電磁場の量子化

(1)

電磁場の量子化

Made by R. Okamoto (Kyushu Institute of Technology) filename=電磁場量子化080718a.ppt

１．光とは何かー電磁波と光子

２．電磁気学のマックスウェル方程式

３．電磁場中の荷電粒子の古典ハミルトニアン

４．電磁場の方程式におけるゲージ変換とその不定性５．ベクトル･ポテンシャルの平面波展開

(

フーリエ展開）

6

．電磁場の量子化

７．量子化されたベクトルポテンシャル、ハミルトニアン、運動量

(2)

１．光とは何かー電磁波と光子

電磁波：物理空間（真空）中を伝播する場合には波動的性質を示す。

直進、反射、屈折、干渉。トムソン散乱。

光子：物質粒子との相互作用（光子の吸収・消滅や散乱）の場合には粒子的性質を示す。

光電効果、コンプトン散乱。電子陽電子の対消滅・光子対発生。

光電効果は太陽電池の基礎原理になっている！

電子陽電子の対消滅・光子対発生はガン病巣など

PET

診断の基礎原理となっている！

PET=positron emission tomography

したがって、（広義の）光は単純な波動でも、単純な粒子でない！

(3)

2.1 電磁気学のマックスウェル方程式

E

0

0 0 0

, (1) 0, (2)

, (3)

, (4) t

t

ρ ε

ε μ μ

∇ =

∇× = − ∂

∂

∇× = ∂ +

∂ E

B E B

B E j

i i

B

電場に対するガウスの法則

（電荷は電気力線の源）

磁場に対するガウスの法則

（磁力線は閉じている）

ファラデーの電磁誘導の法則

（磁束密度の時間変化率に比例し、

変化を妨げる向きに、誘導電場が発生）

アンペアーマックスウェルの法則マックスウェル方程式（真空中）の微分形

電場（ベクトル）

磁束密度（ベクトル）

電流密度（ベクトル）：単位断面積あたりの電流の大きさ・向き真空の誘電率

真空の透磁率

j

μ

0

ε

0

ρ

:

電荷密度

0 , :

=

μ

B H H 磁場ベクトル

(4)

電磁波とそのエネルギーの流れ

2 2

2 2 2

0 0 2 0 0 2

0 0

, 1 c c ;

t t

ε μ ε μ

ε μ

∂ ∂

∇ = ∇ = → = =

∂ ∂

E B

光速度！

マックスウェル方程式からの電場、磁場の波動方程式の導出

光＝電磁波：物理空間（真空）は電磁波を伝える性質をもつこと

ポインティング・ベクトル（

Poynting vector

）

0

, μ

≡ ×

=

S E H B H

電磁波のエネルギー流れの密度

(5)

スカラー・ポテンシャルとベクトル・ポテンシャルの導入

= ∇× A (6) B

t (5) φ ^∂

= −∇ −

∂ E A

静電場誘導電場

電場

Ｅ

、磁場

Ｂ

よりもスカラー・ポテンシャルφ、

ベクトル・ポテンシャル

A

がより基本的な物理量

氷山の一角としての電場、磁場

氷山全体としてのスカラー・ポテンシャル、

ベクトル・ポテンシャル

(6)

３．電磁場中の荷電粒子の古典ハミルトニアン

p

( )

2

1 2

1 ( )

2 H q q

m

q q

m

φ φ

= − + −

= − + − ∇×

p A B

p

μ μ

A A

i i

A

電荷

q

、質量ｍの磁気モーメントをもつ荷電粒子の運動量、静電ポテンシャル

φ

、ベクトルポテンシャル

μ

の中のハミルトニアン

= ∇×

B A

φ ^∂ t

= −∇ −

∂ E A

静電場誘導電場

( )

d q

dt p = + × E v B

ローレンツ力

ハミルトン方程式

,

, ;

, ,

y

x y z

x dp z

dp H H dp H

dt x dt y dt z

dx H dy H dz H

dt p dt p dt p

∂ ∂ ∂

= = =

∂

∂ ∂ ∂

= − = − =

∂

∂ ∂

∂

∂ −

B

μ

(7)

自由電磁場のハミルトニアン（エネルギー）

2 2 3

0

3 3 2

1 3

1 1 ( )

8 1 1

( ) (7)

8 _j ^j ^j

j j

j

H d

c t t d

x x y y z z

π

π ₌

=

≡ +

= ∂ ∂ + ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ≡ + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

∫∫∫ ∑

∑

E Η r

A A A A r

A A A A A A A A

i i

i i i i

(8)

４．電磁場の方程式におけるゲージ変換とその不定性

2

2 2 2 0

1 0 (1)

1 1 ( )

( ) , ( : 0, 0

c t

c t c t

φ

φ μ φ

∇ − ∂ ∇ =

∂

∂ ∂ ∇

−∇ ∇ + Δ − − = = =

∂ ∂

A

A A A j j

i i

2

(2) 真空）

2

2 2

(4)

1 ( , )

( , ) 0 (5

( , ) 0

t )

t c

t

Δ − ∂ =

∇ ⋅ =

∂ A A r

A r

r

クーロン･ゲージを採用するとポテンシャルの従う方程式（一般）

ゲージ変換と電磁場のゲージ不変性

( , ) t → ( , ) t + ∇ χ ( ) : (3) χ ( ) :

A r A r r

,

r

任意のスカラー関数

式(1),(2)はゲージ変換(3)に対して形を変えない

(9)

５．ベクトル･ポテンシャルの平面波展開 ( フーリエ展開）

( , ) t 1 ( , ) exp( t i ) (1)

= V ∑ ⋅

k

A r q k k r

2

2 2

2

( , ) ( , ) (2)

( , ) ( ) exp(

_k

),

_k

(3)

d t c t

dt

t i ω t ω ck

= −

→ = − ≡

q k k q k

q k q k

ベクトル･ポテンシャルを

3

次元フーリエ展開する

この展開式をベクトルポテンシャルが満たす式

,4

の式

(5)

に代入すると

角振動数ω

=ck

の複素振動子ベクトルポテンシャルが実数であることを考慮して、次式のように表す。

1

*

( , ) t ( ) exp( i i

_k

t)+ ( ) exp( i i

_k

t) (4)

V ^⎡ ω ω ^⎤

= ∑ ⎣ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⎦

k

A r q k k r q k k r

ところが、この式（４）では４の式（４）（＝横波条件）を満たしていない！

(10)

ベクトル展開係数を波数ベクトルの方向とそれに垂直な

2

つの方向成分に分解する。

( )¹

( ) e k

q k ( )

(2)

( ) e k

( )

( ) e k

k

(1) (1) (2) (2) ( ) ( )

( ) ( )

1,2,

* ( ) * ( )

1,2,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (5),

( ) ( ) ( ) (6),

p p

p

p p

p

q q q

q q

=

= + +

=

∑

q k k e k k e k k e k

k e k

q k k e k

(l=longitudinal wave,

縦波

)

(x,y,z

軸方向の単位ベクトル）

式

(5),(6)

を（

4

）に代入して、４の式

(4)

より

( ) ( )

(1) (2) ( ) (1)

( ) * ( )*

exp( )

( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0, (7)

p p p

x y z x

q i

q ik q ik q ik q ik i

kq kq

∝

⎡ ⎤

→ ∇ ⋅ ∝ ⎣ + + ⎦

→ = = = =

∑

A e k r

A k r

k q k k k q k k

i

i i

x

y

z

４の式

(4)

は電磁波には縦波がないという条件を意味する！

結局、ベクトルポテンシャルは次式のように展開される。

( ) *( ) ( )

1,2

( , ) 1

^p

( ) exp(

_k

t)+

^p

( ) exp(

_k

t)

^p

( ) (8)

p

t q i i q i i

V ω ω

=

⎡ ⎤

= ∑ ∑ ⎣ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⎦

k

A r k k r k k r e k

(11)

量子化 ^{( )} ^{†( )}

( ) †( 2

( ) *

')

( ) ( ') †( ) †( ')

( )

'

( ), ( ) ( ) ( ')

( ) ( ') ( )

, 4 ,

2 , , 0 (9

( ), (

( ') )

)

pp k

p p

q q

q q q q

c

q q

ω δ δ

→

⎡ ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

kk'

k k

k

k k

k k k

ボース粒子型生成・消滅演算子の導入

( ) ( )

( ) ( ')

( ) ( ') ( ) ( ')

( ) 2 † 2

'

( ) †

†

† †

( ) 4 ( 4

, (10)

2 2

, ,

, , 0 (11

)

p p

p p p p

k k

p

p p

p

q c b q

b

c b

b b

b b b

ω ω

δ δ

= =

⎡ ⎤

→ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ =

⎡ ⎤ ⎡ = ⎤ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

k

k k

k k k k

k'

k k

6 ．電磁場の量子化

(12)

{

^{( )} ⁽ ^')

}

2 ( )

1,2

4 ( )

†

exp( t)+ exp( t) (12

( , ) )

2

p p

p

k k

p k

c i i i i

t π V b ω b ω

ω

=

= ∑ ∑ ⋅ − − ⋅ +

k

k k

e k

k

A r r k r

７．量子化されたベクトルポテンシャル、ハミルトニアン、運動量

振幅は離散的な値のみが許される！

３の式（７）、古典電磁場ハミルトニアンに式（８）を代入すると

{ }

2

2 ( ) ( )† ( )† ( )

0 2

1,2

1 ( ) ( ) ( ) ( ) (13)

8

p p p p

k p

H q q q q

c ω π

₌

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ +

⎝ ⎠

∑ ∑

k

k k k k k

式

(10)

を代入する（量子化する）と

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1,2

1,

† †

0

2

†

1 2

1 (14) 2

p p p p

p p

k p

H b b b b

b b ω

ω

=

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠

∑ ∑

k k k k

k

k k

波数ｋをもつ光子（フォトン）のエネルギー＝

ω k

古典電磁場の量子化による光子（フォトン）の実現

(13)

ひとつの波数ｋをもつ光子にはp＝1.2の2種類：偏光（polarization)が2つあること

電磁場の運動量

1

3

( ) (15) :

4 d Poynting

π c

≡ ∫∫∫ ×

G E H r

ベクトルの積分

量子化

( ) ( )

1,2

†

(16)

p p

p

b b

=

= ∑ ∑

^k

k

G k

k

波数ｋをもつ光子は運動量

k

をもつこと！！

(14)

参考文献

高橋康「物性研究者のための場の量子論

I

」、培風館。

1984

年。１，２章。

D. K. Ferry「デバイス物理のための量子力学」、丸善。1996年。9章。

小出昭一郎「量子力学（

II

）ー改訂版ー」

,

裳華房、

1990

年。

11

章。

電磁場の量子化