε が どの 程 度 の 大 き さか を 知 る必 要 が あ る.散 逸 され る エ ネ ル ギ ー 量 は 注 ぎ込 ま れ る エ ネ ル ギ ー 量 を 越 える こ とは な い の で 後 者 を決 定 す る物 理 量,例 え ば 円 管流 な ら断 面 の 半 径,断 面 平 均 速 度 等 の 基 準 と な る 長 さL,速 度Vを 用 い て ε も量 ら れ る は ず で あ る.す なわ ち, ε=O(V3/L).(8)
(7),(8)よ り ｌd/L=O(R-3/4),R=VL/ν,(9)
ここで,Rは レ イ ノル ズ 数 で あ る. で は,(9)が 正 し い と し た ら何 を 意 味 す る の で あ ろ う か.ま ず レ イ ノ ル ズ 数Rが 大 き い と い う こ と は, 流 れ の 中 にLで 測 ら れ る 長 さ ス ケ ー ル か ら微 小 なld の もの まで 非 常 に 多 数 混 在 す る こ と を意 味 す る.す な わ ち,わ れ わ れ が 流 れ を乱 流 と呼 ぶ の は,そ の 中 に変 化 の早 い 小 ス ケ ー ル の 変 動 が あ る と きで あ り,(9)は 正 にRが 大 き い と き に そ の よ う な こ とが 起 こ り得 る こ とを示 して い る. 一 方,乱 流 の 数 値 計 算 上 か らは(9)は 必 要 とす る 自 由度(領 域 分 割 数 あ る い は モ ー ド数)に 強 い 制 約 を課 す こ と に な る.(9)が 正 しけ れ ば,乱 流 状 態 を計 算 機 上 に正 し く再 現 す る に は,N=O[(L/ld)3]=O(R9/4)
(10)
の 自 由 度 が 必 要 と な る.航 空 工 学 に お け るRが ど の 程 度 の もの で あ り.ま た計 算 時 間 ま で 含 め る と一 次 元 当 た り102程 度 の 自由 度 を と る こ と が 現 在 の 流 れ の 数 値 実 験 の 限 界 で あ る こ とを 考 慮 す る と,(10)の 持 つ意 味 の 重 大 さ を容 易 に理 解 で き る で あ ろ う 現 在 お よ び 将 来 予 見 し得 る計 算 機 ハ ー ド ウ エ ア の 能 力 を 考 え た と き,ldス ケ ー ル の 現 象 を 何 ら か の 方 法 で 補 わ な い か ぎ り,乱 流 の 数 値 実 験 は 信 頼 性 に乏 し い とい え る. 4.ε の 評 価 の 重 要 性 前 節 の 議 論 は(9)の 正 否 に か か って い るが.現 在 の 乱 流 の 理 論 か つ 実 験 的 研 究 か ら は これ を 否 定 す る理 由 は ま っ た くな い.こ の よ う な と き,小 さ な ス ケ ー ル に は興 味 は な い の で,数 値 粘 性 等 で 小 ス ケ ー ル を適 当 に 処 理 す れ ば 流 れ の 主 要 部 分 とな る大 き な ス ケ ー ル の 運 動 を 再 現 で きる とい う粗 野 な 意 見 も散 見 す る.こ の よ うな 推 論 に 意 味 が な い こ と を示 す た め に,非 圧 縮 性 乱 流 に お け る時 間 な い し ア ンサ ン プ ル平 均 量 を考 え て み よ う.こ の 種 の 平 均 量 は流 れ の も っ と も大 き な ス ケ ー ル と 関 係 す る量 で あ る か ら,こ の 種 の 量 す ら εの 正 しい 評 価 な し に は 的 確 に求 め ら れ な い こ と を 示 せ ば 十 分 で あ ろ う.物 理 量fを 平 均 部 分fと そ の ま わ り の 揺 ら ぎf'に 分 け る:f=f+f'.
(11)
こ こ で,fはdu,P等 を 表 し,平 均 は 時 間 な い し ア ン サ ン プ ル 平 均 と す る. (1),(2)よ り, ▽ ・u=0,(12)
(∂/∂t)ui+(∂/∂xj)ujui =-(∂/∂Xi)(P/ρ) +(∂/∂xj)(Rji+νSji).(13)
こ こ で,Rijは レ イ ノ ル ズ 応 力 で あ り. Ｒij=-u'iu'j(14)
で 定 義 さ れ る.Rijは 本 来 の 運 動 量 保 存 則 と そ の 平 均 部 分 を 区 別 す る唯 一 の 量 で あ る こ とか ら,そ の 重 要 性 は 自明 で あ ろ う.Rijの 対 角 和 は 乱 れ の エ ネ ル ギ ー に 密 接 して い る.す な わ ち, ｋ=u’2/2=-Rii/2.(15)
kは ∂k/∂t十▽ ・(uk)=P-ε+▽ ・T(16)
に よ っ て 記 述 さ れ, P=Rij∂uj/∂xi,(17)
ε=ν(∂u‘i/∂xi),(18)
T=-(u'2/2+P')u'+ν ▽k(19)
で 定 義 され る.(17)の 各 量 は それ ぞ れ 時 間 な い しア ン サ ン ブ ル 平 均 下 で の 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 成 率,散 逸 (117)4 日本航 空 宇宙 学 会 誌 第41巻 第470号(1993年3月) 率,輸 送 率 で あ る. も し,乱 流 の 数 値 実 験 で(9)の 空 間 ス ケ ー ル を持 つ 乱 れ か ら生 じ る εが 正 し く評 価 で き て い な い と し た ら ど う な る で あ ろ うか.(16)よ り,kが 正 し く求 め ら れ な い こ と は 自明 で あ る.ま た,(15)よ り対 角和 が 正 し くな い と き,Rijの 各 成 分 そ の も の が 正 し い こ と も あ り得 な い.そ の 結 果,最 も大 き な ス ケ ー ル に 関 連 し た(13)uの す ら信 頼 で き な い こ と に な る.kとRijの 成 分 が 密 接 す る典 型 的 実 験 事 実 と し て,固 体 壁 の 近 傍 に お け る 関 係 式 u'ν'/k≒const
(20)
が あ る.こ こ で,π',ν'は そ れ ぞ れ 固 体 壁 に 平 行,垂 直 な 乱 れ 速 度 の 成 分 で あ る. εの 取 り扱 い に 関 し て 注 意 を払 わ な い 議 論 は,大 き な ス ケ ー ル の運 動 が 最 も重 要 で あ る とす る 「迷 信 」 か ら来 て い る.こ の 点 が 正 しい の は 力 や エ ネ ル ギ ー に関 し て の み で あ る.例 え ば,剥 離 点 が は っ き り し て い る 角 を 持 つ物 体 が 受 け る 抵 抗,揚 力 等 の 積 分 量 は,小 ス ケ ー ル の 運 動 の 正 確 な 取 り扱 い が な さ れ て い な くて も あ る 程 度 の 評 価 が で き る こ とが あ る.そ の 古 典 的 な 例 は死 水 理 論 あ る い は そ の 改 良 に基 づ く抵 抗 の 評 価 で あ る.し か し,熱 等 が どの よ う に拡 散 す る か に 関 し て は,そ の よ う な 方 法 で は有 意 な 情 報 は 得 ら れ な い.す な わ ち,乱 流 に お い て は エ ネ ル ギ ー 等 の 「一 点 で の 強 度 」 を表 す 物 理 量(熱 力 学 で の 用 語 で は,示 強 量)に 加 え て,「 混 合 ・拡 散 」 とい う空 間 的 広 が り と 多 時 刻 性 に 密 接 し た概 念 が 必 要 とな る.混 合 は 小 さ な乱 れ が あ る こ とが 本 質 的 で あ り,エ ネ ル ギ ー 的 に は 遙 か に大 き く と も一 様 流 は 何 の 混 合 効 果 も持 た な い こ と を 考 え れ ば 十 分 で あ ろ う. 航 空 工 学 で の 流 れ で は圧 縮 性 が 重 要 と な る,す な わ ち拡 散 効 果 と密 接 し た 温 度 あ る い は 内 部 エ ネ ル ギ ー が 本 質 的 役 割 を演 じて い る た め,大 き な ス ケ ー ル だ け を 扱 え ば 他 は ど うで も良 い とい う よ う な 論 法 が 意 味 を持 た な い. 5.空 間 ス ケ ー ル か ら見 た モ デ ル 化 粘 性 散 逸 効 果 に 関 し て モ デ ル 化 が 必 要 とな る と き, ど の よ う な モ デ ル が 作 り得 る で あ ろ う か.ま ず 第 一 に,モ デ ル 化 す る 空 間 ス ケ ー ル を 指 定 す る か 否 か が 最 も大 きな 分 岐 点 とな る.例 え ば 上 述 の 時 間 な い しア ン サ ン ブ ル 平 均 で は,一 体 ど の 程 度 の 大 き さ の 乱 れ まで モ デ ル 化 され て い る の か 判 然 と し な い.明 確 な こ と は,例 え ば 円 管 流 の よ う に幾 何 学 条 件 が 軸 対 称 の と き は軸 対 称 で な い 流 れ 部 分 は す べ て モ デ ル 化 さ れ る こ と で あ る.こ の種 の モ デ ル 化 は 通 常 レ イ ノル ズ 平 均 モ デ ル と呼 ば れ て い る, レイ ノ ル ズ 平 均 モ デ ル は モ デ ル 化 さ れ る 空 間 ス ケー ル が 大 きい た め,境 界 等 の 外 的 な 影 響 を受 け 易 く,モ デ ル の 普 遍 性 の 観 点 か ら そ の 短 所 は否 定 で きな い,こ れ に 対 し て,現 在 の 計 算 機 能 カ ー 杯 の 自 由 度 を取 り, こ の 自 由 度 の 範 囲 で は 抜 け落 ち る 小 ス ケ ー ル の乱 れ を モ デ ル 化 す る 方 法 は,LES(large eddy simulation) で 用 い ら れ る サ ブ グ リ ッ ド・ス ケ ー ル(subgrid-scale; SGS)モ デ リ ング で あ る.こ こで は,適 当 な フ ィル タ ー 関 数G(x)を 選 び, f=∫G(x-y)f(y)dy,f'=f-f(21)
で フ ィ ル タ ー 平 均 と そ の ま わ りの 揺 ら ぎ を定 義 す る (時間 な い しア ンサ ン ブ ル 平 均 と フ ィル タ ー 平 均 に対 し て 同 じ 記 法fを 採 用 し て い る が.混 乱 は な い で あ ろ う). (21)を 非 圧 縮 性 乱 流 に適 用 す る と, ▽ ・u=0,(22)
(∂/∂t)ui+(∂/∂Xj)ujui =-(∂/∂Xi)(P/ρ)十(∂/∂Xj)(Rsji 十Lji十Cji十 νSji).(23)
こ こ で, Rsij=-u'iu'j,(24)
Lij=-(uiuj-uiuj),
(25)
Cij=-(uiu'j+u'iuj),
(26)
Lij,Cijは フ ィ ル タ ー操 作 特 有 の 量 で あ り.「2重 フ ィ ル タ リ ン グ 効 果 」 と呼 べ る で あ ろ う.Rsijと 同種 の 効 果 は 既 に レ イ ノ ル ズ 平 均 方 程 式 に 現 れ て お り,u を 直 接 含 ま な い こ と か ら フ ィ ル タ ー され る小 さ な乱れ か らの 影 響 を 表 して い る.一 方,Lij,Cijは フ ィル タ ー 幅 よ り大 き い運 動 成 分 と小 さ い 成 分 間 の 近 接 的 相互 作 用 を表 し て い る.フ ィ ル タ ー操 作 は 消 去 す る ス ケー ル を調 節 で き る反 面,Lij,Cijの モ デ リ ン グ とい う新 た な 問 題 を伴 う5). 6.Rijか ら見 た モ デ ル 化 の 差 異 レ イ ノル ズ 平 均 モ デ ル,SGSモ デ ル を 問 わ ず 重要 な こ とは,Rij他 をuに 関 係 付 け る こ とで あ る.航 空 工 学 で は,通 常Rijに 対 し て は 乱 流 粘 性 近 似(SGSモ デ ル で はSGS粘 性 近 似)が 行 わ れ る: Rij=一(2/3)kδij 十 νt(∂ui/∂xi十 ∂ui/∂xj).(27)
こ こ で 問 題 と な る の は 乱 流 粘 性 率 νtを い か な る量 で 表 現 す るか で あ る.(9)の レ イ ノ ル ズ 数 の 定 義 式 か ら 分 か る よ う に,νtは[長 さ]×[速 度]の 次 元 を持 っ て い る.こ の こ と は νtを表 現 す る に は 少 な く と も二 っ の 独 立 な物 理 量 が 必 要 とな る こ と を示 して い る.こ れ らの 量 と して は,外 的 な 条 件 に 強 く依 存 す る平 均流乱流 モ デ ル と圧縮 性(吉 澤 徴) 3
理想気体 に対 す る熱 力学関 係式 は,
P=(γ-1)ρe,e=Cv(θ)θ(6)
と な る(γ=Cρ/Cv;Cρ,Cvは 定 圧,定 積 比 熱 で あ る). 3.エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ル 以 下7節 まで は 密 度 変 化 を 無 視 して 非 圧 縮 性 乱 流 に っ い て考 察 す る.細 か い 変 動 の 少 な い流 れ は乱 流 に 対 比 して層 流 と呼 ば れ る が,こ の 種 の 流 れ で は エ ネ ル ギ ー散 逸 す な わ ち粘 性 効 果 は 固 体 壁 近 傍 等 に 代 表 され る 強 い速 度 勾 配 を持 つ領 域 に 限 定 され る.換 言 す る と, 層流 で は上 記 以 外 の 領 域 で は速 度 の 空 間 変 化 が 小 さ い た め,「 乱 れ が な い 」 とい う状 況 が 生 じ る. で は,固 体 壁 近 傍 以 外 で 粘 性 作 用 が 重 要 と な る場 合 何が その ス ケ ー ル(エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ルld)を 決 定 し,そ れ は どの 程 度 の 大 き さ に な る の で あ ろ う か. ｌdの評 価 に は 固 体 壁 近 傍 で な い こ と か ら 固 体 壁 ま で の距 離 等 の 長 さ ス ケ ー ル は 本 質 的 で は な く,動 粘 性 率 νが 重 要 と な る こ とは 明 らか で あ る.ま た,散 逸 さ れ るエ ネ ル ギ ー量 も重 要 な物 理 量 で あ る こ とか ら,単 位 時 間,単 位 体 積 当 た り流 体 中 で 散 逸 され る エ ネ ル ギ ー εをldを 決 定 す る も う 一 つ の 物 理 量 と 考 え る と,次 元 解析 よ り, ｌd=0[(ν3/ε)1/4](7)
とな る.(7)を 用 い てldの 大 き さ を評 価 す る た め に は,ε が どの 程 度 の 大 き さか を 知 る必 要 が あ る.散 逸 され る エ ネ ル ギ ー 量 は 注 ぎ込 ま れ る エ ネ ル ギ ー 量 を 越 える こ とは な い の で 後 者 を決 定 す る物 理 量,例 え ば 円 管流 な ら断 面 の 半 径,断 面 平 均 速 度 等 の 基 準 と な る 長 さL,速 度Vを 用 い て ε も量 ら れ る は ず で あ る.す なわ ち, ε=O(V3/L).(8)
(7),(8)よ り ｌd/L=O(R-3/4),R=VL/ν,(9)
ここで,Rは レ イ ノル ズ 数 で あ る. で は,(9)が 正 し い と し た ら何 を 意 味 す る の で あ ろ う か.ま ず レ イ ノ ル ズ 数Rが 大 き い と い う こ と は, 流 れ の 中 にLで 測 ら れ る 長 さ ス ケ ー ル か ら微 小 なld の もの まで 非 常 に 多 数 混 在 す る こ と を意 味 す る.す な わ ち,わ れ わ れ が 流 れ を乱 流 と呼 ぶ の は,そ の 中 に変 化 の早 い 小 ス ケ ー ル の 変 動 が あ る と きで あ り,(9)は 正 にRが 大 き い と き に そ の よ う な こ とが 起 こ り得 る こ とを示 して い る. 一 方,乱 流 の 数 値 計 算 上 か らは(9)は 必 要 とす る 自 由度(領 域 分 割 数 あ る い は モ ー ド数)に 強 い 制 約 を課 す こ と に な る.(9)が 正 しけ れ ば,乱 流 状 態 を計 算 機 上 に正 し く再 現 す る に は,N=O[(L/ld)3]=O(R9/4)
(10)
の 自 由 度 が 必 要 と な る.航 空 工 学 に お け るRが ど の 程 度 の もの で あ り.ま た計 算 時 間 ま で 含 め る と一 次 元 当 た り102程 度 の 自由 度 を と る こ と が 現 在 の 流 れ の 数 値 実 験 の 限 界 で あ る こ とを 考 慮 す る と,(10)の 持 つ意 味 の 重 大 さ を容 易 に理 解 で き る で あ ろ う 現 在 お よ び 将 来 予 見 し得 る計 算 機 ハ ー ド ウ エ ア の 能 力 を 考 え た と き,ldス ケ ー ル の 現 象 を 何 ら か の 方 法 で 補 わ な い か ぎ り,乱 流 の 数 値 実 験 は 信 頼 性 に乏 し い とい え る. 4.ε の 評 価 の 重 要 性 前 節 の 議 論 は(9)の 正 否 に か か って い るが.現 在 の 乱 流 の 理 論 か つ 実 験 的 研 究 か ら は これ を 否 定 す る理 由 は ま っ た くな い.こ の よ う な と き,小 さ な ス ケ ー ル に は興 味 は な い の で,数 値 粘 性 等 で 小 ス ケ ー ル を適 当 に 処 理 す れ ば 流 れ の 主 要 部 分 とな る大 き な ス ケ ー ル の 運 動 を 再 現 で きる とい う粗 野 な 意 見 も散 見 す る.こ の よ うな 推 論 に 意 味 が な い こ と を示 す た め に,非 圧 縮 性 乱 流 に お け る時 間 な い し ア ンサ ン プ ル平 均 量 を考 え て み よ う.こ の 種 の 平 均 量 は流 れ の も っ と も大 き な ス ケ ー ル と 関 係 す る量 で あ る か ら,こ の 種 の 量 す ら εの 正 しい 評 価 な し に は 的 確 に求 め ら れ な い こ と を 示 せ ば 十 分 で あ ろ う.物 理 量fを 平 均 部 分fと そ の ま わ り の 揺 ら ぎf'に 分 け る:f=f+f'.
(11)
こ こ で,fはdu,P等 を 表 し,平 均 は 時 間 な い し ア ン サ ン プ ル 平 均 と す る. (1),(2)よ り, ▽ ・u=0,(12)
(∂/∂t)ui+(∂/∂xj)ujui =-(∂/∂Xi)(P/ρ) +(∂/∂xj)(Rji+νSji).(13)
こ こ で,Rijは レ イ ノ ル ズ 応 力 で あ り. Ｒij=-u'iu'j(14)
で 定 義 さ れ る.Rijは 本 来 の 運 動 量 保 存 則 と そ の 平 均 部 分 を 区 別 す る唯 一 の 量 で あ る こ とか ら,そ の 重 要 性 は 自明 で あ ろ う.Rijの 対 角 和 は 乱 れ の エ ネ ル ギ ー に 密 接 して い る.す な わ ち, ｋ=u’2/2=-Rii/2.(15)
kは ∂k/∂t十▽ ・(uk)=P-ε+▽ ・T(16)
に よ っ て 記 述 さ れ, P=Rij∂uj/∂xi,(17)
ε=ν(∂u‘i/∂xi),(18)
T=-(u'2/2+P')u'+ν ▽k(19)
で 定 義 され る.(17)の 各 量 は それ ぞ れ 時 間 な い しア ン サ ン ブ ル 平 均 下 で の 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 成 率,散 逸 (117)乱 流 モ デル と圧縮 性(吉 澤 徴) 5 と相 互 作 用 す る 乱 れ の 特 性 を的 確 に 反 映 す る物 理 量 を 選 ばね ばな ら な い. 現 在,広 く用 い ら れ て い る2量 はkと εで あ り, これ を用 い る と νt=C1k2/ε
(28)
とな る.こ の 方 法 で は,kと εを 自 動 的 に 決 定 す る た め に(16)式 中 のTと 共 に εに 対 す る モ デ ル 方 程 式 を 構成 しな け れ ば な ら な い(2方 程 式 モ デ ル).も しk だ け しか 用 い な い とす る と, νt=lki/2(29)
の よ う に な り,k方 程 式 に加 え て 「長 さl」 を 何 らか の 方法 で規 定 す る 必 要 が 生 じ る(1方 程 式 モ デ ル).u の方 程 式 以 外 の 補 助 方 程 式 を使 用 しな い な ら ば, νt=l2[(∂uj/∂xi+∂ui/∂xj)2/2]1/2 (30) とな り.(29)と 同 様 に 実 験 結 果 等 か らlを 推 定 す る こ とにな る(0方 程 式 モ デ ル)(モ デ ル構 成 の基 本 的 な 考 え方 に関 し て は,文 献6)を 参 照 さ れ た い). Rijに 関 して 乱 流 粘 性 近 似 を 用 い な い 代 表 的 な モ デ ル は応 力 な い し二 次 モ デ ル(second-order model)で あ る.こ の モ デ ル の本 質 はRijの 発 展 方 程 式 を 直 接 取 り扱 う こ と に あ る.同 方 程 式 は (D/Dt)Rij=-(Rik∂uj/∂xk+Rjk∂ui/∂xk) -P'(∂u'j/∂xi十 ∂u'i/∂xj) +2ν(∂u'i/∂xk)(∂u'j/∂xk) 十[(∂/∂xk)(u'iu'ju'k+δikP'u'j 十 δikp'u'i)+ν ⊿Rij](31)
で与 え ら れ る.Rijを 直 接 使 う方 法 で は,右 辺 第2∼ 4項 の モ デ ル 化 が 必 要 と な る が,特 に重 要 とな る の は 第2項 の 圧 力 ・速 度 歪 み 相 関 P'(∂u'j/∂xi十∂u'i/∂xj)(32)
で あ る.(32)は 非 圧 縮 条 件 下 で は そ の対 角 和 は零 と な り,(15)よ りエ ネ ル ギ ーkに は 直 接 寄 与 し な い が. 乱れ 強 度 の3成 分u1'2,u2'2,u3'2間 の エ ネ ル ギ ー 収 支 を決 定 す る 極 め て 重 要 な 量 で あ る.そ れ ゆ え に,応 力 モ デ ル が成 功 す る か 否 か は(32)の 適 切 な モ デ ル 化 に か か っ て い る.(32)の モ デ ル化 に関 す る詳 細 お よ び乱 流 モ デ リン グ ー 般 に 関 して は,文 献7)∼9)を 参 照 さ れ た い. 一 方,SGSモ デ ル に お け る 重 要 な 長 さ ス ケ ー ル は フ ィ ル タ ー 幅 で あ る た め,SGSモ デ ル は 高 々1方 程 式 モ デ ル と な り,通 常 は0方 程 式 の ス マ ゴ リ ン ス キ ー ・モ デ ル が も っ と も 広 く用 い ら れ て い る .ま た, SGSモ デ ル を 用 い るLESは 当 然3次 元,非 定 常 計 算 とな り,計 算 負 荷 は レ イ ノル ズ 平 均 モ デ ル を使 用 す る 場合 に比 べ 著 し く増 加 し,モ デ ル は で き る 限 り簡 単 で あ る こ とが 望 ま し い.言 い換 え る と,モ デ ル の 簡 単 化 と計 算 負荷 を取 り引 き し た と もい え る. 特 に,ス マ ゴ リ ン ス キ ー ・モ デ ル で は(24)に 対 す る SGS粘 性(νs)表 現 とSGSで の エ ネ ル ギ ー 生 成 お よ び 散 逸 の近 似 的 な 釣 り合 い を仮 定 し, Rsij=(2/3)ksδij +νs(∂uj/∂xi+∂ui/∂xj),(33)
νs=(Csh)2[(∂uj/∂xi+∂ui/∂xj)2/2]1/2(34)
とな る.こ こ で,hは 特 徴 的 な フ ィ ル タ ー 幅 で あ り, 定 数Csは 通 常 ス マ ゴ リ ン ス キ ー 定 数 と呼 ば れ て い る.(34)は レ イ ノル ズ平 均0方 程 式 モ デ ル で 乱 流 粘 性 νt[(30)]中 の 特 性 長 さlと し てCshを 採 用 し た こ と に対 応 して い る. 7.乱 流 モ デ ル の 問 題 点 上 述 の 乱 流 モ デ ル の 問 題 点 を 簡 単 に 記 し,こ れ ら の こ とが 本 論 の 主 題 で あ る圧 縮 性 乱 流 モ デ ル と ど の よ う に か か わ っ て い る か を述 べ る準 備 とす る. 7.1乱 流 粘 性 表 現(28)の νt,(33)の νsの何 れ に し ろ,u方 程 式 中 で は 本 来 の 分 子 粘 性 ν と大 変 類 似 した 形 で 現 れ る.ν が 流 体 の 等 方 的 な 性 質 を 仮 定 し た モ デ ル化 の 結 果 か ら生 じた 概 念 で あ る こ と を考 慮 す る と,νt,νsも 乱 れ の 非 等 方 性 が あ ま り強 く な い 場 合 に 正 しい 表 現 で あ ろ う と推 測 され る.実 際,レ イ ノ ル ズ 応 力 の 乱 流 粘 性 表 現 に よ る乱 れ の 非 等 方 性 に 関 す る予 測 精 度 は十 分 とは い え な い.例 え ば,2枚 の 平 板 間 あ る い は 円管 内 の 発 達 した 乱 流 等 流 れ 方 向 に平 均 流 が 一 様 な乱 流 で は,流 れ に平 行 お よ び そ れ に 垂 直 な 二 つ の 乱 れ 成 分 は(27)の 下 で は す べ て 等 し い こ と に な る.こ の 結 果 は 実 験 結 果 とは 異 な り,実 験 事 実 を説 明 す る た め に は応 力 モ デ ル へ 進 む か.(27)に 高 次 項 を 追 加 した 非 等 方 表 現 を用 い る必 要 が あ る(後 者 に 関 して は,文 献10)∼12)を 参 照 され た い).ま た,平 均 流 が 3次 元 的 に な り,乱 れ の 非 等 方 性 が 強 くな れ ば な る ほ ど渦 粘 性 表 現 の 精 度 は 劣 化 す る. 7.2低 レイ ノ ル ズ 数 効 果(28),(34)等 の 表 現 に は分 子 粘 性 率 νの 効 果 が 直 接 入 っ て い な い(ν の 効 果 は εが 有 限 で あ る と い う こ と を 通 し て の み 組 み 込 ま れ て い る).こ の 帰 結 と して,乱 流 の 強 度 が 弱 く な る 固 体 壁 の 近 傍 や 流 れ が 層 流 的 で あ る 領 域 で は,(28), (34)等 を そ の ま ま適 用 す る こ と は で き な い.乱 流 強 度 が 弱 く な る効 果 は 低 レ イ ノ ル ズ 数 効 果 と呼 ば れ て お り,流 れ 全 領 域 で の 乱 流 モ デ ル の 信 頼 性 を高 め る た め に は,こ の 効 果 の 解 明 は 大 変 重 要 で あ る(平 面 近 傍 の 低 レ イ ノル ズ 数 効 果 に 関 し て は,文 献13),14)を 参 照 さ れ た い).上 述 の 低 レ イ ノ ル ズ 数 効 果 は,SGSモ デ ル に お い て も ま っ た く同 様 の 事 情 に あ る. 固 体 壁 近 傍 に 関 し て の み い え ば,低 レ イ ノル ズ 数 効 果 は 滑 り な し条 件 を平 均 速 度 に課 す こ と と密 接 して い乱流 モ デ ル と圧縮 性(吉 澤 徴) 3
理想気体 に対 す る熱 力学関 係式 は,
P=(γ-1)ρe,e=Cv(θ)θ(6)
と な る(γ=Cρ/Cv;Cρ,Cvは 定 圧,定 積 比 熱 で あ る). 3.エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ル 以 下7節 まで は 密 度 変 化 を 無 視 して 非 圧 縮 性 乱 流 に っ い て考 察 す る.細 か い 変 動 の 少 な い流 れ は乱 流 に 対 比 して層 流 と呼 ば れ る が,こ の 種 の 流 れ で は エ ネ ル ギ ー散 逸 す な わ ち粘 性 効 果 は 固 体 壁 近 傍 等 に 代 表 され る 強 い速 度 勾 配 を持 つ領 域 に 限 定 され る.換 言 す る と, 層流 で は上 記 以 外 の 領 域 で は速 度 の 空 間 変 化 が 小 さ い た め,「 乱 れ が な い 」 とい う状 況 が 生 じ る. で は,固 体 壁 近 傍 以 外 で 粘 性 作 用 が 重 要 と な る場 合 何が その ス ケ ー ル(エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ルld)を 決 定 し,そ れ は どの 程 度 の 大 き さ に な る の で あ ろ う か. ｌdの評 価 に は 固 体 壁 近 傍 で な い こ と か ら 固 体 壁 ま で の距 離 等 の 長 さ ス ケ ー ル は 本 質 的 で は な く,動 粘 性 率 νが 重 要 と な る こ とは 明 らか で あ る.ま た,散 逸 さ れ るエ ネ ル ギ ー量 も重 要 な物 理 量 で あ る こ とか ら,単 位 時 間,単 位 体 積 当 た り流 体 中 で 散 逸 され る エ ネ ル ギ ー εをldを 決 定 す る も う 一 つ の 物 理 量 と 考 え る と,次 元 解析 よ り, ｌd=0[(ν3/ε)1/4](7)
とな る.(7)を 用 い てldの 大 き さ を評 価 す る た め に は,ε が どの 程 度 の 大 き さか を 知 る必 要 が あ る.散 逸 され る エ ネ ル ギ ー 量 は 注 ぎ込 ま れ る エ ネ ル ギ ー 量 を 越 える こ とは な い の で 後 者 を決 定 す る物 理 量,例 え ば 円 管流 な ら断 面 の 半 径,断 面 平 均 速 度 等 の 基 準 と な る 長 さL,速 度Vを 用 い て ε も量 ら れ る は ず で あ る.す なわ ち, ε=O(V3/L).(8)
(7),(8)よ り ｌd/L=O(R-3/4),R=VL/ν,(9)
ここで,Rは レ イ ノル ズ 数 で あ る. で は,(9)が 正 し い と し た ら何 を 意 味 す る の で あ ろ う か.ま ず レ イ ノ ル ズ 数Rが 大 き い と い う こ と は, 流 れ の 中 にLで 測 ら れ る 長 さ ス ケ ー ル か ら微 小 なld の もの まで 非 常 に 多 数 混 在 す る こ と を意 味 す る.す な わ ち,わ れ わ れ が 流 れ を乱 流 と呼 ぶ の は,そ の 中 に変 化 の早 い 小 ス ケ ー ル の 変 動 が あ る と きで あ り,(9)は 正 にRが 大 き い と き に そ の よ う な こ とが 起 こ り得 る こ とを示 して い る. 一 方,乱 流 の 数 値 計 算 上 か らは(9)は 必 要 とす る 自 由度(領 域 分 割 数 あ る い は モ ー ド数)に 強 い 制 約 を課 す こ と に な る.(9)が 正 しけ れ ば,乱 流 状 態 を計 算 機 上 に正 し く再 現 す る に は,N=O[(L/ld)3]=O(R9/4)
(10)
の 自 由 度 が 必 要 と な る.航 空 工 学 に お け るRが ど の 程 度 の もの で あ り.ま た計 算 時 間 ま で 含 め る と一 次 元 当 た り102程 度 の 自由 度 を と る こ と が 現 在 の 流 れ の 数 値 実 験 の 限 界 で あ る こ とを 考 慮 す る と,(10)の 持 つ意 味 の 重 大 さ を容 易 に理 解 で き る で あ ろ う 現 在 お よ び 将 来 予 見 し得 る計 算 機 ハ ー ド ウ エ ア の 能 力 を 考 え た と き,ldス ケ ー ル の 現 象 を 何 ら か の 方 法 で 補 わ な い か ぎ り,乱 流 の 数 値 実 験 は 信 頼 性 に乏 し い とい え る. 4.ε の 評 価 の 重 要 性 前 節 の 議 論 は(9)の 正 否 に か か って い るが.現 在 の 乱 流 の 理 論 か つ 実 験 的 研 究 か ら は これ を 否 定 す る理 由 は ま っ た くな い.こ の よ う な と き,小 さ な ス ケ ー ル に は興 味 は な い の で,数 値 粘 性 等 で 小 ス ケ ー ル を適 当 に 処 理 す れ ば 流 れ の 主 要 部 分 とな る大 き な ス ケ ー ル の 運 動 を 再 現 で きる とい う粗 野 な 意 見 も散 見 す る.こ の よ うな 推 論 に 意 味 が な い こ と を示 す た め に,非 圧 縮 性 乱 流 に お け る時 間 な い し ア ンサ ン プ ル平 均 量 を考 え て み よ う.こ の 種 の 平 均 量 は流 れ の も っ と も大 き な ス ケ ー ル と 関 係 す る量 で あ る か ら,こ の 種 の 量 す ら εの 正 しい 評 価 な し に は 的 確 に求 め ら れ な い こ と を 示 せ ば 十 分 で あ ろ う.物 理 量fを 平 均 部 分fと そ の ま わ り の 揺 ら ぎf'に 分 け る:f=f+f'.
(11)
こ こ で,fはdu,P等 を 表 し,平 均 は 時 間 な い し ア ン サ ン プ ル 平 均 と す る. (1),(2)よ り, ▽ ・u=0,(12)
(∂/∂t)ui+(∂/∂xj)ujui =-(∂/∂Xi)(P/ρ) +(∂/∂xj)(Rji+νSji).(13)
こ こ で,Rijは レ イ ノ ル ズ 応 力 で あ り. Ｒij=-u'iu'j(14)
で 定 義 さ れ る.Rijは 本 来 の 運 動 量 保 存 則 と そ の 平 均 部 分 を 区 別 す る唯 一 の 量 で あ る こ とか ら,そ の 重 要 性 は 自明 で あ ろ う.Rijの 対 角 和 は 乱 れ の エ ネ ル ギ ー に 密 接 して い る.す な わ ち, ｋ=u’2/2=-Rii/2.(15)
kは ∂k/∂t十▽ ・(uk)=P-ε+▽ ・T(16)
に よ っ て 記 述 さ れ, P=Rij∂uj/∂xi,(17)
ε=ν(∂u‘i/∂xi),(18)
T=-(u'2/2+P')u'+ν ▽k(19)
で 定 義 され る.(17)の 各 量 は それ ぞ れ 時 間 な い しア ン サ ン ブ ル 平 均 下 で の 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 成 率,散 逸 (117)6 日本航 空 宇 宙学 会 誌 第41巻 第470号(1993年3月) る,こ の 困 難 を 回避 し か つ 領 域 分 割 数 を 減 少 させ,工 学 諸 分 野 で の 高 レイ ノル ズ 数 乱 流 を扱 う 方 法 と し て, 固体 壁 で の 境 界 条 件 を対 数 速 度 則 等 の 「壁 法 則 」 で 置 き換 え る こ とが しば し ば行 わ れ る.こ の と き は 当 然 の こ と な が ら適 切 な 壁 法 則 を用 い る こ とが 肝 要 とな り, 低 レ イ ノ ル ズ 数 効 果 を見 つ け る の と類 似 の 工 夫 が 必 要 とな る. 7.3ス マ ゴ リン ス キ ー ・モ デ ル の 信 頼 性SGSモ デ ル を 用 い るLESは ス マ ゴ リ ン ス キ ー ・モ デ ル[(33) と(34)]あ るい は 二 重 フ ィル タ リ ン グ 効 果Cijウに 対 す る適 当 な モ デ ル15)を付 け加 え る こ とに よ っ て 実 行 さ れ て き た.対 象 と す る流 れ は 主 に 等 方 性 減 衰 乱 流,2枚 の 平 行 平 板 間 の 溝 乱 流,混 合 層 等 の 幾 何 学 的 形 状 が 簡 単 な もの に 限 ら れ て い る16∼19)(複雑 形 状 の もの と して は,文 献20)を 参 照).し か し,こ れ らの 研 究 か ら ス マ ゴ リ ン ス キ ー ・モ デ ル(34)の 定 数Csを あ る値 に 固 定 す る と,異 な る 型 の 流 れ を 精 度 よ く計 算 す る こ とが で き な い こ とが 確 認 さ れ て い る.LESは 直 接 数 値 計 算 に 次 い で 大 きな 計 算 負 荷 を 持 つ た め,こ の 事 情 は LES研 究 に と っ て 大 きな 打 撃 とな り,LES研 究 が 一 時 期 停 滞 した 主 た る理 由 の 一 つ と もい え る. こ の 困 難 を回 避 す る 方 向 と し て は,ス マ ゴ リ ン ス キ ー 定 数Csを 変 数 化 す る あ る い は 一 方 程 式 モ デ ル を 用 い る 等 の 方 法 が 摸 索 さ れ て い る21∼23)(スマ ゴ リ ン ス キ ー 型0方 程 式 モ デ ル と一 方 程 式 モ デ ル の 関 係 は 文 献 23)で 詳 細 に 議 論 され て い る). 8.圧 縮 性 乱 流 モ デ ル 非 圧 縮 性 乱 流 モ デ ル に 関 して は そ れ ぞ れ の モ デ ル の 欠 点,改 善 す べ き 方 向 も あ る程 度 は っ き り し て き た が,圧 縮 性 乱 流 モ デ ル で は ど うで あ ろ うか.現 在,航 空 工 学 等 で使 用 され て い る モ デ ル で 圧 縮 性 乱 流 の 性 質 を真 に 取 り込 ん で い る もの は ほ とん ど な い が.こ の 事 実 は 圧 縮 性 乱 流 の 研 究 の 難 し さ を端 的 に 表 し て い る. その 原 因 は(2),(3)方 程 式 の3次 の 非 線 形 性 と密 度 揺 ら ぎに 関 す る理 論 研 究 が ほ と ん ど進 ん で い な い こ と に あ る.(2)の ρujui の 時 間 平 均 を取 り.単 純 に(11) を用 い る と, ρujui=ρujui+ρu'ju'i+ujρ'u'i +uiρ'u'j+ρ'u'ju'i
(35)
を得 る.(35)の 第2項 は 非 圧 縮 性 乱 流 に お け る レ イ ノ ル ズ応 力(14)に 対 応 す るが,第3∼5項 は 流 体 の 圧 縮 性 に 特 有 な 量 で あ る.こ れ らの 項 の 発 生 は 単 に モ デ ル 化 さ る べ き項 数 を 増 加 させ る だ け で は な く,密 度 の 揺 ら ぎ ρ'のモ デ ル 化 と い う新 た な 困 難 に 直 面 す る.密 度 は ス カ ラ ー 量 で あ る と い う点 で は 温 度 θ 等 と一 見 類 似 して い る が.(1),(3)か ら 分 か る よ う に,密 度 方 程 式(1)に は 拡 散 あ る い は 散 逸 効 果 が 存 在 し ない. こ の 事 実 は.θ に 対 して は u'θ'=-xt▽ θ(36)
等 の 乱 流 拡 散 近 似 をす る こ とが 可 能 で あ るが,ρ に対 し て は 自 明 で な い こ と を示 し て い る.経 験 則 に頼 れな い この よ う な と き に は本 来 統 計 理 論 的 な 方 法 が威 力 を 発 揮 す る は ず で あ るが,前 述 の3次 の 非 線 形 性 のため に そ の 方 向 の研 究 も あ ま り進 展 して い な い24). 8.1レ イ ノ ル ズ 質 量 加 重 平 均 モ デ ル 航 空 工学 の 分 野 で は(35)の よ う な繁 雑 さ を避 け る た め に,い わゆ る 「質 量 加 重(mass-weighted)」 時 間 な い し ア ンサ ン ブ ル 平 均操 作 が 導 入 さ れ て い る: f={f}=ρf/p.(37)
こ の 方 法 で は 実 質 的 に ρ とuを 一 ま と め に し て扱 う こ とに な り,速 度 が 基 本 法 則(2)の 下 で は 運 動 量 とし て 現 れ る こ とか ら も(37)は 合 理 的 と い え る: (∂/∂t)ρ+▽ ・(ρu)=0,(38)
(∂/∂t)ρui+(∂/∂xj)ρujui =-（ ∂/∂xi)(γ-1)ρe +(∂/∂xj)(RMji+νSji).(39)
(∂/∂t)ρe+▽ ・(ρue) =-(γ-1)ρe▽ ・u+ρ(ε+x) +▽ ・(-HM+x▽θ).(40)
上 式 で,RMij,HM,ε,xは そ れ ぞ れ RMij=-ρu'i/u'i=−ρ{u'iu'j},(41)
ＨM=ρu'e'=ρ{u'e'},(42)
ε=ν[(∂u'j/∂xi)2+(1/3)(▽ ・u')2],(43)
x=-(γ-1)ρe'▽ ・u'/ρ =-(γ-1){e'▽ ・u'}(44)
で 定 義 され て い る. (41)の 質 量 加 重 平 均 と(14)の 時 間 な い し ア ンサ ンブ ル平 均 の 差 を 無 視 す る と,(39)は(13)と 極 め て類 似 し た構 造 を 持 っ て い る.こ の 点 に 着 目 し,(27)に 対 応 し て, ＲMij=-(2/3)ρkδij+ρ νtSij(45)
とモ デ ル 化 し,密 度 変 化 を平 均 密 度 の み を通 して組 み 込 む 方 法 が 一 般 に 行 わ れ て い る.こ こで,kは k=ρu'2/(2ρ)={u'2/2}(46)
で与 え られ る.(46)のkは(16)と 類 似 の (∂/∂t)ρk+▽ ・(Puk)=P-ρ(ε+x) 十 ▽ ・T(47)
に よ っ て 記 述 さ れ,(43)の ε,(44)の κ に 加 え て,P P=Rij∂uj/∂xi,(48)
で定義される（Ｔの詳 細 は こ こ で は省 略 す る). (47)で π を 無 視 す れ ば,ρ を 除 い て(16)と まっ た く同 形 とな り,非 圧 縮 性 乱 流 のk-ε モ デ ル が 平 均 密乱流 モ デ ル と圧縮 性(吉 澤 徴) 3
理想気体 に対 す る熱 力学関 係式 は,
P=(γ-1)ρe,e=Cv(θ)θ(6)
と な る(γ=Cρ/Cv;Cρ,Cvは 定 圧,定 積 比 熱 で あ る). 3.エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ル 以 下7節 まで は 密 度 変 化 を 無 視 して 非 圧 縮 性 乱 流 に っ い て考 察 す る.細 か い 変 動 の 少 な い流 れ は乱 流 に 対 比 して層 流 と呼 ば れ る が,こ の 種 の 流 れ で は エ ネ ル ギ ー散 逸 す な わ ち粘 性 効 果 は 固 体 壁 近 傍 等 に 代 表 され る 強 い速 度 勾 配 を持 つ領 域 に 限 定 され る.換 言 す る と, 層流 で は上 記 以 外 の 領 域 で は速 度 の 空 間 変 化 が 小 さ い た め,「 乱 れ が な い 」 とい う状 況 が 生 じ る. で は,固 体 壁 近 傍 以 外 で 粘 性 作 用 が 重 要 と な る場 合 何が その ス ケ ー ル(エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ルld)を 決 定 し,そ れ は どの 程 度 の 大 き さ に な る の で あ ろ う か. ｌdの評 価 に は 固 体 壁 近 傍 で な い こ と か ら 固 体 壁 ま で の距 離 等 の 長 さ ス ケ ー ル は 本 質 的 で は な く,動 粘 性 率 νが 重 要 と な る こ とは 明 らか で あ る.ま た,散 逸 さ れ るエ ネ ル ギ ー量 も重 要 な物 理 量 で あ る こ とか ら,単 位 時 間,単 位 体 積 当 た り流 体 中 で 散 逸 され る エ ネ ル ギ ー εをldを 決 定 す る も う 一 つ の 物 理 量 と 考 え る と,次 元 解析 よ り, ｌd=0[(ν3/ε)1/4](7)
とな る.(7)を 用 い てldの 大 き さ を評 価 す る た め に は,ε が どの 程 度 の 大 き さか を 知 る必 要 が あ る.散 逸 され る エ ネ ル ギ ー 量 は 注 ぎ込 ま れ る エ ネ ル ギ ー 量 を 越 える こ とは な い の で 後 者 を決 定 す る物 理 量,例 え ば 円 管流 な ら断 面 の 半 径,断 面 平 均 速 度 等 の 基 準 と な る 長 さL,速 度Vを 用 い て ε も量 ら れ る は ず で あ る.す なわ ち, ε=O(V3/L).(8)
(7),(8)よ り ｌd/L=O(R-3/4),R=VL/ν,(9)
ここで,Rは レ イ ノル ズ 数 で あ る. で は,(9)が 正 し い と し た ら何 を 意 味 す る の で あ ろ う か.ま ず レ イ ノ ル ズ 数Rが 大 き い と い う こ と は, 流 れ の 中 にLで 測 ら れ る 長 さ ス ケ ー ル か ら微 小 なld の もの まで 非 常 に 多 数 混 在 す る こ と を意 味 す る.す な わ ち,わ れ わ れ が 流 れ を乱 流 と呼 ぶ の は,そ の 中 に変 化 の早 い 小 ス ケ ー ル の 変 動 が あ る と きで あ り,(9)は 正 にRが 大 き い と き に そ の よ う な こ とが 起 こ り得 る こ とを示 して い る. 一 方,乱 流 の 数 値 計 算 上 か らは(9)は 必 要 とす る 自 由度(領 域 分 割 数 あ る い は モ ー ド数)に 強 い 制 約 を課 す こ と に な る.(9)が 正 しけ れ ば,乱 流 状 態 を計 算 機 上 に正 し く再 現 す る に は,N=O[(L/ld)3]=O(R9/4)
(10)
の 自 由 度 が 必 要 と な る.航 空 工 学 に お け るRが ど の 程 度 の もの で あ り.ま た計 算 時 間 ま で 含 め る と一 次 元 当 た り102程 度 の 自由 度 を と る こ と が 現 在 の 流 れ の 数 値 実 験 の 限 界 で あ る こ とを 考 慮 す る と,(10)の 持 つ意 味 の 重 大 さ を容 易 に理 解 で き る で あ ろ う 現 在 お よ び 将 来 予 見 し得 る計 算 機 ハ ー ド ウ エ ア の 能 力 を 考 え た と き,ldス ケ ー ル の 現 象 を 何 ら か の 方 法 で 補 わ な い か ぎ り,乱 流 の 数 値 実 験 は 信 頼 性 に乏 し い とい え る. 4.ε の 評 価 の 重 要 性 前 節 の 議 論 は(9)の 正 否 に か か って い るが.現 在 の 乱 流 の 理 論 か つ 実 験 的 研 究 か ら は これ を 否 定 す る理 由 は ま っ た くな い.こ の よ う な と き,小 さ な ス ケ ー ル に は興 味 は な い の で,数 値 粘 性 等 で 小 ス ケ ー ル を適 当 に 処 理 す れ ば 流 れ の 主 要 部 分 とな る大 き な ス ケ ー ル の 運 動 を 再 現 で きる とい う粗 野 な 意 見 も散 見 す る.こ の よ うな 推 論 に 意 味 が な い こ と を示 す た め に,非 圧 縮 性 乱 流 に お け る時 間 な い し ア ンサ ン プ ル平 均 量 を考 え て み よ う.こ の 種 の 平 均 量 は流 れ の も っ と も大 き な ス ケ ー ル と 関 係 す る量 で あ る か ら,こ の 種 の 量 す ら εの 正 しい 評 価 な し に は 的 確 に求 め ら れ な い こ と を 示 せ ば 十 分 で あ ろ う.物 理 量fを 平 均 部 分fと そ の ま わ り の 揺 ら ぎf'に 分 け る:f=f+f'.
(11)
こ こ で,fはdu,P等 を 表 し,平 均 は 時 間 な い し ア ン サ ン プ ル 平 均 と す る. (1),(2)よ り, ▽ ・u=0,(12)
(∂/∂t)ui+(∂/∂xj)ujui =-(∂/∂Xi)(P/ρ) +(∂/∂xj)(Rji+νSji).(13)
こ こ で,Rijは レ イ ノ ル ズ 応 力 で あ り. Ｒij=-u'iu'j(14)
で 定 義 さ れ る.Rijは 本 来 の 運 動 量 保 存 則 と そ の 平 均 部 分 を 区 別 す る唯 一 の 量 で あ る こ とか ら,そ の 重 要 性 は 自明 で あ ろ う.Rijの 対 角 和 は 乱 れ の エ ネ ル ギ ー に 密 接 して い る.す な わ ち, ｋ=u’2/2=-Rii/2.(15)
kは ∂k/∂t十▽ ・(uk)=P-ε+▽ ・T(16)
に よ っ て 記 述 さ れ, P=Rij∂uj/∂xi,(17)
ε=ν(∂u‘i/∂xi),(18)
T=-(u'2/2+P')u'+ν ▽k(19)
で 定 義 され る.(17)の 各 量 は それ ぞ れ 時 間 な い しア ン サ ン ブ ル 平 均 下 で の 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 成 率,散 逸 (117)乱 流 モ デル と圧 縮 性(吉 澤 徴) 7 度 ρ を付 加 す る こ と に よ っ て ほ とん ど そ の ま ま使 え る こ と に な る.言 い 換 え る と,(47)のk方 程 式 で は 圧 縮性 の 特 性 はxに 凝 縮 し て い る. 上 述 の 圧 縮 性 乱 流 へ の 拡 張 はk-ε 型 の2方 程 式 よ りも高 次 の 応 力 方 程 式 に も可 能 で あ る.こ の 場 合 も (31)に お け る と同 様 に(32)に 対 応 す る圧 力 ・速 度 歪 み 相 関 が も っ と も重 要 な 量 とな る が,非 圧 縮 性 モ デ ル で はそ の 対 角 成 分 の 和 は 当 然0と な る よ う に モ デ ル化 さ れ て い る.し か し,圧 縮 性 乱 流 モ デ ル で は そ の 対 角 和 は(44)のxと な る た め,(47)と 同 様 にxが 重 要 と な る場 合 は 著 し い 変 更 を 要 す る こ と に な る.非 圧 縮 性 乱 流 モ デ ル の 圧 縮 性 乱 流 へ の適 用 お よ び そ の 結 果 に 関 し ては,文 献2)∼4)を 参 照 され た い. 9.圧 縮 性 乱 流 モ デ リン グ の 問 題 点 8節 で 述 べ られ た 平 均 密 度 変 化 を取 り込 む 方 法 は 衝 撃 波 効 果 等 に よ っ て 流 れ の 剥 離 が 生 じな い場 合 は 良 好 な結 果 を与 え る こ とが 多 い.し か し,衝 撃 波 が 生 じ, 乱 流 との 相 互 作 用 が 重 要 とな る 場 合 に は 満 足 す べ き結 果 を 得 られ な い.圧 縮 性 乱 流 の モ デ リ ン グ に お け る大 きな 障 害 は,欠 陥 の 基 本 的 な 原 因 が 理 解 さ れ て い る非 圧 縮 性 乱 流 の 場 合 と異 な り,改 良 へ の 明 白 な 処 方 箋 を 持 た な い こ とで あ る.見 方 を変 え る と,圧 縮 性 乱 流 は 乱 流研 究 者 に と っ て 挑 戦 に 値 す る難 問 と い え る で あ ろ う. 衝 撃 波 ・乱 流 干 渉 を念 頭 に置 い た と き,非 圧 縮 性 乱 流 と圧 縮 性 乱 流 で は 何 が も っ と も異 な る の で あ ろ う か.衝 撃 波 を 固 定 して 考 えた と き,乱 流 が そ こ を通 過 す る 際 平 均 速 度 は超 音 波 か ら亜 音 速 に 減 速 す る.こ の と き,kす な わ ち乱 れ の 強 度 も減 少 し,平 均 速 度,乱 流 強 度 等 の 力 学 エ ネ ル ギ ー は温 度 等 の 上 昇 に 伴 う熱 力 学 エ ネ ル ギ ー に 吸 収 され る.平 均 速 度 が 流 れ 方 向 に減 速 す る とい う 点 で は 上 記 の 場 合 と よ く似 た 状 況 下 で, 非 圧縮 性 乱 流 で は逆 に 乱 流 強 度 は 一 般 に増 加 す る,こ の 状 況 を見 る た め に,(16)の 乱 流 エ ネ ル ギ ー 生 成 率 Pに(27)の 渦 粘 性 表 現 を代 入 す る と P=νt(∂uj/axi十 ∂ui/∂xj)2/2>0
(49)
とな り,実 験 事 実 と矛 盾 しな い.そ れ ゆ え に,非 圧 縮 性 乱 流 モ デ ル を そ の ま ま衝 撃 波 が 生 じ る流 れ に適 用 す る と,衝 撃 波 の 背 後 で 乱 流 強 度 を 過 大 評 価 す る こ と に な る.実 際,非 圧 縮 性 乱 流k-ε モ デ ル を こ の 種 の 状 況 で 用 い る と き は,(28)の 渦 粘 性 率 中 の 定 数C１ を 半 分程 度 に 減 ら す 工 夫 もな され て い る. 上 に述 べ た 非 圧 縮 性 乱 流 モ デ ル を利 用 す る 際 の 困 難 は,平 均 場 の レ ベ ル で は 速 度 は 密 度 を通 して 熱 力 学 エ ネ ル ギ ー と結 合 し て い るが,乱 れ 部 分 に お い て は そ の 結 合 が 断 ち切 られ て い る こ と に あ る.特 に,極 め て 薄 い衝 撃 波 近 傍 で は 乱 れ に 関 連 し た 小 さ な ス ケ ー ル が 重 要 と な る の で,こ の 欠 陥 が 露 呈 し た もの と推 測 さ れ る.乱 れ を通 し て の 圧 縮 性 の 影 響 が 本 質 的 と な る 量 は,(47)で はxの み で あ る.も し この 量 が 衝 撃 波 の 背 後 で 正 で 大 き な値 を取 る な ら ば,圧 縮 性 が 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 散 逸 を高 め る こ と に な り,乱 流 エ ネ ル ギ ー を 衝 撃 波 の 背 後 で 減 少 さ せ る こ とが 可 能 とな る. 著 者 は 最 近 非 一 様 圧 縮 性 乱 流 を2ス ケ ー ルDIA (TDSIA)10） に よ り解 析 し た が24),そ の 結 果 を 用 い て k-ε 型 の モ デ ル を 作 る と以 下 の よ う に な る.平 均 場 の 方 程 式 は(38)∼(40)で 与 え ら れ,そ の 中 のRMij等 は (45)お よ び HM=-ρ λt▽e,λt=C2k2/ε,(50)
x=C3(ε/k)(kd/ρ2)e(51)
と モ デ ル 化 さ れ る.た だ し,(45)中 の νtは(28)で 与 え ら れ,Cnは 正 の モ デ ル 定 数 で あ る.(51)で,kdは 密 度 分 散 で あ り. kd=ρ'2(52)
で 定 義 さ れ る.本 モ デ ル を 閉 じ る た め に はkd,ε の モ デ ル 方 程 式 が 必 要 とな る が,統 計 理 論 の 結 果 を用 い る とk方 程 式 と類 似 の 構 造 を有 す る (∂/∂t)kd十 ▽ ・(ukd)=-kd▽ ・u 一C4(ε/k)kd+▽ ・[C5(k2/ε)▽kd],(53)
(∂/∂t)ρε+▽ ・(ρuε)=C7(ε/k)P -C8ρ(ε/k)(ε 十x) 十 ▽・[C9(k2/ε)▽(ρ ε)](54)
を 得 る(Cnは 正 の 定 数 で あ る). 上 の モ デ ル が 衝 撃 波 の近 傍 で乱 流 強 度 を 弱 め られ る か ど うか を見 る た め に,ま ず(53)を 考 え る.衝 撃 波 の 近 くで は ▽ ・u<0の た め に右 辺 第1項 は 正 で 他 の 領 域 よ り大 き な値 を 持 ち,強 い 密 度 揺 動 す な わ ちkdを 生成 す る と予 想 さ れ る.ま た,そ こで は 内 部 エ ネ ル ギ ー も他 の 領 域 よ り大 き い た め ,(51)のxは 無 視 で き ず,(47),(54)を 通 し て,kお よ び εを 減 少 さ せ,乱 流 を弱 め る こ と に な る. 以 上 は 乱 流 の 圧 縮 性 効 果 を取 り入 れ る た め の 一 方 法 で あ る が,何 れ の 方 法 に し て も(52)の 密 度 揺 動 を取 り 入 れ る こ とが 圧 縮 性 乱 流 モ デ ル の 成 否 を 決 め る も の と 思 わ れ る.飛 行 物 体 の まわ りの 流 れ で は3次 元 性 が 重 要 と な る場 合 が 多 い.例 え ば,前 頭 部 が 流 れ あ る い は 飛 行 方 向 を 回 転 軸 と し て 回 転 し て い る と き,後 部 に お い て は ク ロ ス フ ロ ー(cross flow)効 果 が 重 要 と な る. この 種 の 効 果 を的 確 に表 現 す るモ デ ル は 未 だ 提 案 され て い な い が,著 者 は ヘ リ シ テ ィu'ω'(ω'=▽ ×u')の 導 入 が 必 須 と考 え て い る(そ の 説 明 は紙 面 の 関 係 で 他 に 譲 る).乱流 モ デ ル と圧縮 性(吉 澤 徴) 3
理想気体 に対 す る熱 力学関 係式 は,
P=(γ-1)ρe,e=Cv(θ)θ(6)
と な る(γ=Cρ/Cv;Cρ,Cvは 定 圧,定 積 比 熱 で あ る). 3.エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ル 以 下7節 まで は 密 度 変 化 を 無 視 して 非 圧 縮 性 乱 流 に っ い て考 察 す る.細 か い 変 動 の 少 な い流 れ は乱 流 に 対 比 して層 流 と呼 ば れ る が,こ の 種 の 流 れ で は エ ネ ル ギ ー散 逸 す な わ ち粘 性 効 果 は 固 体 壁 近 傍 等 に 代 表 され る 強 い速 度 勾 配 を持 つ領 域 に 限 定 され る.換 言 す る と, 層流 で は上 記 以 外 の 領 域 で は速 度 の 空 間 変 化 が 小 さ い た め,「 乱 れ が な い 」 とい う状 況 が 生 じ る. で は,固 体 壁 近 傍 以 外 で 粘 性 作 用 が 重 要 と な る場 合 何が その ス ケ ー ル(エ ネ ル ギ ー 散 逸 ス ケ ー ルld)を 決 定 し,そ れ は どの 程 度 の 大 き さ に な る の で あ ろ う か. ｌdの評 価 に は 固 体 壁 近 傍 で な い こ と か ら 固 体 壁 ま で の距 離 等 の 長 さ ス ケ ー ル は 本 質 的 で は な く,動 粘 性 率 νが 重 要 と な る こ とは 明 らか で あ る.ま た,散 逸 さ れ るエ ネ ル ギ ー量 も重 要 な物 理 量 で あ る こ とか ら,単 位 時 間,単 位 体 積 当 た り流 体 中 で 散 逸 され る エ ネ ル ギ ー εをldを 決 定 す る も う 一 つ の 物 理 量 と 考 え る と,次 元 解析 よ り, ｌd=0[(ν3/ε)1/4](7)
とな る.(7)を 用 い てldの 大 き さ を評 価 す る た め に は,ε が どの 程 度 の 大 き さか を 知 る必 要 が あ る.散 逸 され る エ ネ ル ギ ー 量 は 注 ぎ込 ま れ る エ ネ ル ギ ー 量 を 越 える こ とは な い の で 後 者 を決 定 す る物 理 量,例 え ば 円 管流 な ら断 面 の 半 径,断 面 平 均 速 度 等 の 基 準 と な る 長 さL,速 度Vを 用 い て ε も量 ら れ る は ず で あ る.す なわ ち, ε=O(V3/L).(8)
(7),(8)よ り ｌd/L=O(R-3/4),R=VL/ν,(9)
ここで,Rは レ イ ノル ズ 数 で あ る. で は,(9)が 正 し い と し た ら何 を 意 味 す る の で あ ろ う か.ま ず レ イ ノ ル ズ 数Rが 大 き い と い う こ と は, 流 れ の 中 にLで 測 ら れ る 長 さ ス ケ ー ル か ら微 小 なld の もの まで 非 常 に 多 数 混 在 す る こ と を意 味 す る.す な わ ち,わ れ わ れ が 流 れ を乱 流 と呼 ぶ の は,そ の 中 に変 化 の早 い 小 ス ケ ー ル の 変 動 が あ る と きで あ り,(9)は 正 にRが 大 き い と き に そ の よ う な こ とが 起 こ り得 る こ とを示 して い る. 一 方,乱 流 の 数 値 計 算 上 か らは(9)は 必 要 とす る 自 由度(領 域 分 割 数 あ る い は モ ー ド数)に 強 い 制 約 を課 す こ と に な る.(9)が 正 しけ れ ば,乱 流 状 態 を計 算 機 上 に正 し く再 現 す る に は,N=O[(L/ld)3]=O(R9/4)
(10)
の 自 由 度 が 必 要 と な る.航 空 工 学 に お け るRが ど の 程 度 の もの で あ り.ま た計 算 時 間 ま で 含 め る と一 次 元 当 た り102程 度 の 自由 度 を と る こ と が 現 在 の 流 れ の 数 値 実 験 の 限 界 で あ る こ とを 考 慮 す る と,(10)の 持 つ意 味 の 重 大 さ を容 易 に理 解 で き る で あ ろ う 現 在 お よ び 将 来 予 見 し得 る計 算 機 ハ ー ド ウ エ ア の 能 力 を 考 え た と き,ldス ケ ー ル の 現 象 を 何 ら か の 方 法 で 補 わ な い か ぎ り,乱 流 の 数 値 実 験 は 信 頼 性 に乏 し い とい え る. 4.ε の 評 価 の 重 要 性 前 節 の 議 論 は(9)の 正 否 に か か って い るが.現 在 の 乱 流 の 理 論 か つ 実 験 的 研 究 か ら は これ を 否 定 す る理 由 は ま っ た くな い.こ の よ う な と き,小 さ な ス ケ ー ル に は興 味 は な い の で,数 値 粘 性 等 で 小 ス ケ ー ル を適 当 に 処 理 す れ ば 流 れ の 主 要 部 分 とな る大 き な ス ケ ー ル の 運 動 を 再 現 で きる とい う粗 野 な 意 見 も散 見 す る.こ の よ うな 推 論 に 意 味 が な い こ と を示 す た め に,非 圧 縮 性 乱 流 に お け る時 間 な い し ア ンサ ン プ ル平 均 量 を考 え て み よ う.こ の 種 の 平 均 量 は流 れ の も っ と も大 き な ス ケ ー ル と 関 係 す る量 で あ る か ら,こ の 種 の 量 す ら εの 正 しい 評 価 な し に は 的 確 に求 め ら れ な い こ と を 示 せ ば 十 分 で あ ろ う.物 理 量fを 平 均 部 分fと そ の ま わ り の 揺 ら ぎf'に 分 け る:f=f+f'.
(11)
こ こ で,fはdu,P等 を 表 し,平 均 は 時 間 な い し ア ン サ ン プ ル 平 均 と す る. (1),(2)よ り, ▽ ・u=0,(12)
(∂/∂t)ui+(∂/∂xj)ujui =-(∂/∂Xi)(P/ρ) +(∂/∂xj)(Rji+νSji).(13)
こ こ で,Rijは レ イ ノ ル ズ 応 力 で あ り. Ｒij=-u'iu'j(14)
で 定 義 さ れ る.Rijは 本 来 の 運 動 量 保 存 則 と そ の 平 均 部 分 を 区 別 す る唯 一 の 量 で あ る こ とか ら,そ の 重 要 性 は 自明 で あ ろ う.Rijの 対 角 和 は 乱 れ の エ ネ ル ギ ー に 密 接 して い る.す な わ ち, ｋ=u’2/2=-Rii/2.(15)
kは ∂k/∂t十▽ ・(uk)=P-ε+▽ ・T(16)
に よ っ て 記 述 さ れ, P=Rij∂uj/∂xi,(17)
ε=ν(∂u‘i/∂xi),(18)
T=-(u'2/2+P')u'+ν ▽k(19)
で 定 義 され る.(17)の 各 量 は それ ぞ れ 時 間 な い しア ン サ ン ブ ル 平 均 下 で の 乱 流 エ ネ ル ギ ー の 生 成 率,散 逸 (117)8 日本 航 空宇 宙 学 会誌 第41巻 第470号(1993年3月) 10.圧 縮 性SGSモ デ ル 前 節 で は,レ イ ノ ル ズ 平 均 モ デ ル に お い て 圧 縮 性 の 影 響 が ど の よ う な 形 で 現 れ る か を 述 べ た.そ れ で は, 圧 縮 性 乱 流 のLESに 必 要 なSGSモ デ リ ン グ に お い て ス マ ゴ リ ン ス キ ー ・モ デ ル は どの よ う な 本 質 的 な変 更 が 必 要 とな る で あ ろ う か. 先 ず,3次 の 非 線 形 性 か ら く る複 雑 さ を最 小 限 に す る た め に,次 の 「質 量 加 重 フ ィル タ リン グ 」 を 導 入 す る25): f=ρf/ρ={f},f=∫G(x-y)f(y)dy.
(55)
(55)を(1)∼(3)に 適 用 す る と, (∂/∂t)ρ十 ▽ ・(PU)0,(56)
(∂/∂t)ρui+(∂/∂xj)ρujui =−(∂/∂xi)(γ-1))ρe +(∂/∂xj)(RSMji+νSji).(57)
(∂/∂t)ρ ∂ 十 ▽ ・(ρue) =−(γ-1)ρeδ ▽ ・u十ρ εs 十 ▽ ・(-HSM+x▽ θ)(58)
を 得 る.こ こ で,RSMij,HSMは(41),(42)と 同 様 に 定 義 さ れ,εsは 質 量 加 重 フ ィ ル タ リ ン グ で の ε とx の 和 か ら な っ て い る. ま ず,RSMij,HSMに 対 し てSGS粘 性 お よ び 拡 散 表 現 を 仮 定 す る: RsMij=-(2/3)ρksδij十 ρsνSSij,(59)
HSM=-ρ λs▽e.(60)
次 に,νs,λsを 評 価 す る た め に非 圧 縮 性 乱 流 に お け る と同 様 にSGSで の 乱 流 生 成,散 逸 の 近 似 的 釣 り合 い 夕 仮 宗 す ると26), ks=Cκh2S2,(61)
νs=Cs1h2S,(62)
λs=Cs2h2S,(63)
εs=h2S3(64)
を得 る.こ こで 、Ck等 は 正 の 定 数 で あ り,Sは S=-(Ck/3)▽ ・u十[(Ck/3)2(▽ ・u)2 +CSiSij(∂ui/∂xi)]1/2(65)
6節 で紹 介 し た ス マ ゴ リ ン ス キ ー ・モ デ ル は(65)に お い て ▽ ・u=0と 置 く こ と に よ っ て 得 ら れ る,で は, 上 の モ デ ル は衝 撃 波 近 くで 予 想 さ れ る圧 縮 性 の 効 果 を 持 っ て い る で あ ろ う か.非 圧 縮 性 乱 流 のLESか ら, (34)のCsを 増 加 させ る と乱 流 が 弱 く な る こ とが 確 か め ら れ て い る(分 子 粘 性 を 増 加 さ せ た 場 合 と同 じ効 果 に な っ て い る.こ の 点 は前 節 の 乱 流 粘 性 率 の 場 合 と逆 で あ る こ と に 注 意 さ れ た い).衝 撃 波 近 傍 で 乱 流 が 弱 くな る た め に は,νsが 圧 縮 性 の た め に 増 加 す れ ば よ い.衝 撃 波 の 近 くで は 流 体 は 圧 縮 さ れ て い る た め に ▽ ・uは 負 で あ り,(65)よ り▽ ・u=0の 場 合 に比べ て Sが 増 大 し,乱 流 が 抑 制 さ れ る こ とが 予 想 され る,本 モ デ ル の 導 出 と よ り詳 細 な 議 論 は 文 献26)を 参 照 され た い. 11.お わ り に 本 小 論 に お い て は,乱 流 モ デ ル の 基 本 的 考 え方,圧 縮 性 乱 流 モ デ ル の 現 状 お よ び 改 善 の 方 向 につ いて概観 し た.過 去 の 乱 流 モ デ ル の 研 究 に お い て 重 要 な 寄与 を な した とは 言 い 難 い わ が 国 も,固 体 壁 近 傍 で の低 レイ ノ ル ズ 数 効 果 の モ デ リ ング 他 で 着 実 に成 果 を挙 げっっ あ り,乱 流 モ デ ル の後 進 国 を脱 し つ つ あ る.特 に,計 算 機 大 国 の わ が 国 は超 音 速 流 の 研 究 に 関 連 して圧縮 性 乱 流 のLES等 で 主 導 的 な 役 割 を 果 た す こ とが で きる の で は な か ろ う か 筆 者 が 圧 縮 性 乱 流 の研 究 を行 う に際 し て多 くの 方か ら貴 重 な 示 唆 を 頂 い た が,特 にC.E.Leith博 士 ,H, Yoshihara博 士,M.W.Rubesin博 士,故 竹 光 信 正 博 士 よ り多 くの 示 唆 と刺 激 を 受 け た こ と を謝 意 をもっ て 記 す. 本 シ ン ポ ジ ウ ム が1991年4月 に 開 催 さ れ て 以 来2 年 弱 経 過 し,こ の 間 圧 縮 性 乱 流 モ デ ル の研 究 に関 して も種 々 の 進 展 が あ っ た.最 近 の 進 展 に関 して は,文 献 27)∼29)お よ び そ の 引 用 文 献 を 参 照 さ れ た い[特 に, 文 献27)は 低 レ イ ノ ル ズ 数k-ε モ デ ル の 適 用,文 献 28)は ア ン サ ン ブ ル 平 均 と 質 量 加 重 ア ンサ ンブ ル 平均 の 得 失,前 者 に よ る モ デ リ ン グ の 利 点,文 献28)は 圧 力 ・膨 張 相 関(x)の モ デ リ ン グ の 直 接 数 値 計 算 デー タ に よ る 検 討 等 が 議 論 さ れ て い る]. 参 考 文 献 1)吉 澤 徴:乱 流 磁 気 ダ イ ナ モ,日 本 物 理 学 会誌 ，46 (1991).pp.734-741.2) Marvine, J. G.: Turbulence Modeling of Computational Aerodynamics, AIAA J., 21 (1983) , pp. 941-954. 3) Rubesin, M. W.: Turbulence Modeling for Aero•
dynamical Flows, AIAA Paper, 89-0606 (1989), pp. 1- 42.
4) Marvine, J. G.: Progress and Challenges in Modeling Turbulent Aerodynamic Flows, Engineering Turbu• lence Modeling and Experiments, W. Rodi and E. N. Ganic, ed., Elsevier, New York, 1990, pp. 1-12. 5) Leonard, A.: Energy Cascade in Large Eddy Simulation
of Turbulent Fluid Flows, Adv. in Geophys., 18 A (1975), pp. 237-248.
6)吉 澤 徴:乱 流 解 析 に お け る 乱 流 モ デ ル を 巡 る諸 問題,日 本 原 子 力 学 会 誌,32(1990),pp.780-786.
7) Launder, 13. E., Reece, G. J. and Rodi, W.: Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Clo-sure, J. Fluid Mech., 68 (1975) , pp. 537-566.
